- Richiami di geometria differenziale
- Modelli dello spazio iperbolico: disco e semispazio, iperboloide. Isometrie dello spazio iperbolico. Geodetiche, angoli. Curvatura.
- Varieta' a curvatura costante. Varieta' iperboliche. Azioni di gruppi e rivestimenti.
- Superfici iperboliche. Spazio di Teichmuller.
- Teorema di rigidita' di Mostow
- Lemma di Margulis
- 3-varieta' iperboliche. Volume. Dehn filling iperbolico. Geometrizzazione di Thurston.
Prerequisiti:
- Nozioni che lo studente deve conoscere bene per seguire il corso: Gruppo fondamentale, rivestimenti, geometria (proiettiva o complessa) della sfera di Riemann (corsi del secondo anno), varieta' differenziabile (istituzioni di geometria)
- Nozioni che useremo poco, e che lo studente volenteroso puo' imparare durante il corso: omologia (topologia algebrica),
- Note sul corso, nuova versione del 18 dicembre
- Benedetti, Petronio, "Lectures on hyperbolic geometry"
Lezioni:
- Lunedi' 16-18 in aula M1,
- Martedi' 11-13 in aula M1.
Il registro delle lezioni e' consultabile qui
Esercizi: Ogni tanto daro' un foglio di esercizi da fare a casa. Gli esercizi sono per voi uno stimolo a capire l'argomento: non siete obbligati a risolverli tutti e non influiscono sul voto finale.
Esame: Verranno proposti ogni due settimane degli esercizi da fare a casa. L'esame sara' quindi orale e lo studente potra' scegliere se fare un esame classico sul programma o un seminario. Il seminario consistera' nella lettura ed esposizione di un articolo di ricerca. Vi propongo gli argomenti seguenti:
- Decomposizione di Epstein-Penner: ogni varieta' con cuspidi di volume finito si ottiene come unione di alcuni poliedri ideali canonicamente determinati. Articolo: Epstein, D. B. A., Penner, R. C., Euclidean decompositions of noncompact hyperbolic manifolds, J. Differential Geom. 27 (1988), no. 1, 67-80.
- Teorema di rigidita' di Mostow, dal libro di Benedetti-Petronio o dalle mie note (il teorema e' lungo, lo studente espone una traccia e sceglie quali dimostrazioni approfondire, oppure due studenti si dividono il lavoro)
- Vari argomenti dal libro "A primer on mapping class groups" di Farb
e Margalit. Ad esempio:
- Informazioni sulle presentazioni del Mapping Class Group (capitoli 3/4/5)
- Il teorema di Dehn-Nielsen: Il MCG di una superficie e' isomorfo al gruppo degli automorfismi esterni del suo gruppo fondamentale (pag. 221)
- Spazio di Teichmuller: capitolo 9 oppure 10
- Il volume del complementare di un link alternante, di Marc Lackenby, qui
- Teorema del poliedro di Poincare', D. Epstein - C. Petronio, An exposition of Poincare's polyhedron theorem, Enseign. Math. (2), 40 (1994), 113-170.
- Un argomento a scelta dal libro "Fundamentals of Hyperbolic Manifolds" di Canary-Epstein-Marden, che rende piu' leggibili i capitoli 8 e 9 delle note di Thurston.
- William Thurston, Earthquakes in two-dimensional hyperbolic geometry, Low-dimensional topology and Kleinian groups (Coventry/Durham, 1984), 91-112, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 112, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1986.
- Teorema del circle packing: guardate la pagina di Wikipedia e l'abbondante biografia in fondo alla voce.
Una tassellazione del piano iperbolico
in triangoli con angoli interni π/2, π/5, π/5
(opera di Carlo Rocchini in licenza CC-BY-SA)
in triangoli con angoli interni π/2, π/5, π/5
(opera di Carlo Rocchini in licenza CC-BY-SA)
Una tassellazione dello spazio iperbolico
in dodecaedri regolari con angoli diedrali 2π/5
(opera di Carlo Rocchini in licenza CC-BY-SA)
in dodecaedri regolari con angoli diedrali 2π/5
(opera di Carlo Rocchini in licenza CC-BY-SA)