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% Con due argomenti per ottenere l'opzione resize

\author{Teoria del grado (alcune dimostrazioni)}
\title{Geometria e topologia differenziale}
\date{}
\begin{document}
\maketitle

Queste note contengono alcuni fatti che non sono dimostrati pienamente nel libro di Milnor. Attenzione: le note non sono esaustive; molti argomenti fatti a lezione non sono descritti qui.

\paragraph{Proiezioni locali}
Dati $m\geqslant n$, consideriamo la proiezione $\pi\colon \matR^m \to \matR^n$ sulle prime coordinate:
$$\pi(x_1,\ldots, x_m) = (x_1, \ldots, x_n).$$
Sia $f\colon M \to N$ mappa liscia fra variet\`a senza bordo di dimensione $m\geqslant n$. Sia $x\in M$ un punto regolare per $f$ e $y=f(x)$ la sua immagine. La proposizione seguente dice che vicino ad $x$ la mappa $f$ \`e sempre una proiezione (su carte opportune):

\begin{prop}
Esistono due intorni aperti $U(x) \subset M$ e $V(y) \subset N$ di $x$ e $y$ e due diffeomorphismi 
$$F\colon U(x) \to \matR^m, \quad G\colon V(y) \to \matR^n$$
tali che $f(U(x)) = V(y)$ ed il diagramma seguente commuta:
$$
\xymatrix{ 
 U(x)\ar[r]^f \ar[d]_F & V(y) \ar[d]^G \\
 \matR^m \ar[r]_\pi & \matR^n
}
$$
\end{prop}
\begin{proof}
La dimostrazione \`e contenuta nella dimostrazione che la controimmagine di un valore regolare \`e una variet\`a.
\end{proof}

\paragraph{Variet\`a a bordo.} Indichiamo con $H^m \subset \matR^m$ il semispazio con ultima coordinata $x_m\geqslant 0$. Definiamo inoltre $\partial H^m = \{x_m=0\}$.

\begin{defn}
Un insieme $X\subset \matR^n$ \`e una \emph{$m$-variet\`a liscia con bordo} se ogni $x\in X$ ha un intorno aperto $U(x)$ in $\matR^n$ tale che $X\cap U$ sia diffeomorfo ad un aperto di $H^m$.
\end{defn}

Un punto $x\in X$ \`e \emph{di bordo} se corrisponde ad un punto di $\partial H^m$ tramite questi diffeomorfismi. I punti di bordo di $X$ vengono indicati con $\partial X$. I punti in $X\setminus \partial X$ si dicono \emph{interni}.

\begin{rem}[Pignoleria]
La definizione di punto di bordo \`e ben posta: non possono esistere due diffeomorfismi 
$$\varphi \colon X\cap U \longrightarrow V_1, \quad 
\psi \colon X\cap U \longrightarrow V_2$$
con $V_1, V_2$ aperti in $H^n$, tali che $\varphi(x) \in \partial H^n$ ma $\psi(x) \not\in \partial H^n$.

Se esistessero, la composizione $\varphi\circ \psi^{-1}\colon V_2 \to V_1$ fornirebbe localmente un diffeomorfismo fra un aperto ed un non-aperto di $\matR^n$. Questo \`e assurdo: per il teorema di invertibilit\`a locale la mappa $\varphi \circ \psi^{-1} \colon V_2 \to \matR^m$ \`e aperta. 
\end{rem}

\begin{prop}
Il bordo $\partial X$ \`e una $(m-1)$-variet\`a senza bordo.
\end{prop}
\begin{proof}
Poich\'e \`e una propriet\`a locale, basta dimostrarlo nel caso $X=H^m$, in cui $\partial H^m = \{x_m=0\}$ \`e un iperpiano (quindi una $(m-1)$-variet\`a).
\end{proof}

Vogliamo definire lo spazio tangente $T_xX$ per i punti di bordo $x\in \partial X$. Se definiamo $T_xX$ come classe di equivalenza di mappe $\alpha\colon (-\varepsilon , \varepsilon) \to X$ con $\alpha(0)=\varepsilon$ come fatto per le variet\`a senza bordo, otteniamo in realt\`a soltanto lo spazio tangente $T_x(\partial X)$ del bordo, che ha dimensione $m-1$. Per i nostri scopi \`e per\`o conveniente che lo spazio tangente $T_xX$ abbia sempre la stessa dimensione $m$ al variare di $x\in X$: definiamo quindi lo spazio tangente $T_xX$ come lo span lineare di tutti i vettori $\alpha'(0)$ al variare delle curve lisce $\alpha\colon [0,\varepsilon) \to X$. Guardando $H^m$ si capisce subito che se $x\in \partial X$ allora questi vettori formano un semispazio e generano quindi uno spazio di dimensione $m$.

\paragraph{Costruzioni}
Con questo lemma si costruiscono molti esempi.

\begin{lemma} \label{costruzione:lemma}
Sia $M$ una $n$-variet\`a senza bordo e $g\colon M \to \matR$ una funzione liscia. Se $0$ \`e valore regolare per $g$, allora il luogo dei punti $x \in M$ con $g(x)\geqslant 0$ \`e una $n$-variet\`a liscia, il cui bordo \`e precisamente $g^{-1}(0)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Sia $x$ tale che $g(x)\geqslant 0$. Se $g(x)>0$, allora esiste un intorno aperto $U(x)$ in cui $g(y) >0$ per ogni $y\in U(x)$. Quindi l'intorno $U(x)$ \`e interamente contenuto in $g^{-1}\big([0,+\infty)\big)$ e siamo a posto.

Se $g(x) = 0$, poich\'e $x$ \`e valore regolare, la mappa $g$ letta su carte opportune \`e localmente una proiezione $\pi\colon \matR^n \to \matR$:
$$\pi(x_1,\ldots, x_n) = x_1.$$
L'insieme $g^{-1} \big([0,+\infty)\big)$ \`e proprio il semispazio $H^n$ ed il bordo \`e proprio la controimmagine di $0$. 
\end{proof}


\paragraph{Controimmagini}

Sia $M$ una $m$-variet\`a con bordo e $N$ una $n$-variet\`a senza bordo, con $m>n$. 

\begin{lemma}
Sia $f\colon M \to N$ mappa liscia e $y \in N$ valore regolare sia per $f$ che per $f|_{\partial M}$. Allora l'insieme $f^{-1}(y)$ \`e una $(m-n)$-variet\`a con bordo. Il bordo $\partial f^{-1}(y)$ coincide con $f^{-1}(y)\cap \partial M$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Visto che la questione \`e locale, \`e sufficiente considerare il caso di una mappa $f\colon H^m \to \matR^n$.  Prendiamo $\bar x\in f^{-1}(y)$. Se $\bar x$ \`e un punto interno la dimostrazione funziona come nel caso senza bordo e mostra che $f^{-1}(y)$ vicino a $\bar x$ \`e una variet\`a (senza bordo).

Ci resta da considerare il caso $\bar x \in \partial H^m = \{x_m = 0\}$. Sia $g \colon U \to \matR$ una estensione liscia della mappa $f$, definita in un intorno $U$ di $\bar x$ in $\matR^n$. Sappiamo che $f$ \`e regolare in $x$, quindi anche $g$ lo \`e (hanno lo stesso differenziale in $x$). Poich\'e la regolarit\`a \`e una propriet\`a aperta, a meno di scegliere $U$ pi\`u piccolo possiamo supporre che $g$ sia ovunque regolare in $U$.

Per il teorema gi\`a visto nel caso senza bordo, la controimmagine $g^{-1}(y)$ \`e una $(m-n)$-variet\`a. Consideriamo adesso la proiezione sull'ultima coordinata:
$$\pi\colon (x_1,\ldots, x_m) \longmapsto x_m.$$
Notiamo che 
$$f^{-1}(y) \cap U = g^{-1}(y) \cap \pi^{-1}\big([0, +\infty)\big).$$
Se dimostriamo che la funzione $\pi|_{g^{-1}(y)}$ \`e regolare in $\bar x$ siamo a posto: a meno di sostituire $U$ con un aperto pi\`u piccolo, la funzione $\pi|_{g^{-1}(y)}$ \`e regolare su tutto $g^{-1}(y)$ e $0$ \`e un valore regolare. Il Lemma \ref{costruzione:lemma} applicato alla variet\`a $g^{-1}(y)$ e alla funzione $\pi|_{g^{-1}(y)}$ implica quindi che 
$$ f^{-1}(y)\cap U = \big(\pi|_{g^{-1}(y)}\big)^{-1} ([0, \infty)) $$
 \`e variet\`a con bordo, il cui bordo \`e precisamente $f^{-1}(y) \cap \partial H^m$.

Per dimostrare che $\pi|_{g^{-1}(y)}$ \`e regolare in $\bar x $ usiamo il fatto che $y$ \`e regolare anche per la restrizione
$$f|_{\partial H^m} \colon \partial H^m \longrightarrow \matR^n.$$
Questa mappa manda una $(m-1)$-variet\`a in una $n$-variet\`a: la regolarit\`a di $y$ implica quindi che $\ker d\big(f|_{\partial H^m}\big)_{\bar x}$ ha dimensione $(m-1)-n$. Notiamo che
\begin{align*}
\ker d\big( \pi |_{g^{-1}(y)})_{\bar x} & = \big(T_{\bar x}g^{-1}(y)\big) \cap \{x_n = 0\} \\
& = \ker dg_{\bar x} \cap \{x_n = 0\} \\
& = \ker df_{\bar x} \cap \{x_n = 0\} \\
& = \ker d\big(f|_{\partial H^m}\big)_{\bar x}.
\end{align*}
Quindi otteniamo
\begin{equation} \label{dim:eqn}
\dim \ker d\big( \pi |_{g^{-1}(y)})_{\bar x} = m-n-1.
\end{equation}
La mappa $\pi |_{g^{-1}(y)}$ manda una $(m-n)$-variet\`a in $\matR$. L'uguaglianza (\ref{dim:eqn}) implica che il suo differenziale in $\bar x$ \`e suriettivo e la mappa \`e regolare in $\bar x$.
\end{proof}

\paragraph{Funzioni a campana.} Per ogni $\varepsilon > 0$ esiste una \emph{funzione a campana}
$$\rho \colon \matR^n \longrightarrow \matR$$
liscia tale che $\rho(0)=1$, $\rho(x) < 1$ per ogni $x \neq 0$ e $\rho(x) = 0$ per ogni $\|x\| \geqslant \varepsilon $. Ad esempio per $n=1$ possiamo definire $\rho$ come la funzione che vale
$$\rho(x) = Ce^{-\frac 1{\varepsilon^2 - \|x\|^2}}$$
dentro l'intervallo aperto $|x| < \varepsilon$ ed \`e costantemente nulla fuori, con $C>0$ scelto in modo che $\rho(0)=1$, cio\`e $C=e^{\frac 1{\varepsilon^2}}$. Per $n$ generico \`e sufficiente definire 
$$\rho(x_1,\ldots, x_n) = \rho (nx_1) \cdots \rho(nx_n).$$
Notiamo infatti che se $\|x\| \geqslant \varepsilon $ allora esiste un indice $i$ tale che $|x_i| \geqslant \frac \varepsilon n$ e quindi $\rho(nx_i)=0$.

\paragraph{Omogeneit\`a.}
Indichiamo con $D\subset \matR^n$ il disco unitario 
$$D= \big\{x\ \big|\ \|x\| \leqslant 1\big\}.$$
In quanto segue tutte le isotopie sono supposte lisce.

\begin{lemma}[Omogeneit\`a locale]
Esiste un intorno $U\subset D$ dell'origine in $\matR^n$ per cui vale il fatto seguente: per ogni $p\in U$ esiste una isotopia di diffeomorfismi $h_t \colon \matR^n \to \matR^n$ tale che:
\begin{itemize}
\item $h_0(x) = x$ per ogni $x \in \matR^n$,
\item $h_1(0)=p$,
\item $h_t(x) = x$ per ogni $t\in [0,1]$ e ogni $\|x\| \geqslant 1$.
\end{itemize}
\end{lemma}
\begin{proof}[Dimostrazione]
Fissiamo una funzione liscia a campana $\rho\colon \matR \to \matR$ tale che $\rho(0)=1$ e $\rho(x) = 0$ per ogni $|x| \geqslant \frac 1 2$. La derivata $\rho'(x)$ si annulla fuori dal compatto $[-\frac 12, \frac 12]$, quindi ha un massimo globale $M>0$.

Svolgiamo prima il caso $n=1$. Definiamo $U$ come l'intervallo $U = (-\frac 1M, \frac 1M)$ e mostriamo che $U$ soddisfa la tesi del lemma. Dato un punto $p\in U$ qualsiasi definiamo la mappa $h_t\colon \matR \to \matR$ nel modo seguente:
$$h_t(x) = x+t\rho(x)p.$$ 
Otteniamo $h_0 = \id$, $h_1(0) = p$ e $h(x)=x$ per ogni $|x|\geqslant 1$. Inoltre notiamo che
$$h_t'(x) = 1+t\rho'(x) p > 0$$
per ogni $t\in [0,1]$ e ogni $x\in \matR$ perch\'e $|t\rho'(x)p| < 1\cdot M \cdot \frac 1M = 1$. La funzione liscia $h_t$ ha derivata ovunque positiva ed \`e suriettiva: quindi \`e un diffeomorfismo. Abbiamo concluso il caso $n=1$.

Estendiamo adesso il ragionamento al caso $n$ generico. Definiamo $U\subset \matR^n$ come il disco aperto $\|x\| < \frac 1{M}$ in $\matR^n$ e mostriamo che $U$ soddisfa la tesi del lemma. Per ogni punto $p \in U$, costruiamo un diffeomorfismo che manda $0$ in $p$ isotopo all'identit\`a. Scriviamo $\matR^n = \matR \times \matR^{n-1}$ e con una rotazione possiamo supporre $p = (p_1,0)$.

Fissiamo un'altra funzione a campana $\sigma\colon \matR^{n-1} \to \matR$ tale che $\sigma(0)=1$ e $\sigma(y)=0$ per ogni $\|y\| \geqslant \frac 12$.  Definiamo
$$h_t(x,y) = (x+t\sigma(y)\rho(x)p_1, y).$$
Otteniamo $h_0 = \id$, $h_1(0,0) = p$ e anche $h_t(x,y) = (x,y)$ per ogni $\|(x,y)\| \geqslant 1$, perch\'e quest'ultima condizione implica $\|x\| \geqslant \frac 12$ oppure $\|y\| \geqslant \frac 12$ e quindi $\sigma(y)\rho(x)=0$. La derivata parziale 
$$\frac{\partial h_t}{\partial x} =  1+t\sigma(y)\rho'(x)p_1$$
\`e sempre positiva perch\'e $|t\sigma(y)\rho'(x)z_1| < 1\cdot 1 \cdot M \cdot \frac 1M = 1$. Quindi $h_t$ induce un diffeomorfismo su ogni linea $y = $ costante. Quindi $h_t$ \`e una bigezione e resta da controllare che la sua inversa sia liscia. Il suo differenziale in $(x,y)\in \matR \times \matR^{n-1}$ \`e la matrice
$$\begin{pmatrix}
\phantom {\bigg|} 1+t\sigma(y)\rho'(x)z_1 & ? \\
\phantom {\bigg|} 0 & I_{n-1} 
\end{pmatrix}$$
che ha determinante non nullo ed \`e quindi invertibile. Dal teorema di invertibilit\`a locale segue che $f_t$ ha localmente una inversa liscia, quindi l'inversa di $f_t$ \`e ovunque liscia.
\end{proof}

\end{document}