- Decomposizioni in manici. Superfici.
- Introduzione alle 3-varieta'
- Superfici dentro a 3-varieta': superfici incompressibili, somma connessa, decomposizione lungo tori
- Esempi di 3-varieta': spazi lenticolari, varieta' di Seifert, varieta' iperboliche
- Geometrizzazione: le otto geometrie di Thurston in dimensione 3
Prerequisiti:
- Nozioni che lo studente deve conoscere bene per seguire il corso: gruppo fondamentale, rivestimenti, (corsi del secondo anno), varieta' differenziabile (istituzioni di geometria)
- Nozioni che useremo e che lo studente volenteroso puo' imparare durante il corso: omologia (topologia algebrica),
- Martelli, An Introduction to Geometric Topology, CreateSpace Independent Publishing Platform, 488 pages (2016).
- Allan Hatcher, Notes on Basic 3-Manifold Topology.
- Matveev - Fomenko "Algorithmic and computer methods for three-manifolds" (in biblioteca)
Lezioni:
- Mercoledi' 11-13 in aula N,
- Venerdi' 9-11 in aula N.
Il registro delle lezioni e' consultabile qui
Esame:
Lo/la studente/ssa puo' scegliere di sostenere l'esame in uno dei due modi seguenti:
- Puo' sostenere solo l'orale, che sara' un orale classico su tutto il programma del corso.
- Ogni due settimane verranno pubblicati su questa pagina degli esercizi. Lo/la studente/ssa puo' scegliere 3 tra i 10 esercizi proposti e consegnarli, entro la data indicata sotto. Alla fine del corso, se il giudizio sui compitini e' almeno sufficiente, lo/la studente/ssa potra' scegliere di fare un seminario su un argomento.
- Gli esercizi delle bisettimane 1, 2, 3 devono essere consegnati entro il 17 novembre (sono 3+3+3=9 esercizi)
- Gli esercizi delle bisettimane 4, 5, 6 devono essere consegnati entro il 12 gennaio (sono 3+3+3=9 esercizi)
In entrambe le soluzioni 1 e 2, e' possibile sostenere l'orale in qualsiasi momento. La data precisa verra' concordata con il docente via email. Segue una lista di argomenti proposti.
Argomenti di geometria iperbolica:
- Decomposizione di Epstein-Penner: ogni 3-varieta' iperbolica con cuspidi di volume finito si ottiene come unione di alcuni poliedri ideali canonicamente determinati. Articolo: Epstein, D. B. A., Penner, R. C., Euclidean decompositions of noncompact hyperbolic manifolds, J. Differential Geom. 27 (1988), no. 1, 67-80. Oppure il Capitolo 5.1 del libro.
- Teorema di rigidita' di Mostow, dal Capitolo 13 del libro (usa il Capitolo 5.2). Il teorema e' lungo, lo studente espone una traccia e sceglie quali dimostrazioni approfondire, oppure due studenti si dividono il lavoro.
- Teorema del poliedro di Poincare', D. Epstein - C. Petronio, An exposition of Poincare's polyhedron theorem, Enseign. Math. (2), 40 (1994), 113-170.
- Teorema del Dehn filling iperbolico. Capitolo 15. Argomento lungo: lo studente espone una traccia e sceglie cosa dimostrare, oppure due studenti si dividono il lavoro.
- Decomposizione thick-thin di varieta' iperboliche. Capitolo 4 del libro.
- Teorema di Bieberbach (ogni varieta' piatta compatta e' rivestita da un toro). Capitolo 4 del libro.
- Classificazione delle varieta' di Seifert: Capitolo 10 del libro (si veda anche Matveev-Fomenko e/o Hatcher). L'argomento e' lungo: lo studente espone una traccia e sceglie cosa dimostrare, oppure due (o tre) studenti si dividono il lavoro.
- Geometrizzazione delle varieta' di Seifert: Capitolo 12 del libro. L'argomento e' lungo e a volte ripetitivo: lo studente espone una traccia e sceglie cosa dimostrare.
- Algoritmo di Haken per riconoscere il nodo banale (Fomenko-Matveev, capitolo 12).
- Lemma di Dehn (o loop theorem), Hatcher, Capitolo 3. Oppure il mio libro, Capitolo 9.4, Teorema 9.4.14.
- Teorema di Lickorish-Wallace (ogni 3-varieta' si ottiene come chirurgia intera su link): capitolo 11.3.5 del libro.
- Decomposizione JSJ (lungo tori), Capitolo 11.5 del libro.
- Classificazione degli spazi lenticolari. Teorema 10.1.12 del libro.
Gli anelli di Borromeo
Una 3-varieta' iperbolica vista dall'interno
(opera di Carlo Rocchini in licenza CC-BY-SA)
(opera di Carlo Rocchini in licenza CC-BY-SA)