\documentclass {article}

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\newtheorem{esercizio}{Esercizio}

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% Con due argomenti per ottenere l'opzione resize

\author{Esercizi I}
\title{Geometria iperbolica}
\date{}
\begin{document}
\maketitle

\begin{esercizio}
Mostra che la mappa
$$f(z) = -\frac 1z$$
\`e una isometria del modello del semipiano $H^2$.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Mostra che una geodetica nel modello del disco $D^n$ uscente dall'origine con velocit\`a unitaria e direzione $x\in S^{n-1}$ \`e parametrizzata come
$$\gamma(t) = \left(\tanh \tfrac {\|x\|}2\right)\cdot x.$$
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Mostra che per ogni terna di numeri reali $\alpha, \beta, \gamma > 0$ con somma $\alpha+\beta+\gamma < \pi$ esiste un triangolo nel piano iperbolico $\matH^2$ con angoli interni $\alpha, \beta, \gamma$. Mostra che questo triangolo \`e unico a meno di isometrie di $\matH^2$.
\end{esercizio}



\end{document}