- Richiami di topologia differenziale
- Introduzione alle 3-varieta'
- Superfici dentro a 3-varieta': superfici incompressibili, somma connessa, decomposizione lungo tori
- Esempi di 3-varieta': spazi lenticolari, varieta' di Seifert
- Geometrizzazione: le otto geometrie di Thurston in dimensione 3
Prerequisiti:
- Nozioni che lo studente deve conoscere bene per seguire il corso: gruppo fondamentale, rivestimenti, (corsi del secondo anno), varieta' differenziabile (istituzioni di geometria)
- Nozioni che useremo e che lo studente volenteroso puo' imparare durante il corso: omologia (topologia algebrica),
- Tutto il materiale presentato e' spiegato in un libro che sto scrivendo, che potete scaricare qui:
- Allan Hatcher, Notes on Basic 3-Manifold Topology.
- Matveev - Fomenko "Algorithmic and computer methods for three-manifolds" (in biblioteca)
Lezioni:
- Mercoledi' 14-16 in aula L,
- Giovedi' 14-16 in aula L.
Il registro delle lezioni e' consultabile qui
Esame: L'esame sara' orale e lo studente potra' scegliere se fare un esame classico sul programma o un seminario. Il seminario consistera' nella lettura ed esposizione di un articolo di ricerca. Elenchiamo una lista di argomenti consigliati.
Argomenti di geometria iperbolica:
- Decomposizione di Epstein-Penner: ogni 3-varieta' iperbolica con cuspidi di volume finito si ottiene come unione di alcuni poliedri ideali canonicamente determinati. Articolo: Epstein, D. B. A., Penner, R. C., Euclidean decompositions of noncompact hyperbolic manifolds, J. Differential Geom. 27 (1988), no. 1, 67-80.
- Teorema di rigidita' di Mostow, dal libro di Benedetti-Petronio o dalle mie note (il teorema e' lungo, lo studente espone una traccia e sceglie quali dimostrazioni approfondire, oppure due studenti si dividono il lavoro)
- Teorema del poliedro di Poincare', D. Epstein - C. Petronio, An exposition of Poincare's polyhedron theorem, Enseign. Math. (2), 40 (1994), 113-170.
- Classificazione delle varieta' di Seifert: capitolo 10 del libro (si veda anche Matveev-Fomenko, capitolo 10 e/o Hatcher). L'argomento e' lungo: lo studente espone una traccia e sceglie cosa dimostrare, oppure due studenti si dividono il lavoro.
- Algoritmo di Haken per riconoscere il nodo banale (Fomenko-Matveev, capitolo 12).
- Lemma di Dehn (o loop theorem), Hatcher, Capitolo 3.
- Teorema di Lickorish-Wallace (ogni 3-varieta' si ottiene come chirurgia intera su link): capitolo 11.3.5 del libro.
Gli anelli di Borromeo
Una 3-varieta' iperbolica vista dall'interno
(opera di Carlo Rocchini in licenza CC-BY-SA)
(opera di Carlo Rocchini in licenza CC-BY-SA)