Corso di istituzioni di geometria 2019/2020

Avviso:

Le lezioni a partire da martedì 10 marzo si terranno on line tramite la piattaforma Microsoft Meeting.

Le lezioni saranno interattive e registrate: se qualcosa va storto, potrete rivederle in seguito.

Slide e video compariranno qui sotto:

Programma indicativo:

  • Varietà lisce. Partizioni dell'unità. Spazio tangente. Differenziale. Immersioni, embedding e sottovarietà. Fibrati vettoriali. Fibrato tangente e cotangente. Fibrati tensoriali. Sezioni di fibrati e campi vettoriali. Parentesi di Lie. Orientabilità. Foliazioni. Intorno tubolare. Omotopia e isotopia. Trasversalità. Teoremi di immersione e embedding di Whitney.
  • Forme differenziali. Differenziale esterno. Integrazione. Teorema di Stokes. Coomologia di de Rham. Successione di Mayer-Vietoris. Dualità di Poincaré. Teorema di Kunneth (senza dimostrazione).
  • Varietà pseudo-Riemanniane. Connessioni su fibrati. Derivata covariante lungo una curva. Trasporto parallelo. Connessione di Levi-Civita. Geodetiche. Mappa esponenziale. Intorni normali. Lunghezza di una curva. Le geodetiche sono le curve localmente minimizzanti. Lemma di Gauss. Teorema di Hopf-Rinow. Curvature Riemanniana, sezionale e di Ricci. Campi di Jacobi. Teorema di Cartan - Hadamard. Varietà simmetriche e a curvatura costante.
  • Gruppi di Lie. Algebre di Lie.

Prerequisiti:

I corsi obbligatori della laurea triennale. Saranno fondamentali in particolare l'analisi in piu' variabili e la topologia. E' consigliato, ma non necessario, aver gia' seguito il corso di Geometria e Topologia Differenziale.

Bibliografia:

  • Note sul corso che prima o poi si trasformeranno in un libro. PER FAVORE segnalatemi via email gli errori che sono sicuramente presenti, che siano di matematica o semplici errori ortografici. Grazie.
  • R. Bott, L. W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology.
  • M. Do Carmo, Riemannian Geometry.
  • O' Neill, Semi-Riemannian geometry with applications to Relativity.

Esame:

L'esame prevede uno scritto e un orale. L'orale e' approfondito e su tutto il programma.

Compitini:

La/o studente puo' decidere di svolgere dei compitini a casa al posto dello scritto, nel modo seguente. Il sabato di ogni settimana vengono messi in questa pagina degli esercizi.

Chi vuole fare i compitini a casa dovra' scegliere 3 esercizi per ogni settimana e tentare di risolverli.

Alcune regole e osservazioni:

Alcuni ragionevoli cambiamenti, dovuti all'emergenza sanitaria in corso, sono scritti in corsivo.

A. Gli esercizi a casa servono per due scopi: 1) Allenarsi continuamente e quindi seguire meglio il corso, che contiene tanta teoria. 2) Imparare a comunicare la matematica. Verra' valutata molto la chiarezza di esposizione. In particolare non verranno corretti esercizi poco o faticosamente leggibili. Considerate che il docente correggerà circa 60 * 11 * 3 = 2000 esercizi e idealmente può dedicare 1 minuto a ciascuno. Si prega di tenere questo punto in seria considerazione.

B. Questo canale è riservato a chi segue il corso. Non voglio essere troppo formale su cosa voglia dire "seguire il corso": vuol dire venire spesso a lezione e studiare con regolarità. I compitini vanno consegnati a mano al docente, non spediti via mail. I compitini andranno spediti via mail al docente. Possono essere scritti sia a mano che in LateX. Nel primo caso, la riproduzione deve essere decente (va bene la foto da cellulare, ma fatta in modo da sembrare simile ad una scannerizzazione).

C. E' lecito e perfino consigliato chiedere aiuto ad altri e consultare libri e appunti trovati in rete. In questo caso dovete però scrivere chi vi ha aiutato e quali fonti avete utilzzato. In ogni caso lo/a studente deve aver pensato autonomamente al problema, aver ben assimilato la soluzione e scriverla con parole sue.

D. Non rispondo a mail che chiedono informazioni sui compitini. Se ne parla a lezione o successivamente a voce. Non comunico i voti via email, perché è essenziale che lo/a studente veda il compitino per capire cosa ha sbagliato e come migliorare. I compitini corretti vengono riconsegnati via mail.

E. Questo canale può essere usato una volta sola, quindi chi ha consegnato i compitini fino in fondo negli anni passati non può partecipare.

F. Chi ha fatto i compitini e non ha mai preso una insufficienza in questi può fare l'orale in una delle sessioni descritte sotto, fino a settembre incluso. Dovra' iscriversi all'orale (non allo scritto) sulla pagina web di iscrizione agli esami.

G. Chi non passa l'orale o rifiuta il voto poi deve fare lo scritto (piu' in generale, perde qualsiasi privilegio dovuto al fatto di aver fatto i compitini).

Le consegne sono le seguenti:

  • Entro martedi 31 marzo andranno consegnati 3+0+3=6 esercizi delle prime 3 settimane (che finiscono i giorni 29 febbraio, 7 e 14 marzo). La seconda settimana è saltata.
  • Entro martedì 21 aprile andranno consegnati 3+3+3=9 esercizi delle seconde 3 settimane (che finiscono i giorni 21, 28 marzo e 4 aprile).
  • Entro sabato 23 maggio andranno consegnati 3+3+3=9 esercizi delle terze 3 settimane (che finiscono i giorni 11, 25 aprile e 2 maggio).
  • Entro martedì 9 giugno andranno consegnati 3+3+3=9 esercizi delle quarte 3 settimane (che finiscono i giorni 9, 16 e 23 maggio).

Compiti scritti:

Durante il compito scritto la/o studente non puo' consultare libri ne' appunti. Le date per i prossimi scritti compariranno in seguito.

Chi ha fatto i compitini puo' fare l'orale in una delle sessioni descritte, fino a settembre incluso. Dovra' iscriversi all'orale (non allo scritto) sulla pagina web di iscrizione agli esami.

L'iscrizione ad uno scritto annulla automaticamente i compitini. Se vi siete iscritti per sbaglio scrivetemi.

Chi fa il compito deve fare l'orale nella stessa sessione del compito.

Esami di giugno e luglio 2020:

Gli esami scritti sono cancellati e al loro posto ci sara' un orale. Gli appelli sono:

  • venerdi 19 giugno, ore 9
  • venerdi 10 luglio, ore 9
Chi ha fatto i compitini puo' fare l'orale in una delle due date scritte sopra oppure anche in una di queste sessioni aggiuntive:
  • giovedi 2 luglio, ore 9
  • venerdi 17 luglio, ore 9
Ovviamente chi ha gia' fatto un orale perde questo diritto e quindi non puo' iscriversi a queste date aggiuntive.
In ogni caso e' richiesta l'iscrizione alla sessione.

Appello di settembre:

L'appello di settembre e' il seguente:

  • venerdì 11 settembre, ore 9
L'esame sarà in presenza ed è necessario iscriversi 3 giorni prima (entro l'8 settembre alle 23.59) per questioni logistiche. È fortemente consigliata la presenza della/o studente, ma chi non può esserci può fare l'esame da remoto. Nella pagina di iscrizione all'esame sono presenti entrambe le modalità.

Le istruzioni pratiche per svolgere l'esame da remoto (da leggere attentamente) sono qui.
AGGIORNAMENTO. Alcune modifiche rispetto a quanto scritto nelle istruzioni:

  • In alternativa allo smartphone e ai fogli, e' consentito utilizzare un tablet con una penna.
  • Useremo Google meet invece di Microsoft Teams perche' e' piu' facile entrare due volte con lo stesso account.
  • Non e' necessario avere il libretto: basta un documento, che probabilmente non verra' chiesto perche' i docenti dovrebbero aver accesso alle vostre foto direttamente dal sito dell'universita'.

Compiti passati:

Lezioni:

  • Martedi' 16-18 in aula N,
  • Giovedi' 9-11 in aula N,
  • Venerdi' 14-16 in aula N.

Il registro delle lezioni e' consultabile qui.

Una tassellazione del piano iperbolico
in triangoli con angoli interni π/2, π/5, π/5
(opera di Carlo Rocchini in licenza CC-BY-SA)

Una tassellazione dello spazio iperbolico
in dodecaedri regolari retti
(opera di Roice3 in licenza CC-BY-SA)
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