
\chapter{Teorema di rigidit\`a di Mostow}
Abbiamo definito nel Capitolo 2 lo spazio di Teichm\"uller $\Teich(\Sigma_g)$ di una superficie $\Sigma_g$ chiusa di genere $g\geqslant 2$ come lo spazio delle metriche iperboliche su $\Sigma_g$, viste a meno di isometrie isotope all'ident\`a; abbiamo quindi dimostrato che $\Teich(\Sigma_g)\isom \matR^{6g-6}$. 

La definizione di $\Teich(M)$ si applica ad ogni variet\`a differenziabile $M$: Lo scopo di questa sezione \`e mostrare che per ogni variet\`a iperbolica di dimensione $\geqslant 3$ lo spazio $\Teich(M)$ \`e un punto. Questo risultato molto forte, noto come \emph{teorema di rigidit\`a}, \`e stato dimostrato da Mostow nel 1968. Grazie a questo teorema, tutte le informazioni geometriche inerenti una variet\`a iperbolica $M$ di dimensione $\geqslant 3$ (volume, spettro delle geodetiche, etc.) dipendono in realt\`a soltanto dalla topologia di $M$. Nella versione pi\`u forte del teorema di Mostow, vedremo addirittura che dipendono solo dal gruppo fondamentale di $M$.

\section{Volumi di variet\`a iperboliche}

\subsection{Simplessi}
Ricordiamo che un \emph{simplesso} $\Delta$ in $\overline{\matH^n}$ \`e l'inviluppo convesso di $n+1$ punti $v_0,\ldots, v_n\in \overline{\matH^n}$. Il simplesso \`e:
\begin{itemize}
\item \emph{degenere} se gli $n+1$ punti sono contenuti nella chiusura di un iperpiano,
\item \emph{ideale} se gli $n+1$ punti sono tutti nel bordo $\partial \matH^n$,
\end{itemize}
Una \emph{$k$-faccia} di un simplesso non-degenere $\Delta$ \`e l'inviluppo convesso di $k+1$ vertici distinti di $\Delta$. Le $0$- e $1$-facce sono dette \emph{vertici} e \emph{spigoli}. Un vertice che giace in $\partial \matH^n$ \`e detto \emph{ideale}.

\begin{prop}
Un simplesso \`e degenere $\Leftrightarrow$ non ha parte interna $\Leftrightarrow$ ha volume nullo.
\end{prop}
\begin{proof}
Se un simplesso \`e degenere, allora non ha parte interna e non ha volume. D'altra parte, si pu\`o dimostrare per induzione sulla dimensione $n$ che se un simplesso non \`e degenere allora ha parte interna, e quindi volume positivo. Il passaggio induttivo funziona nel modo seguente: sia $v$ un vertice di $\Delta$ e $F$ la $(n-1)$-faccia opposta. Per ipotesi la faccia $F$ \`e contenuta in un unico iperpiano $H$ e ha parte interna. Poich\'e $v\not\in F$ segue facilmente che anche $\Delta$ ha parte interna.
\end{proof}

Notiamo che un simplesso \`e compatto se e solo se tutti i suoi vertici sono in $\matH^n$. Mostriamo che ogni simplesso ha volume finito: per quelli compatti \`e ovvio, per gli altri \`e conseguenza del fatto seguente.

\begin{prop} Sia $O$ una orosfera centrata in un punto $v\in \partial \matH^n$. Sia $D\subset O$ un insieme boreliano e $C$ il cono di $D$ su $v$, ovvero l'unione di tutte le semirette uscenti da $D$ dirette verso $v$ (si veda Fig.~\ref{volume:fig}). Vale la relazione seguente:
$$\Vol(C) = \frac {\Vol_O (D)}{n-1}$$
dove $\Vol_O$ indica il volume nella variet\`a $O$, isometrica a $\matR^{n-1}$.
\end{prop}
\begin{proof}
Consideriamo il modello del semispazio con $v$ all'infinito e $O$ ad altezza $h$ come in Fig.~\ref{volume:fig}-(sinistra). Otteniamo
$$\Vol(C) = \int_D dx \int_{h}^\infty \frac 1{t^{n}}dt = \frac 1{n-1}\int_D \frac{dx}{h^{n-1}} = \frac 1{n-1} \cdot \Vol_O(D).$$
\end{proof}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 12 cm] {volume.pdf} 
\nota{Nel modello del semispazio, un boreliano $D$ dentro ad una orosfera $O$ delimita una porzione di spazio $C$. In dimensione tre vale la formula $\Vol(C) = 2 \cdot \Area (D)$; in generale vale $\Vol(C) = (n-1)\cdot \Vol_O(D)$ dove $\Vol_O$ indica il volume nell'orosfera $O$, isometria ad $\matR^{n-1}$. Ne deduciamo che un simplesso $\Delta$ ha volume infinito: l'intersezione (in verde) di $\Delta$ con delle orosfere $O_i$ centrate nei vertici ideali $v_i$ ha infatti volume finito, e ci\`o che resta (in rosso) \`e compatto.}
\label{volume:fig}
\end{center}
\end{figure}
Applichiamo in particolare questa uguaglianza per ottenere in Fig.~\ref{volume:fig}-(destra) il risultato seguente. 
\begin{cor}
Un simplesso in $\overline{\matH^n}$ ha volume finito.
\end{cor}
%\begin{proof}
%Siano $v_0,\ldots, v_n$ i vertici del simplesso $\Delta$, dove supponiamo che solo i primi $k$ siano ideali, come in Fig.~\ref{volume:fig}-(destra). Sia $O_i$ una piccola orosfera centrata in $v_i$, bordo di una oropalla $B_i$ per ogni $i=1,\ldots,k$. Otteniamo
%$$\Vol(B_i\cap \Delta) = \frac{\Vol_{O_i}(O_i\cap \Delta)}{n-1}<\infty.$$
%Il volume di $O_i\cap \Delta$ in $O_i$ \`e effettivamente finito perch\'e $O_i\cap\Delta$ \`e compatto. D'altra parte anche
%$$\Delta \setminus (B_1\cup\ldots \cup B_k)$$
%\`e compatto e quindi $\Delta$ ha volume finito.
%\end{proof}
Definiamo $v_n$ come il sup dei volumi di tutti i simplessi in $\matH^n$:
$$v_n = \sup\big\{\Vol(\Delta)\ \big|\ \Delta \subset \overline{\matH^n}\big\}.$$
\`E abbastanza facile vedere che $v_n<+\infty$. Il risultato seguente \`e meno banale. Ricordiamo che nella Sezione \ref{simplessi:subsection} del Capitolo \ref{singolarita:chapter} abbiamo definito per ogni $t\in [-\infty, 0)$ un simplesso \emph{regolare} $\Delta(t) \subset \matH^n$, che \`e \emph{ideale} per $t=-\infty$.

\begin{teo} \label{max:teo}
Un simplesso $\Delta$ ha volume $v_n$ se e solo se $\Delta$ \`e ideale e regolare.
\end{teo}
I simplessi ideali regolari sono quindi i simplessi con volume massimo. In dimensione $n=2$ il teorema \`e semplice da dimostrare: l'area di un triangolo con angoli interni $\alpha,\beta,\gamma$ \`e $\pi-(\alpha+\beta+\gamma)$, ed \`e massima precisamente quando $\alpha=\beta=\gamma=0$, cio\`e quando il triangolo \`e ideale; d'altra parte, tutti i triangoli ideali sono isometrici e sono quindi regolari. In dimensione $n$ il simplesso di volume massimo \`e comunque chiaramente ideale:
\begin{prop}
Se $\Delta$ \`e un simplesso non ideale, esiste un simplesso ideale $\Delta' \supset \Delta$ con $\Vol(\Delta')>\Vol(\Delta)$.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $x\in \matH^n$ un punto qualsiasi contenuto in $\Delta$ ma distinto dai vertici $v_0,\ldots, v_n$. La semiretta $s_i$ uscente da $x$ e passante per $v_i$ tende ad un punto all'infinito $w_i\in\partial \matH^n$. Definiamo quindi $\Delta'$ come inviluppo convesso dei punti $w_0,\ldots, w_n$. Il simplesso $\Delta'$ contiene $\Delta$, perch\'e contiene $x$ e $w_i$, quindi contiene la semiretta $s_i$ ed in particolare $v_i$ per ogni $i$. Per ipotesi almeno uno dei vertici $v_i$ non \`e ideale, e quindi $w_i\not\in\Delta$: quindi $\Delta'$ contiene $\Delta$ strettamente e quindi ha volume maggiore.
\end{proof}
In dimensione $n\geqslant 3$ i simplessi ideali per\`o non sono tutti isometrici: abbiamo gi\`a visto ad esempio che per $n=3$ questi possono essere parametrizzati da un numero complesso $z$. Dimostreremo il Teorema \ref{max:teo} solo in dimensione $n=3$.

\subsection{Volumi di tetraedri ideali}
Esprimeremo il volume di un tetraedro ideale usando una particolare funzione.
\begin{defn}
La \emph{funzione di Lobachevsky} \`e la funzione
$$\Lambda(\theta) = -\int_0^\theta \log |2\sin t| dt.$$
\end{defn}
\appunto{Mettere grafico della funzione.}
La funzione $\log |2\sin t|$ vale $-\infty$ in $\pi\matZ$, ma \`e comunque integrabile. Quindi $\Lambda$ \`e ben definita su tutto $\matR$, \`e continua e le sue prime due derivate sono ovviamente
$$\Lambda'(\theta) = -\log |2\sin \theta |, \qquad \Lambda''(\theta) = -\cot \theta.$$
La funzione $\Lambda$ ha derivata $+\infty$ nei punti $\pi\matZ$. \`E inoltre una funzione dispari, perch\'e \`e integrale di una funzione pari.

\begin{prop} \label{Loba:prop}
La funzione $\Lambda$ \`e $\pi$-periodica. Vale $\Lambda (0) = \Lambda \left(\frac \pi 2 \right) = \Lambda (\pi) = 0$. La funzione $\Lambda$ \`e strettamente positiva in $\left(0,\frac \pi 2 \right)$, strettamente negativa in $\left(\frac \pi 2, \pi\right)$, ed ha massimo e minimo assoluti in $\frac 16 \pi$ e $\frac 56 \pi$.
Vale inoltre per ogni $m\in \matN$ l'uguaglianza
$$\Lambda(m\theta) = m \sum_{k=0}^{m-1} \Lambda\left(\theta + \frac{k\pi}m\right).$$
\end{prop}
\begin{proof}
Proviamo a dimostrare l'uguaglianza per $m=2$:
\begin{align*}
\frac{\Lambda(2\theta)}2 & = -\frac 12\int_0^{2\theta} \log |2\sin t|dt = - \int_0^\theta \log |2\sin 2t| dt \\
 & = - \int_0^\theta \log |2\sin t| dt - \int_0^\theta \log \left|2\sin \left(t+\frac \pi 2 \right) \right| dt \\
 & = \Lambda(\theta) - \int_{\frac \pi 2}^{\frac \pi 2 + \theta} \log |2 \sin t| dt \\
  & = \Lambda(\theta) + \Lambda\left(\theta + \frac \pi 2 \right) - \Lambda \left(\frac \pi 2 \right).
\end{align*}
Ponendo $\theta = \frac \pi 2$ si ottiene $\Lambda(\pi)=0$. Poich\'e la derivata $\Lambda'$ \`e $\pi$-periodica e $\Lambda(\pi)=0$, ne segue che anche $\Lambda$ \`e $\pi$-periodica. Poich\'e $\Lambda$ \`e $\pi$-periodica e dispari, vale $\Lambda \left(\frac \pi 2 \right) = 0$. Cos\`\i\ abbiamo anche dimostrato la formula per $m=2$. 

Per dimostrare la formula per $m$ generico usiamo una generalizzazione della formula di duplicazione del seno. Usando l'uguaglianza
$$z^m - 1 = \prod_{k=0}^{m-1} \left(z-e^{-\frac {2\pi ik}m}\right)$$
si deduce facilmente la formula
$$2\sin(mt) = \prod_{k=0}^{m-1} 2\sin \left(t+\frac{k\pi}m\right)$$
e quindi
\begin{align*}
\frac{\Lambda(m\theta)}m & = -\frac 1m \int_0^{m\theta} \log | 2\sin t| dt = - \int_0^\theta \log | 2 \sin (mt)| dt  \\
 & = - \sum_{k=0}^{m-1} \int_0^\theta \log \left|2 \sin \left( t + \frac {k \pi}m \right) \right| dt \\
 & = - \sum_{k=0}^{m-1} \left( \int_0^{\theta + \frac{k\pi}m} \log |2 \sin t| dt - \int_0^{\frac {k\pi}m} \log | 2\sin t | dt \right) \\
 & = - \sum_{k=0}^{m-1} \Lambda \left(\theta + \frac{k\pi}m \right) + C(m)
 \end{align*}
dove $C(m)$ \`e una costante che non dipende da $\theta$. Integrando entrambi i membri dell'equazione si ottiene
$$\frac 1m \int_0^\pi \Lambda(m\theta) = -\sum_{k=0}^{m-1}\int_0^\pi \Lambda\left(\theta + \frac{k\pi}m \right) + C(m)\pi.$$
Poich\'e $\Lambda$ \`e dispari e $\pi$-periodica, vale per\`o
$$\int_0^\pi \Lambda (m\theta) = 0$$
per ogni intero $m$. Quindi $C(m)=0$ e la formula nell'enunciato \`e dimostrata per ogni $m$. Notiamo infine che $\Lambda''(\theta) = -\cot \theta $ \`e strettamente negativa in $(0,\frac \pi 2)$ e strettamente positiva in $(\frac \pi 2, \pi)$, quindi $\Lambda$ \`e strettamente positiva in $(0, \frac \pi 2)$ e strettamente negativa in $(\frac \pi 2, \pi)$.
\end{proof}

Ricordiamo che un tetraedro ideale \`e determinato a meno di isometria dalla terna di numeri complessi
$$\left\{z, \frac{z-1}z, \frac 1{1-z} \right\}$$
i cui argomenti $\alpha, \beta, \gamma$ sono gli angoli diedrali come in Fig.~\ref{Loba:fig}; vale la relazione $\alpha+\beta+\gamma = \pi$. Quindi un tetraedro ideale \`e determinato a meno di isometria dalla terna di angoli $\{\alpha,\beta,\gamma\}$ con somma $\pi$. La terna che corrisponde al tetraedro ideale regolare \`e quella in cui gli angoli sono uguali, e cio\`e $\left\{\frac \pi 3, \frac \pi 3, \frac \pi 3\right\}$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10 cm] {Loba.pdf} 
\nota{Gli angoli diedrali $\alpha, \beta, \gamma$ di un tetraedro ideale. Spigoli opposti hanno angoli diedrali uguali, e inoltre $\alpha+\beta+\gamma = \pi$.}
\label{Loba:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{teo} Sia $\Delta$ un tetraedro ideale con angoli diedrali $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$. Vale
$$\Vol(\Delta) = \Lambda(\alpha) + \Lambda(\beta) + \Lambda(\gamma).$$
\end{teo}
\begin{proof}
Rappresentiamo $\Delta$ nel modello del semispazio con un vertice $v_0$ all'infinito e gli altri tre $v_1,v_2,v_3$ in $\matC$. Sia $C$ la circonferenza che contiene i tre vertici $v_1$, $v_2$ e $v_3$. A meno di trasformazioni in $\PSLC$ possiamo supporre che $C$ abbia centro l'origine e raggio unitario. Il triangolo $T\subset\matC$ con vertici $v_1$, $v_2$ e $v_3$ ha angoli interni $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$. Supponiamo inizialmente che $0\in T$, cio\`e che $\alpha, \beta, \gamma \leqslant \frac \pi 2$. 

Decomponiamo $T$ in sei triangoli rettangoli come in Fig.~\ref{Loba:fig}, a coppie isometrici. Il tetraedro $\Delta$ si decompone in modo corrispondente in sei tetraedri, a coppie isometrici, ciascuno posizionato sopra ad uno dei sei triangoli nel semispazio. Mostriamo che il tetraedro $\Delta_\alpha$ corrispondente al triangolo colorato in giallo in Fig.~\ref{Loba:fig} ha volume $\frac{\Lambda(\alpha)}2$: sommando quindi i contributi dei sei tetraedri si ottiene il teorema.

Il tetraedro corrispondente al triangolo colorato \`e intersezione di quattro semispazi: tre semispazi verticali determinati dagli iperpiani $y=0$, $x=\cos\alpha$ e $y=x\tan\alpha$ ed il semispazio bordato dall'iperpiano iperbolico con bordo $C$, cio\`e la semisfera $z^2 = x^2+y^2$. Quindi

\begin{align*}
\Vol(\Delta_\alpha) & = \int_0^{\cos\alpha} dx \int_0^{x\tan \alpha} dy \int_{\sqrt{1-x^2-y^2}}^\infty \frac 1{z^3} dz \\
& = \int_0^{\cos\alpha} dx \int_0^{x\tan \alpha} dy \left[- \frac 1{2z^2} \right]_{\sqrt{1-x^2-y^2}}^\infty \\
& = \frac 12 \int_0^{\cos \alpha}dx \int_0^{x\tan\alpha}\frac 1{1-x^2-y^2}dy. 
\end{align*}
Per risolvere questo integrale usiamo la relazione
$$\frac 1{1-x^2-y^2} = \frac 1{2\sqrt{1-x^2}} \left(\frac 1{\sqrt{1-x^2}-y} + \frac 1{\sqrt{1-x^2}+y}\right)$$
e quindi
\begin{align*}
\Vol(\Delta_\alpha) & = \frac 14\int_0^{\cos\alpha} \!\!\!\!\!\! \frac {dx}{\sqrt{1-x^2}} 
\left(\left[-\log(\sqrt{1-x^2}-y)\right]_0^{x\tan \alpha} \!\!\!\!\! + \left[\log(\sqrt{1-x^2}+y)\right]_0^{x\tan\alpha}\right) \\
 & = \frac 14 \int_0^{\cos\alpha} \!\!\!\!\! \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}
 \left(-\log(\sqrt{1-x^2}-x\tan\alpha)+\log(\sqrt{1-x^2}+x\tan\alpha)\right).
 \end{align*}
Cambiando $x=\cos t$ e quindi $dx = -\sin t \, dt$ otteniamo 
\begin{align*} 
\Vol(\Delta_\alpha)  & = \frac 14 \int_{\frac\pi 2}^\alpha \frac{-\sin t}{\sin t} 
\left(-\log \frac{\sin t\cos\alpha - \cos t\sin \alpha}{\sin t \cos\alpha + \cos t \sin \alpha} \right) dt \\
 & = - \frac 14 \int_{\frac \pi 2}^\alpha \log \frac{\sin(t+\alpha)}{\sin(t-\alpha)}dt
 = - \frac 14 \int_{\frac \pi 2}^\alpha \log \frac{|2\sin(t+\alpha)|}{|2\sin(t-\alpha)|}dt \\
 & = \frac 14 \int_{2\alpha}^{\frac \pi 2+\alpha} \log | 2\sin t|dt - \frac 14 \int_0^{\frac \pi 2-\alpha} \log |2\sin t|dt \\
& = \frac 14\left(-\Lambda\left(\frac \pi 2 + \alpha \right) + \Lambda(2\alpha) + \Lambda\left(\frac \pi 2 - \alpha\right) \right) \\
& = \frac 14 \left(-\Lambda \left(\frac \pi 2 + \alpha \right) +2 \Lambda(\alpha) +2\Lambda\left(\frac \pi 2 + \alpha\right) - \Lambda\left(\frac \pi 2 + \alpha\right) \right) = \frac 12 \Lambda(\alpha)
\end{align*}
usando la Proposizione \ref{Loba:prop} nel penultimo passaggio.

Se $0\not \in T$ il triangolo $T$ pu\`o comunque essere decomposto in triangoli rettangoli, alcuni dei quali contribuiscono negativamente al volume e si ottiene la stessa formula.
\end{proof}
Otteniamo come corollario il Teorema \ref{max:teo} in dimensione $n=3$.
\begin{cor}
Un tetraedro ideale ha volume $v_3$ se e solo se \`e ideale e regolare.
\end{cor}
\begin{proof}
Consideriamo il triangolo $T = \{0\leqslant \alpha, \beta, \alpha+\beta \leqslant \pi\}$ e la funzione continua $f\colon T \to \matR$ seguente:
$$f\colon (\alpha, \beta) \longmapsto \Lambda(\alpha) + \Lambda(\beta) + \Lambda(\pi-\alpha-\beta).$$
Su $\partial T$ la funzione $f$ \`e nulla, mentre nei punti interni $f(\alpha,\beta)$ \`e strettamente positiva perch\'e coincide con il volume del tetraedro ideale con angoli diedrali $\alpha, \beta, \gamma = \pi-\alpha-\beta$. Quindi $f$ ha almeno un punto di massimo $(\alpha,\beta)$ all'interno di $T$. Inoltre $f$ \`e differenziabile all'interno di $T$, quindi sul punto di massimo deve annullarsi il gradiente:
$$
\nabla f = \begin{pmatrix}
\Lambda'(\alpha) - \Lambda'(\pi - \alpha-\beta) \\ \Lambda'(\beta) - \Lambda'(\pi-\alpha-\beta) 
\end{pmatrix}
 =
\begin{pmatrix}
-\log |2\sin \alpha| + \log |2\sin (\pi-\alpha-\beta)| \\ 
-\log |2\sin \beta| + \log |2\sin (\pi-\alpha-\beta) \big)
\end{pmatrix}
$$
e questo accade se e solo se $\sin\alpha = \sin (\pi-\alpha-\beta) = \sin \beta$, cio\`e se e solo se il tetraedro ha tutti gli angoli diedrali uguali a $\frac \pi 3$, cio\`e se e solo se \`e regolare.
\end{proof}

\subsection{Volume simpliciale}
Gromov ha introdotto negli anni 70 una misura di ``volume'' di una variet\`a chiusa $M$ che fa uso soltanto dell'omologia di $M$, e non fa uso di eventuali strutture riemanniane o perfino differenziabili su $M$. Vedremo poi che sorprendentemente questa nozione di volume coincide (a meno di un fattore) con quella riemanniana quando $M$ \`e iperbolica.

Sia $X$ uno spazio topologico e $A$ un anello. Ricordiamo che un \emph{$k$-simplesso singolare} \`e una mappa $\alpha\colon \Delta_k \to X$ continua dal simplesso standard $k$-dimensionale $\Delta_k$ in $X$. Una \emph{$k$-catena} \`e una combinazione lineare astratta 
$$\lambda_1\alpha_1+\ldots +\lambda_h\alpha_h$$
di $k$-simplessi singolari $\alpha_1,\ldots,\alpha_h$ a coefficienti $\lambda_1,\ldots,\lambda_h \in A$. L'insieme $C_k(X,A)$ delle $k$-catene \`e un $A$-modulo. \`E definita inoltre una mappa di bordo $\partial_k\colon C_k(X,A) \to C_{k-1}(X,A)$ lineare tale che $\partial_{k-1}\circ \partial_k=0$. I \emph{cicli} e i \emph{bordi} sono definiti rispettivamente come i sottomoduli 
$$Z_k(X,A) = \ker \partial_k, \quad  B_k(X,A) = \img \partial_{k+1}.$$
I bordi sono un sottomodulo dei cicli e si definisce infine il $k$-esimo \emph{gruppo di omologia} come il quoziente
$$H_k(X,A) = Z_k(X,A)/_{B_k(X,A)}.$$
Consideriamo ora il caso $A=\matR$. Possiamo definire la \emph{norma} di un ciclo $\alpha = \lambda_1\alpha_1+\ldots +\lambda_h\alpha_h$ nel modo seguente:
$$|\alpha| = |\lambda_1|+\ldots +|\lambda_h|.$$

\begin{defn} La \emph{norma} di una classe $a \in H_k(X,\matR)$ \`e il limite inferiore delle norme dei suoi rappresentanti: 
$$|a| = \inf \big\{|\alpha| \ \big|\ \alpha \in Z_k(X,\matR), [\alpha] = a \big\}.$$
\end{defn}

Ricordiamo che una \emph{seminorma} su uno spazio vettoriale reale $V$ \`e una mappa $|\cdot|\colon V \to \matR_{\geqslant 0}$ tale che
\begin{itemize}
\item $|\lambda v| = |\lambda||v|$ per ogni scalare $\lambda\in \matR$ e vettore $v\in V$,
\item $|v+w| \leqslant |v|+|w|$ per ogni coppia di vettori $v,w \in V$.
\end{itemize}
Una \emph{norma} \`e generalmente definita come una seminorma in cui l'unico vettore $v$ con $|v|=0$ \`e il vettore nullo. Il fatto seguente si dimostra immediatamente.

\begin{prop} La norma $|\cdot |$ appena definita induce una seminorma sullo spazio vettoriale $H_k(X,\matR)$.
\end{prop}

Sia adesso $M$ una variet\`a chiusa connessa orientata. Sappiamo in questo caso che $H_n(M,\matZ)\isom \matZ$ e l'orientazione di $M$ determina uno dei due generatori di $H_n(M,\matZ)$; questo generatore \`e detto \emph{classe fondamentale} ed \`e indicato con $[M]$. Inoltre $H_n(M,\matR)\isom \matR$ ed esiste una naturale inclusione (dovuta ad esempio al teorema dei coefficienti universali) 
$$\matZ \isom H_n(M,\matZ) \hookrightarrow H_n(M,\matR) \isom \matR$$
quindi la classe fondamentale $[M]$ \`e anche un elemento di $H_n(M,\matR)$ ed ha quindi una determinata norma. 
\begin{defn} Il \emph{volume simpliciale} $\|M\|\in\matR_{\geqslant 0}$ di una variet\`a chiusa orientata $M$ \`e la norma della sua classe fondamentale:
$$\|M\| = |[M]|$$
\end{defn}
Poich\'e $|[M]| = |-[M]|$ il volume simpliciale in realt\`a non dipende dall'orientazione di $M$. 
La definizione di $\|M\|$, relativamente semplice, porta subito a risultati non banali.

Ricordiamo che una mappa continua $f\colon X\to Y$ fra spazi topologici induce un omomorfismo $f_*\colon H_k(X,A)\to H_k(Y,A)$ fra i $k$-esimi gruppi di omologia. Una mappa continua $f\colon M \to N$ fra variet\`a chiuse e orientate induce quindi un omomorfismo $f_*\colon H_n(M,\matZ) \to H_n(N,\matZ)$ che manda necessariamente la classe fondamentale $[M]$ in un multiplo della classe fondamentale $[N]$. Il \emph{grado} di $f$ \`e definito proprio come questo multiplo, cio\`e come l'unico intero $\deg f$ per cui
$$f_*([M]) = \deg f \cdot [N].$$

\begin{prop} \label{grado:prop}
Sia $f\colon M\to N$ una mappa continua fra variet\`a chiuse orientate. Vale la disuguaglianza
$$\|M\| \geqslant |\deg f| \cdot \|N\|.$$
\end{prop}
\begin{proof}
Ogni descrizione di $[M]$ come ciclo $\lambda_1\alpha_1+\ldots \lambda_h\alpha_h$ induce una descrizione di $f_*([M]) = \deg f[M]$ come ciclo $\lambda_1f\circ\alpha_1+\ldots \lambda_hf\circ\alpha_h$, avente la stessa norma. 
\end{proof}

\begin{cor}
Se $M$ e $N$ sono due variet\`a chiuse orientabili omotopicamente equivalenti della stessa dimensione allora $\|M\|=\|N\|$.
\end{cor}
\begin{proof}
Una equivalenza omotopica \`e il dato di due mappe $f\colon M\to N$ e $g\colon N \to M$ le cui composizioni siano entrambe omotope all'identit\`a. In particolare sia $f$ che $g$ hanno grado $\pm 1$.
\end{proof}

\begin{cor}
Se $M$ ammette una mappa continua $f\colon M \to M$ con grado $\geqslant 2$ allora $\|M\| = 0$.
\end{cor}
\begin{cor}
Una sfera $S^n$ ha norma zero. Pi\`u in generale vale $\|M\times S^n\|=0$ per ogni $M$ e ogni $n\geqslant 1$.
\end{cor}
\begin{proof}
Una sfera $S^n$ ammette mappe in s\'e di grado arbitrariamente alto, e queste mappe si estendono banalmente a $M\times S^n$.
\end{proof}
Fra le superfici orientabili, la sfera $S^2$ ed il toro $S^1\times S^1$ hanno quindi entrambe volume simpliciale nullo. Vedremo successivamente che tutte le altre superfici chiuse orientabili hanno per\`o volume simpliciale positivo. Nel caso in cui la mappa continua sia un rivestimento, la disuguaglianza della Proposizione
\ref{grado:prop} diventa un'uguaglianza.

\begin{prop}
Se $f\colon M \to N$ \`e un rivestimento di grado $d$ allora
$$\|M\| = d \cdot \|N \|.$$
\end{prop}
\begin{proof}
Innanzitutto ricordiamo che il grado $d$ di un rivestimento $f$ coincide con il grado di $f$ come mappa definito sopra.
Sappiamo gi\`a che $\|M\|\geqslant d\cdot \|N\|$ perch\'e un ciclo in $M$ pu\`o essere trasportato in $N$
tramite $f$. Nei rivestimenti i cicli per\`o anche essere riportati indietro tramite $f$: sia $\alpha = \lambda_1\alpha_1+\ldots +\lambda_h\alpha_h$ un ciclo in $N$ che rappresenta $[N]$; ogni $\alpha_i$ \`e una mappa $\Delta_n\to N$. Poich\'e $\Delta_n$ \`e semplicemente connesso, la mappa $\alpha_i$ si solleva a $d$ mappe distinte $\alpha_i^1,\ldots, \alpha_i^d\colon \Delta_n\to N$ tali che $\alpha_i = f\circ\alpha_i^j$. Si vede facilmente che $\tilde\alpha = \sum_{ij} \lambda_i\alpha_i^j$ \`e un ciclo in $M$ e che $f_*(\tilde \alpha) = d\alpha$. Quindi $\|M\|\leqslant d\cdot \|N\|$.
\end{proof}

\subsection{Misure di Haar}
Introduciamo un importante nozione legata ai gruppi di Lie che ci sar\`a utile in seguito. Ricordiamo che una \emph{$\sigma$-algebra} $\mathcal F$ su un insieme $X$ \`e una collezione di sottoinsiemi di $X$ (che include $X$ stesso) chiusa rispetto all'unione numerabile e al passaggio al complementare; una \emph{misura} su $\mathcal F$ \`e quindi una funzione $\mu\colon \mathcal F \to [0,+\infty]$ che sia additiva su qualsiasi collezione numerabile di sottoinsiemi disgiunti. L'\emph{algebra di Borel} di uno spazio topologico $X$ \`e la pi\`u piccola $\sigma$-algebra che contiene gli aperti di $X$, ed una \emph{misura boreliana} su $X$ \`e una misura definita sull'algebra di Borel di $X$.

\begin{defn}
Sia $G$ un gruppo di Lie. Una \emph{misura di Haar invariante a sinistra} su $G$ \`e una misura boreliana $\mu$ su $G$ tale che
\begin{itemize}
\item $\mu(A) =\mu (gA)$ per ogni boreliano $A\subset G$ e per ogni $g\in G$,
\item $\mu(A)>0$ per ogni aperto $A$ non vuoto,
\item $\mu(A)<+\infty$ per ogni compatto $A$.
\end{itemize}
\end{defn}

\begin{teo} Un gruppo di Lie $G$ ha una misura di Haar invariante a sinistra e questa \`e unica a meno di riscalamento.
\end{teo}

Analogamente si definisce una misura di Haar invariante a destra ed anche questa \`e unica a meno di riscalamento. Non \`e detto per\`o che la misura invariante a destra sia anche invariante a sinistra: se accade questo fenomeno il gruppo di Lie $G$ \`e detto \emph{unimodulare}.

Sia $\mu$ una misura invariante a destra e $g\in G$ un elemento. \`E facile verificare che anche la misura $\mu^g(A) = \mu(g^{-1}A)$ \`e invariante a destra; per l'unicit\`a a meno di riscalamento deve esistere un numero reale positivo $\lambda_g$ tale che $\mu^g = \lambda_g\mu$. La mappa
$g \mapsto \lambda_g$ \`e un omomorfismo continuo da $G$ nel gruppo moltiplicativo $\matR_{>0}$, detta \emph{funzione modulare}. Il gruppo $G$ \`e quindi unimodulare se e solo se la funzione modulare \`e banale.

Ricordiamo che un gruppo $G$ non banale \`e \emph{semplice} se non ha sottogruppi normali oltre a $G$ e al sottogruppo banale. Nella teoria dei gruppi di Lie si aggiungono generalmente a questa definizione delle condizioni topologiche di connessione e algebriche di non-abelianit\`a:
\begin{defn} Un gruppo di Lie $G$ \`e \emph{semplice} se \`e connesso, non abeliano e non possiede sottogruppi normali connessi oltre a $G$ e al sottogruppo banale.
\end{defn}

\begin{prop}
Il gruppo di Lie $\Isomet^+(\matH^n)$ \`e semplice.
\end{prop}
\appunto{Mettere dimostrazione.}

\begin{prop}
I gruppi di Lie compatti, abeliani, discreti o semplici sono unimodulari.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $\lambda\colon G \to \matR_{>0}$ la funzione modulare di $G$. Se $G$ \`e compatto l'immagine di $G$ \`e un sottogruppo compatto di $\matR_{>0}$, e quindi \`e il sottogruppo banale $\{1\}$. Se $G$ \`e semplice, il sottogruppo normale $\ker \lambda$ \`e banale o \`e tutto $G$. Nel primo caso $G\isom\matR_{>0}$, che \`e escluso perch\'e abeliano, mentre nel secondo caso $\lambda$ \`e banale. Se $G$ \`e abeliano \`e ovvio che una misura invariante a sinistra lo sia anche a destra. Se $G$ \`e discreto ogni singoletto ha necessariamente la stessa misura, che \`e quindi invariante sia a sinistra che a destra.
\end{proof}
\begin{cor} I gruppi di isometrie $\Isomet (S^n)$ e $\Isomet (\matH^n)$ sono unimodulari.
\end{cor}
\begin{proof}
Il gruppo $\Isomet(S^n)$ \`e compatto. Il gruppo $\Isomet(\matH^n)$ contiene un sottogruppo semplice di indice due, quindi la funzione unimodulare ha immagine finita, quindi banale.
\end{proof}

\begin{example}
Il gruppo ${\rm Aff}(\matR)=\{x\mapsto ax+b\ |\ a\in\matR^*, b\in\matR\}$ delle trasformazioni affini di $\matR$ non \`e unimodulare.
\end{example}

\begin{oss} \label{Haar:oss}
Una misura di Haar per $\Iso(\matH^n)$ pu\`o essere costruita nel modo seguente. Sia $x\in \matH^n$ un punto fissato qualsiasi. Definiamo la misura di un boreliano $A\subset \Iso(\matH^n)$ come la misura dell'insieme $A(x) = \cup_{f\in A} f(x)$. Questa misura \`e invariante a sinistra, ed \`e quindi anche invariante a destra perch\'e $\Iso(\matH^n)$ \`e unimodulare: in particolare, non dipende dalla scelta del punto $x$.
\end{oss}

\subsection{Volume simpliciale e volume iperbolico}
Nelle prossime pagine dimostreremo il teorema seguente. 
\begin{teo} \label{Gromov:teo}
Sia $M$ una variet\`a iperbolica chiusa. Vale l'uguaglianza
$$\Vol(M) = v_n\|M\|.$$
\end{teo}
Il teorema \`e utile innanzitutto perch\'e ci fornisce i primi esempi di variet\`a con volume simpliciale strettamente positivo. Inoltre il teorema implica che il volume di una variet\`a iperbolica $M$ \`e un \emph{invariante topologico}, si tratta cio\`e di un numero che non dipende dalla particolare metrica iperbolica scelta per $M$. Se $M$ \`e una superficie questo fatto non sorprende, perch\'e per il Teorema di Gauss-Bonnet il volume di $M$ dipende effettivamente soltanto dalla caratteristica di Eulero $\chi(M)$ di $M$. Per le variet\`a iperboliche di dimensione $n\geqslant 3$, questo risultato \`e un primo passo verso il pi\`u forte Teorema di rigidit\`a di Mostow, che sostiene che $M$ ha al pi\`u un'unica metrica iperbolica (che dimostreremo nella prossima sezione).

Per quanto riguarda la dimostrazione, notiamo subito un fatto: entrambe le quantit\`a $\Vol(M)$ e $\|M\|$ vengono moltiplicate per $d$ se sostituiamo $M$ con un suo rivestimento $\widetilde M$ di grado $d$. In particolare, a meno di sostituire $M$ con il suo rivestimento orientante (di grado due), possiamo supporre da subito che $M$ sia orientata.

\subsection{Raddrizzamento dei cicli}
Per dimostrare il Teorema \ref{Gromov:teo} studiamo la classe fondamentale $[M]\in H_n(M,\matR)$ di una variet\`a iperbolica chiusa $M$. La classe $[M]$ \`e rappresentata da un ciclo
$$\alpha = \lambda_1\alpha_1+\ldots + \lambda_h\alpha_h$$
dove $\alpha_i$ \`e un simplesso singolare $\Delta_n \to M$. Mostriamo innanzitutto come il ciclo possa essere \emph{raddrizzato}. Il raddrizzamento \`e una operazione utile definita per ogni $k$-ciclo in $M$.

Definiamo innanzitutto il raddrizzamento di un $k$-simplesso singolare $\beta\colon \Delta_k \to \matH^n$ nel modo seguente: il raddrizzamento $\beta^{\rm r}\colon \Delta_k \to \matH^n$ di $\beta$ \`e la mappa che coincide con $\beta$ sui vertici di $\Delta_k$, e si estende per combinazione convessa a tutto $\Delta_k$. L'immagine di $\beta^{\rm r}$ \`e quindi il simplesso geodetico avente come vertici le immagini lungo $\beta$ dei vertici di $\Delta_k$.

Consideriamo adesso un simplesso singolare $\beta\colon\Delta_k\to M$ a valori in $M = \matH^n/_\Gamma$. Poich\'e $\Delta_k$ \`e semplicemente connesso, la mappa $\beta$ si solleva ad una mappa $\widetilde\beta\colon\Delta_k \to \matH^n$. 
\begin{defn}
Il \emph{raddrizzamento} di $\beta$ \`e il simplesso singolare $\beta^{\rm r} = p\circ (\widetilde \beta)^{\rm r}$ ottenuto sollevando, raddrizzando in $\matH^n$, e quindi riproiettando lungo $p\colon\matH^n \to M$. 
\end{defn}
La definizione \`e ben posta: il sollevamento $\widetilde \beta$ non \`e unico, ma due sollevamenti differiscono per una isometria di $\Gamma$ che commuta con l'operazione di raddrizzamento in $\matH^n$. Il raddrizzamento di $\beta$ \`e un nuovo $k$-simplesso singolare $\beta^{\rm r}\colon \Delta_k \to M$, la cui immagine \`e immagine di un simplesso geodetico in $\matH^n$. 
\appunto{figura?}

Indichiamo con $C_k(M,A)$ l'$A$-modulo delle $k$-catene in $M$. Il raddrizzamento si estende per linearit\`a ad un omomorfismo
$$r\colon C_k(M,A) \to C_k(M,A)$$
che commuta con l'operatore di bordo $\partial$. L'omomorfismo induce quindi un omomorfismo
$$r_*\colon H_k(M,A) \to H_k(M,A)$$
in omologia.
\begin{prop} La mappa $r_*$ \`e l'identit\`a.
\end{prop}
\begin{proof}
Possiamo definire una ``omotopia'' fra un simplesso singolare $\beta = \beta_0$ in $M$ ed il suo raddrizzato $\beta^{\rm r} = \beta_1$ usando la combinazione convessa: per ogni $t\in [0,1]$ definiamo il simplesso singolare $\tilde\beta^t\colon \Delta_k \to \matH^n$ come 
$$\widetilde\beta^t (x) = t \widetilde\beta(x) + (1-t) \widetilde\beta^{\rm r}(x)$$
dove $\widetilde\beta$ e $\widetilde\beta^{\rm r}$ sono due sollevamenti di $\beta$ e $\beta^{\rm r}$ aventi gli stessi vertici. Definiamo quindi in $M$ il simplesso singolare $\beta^t = p\circ \widetilde\beta^t$. Questa omotopia pu\`o essere usata per definire una omotopia di catene fra $r_*$ e l'identit\`a usando la stessa costruzione con cui si dimostra che mappe omotope fra spazi topologici inducono le stesse mappe in omologia.
\end{proof}

%Indichiamo d'ora in poi con $|\beta|$ l'immagine del simplesso singolare $\beta $. Sia $M = \matH^n/_\Gamma$ una variet\`a iperbolica chiusa orientata. Consideriamo un $n$-simplesso singolare gi\`a raddrizzato $\beta \colon \Delta_n \to M$, e sia $\widetilde \beta $ un suo sollevamento quasiasi ad $\matH^n$: quindi $|\widetilde\beta |$ \`e un simplesso geodetico in $\matH^n$. Ricordiamo che $\widetilde\beta $ \`e unico a meno di comporre con gli elementi di $\Gamma$, che preservano tutti l'orientazione di $\matH^n$. Notiamo anche che
%$$\beta  {\rm\ \mathaccent 18 e\ una\ immersione\ } \Longleftrightarrow \ \widetilde\beta  {\rm\ \mathaccent 18 e\ una\ immersione} \ \Longleftrightarrow\ |\widetilde \beta  | {\rm\ non \ \mathaccent 18 e\ degenere}.$$

%\begin{defn} Il simplesso singolare $\beta $ \`e \emph{degenere} se $|\widetilde \beta |$ \`e degenere. Se $\beta $ non \`e degenere allora \`e una immersione: il simplesso $\beta $ \`e quindi \emph{positivo} o \emph{negativo} a seconda che il differenziale $d\beta $ preservi o inverta l'orientazione.
%\end{defn}

%Lavoreremo d'ora in poi soltanto con simplessi e cicli gi\`a raddrizzati. Sia $\alpha = \lambda_1\alpha_1+\ldots + \lambda_k\alpha_k$ un ciclo raddrizzato che rappresenta un elemento $[\alpha] \in H_n(M,\matR)\Isom \matR$. Ogni $\alpha_i$ \`e quindi degenere, positivo o negativo. Indichiamo con $M_0\subset M$ l'unione delle immagini di tutti i simplessi degeneri $\alpha_i$ e del bordo $\partial\Delta_n$ tramite tutte le mappe $\alpha_j$. Il complementare $M\setminus M_0$ \`e un insieme aperto e denso, ed i suoi punti sono tutti valori regolari per le mappe $\alpha_i$. Ha quindi senso definire per ogni $x \in M\setminus M_0$ il numero reale
%$$i(x) = \sum_{i=1}^k \lambda_i\cdot  \#\alpha_i^{-1}(x) \cdot {\rm segno} (\alpha_i)$$
%in cui segno$(\alpha_i) = \pm 1$ a seconda che $\alpha_i$ sia positivo o negativo e $\#S$ indica la cardinalit\`a dell'insieme $S$.
%\begin{prop}
%Vale l'uguaglianza $[\alpha] = i(x)\in\matR$ per ogni $x\in M \setminus M_0$.
%\end{prop}
%\begin{proof}
%Usando l'omologia relativa, la mappa 
%$$H_n(M, \matZ) \to H_n(M,M\setminus \{x\}, \matZ) \Isom \matZ$$ 
%\`e un isomorfismo per ogni $x \in M$ che manda $[\alpha]$ in $i(x)$.
%\end{proof}
Possiamo dimostrare subito una disuguaglianza fra volume simpliciale e volume iperbolico.
\begin{prop} \label{Gromov:1:prop}
Sia $M$ una variet\`a iperbolica orientabile chiusa. Vale la disuguaglianza
$$\Vol(M) \leqslant v_n \|M\|.$$
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $\alpha = \lambda_1\alpha_1+\ldots+\lambda_k\alpha_k$ un ciclo che rappresenta la classe fondamentale $[M]$, che possiamo supporre gi\`a raddrizzato. Usando la coomologia di De Rham, 
possiamo integrare la forma volume $\omega$ di $M$ sulla classe fondamentale $\alpha$ e ottenere
$$\Vol (M) = \int_M \omega = \int_\alpha \omega = \lambda_1 \int_{\alpha_1}\omega + \ldots + \lambda_k \int_{\alpha_k}\omega.$$
L'integrale di $\omega$ su $\alpha_i$ \`e definito come l'integrale su $\Delta_n$ del pull-back della forma $\omega$ tramite la mappa $\alpha_i$ ed \`e pari (a meno di segno) al volume del simplesso iperbolico $\widetilde\alpha_i$ sollevato in $\matH^n$. Poich\'e questo volume \`e sempre minore di $v_n$ otteniamo
$$\Vol(M) < \big(|\lambda_1|+ \ldots +|\lambda_k|\big)v_n.$$
Poich\'e la disuguaglianza vale per tutti i cicli che rappresentano $[M]$ otteniamo $\Vol(M) \leqslant v_n \|M\|$.
\end{proof}

\subsection{Costruzione di cicli efficienti} \label{efficienti:subsection}
La dimostrazione della Proposizione \ref{Gromov:1:prop} mostra il fatto seguente: per ottenere la disuguaglianza opposta $\Vol (M) \geqslant v_n\|M\|$ dobbiamo costruire dei cicli $\alpha = \lambda_1\alpha_1+\ldots +\lambda_k\alpha_k$ ``efficienti'', in cui ciascun $\alpha_i$ abbia un volume molto vicino a quello massimale $v_n$ (che per\`o non pu\`o essere raggiunto), ed il segno di ciascun coefficiente $\lambda_i$ sia concorde con il segno di $\int_{\alpha_i}\omega$. Dedichiamo questa sezione alla costruzione di questi cicli efficienti. Innanzitutto individuiamo i simplessi con volume vicino a $v_n$.

\begin{prop} \label{volume:continuo:prop}
Sia $\Delta^i$ una successione di simplessi in $\matH^n$ i cui vertici tendono ai vertici di un simplesso ideale regolare in $\partial\matH^n$. Allora
$$\Vol(\Delta^i)\to v_n.$$
\end{prop}
\appunto{Da dimostrare}

Sia $t \in (-\infty, 0)$ un numero reale negativo fissato. Un \emph{$t$-simplesso} \`e un simplesso regolare di $\matH^n$ del tipo $\Delta(t)$ costruito nella Sezione \ref{simplessi:subsection} del Capitolo \ref{singolarita:chapter}, dotato di un ordinamento fissato $u_0,\ldots, u_n$ dei vertici. Per la Proposizione \ref{volume:continuo:prop} il volume di un $t$-simplesso tende a $v_n$ per $t\to-\infty$.

Un simplesso in $\matH^n$ con i vertici $u_0,\ldots, u_n$ ordinati ha una naturale parametrizzazione $\Delta_k \to \matH^n$ tramite combinazione convessa:
$$\sigma\colon (t_0,\ldots,t_n) \mapsto t_0u_0 + \ldots + t_nu_n$$
ed \`e quindi in modo naturale un simplesso singolare. Indichiamo con $S(t)$ l'insieme dei $t$-simplessi in $\matH^n$. Le isometrie di $\matH^n$ agiscono su $S(t)$.

\begin{prop}
L'azione di $\Iso(\matH^n)$ su $S(t)$ \`e libera e transitiva. 
\end{prop}
\begin{proof}
Un $t$-simplesso \`e costruito a partire da un baricentro $x\in\matH^n$ e da un simplesso regolare $\Delta_x\subset T_x $ centrato nell'origine, i cui vertici sono ordinati. Dati $x$, $x'$ e $\Delta_x$, $\Delta_{x'}$ esiste un unica isometria di $\matH^n$ che manda $x$ in $x'$ ed i vertici di $\Delta_x$ ordinatamente in quelli di $\Delta_{x'}$.
\end{proof}
\begin{cor}
La misura di Haar su $\Iso(\matH^n)$ definisce una misura su $S(t)$ invariante per l'azione di $\Iso(\matH^n)$.
\end{cor}
\begin{proof}
\`E sufficiente fissare un $t$-simplesso $\sigma_0$ e usare la bigezione tra $\Iso(\matH^n)$ e $S(t)$ data da $\varphi \mapsto \varphi(\sigma_0)$ per trasportare la misura di Haar su $S(t)$. Cambiando il $t$-simplesso $\sigma_0$ la bigezione cambia per moltiplicazione per un elemento di $\matH^n$, quindi la misura indotta non dipende dalla scelta di $\sigma_0$.
\end{proof}

Come $\Iso(\matH^n) = \Iso^+(\matH^n) \cup \Iso^-(\matH^n)$ \`e suddivisa fra isometrie che preservano e invertono l'orientazione, l'insieme $S(t) = S^+(t) \cup S^-(t)$ \`e suddiviso fra $t$-simplessi \emph{positivi} e \emph{negativi}, a seconda che il corrispondente simplesso singolare $\sigma\colon \Delta_n \to \matH^n$ preservi o inverta l'orientazione (equivalentemente, a seconda che l'ordine dei vertici sia compatibile con l'orientazione di $\matH^n$).

Costruiamo adesso un ciclo efficiente. Sia $x_0\in M$ un punto qualsiasi. Ricordiamo che $x_0$ induce una tassellazione di $\matH^n$ in domini di Dirichlet $D(x)$ al variare di $x \in p^{-1}(x_0)$. Il ciclo efficiente sar\`a una combinazione lineare di simplessi con vertici nell'insieme discreto $p^{-1}(x_0)$, proiettati in $M$ lungo $p$. Fissiamo una preimmagine $x \in p^{-1}(x_0)$.

Poniamo $M = \matH^n/_\Gamma$ e consideriamo l'insieme
$$\Omega = \Gamma^{n+1}/\Gamma$$
delle $(n+1)$-uple $(\gamma_0,\ldots, \gamma_n)$ viste a meno dell'azione diagonale di $\Gamma$:
$$\gamma \cdot (\gamma_0,\ldots, \gamma_n) = (\gamma \gamma_0,\ldots, \gamma \gamma_n).$$
Un elemento $\omega = (\gamma_0,\ldots, \gamma_n) \in \Omega$ determina un simplesso singolare $\widetilde\sigma_\omega$ in $\matH^n$ con vertici $\gamma_0(x), \ldots, \gamma_n(x)$ a meno di traslazioni per $\gamma\in\Gamma$.  Quindi $\omega$ determina univocamente un simplesso singolare $\sigma_\omega = p \circ \widetilde\sigma_\omega$ in $M$.

Il \emph{ciclo efficiente} $\alpha(t)$ \`e una combinazione lineare di simplessi di questo tipo:
$$\alpha(t) = \sum_{\omega \in \Omega} \lambda_\omega(t) \cdot \sigma_\omega$$
per degli opportuni coefficienti reali $\lambda_\omega(t)$ dipendenti da $t$ che adesso definiamo. Sia $\omega = (\gamma_0,\ldots, \gamma_n)$. Indichiamo con $\lambda_\omega(t)^+$ la ``quantit\`a'' di $t$-simplessi positivi i cui vertici ordinati sono contenuti rispettivamente nei domini $\gamma_0(D(x)), \ldots, \gamma_n(D(x))$. Per quantit\`a intendiamo (qui e dopo) non la cardinalit\`a, ma la \emph{misura} dell'insieme dei $t$-simplessi che soddisfano questa propriet\`a, usando la misura su $S(t)$ definita sopra. Definiamo analogamente $\lambda_\omega(t)^-$ ``contando'' i $t$-simplessi negativi e poniamo
$$\lambda_\omega(t) = \lambda_\omega(t)^+ - \lambda_\omega(t)^-.$$

\begin{prop} \label{ciclo:prop}
Il ciclo $\alpha(t)$ ha un numero finito di addendi ed \`e effettivamente un ciclo. Per $|t|$ sufficientemente grande il ciclo $\alpha(t)$ rappresenta un multiplo positivo di $[M]$ in $H_n(M,\matR)$.
\end{prop}
\begin{proof}
La combinazione lineare che definisce $\alpha(t)$ \`e la proiezione lungo $p$ di una combinazione lineare di simplessi con vertici nell'insieme discreto $p^{-1}(x_0)$. A meno dell'azione diagonale di $\Gamma$, possiamo supporre che tutti questi simplessi abbiano il loro primo vertice in $x$. 

Sia $d$ il diametro del dominio di Dirichlet $D(x)$ e $T$ il diametro di un $t$-simplesso. Se $x' \in p^{-1}(x_0)$ ha distanza maggiore di $2d+T$ da $x$, non esistono $t$-simplessi con vertici in $D(x)$ e $D(x')$. Quindi gli unici addendi con coefficiente non nullo sono quelli in cui tutti i vertici sono ad una distanza minore di $2d+T$ da $x$. Poich\'e $p^{-1}(x_0)$ \`e discreto contiene solo un numero finito di punti a distanza limitata da $x$ e quindi la somma \`e finita.

Mostriamo adesso che $\alpha(t)$ \`e un ciclo. Il bordo $\partial \alpha(t)$ \`e una combinazione lineare di $(n-1)$-simplessi con vertici nell'insieme discreto $p^{-1}(x_0)$. Consideriamo un generico $(n-1)$-simplesso con vertici in $\gamma_0(x), \ldots \gamma_{n-1}(x)$ e calcoliamo il suo coefficiente in $\partial \alpha(t)$: dobbiamo mostrare che \`e nullo. Per costruzione il coefficiente \`e il numero
$$\sum_{j=0}^n (-1)^{n-j} \sum_{\gamma\in\Gamma} \lambda_{(\gamma_0, \ldots, \gamma_{j-1}, \gamma, \gamma_j, \ldots, \gamma_{n-1})}(t).$$
Mostriamo che ciascun addendo della somma su $j$ \`e nullo. Per semplificare le notazioni scriviamo solo il caso $j=n$; l'addendo \`e per definizione pari a:
$$\sum_{\gamma\in\Gamma} \lambda_{(\gamma_0, \ldots, \gamma_{n-1}, \gamma)}(t)^+ - \sum_{\gamma\in\Gamma} \lambda_{(\gamma_0, \ldots, \gamma_{n-1}, \gamma)}(t)^-.$$
L'espressione di sinistra ``conta'' il numero $N_+$ di $t$-simplessi positivi aventi i primi $n$ vertici rispettivamente in $D(\gamma_0(x)), \ldots, D(\gamma_n(x))$, e l'ultimo vertice variabile. L'espressione di destra conta il numero $N_-$ di $t$-simplessi negativi aventi sempre i primi $n$ vertici in $D(\gamma_0(x)), \ldots, D(\gamma_n(x))$ e l'ultimo variabile.

Consideriamo l'involuzione $r\colon S(t) \to S(t)$ che specchia un simplesso rispetto alla prima faccia.  L'involuzione $r$ scambia $t$-simplessi positivi e negativi, e preserva la misura perch\'e \`e indotta da una riflessione in $\matH^n$. Quindi $N_+ = N_-$ e l'addendo $N_+-N_-$ \`e zero: abbiamo dimostrato che $\alpha(t)$ \`e un ciclo.

\appunto{Spiegare implicazione.}
Mostriamo che per $|t|$ sufficientemente grande il ciclo rappresenta un multiplo positivo di $[M]$. Sia $t$ tale che due vertici in un $t$-simplesso abbiano distanza maggiore di $2d$. Questa condizione implica il fatto seguente: se esiste un $t$-simplesso positivo con vertici in 
$D(\gamma_0(x)), \ldots, D(\gamma_n(x))$, allora il simplesso con vertici $\gamma_0(x),\ldots, \gamma_n(x)$ \`e anch'esso positivo. Ne segue quindi che per ogni $\omega\in\Omega$ almeno uno dei due valori $\lambda_\omega(t)^+$ e $\lambda_\omega(t)^-$ \`e nullo; quindi non ci sono cancellazioni e nell'espressione 
$$\alpha(t) = \sum_{\omega \in \Omega} \lambda_\omega(t) \cdot \sigma_\omega$$
esiste almeno un coefficiente $\lambda_\omega (t)$ diverso da zero. Questa semplice condizione \`e sufficiente per garantire che il ciclo $\alpha(t)$ sia un multiplo positivo di $[M]$: integrando la forma volume $\eta$ di $M$ su $\alpha(t)$ si ottiene infatti
$$\int_{\alpha(t)} \eta = \sum_{\omega\in\Omega} \lambda_\omega(t) \cdot \int_{\sigma_\omega}\eta.$$
Se $\lambda_\omega(t)> 0$, per quanto appena detto $\sigma_\omega$ \`e un simplesso positivo e quindi il prodotto $\lambda_\omega(t) \cdot\int_{\sigma_\omega} \eta$ \`e positivo. Se $\lambda_\omega(t)<0$ il simplesso $\sigma_\omega$ \`e negativo ed il prodotto \`e sempre positivo. Quindi l'integrale di $\eta$ su $\alpha(t)$ \`e positivo, e quindi $\alpha(t)$ \`e un multiplo positivo di $[M]$.
\end{proof}

Mostriamo che il ciclo $\alpha(t)$ \`e efficiente.

\begin{prop} \label{efficiente:prop}
Per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un $t_0<0$ tale che per ogni $t<t_0$ il ciclo $\alpha(t)$ \`e combinazione lineare di simplessi singolari $\sigma_\omega$ tutti di volume maggiore di $v_n-\varepsilon$. 
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $d$ il diametro del dominio di Dirichlet $D(x)$. Chiamiamo \emph{quasi $t$-simplesso} un simplesso i cui vertici sono a distanza minore di $d$ dai vertici di un $t$-simplesso. 
Notiamo che se $\lambda_\omega(t)\neq 0$ allora $\sigma_\omega$ \`e un quasi $t$-simplesso per costruzione, e quindi $\alpha(t)$ \`e combinazione lineare di quasi $t$-simplessi.

Mostriamo quindi che per ogni $\varepsilon$ esiste $t_0$ tale che per ogni $t<t_0$ ogni quasi $t$-simplesso ha volume maggiore di $v_n-\varepsilon$. Ragioniamo per assurdo: sia $\Delta^t$ una successione di quasi $t$-simplessi tutti di volume minore di $v_n-\varepsilon$ con $t\to-\infty$. Ciascun $\Delta^t$ ha i vertici $d$-vicini ad un $t$-simplesso $\Delta_*^t$. Spostiamo con una isometria ciascuna coppia $\Delta^t, \Delta^t_*$ in modo che i $t$-simplessi $\Delta_*^t$ abbiano tutti lo stesso baricentro. A questo punto i vertici di $\Delta^t$ tendono (come quelli di $\Delta^t_*$) ai vertici di un simplesso ideale regolare, e otteniamo un assurdo per la Proposizione \ref{volume:continuo:prop}.
\end{proof}


\subsection{Conclusione della dimostrazione e conseguenze}

Possiamo finalmente concludere la dimostrazione che $\Vol(M) = v_n\|M\|$ completando la disuguaglianza mancante.

\begin{prop}
Sia $M$ una variet\`a iperbolica orientabile chiusa. Vale la disuguaglianza
$$\Vol (M) \geqslant v_n\|M\|.$$
\end{prop}
\begin{proof}
Sappiamo che per $|t|$ sufficientemente grande il ciclo efficiente $\alpha(t)$ rappresenta un elemento positivo in $H_n(M,\matR) \Isom \matR$, quindi $[M] = k(t)\alpha(t)$ per qualche $k(t)>0$. Sia $\eta$ la forma volume su $M$ e scriviamo
$$\Vol(M) = \int_{[M]} \eta = k(t) \int_{\alpha(t)} \eta = k(t) \sum_{\omega\in\Omega} \lambda_\omega(t) \cdot \int_{\sigma_\omega} \eta.$$
Notiamo che i segni di $\lambda_\omega(t)$ e $\int_{\sigma_\omega} \eta$ sono sempre concordi. Per la Proposizione \ref{efficiente:prop}, per ogni $\varepsilon>0$ esiste $t_0<0$ tale che per ogni $t<t_0$ vale la disuguaglianza:
$$\Vol(M) \geqslant k(t) \sum_{\omega\in\Omega} |\lambda_\omega(t)|(v_n-\varepsilon).$$
Quindi
$$\Vol(M)\geqslant \|M\|(v_n-\varepsilon)$$
per ogni $\varepsilon >0$, da cui la tesi.
\end{proof}

Abbiamo finalmente dimostrato che $\Vol(M) = v_n \|M\|$ per ogni variet\`a iperbolica chiusa $M$. Possiamo subito ricavare delle conseguenze non banali.

\begin{cor}
Siano $M, N$ variet\`a iperboliche chiuse della stessa dimensione. Se esiste una mappa $f\colon M\to N$ di grado $d$ allora $\Vol(M)\geqslant d \cdot \Vol(N)$.
\end{cor}
\begin{cor}
Siano $\Sigma, \Sigma'$ superfici chiuse, entrambe con caratteristica di Eulero negativa. Se esiste una mappa $f\colon \Sigma \to \Sigma'$ di grado $d$ allora $\chi(\Sigma) \leqslant d\cdot \chi(\Sigma')$.
\end{cor}
\begin{cor} \label{stesso:volume:cor}
Due variet\`a iperboliche chiuse omotopicamente equivalenti hanno lo stesso volume.
\end{cor}

\section{Teorema di rigidit\`a di Mostow}
Esponiamo in questa sezione una dimostrazione del teorema seguente:

\begin{teo}[Rigidit\`a di Mostow]
Siano $M$ e $N$ due variet\`a iperboliche chiuse connesse orientabili di dimensione $n\geqslant 3$. Ogni isomorfismo $\pi_1(M) \stackrel \sim\to \pi_1(N)$ fra i gruppi fondamentali \`e indotto da un'unica isometria $M\stackrel \sim\to N$.
\end{teo}
Per stimare la potenza di questo risultato ricordiamo le implicazioni seguenti:
%$${\rm isometria\ } \Longrightarrow \ {\rm diffeomorfismo}\  \Longrightarrow {\rm\ omeomorfismo}\  \Longrightarrow \begin{array}{c} {\rm equivalenza} \\{\rm omotopica}\end{array}
%\Longrightarrow \begin{array}{c} {\rm isom.} \\{\rm sul\ } \pi_1 \end{array} $$
$${\rm isometria} \Longrightarrow {\rm diffeomorfismo}\Longrightarrow {\rm omeomorfismo} \Longrightarrow \!\!\!\begin{array}{c} {\rm equivalenza} \\{\rm omotopica}\end{array}
\!\!\Longrightarrow \!\!\!\begin{array}{c} {\rm isomorfismo} \\{\rm sul\ } \pi_1 \end{array} $$
Ciascuna di queste implicazioni ha una inversa solo in situazioni molto particolari. Nella discussione che segue forniamo dei controesempi per ciascuna implicazione inversa.

Ovviamente non \`e vero che due variet\`a riemanniane diffeomorfe sono isometriche. Se ci restringiamo alle variet\`a a curvatura costante, questo fatto non \`e vero per le superfici iperboliche: una superficie di genere $g\geqslant 2$ ammette una infinit\`a di metriche iperboliche non equivalenti, modellizzate dallo spazio di Teichm\"uller. Il teorema di rigidit\`a di Mostow vale infatti solo per variet\`a iperboliche di dimensione $n\geqslant 3$.

In dimensione 2 e 3 due variet\`a omeomorfe sono anche diffeomorfe grazie ad un teorema di Moise. Questo fatto non \`e per\`o vero in dimensione pi\`u alta. In particolare la dimensione 4 \`e quella in cui i concetti di omeomorfismo e diffeomorfismo sono pi\`u distanti: esistono molte 4-variet\`a chiuse che ammettono una infinit\`a di strutture diffeomorfe non equivalenti, ed \`e (per quanto ne sappiamo adesso) perfino possibile che \emph{qualsiasi} 4-variet\`a chiusa ammetta infinite strutture diffeomorfe non equivalenti.

Due variet\`a omotopicamente equivalenti non sono necessariamente omeomorfe: ad esempio, gli spazi lenticolari $L(7,1)$ e $L(7,2)$ sono 3-variet\`a chiuse (entrambe ellittiche) omotopicamente equivalenti ma non omeomorfe.

Un isomorfismo fra gruppi fondamentali non induce una equivalenza omotopica: le 4-variet\`a $S^4$, $\matCP^2$ e $S^2\times S^2$ sono tutte semplicemente connesse ma non sono omotopicamente equivalenti perch\'e il loro secondo gruppo di omologia \`e isomorfo rispettivamente a $\{e\}$, $\matZ$ e $\matZ^2$.

\subsection{Variet\`a asferiche}
Introduciamo le seguente definizione importante.
\begin{defn}
Una variet\`a connessa $M$ \`e \emph{asferica} se il suo rivestimento universale \`e contrattile.
\end{defn}
Ad esempio, le variet\`a piatte e iperboliche complete hanno rivestimento universale diffeomorfo a $\matR^n$ e quindi sono asferiche. Le variet\`a ellittiche invece hanno rivestimento universale $S^n$ e quindi non sono asferiche. La curvatura gioca un ruolo importante qui: citiamo per completezza un noto risultato.
\begin{teo}[Cartan-Hadamard] Una variet\`a riemanniana completa $M$ con curvature sezionali ovunque $\leqslant 0$ ha rivestimento universale diffeomorfo a $\matR^n$ ed \`e quindi asferica.
\end{teo}
\begin{proof}[Idea della dimostrazione]
Sia $x\in M$ un punto qualsiasi. Poich\'e $M$ \`e completa, la mappa esponenziale $\exp_x\colon T_x \to M$ \`e definita su tutto lo spazio tangente $T_x$. Il fatto che le curvature sezionali siano tutte negative garantisce che $\exp_x$ sia un diffeomorfismo locale, e quindi un rivestimento. 
\end{proof}

Per le variet\`a asferiche \`e possibile invertire l'ultima freccia nelle varie implicazioni mostrate nella sezione precedente. Si tratta in realt\`a di un fatto topologico molto generale che non vale soltanto per le variet\`a. Ricordiamo a questo scopo alcune definizioni basilari di topologia algebrica.

Un \emph{complesso di celle finito} di dimensione $k$ (brevemente, un $k$-complesso) \`e uno spazio topologico ottenuto iterativamente nel modo seguente: 
\begin{itemize}
\item un complesso $X^0$ di dimensione zero \`e un numero finito di punti, 
\item un complesso $X^k$ di dimensione $k$ \`e ottenuto da un complesso $X^{k-1}$ di dimensione $k-1$ attaccando un numero finito di $k$-celle, cio\`e di copie del $k$-disco $D^k$ lungo mappe continue $\varphi\colon \partial D^k \to X^{k-1}$.
\end{itemize}
In un complesso di celle $X$ costruito iterativamente in questo modo l'$i$-esimo sottoinsieme $X^i$ \`e un sottoinsieme chiuso detto \emph{$i$-scheletro}. Un complesso di celle finito $X$ \`e localmente contrattile ed ha quindi un rivestimento universale $\widetilde X$: se $\widetilde X$ \`e contrattile il complesso $X$ \`e detto \emph{asferico}.

\begin{prop} \label{complessi:omotopia:prop}
Siano $X$ e $Y$ due complessi cellulari finiti connessi con punti base $x_0\in X^0$ e $y_0 \in Y^0$ e $g\colon \pi_1(X,x_0) \to \pi_1(Y,y_0)$ un omomorfismo. Se $Y$ \`e asferico allora esiste una mappa continua $f\colon (X,x_0)\to (Y,y_0)$ che induce $g$, cio\`e tale che $f_* = g$. La mappa $f$ \`e unica a meno di omotopia.
\end{prop}
\begin{proof}
Costruiamo la mappa $f$ iterativamente sull'$i$-esimo scheletro di $X$. Sia $A$ un albero massimale contenuto nell'1-scheletro $X^1$: l'albero $A$ contiene $X^0$ ed in particolare il punto base $x_0$. Assegniamo un'orientazione arbitraria alle 1-celle $\lambda_1,\ldots, \lambda_k$ non contenute in $A$: ciascuna $\lambda_i$ definisce un elemento di $\pi_1(X,x_0)$, che indichiamo sempre con il simbolo $\lambda_i$. Costruiamo $f$ sull'1-scheletro nel modo seguente: poniamo $f(A) = y_0$, e mandiamo la 1-cella orientata $\lambda_i$ in un qualsiasi laccio di $Y$ che rappresenta l'elemento $\varphi(\lambda_i)$.
\appunto{figura?}

Estendiamo la definizione al 2-scheletro. Una 2-cella \`e definita da una mappa $\varphi\colon \partial D^2 \to X^1$. Dobbiamo mostrare che la mappa composta $f\circ\varphi \colon \partial D^2 \to Y$ si estende ad una mappa continua sull'intera cella $D^2$: in questo modo estendiamo $f$ su ogni 2-cella, e quindi sull'intero 2-scheletro $X^2$. Notiamo che la mappa $f\circ\varphi$ si estende se e solo se \`e omotopicamente equivalente ad una mappa costante.

Dobbiamo mostrare che $f\circ\varphi$ \`e omotopicamente equivalente ad una mappa costante. Per fare ci\`o possiamo modificare $\varphi$ con una omotopia in $X^1$ e supporre che attraversi $x_0$: in questo modo $\varphi$ definisce un elemento $[\varphi]\in \pi_1(X,x_0)$. Per costruzione di $f$ vale l'uguaglianza
$$[f\circ \varphi] = g\big([\varphi]\big) \in \pi_1(Y,y_0).$$
D'altra parte $[\varphi]\in\pi_1(X,x_0)$ \`e banale perch\'e $\varphi$ \`e la mappa di attaccamento di una 2-cella. Quindi $[f\circ \varphi] $ \`e banale perch\'e $g$ \`e un omomorfismo; ne segue che anche $f\circ\varphi$ \`e omotopicamente banale e siamo a posto. 

L'estensione di $f$ al 2-scheletro di $X$ non ha fatto uso del rivestimento universale di $Y$: ne facciamo uso adesso per estendere $f$ agli scheletri superiori. Procediamo per induzione: supponiamo di aver esteso $f$ all'$i$-scheletro $X^i$ con $i\geqslant 2$, ed estendiamo $f$ ad una $(i+1)$-cella definita da una mappa di incollamento $\varphi\colon \partial D^{i+1} \to X^i$. Come sopra, per dimostrare che l'estensione \`e possibile dobbiamo verificare che la composizione $f\circ \varphi\colon \partial D^{i+1} \to Y$ si estenda a $D^{i+1}$, e questo \`e equivalente a chiedere che la mappa $f\circ\varphi$ sia omotopa ad una costante. 

Poich\'e $i\geqslant 2$, il bordo $\partial D^{i+1}$ \`e semplicemente connesso e quindi la funzione $f\circ\varphi$ si solleva ad una funzione $\widetilde{f\circ\varphi}\colon \partial D^{i+1} \to \widetilde Y$ a valori nel rivestimento universale $\widetilde Y$. Poich\'e $\widetilde Y$ \`e contrattile, ogni funzione continua a valori in $\widetilde Y$ \`e omotopa ad una funzione costante. Quindi $\widetilde {f\circ\varphi}$ \`e omotopa ad una funzione costante, e quindi lo \`e anche la composizione $f\circ\varphi = p\circ \widetilde {f\circ \varphi}$ lungo il rivestimento $p\colon \widetilde Y \to Y$.

Abbiamo costruito la mappa $f\colon (X,x_0) \to (Y,y_0)$, mostriamo adesso che tale mappa \`e unica a meno di omotopia. Come sopra, dimostriamo questo fatto per induzione sull'$i$-esimo scheletro $X^i$, iniziando da $i=1$. Siano $f,f'\colon (X^1,x_0)\to (Y,y_0)$ due mappe omotope. Poich\'e l'albero massimale $A$ \`e contrattile, a meno di cambiare entrambe $f$ e $f'$ con una omotopia possiamo supporre che $f(A) = f'(A) = y_0$. Ora $f\circ \lambda_i$ e $f'\circ\lambda_i$ sono due lacci omotopi (perch\'e $f$ e $f'$ inducono la stessa mappa $g$ sui gruppi fondamentali) per ogni $i$, e quindi $f$ e $f'$ sono omotope su $X^1$.

Dimostriamo il passo induttivo: sappiamo che $f|_{X^{i-1}}$ e $f'|_{X^{i-1}}$ sono omotope e dobbiamo mostrare che lo sono anche $f|_{X^i}$ e $f'|_{X^i}$ per $i\geqslant 2$. Innanzitutto possiamo supporre che $f|_{X^{i}}$ e $f'|_{X^{i}}$ coincidano su $X^{i-1}$: l'omotopia che trasforma $f'|_{X^{i-1}}$ in $f|_{X^{i-1}}$ pu\`o essere facilmente estesa a tutto $f'|_{X^i}$ usando un collare del bordo di $D^i$ su ogni $i$-cella.

Consideriamo ora una $i$-cella, attaccata lungo una mappa $\varphi\colon \partial D^i \to X^{i-1}$. Sappiamo che $f\circ\varphi = f'\circ\varphi$ e dobbiamo dimostrare che esiste una omotopia fra $f|_{D^i}$ e $f'|_{D^i}$ relativa al bordo $\partial D^i$. L'omotopia esiste, perch\'e le due mappe possono essere incollate e formare un'unica mappa $F\colon S^i\to Y$, e abbiamo gi\`a visto (usando $\widetilde Y$) che una mappa di questo tipo con $i\geqslant 2$ \`e sempre omotopicamente banale e quindi si estende a $F\colon D^{i+1} \to Y$, che a sua volta fornisce una omotopia fra $f|_{D^i}$ e $f'|_{D^i}$. Abbiamo mostrato il passo induttivo e concluso la dimostrazione.
\end{proof}

\begin{cor}
Siano $M$ e $N$ variet\`a differenziabili chiuse, con $N$ asferica. Ogni omomorfismo $g\colon \pi_1(M) \to \pi_1(N)$ fra gruppi fondamentali \`e realizzato da una mappa continua $f\colon M\to N$.
\end{cor}
\begin{proof}
Per un risultato standard di topologia differenziale (dimostrato generalmente usando la teoria di Morse), una variet\`a differenziabile chiusa \`e realizzabile come un complesso finito, quindi si applica il risultato precedente.
\end{proof}

\begin{cor}
Siano $M$ e $N$ variet\`a differenziabili chiuse asferiche. Ogni isomorfismo $g\colon \pi_1(M) \to (N)$ \`e indotto da una equivalenza omotopica $f\colon M \to N$, unica a meno di omotopia.
\end{cor}
\begin{proof}
Gli omomorfismi $g$ e $g^{-1}$ sono indotti da due mappe continue $f\colon M \to N$ e $h\colon N \to M$, uniche a meno di omotopia. La mappa $h\circ f\colon M \to M$ induce l'identit\`a su $\pi_1(M)$ e quindi \`e omotopa all'identit\`a per la Proposizione \ref{complessi:omotopia:prop}, e lo stesso vale per $f\circ h$: abbiamo quindi un'equivalenza omotopica.
\end{proof}
\begin{cor}
Due variet\`a chiuse orientabili asferiche di dimensioni diverse non possono avere gruppi fondamentali isomorfi
\end{cor}
\begin{proof}
Due variet\`a asferiche con gruppi fondamentali isomorfi sono omotopicamente equivalenti, quindi hanno omologie isomorfe e quindi la stessa dimensione (pari al massimo $n$ per cui l'$n$-esimo gruppo di omologia $H_n$ \`e non banale per le variet\`a orientabili).
\end{proof}

Abbiamo fatto il primo passo nella dimostrazione del Teorema di Mostow: sappiamo che ogni isomorfismo fra gruppi fondamentali di variet\`a iperboliche chiuse \`e indotto da una equivalenza omotopica. Ci resta il passo pi\`u difficile: mostrare che ogni equivalenza omotopica \`e indotta da un'unica isometria.

\subsection{Quasi e pseudo-isometrie}
Sia $p\colon \widetilde X \to X$ un rivestimento universale di spazi topologici. Ricordiamo che la scelta di un punto base $\widetilde x_0\in \widetilde X$ induce un isomorfismo fra il gruppo fondamentale $\pi_1(X,x_0)$ ed il gruppo $\Aut(p)$ degli automorfismi del rivestimento, dove $x_0 = p(\widetilde x_0)$. Ricordiamo il seguente fatto di topologia.

\begin{prop} \label{universali:prop}
Sia $f\colon X \to Y$ una mappa continua fra spazi topologici connessi per archi, entrambi dotati di rivestimenti universali $\widetilde X$ e $\widetilde Y$. Sia $\widetilde x_0\in \widetilde X$ un punto base. Esiste un sollevamento $\widetilde f\colon \widetilde X \to \widetilde Y$ che faccia commutare il diagramma
$$
\xymatrix{ 
\widetilde X\ar@{.>}[r]^{\widetilde f} \ar[d]_p & \widetilde Y \ar[d]^p \\
X\ar[r]_f & Y
}
$$
tale che $\widetilde f \circ \gamma = f_*(\gamma) \circ \widetilde f$ per qualsiasi elemento $\gamma \in \pi_1(X,x_0)\Isom \Aut(p)$.
\end{prop}

Sia $f\colon M \to N$ una equivalenza omotopica fra due variet\`a iperboliche chiuse: nelle prossime sezioni dimostreremo che $f$ \`e omotopa ad una isometria. Il primo passo consiste nel sostituire $f$ con una funzione liscia: \`e un fatto generale in topologia differenziale che qualsiasi mappa continua fra due variet\`a differenziabili sia omotopa ad una funzione liscia.

L'omotopia liscia $f$ si solleva ad una mappa $\widetilde f\colon \matH^n \to \matH^n$ fra i rivestimenti universali di $M$ e $N$, che identifichiamo con $\matH^n$. Se $\widetilde f$ fosse una isometria potremmo concludere facilmente: purtroppo non \`e certo questo il caso, ma possiamo comunque dimostrare che $\widetilde f$ non si discosta molto da una isometria. Fissiamo questo concetto con una definizione.

\begin{defn} Una mappa $F\colon X \to Y$ fra spazi metrici \`e una \emph{quasi-isometria} se esistono due costanti $C_1>0$, $C_2\geqslant 0$ tali che
$$\frac 1 {C_1} d(x_1,x_2) - C_2 \leqslant d(F(x_1), F(x_2)) \leqslant C_1d(x_1,x_2) + C_2$$
per ogni $x_1,x_2 \in X$ e se $d(F(X),y)\leqslant C_2$ per ogni $y\in Y$.
\end{defn}
Una quasi-isometria \`e una isometria ``a meno di un errore''. Notiamo che $F$ non \`e necessariamente continua, n\'e iniettiva, n\'e suriettiva! Due spazi metrici $X, Y$ sono \emph{quasi-isometrici} se esiste una quasi-isometria $F\colon X \to Y$ (il che implica l'esistenza di una quasi-isometria $G\colon Y\to X$), e la quasi-isometria \`e una relazione di equivalenza fra spazi metrici.  Intuitivamente, studiare uno spazio metrico a meno di quasi-isometrie \`e come guardarlo da lontano, tralasciando ci\`o che accade localmente e privilegiandone le caratteristiche globali.
Nota che gli spazi metrici compatti sono tutti quasi-isometrici fra loro. Questa relazione di equivalenza fra spazi metrici \`e un ingrediente importante in \emph{teoria geometrica dei gruppi}: \`e infatti possibile associare ad un gruppo $G$ finitamente generato una metrica (tramite il suo \emph{grafo di Cayley}), che \`e determinata univocamente a meno di quasi-isometrie dalla struttura algebrica di $G$.

Vedremo che la mappa $\widetilde f$ \`e una quasi-isometria. In realt\`a $\widetilde f$ \`e anche continua e lipschitziana: useremo quindi nella dimostrazione del teorema di Mostow una nozione di ``quasi isometria'' meno naturale e pi\`u restrittiva di quella data che ci permetter\`a di semplificare alcuni passaggi (che potrebbero comunque essere dimostrati usando la nozione pi\`u naturale, ma con un po' di fatica in pi\`u). Questa \`e la nozione che useremo.

\begin{defn} Una mappa $F\colon X \to Y$ fra spazi metrici \`e una \emph{pseudo-isometria} se esistono due costanti positive $C_1, C_2>0$ tali che
$$\frac 1 {C_1} d(x_1,x_2) - C_2 \leqslant d(F(x_1), F(x_2)) \leqslant C_1d(x_1,x_2)$$
per ogni $x_1,x_2\in X$.
\end{defn}
In particolare una pseudo-isometria \`e $C_1$-lipschitziana e quindi continua. Sia $f\colon M \to N$ una funzione liscia fra variet\`a riemanniane della stessa definizione; la \emph{massima dilatazione} di $f$ in un punto $x\in M$ \`e il massimo rapporto $\frac{\|df_x(v)\|}{\|v\|}$ al variare di $v$ fra i vettori unitari di $T_x$. La massima dilatazione di $f$ \`e l'estremo superiore delle massime dilatazioni al variare di $x\in M$: se questa \`e minore di una costante $C$, allora la funzione $f$ \`e $C$-lipschitziana.

\begin{prop}
Sia $f\colon M\to N$ una omotopia liscia fra variet\`a iperboliche chiuse. Il sollevamento $\widetilde f\colon \widetilde M \to \widetilde N$ \`e una pseudo-isometria.
\end{prop}
\begin{proof}
Poich\'e $M$ \`e compatta, la funzione $f$ ha massima dilatazione $C$ finita. Poich\'e $\widetilde f$ \`e localmente come $f$, anche $\widetilde f$ ha massima dilatazione $C$ ed \`e quindi $C$-lipschitziana. Lo stesso ragionamento si applica all'inversa omotopica $g\colon N\to M$. Quindi esiste $C_1>0$ tale che
\begin{align*}
d\big(\widetilde f(x_1), \widetilde f(x_2)\big) & \leqslant C_1 \cdot d(x_1,x_2) \quad \forall x_1,x_2 \in \widetilde M, \\
d\big(\widetilde g(y_1), \widetilde g(y_2)\big) & \leqslant C_1 \cdot d(y_1,y_2) \quad \forall y_1,y_2 \in \widetilde N.
\end{align*}
Se $\widetilde f$ e $\widetilde g$ fossero l'una l'inversa dell'altra, otterremmo subito la disuguaglianza $d(\widetilde f(x_1), \widetilde f(x_2)) \geqslant \frac 1{C_1} d(x_1,x_2)$ e avremmo concluso. Il fatto che queste mappe siano solo inverse omotopiche produce un risultato simile, con un errore additivo $C_2$ in pi\`u. Vediamo i dettagli.

Scriviamo $M = \matH^n/_\Gamma$. Per la Proposizione \ref{universali:prop} abbiamo
$$\widetilde g \circ \widetilde f \circ \gamma = (g\circ f)_*(\gamma) \circ \widetilde g \circ \widetilde f = \gamma \circ \widetilde g \circ \widetilde f$$
per ogni $\gamma \in \Gamma$, in altre parole la mappa $\widetilde g \circ \widetilde f$ commuta con $\Gamma$. Sia $D$ un dominio di Dirichlet per $\Gamma$: poich\'e $D$ \`e compatto, il numero 
$$b=\max\big\{d(\widetilde g ( \widetilde f(x)),x)\ \big|\ x\in D \big\}$$
\`e finito. Poich\'e $\widetilde g\circ \widetilde f$ commuta con $\Gamma$ e i traslati di $D$ secondo $\Gamma$ coprono interamente $\matH^n$, otteniamo $d(\widetilde g(\widetilde f(x)),x)\leqslant b$ per ogni $x\in \matH^n$. Quindi 
$$d(x_1,x_2) - 2b \leqslant d\big( \widetilde g (\widetilde f(x_1)), \widetilde g (\widetilde f(x_2)) \big) \leqslant C_1 \cdot d\big(\widetilde f(x_1), \widetilde f(x_2)\big) $$
per ogni $x_1,x_2 \in \matH^n$. Quindi $\widetilde f$ \`e una pseudo-isometria con $C_2 = 2b/C_1$.
\end{proof}

\subsection{Estensione al bordo di una pseudo-isometria}
Dedichiamo questa sezione alla dimostrazione del fatto seguente.
\begin{teo} Una pseudo-isometria $F\colon \matH^n \to \matH^n$ si estende ad una funzione continua $F\colon \overline{\matH^n} \to \overline{\matH^n}$ la cui restrizione al bordo \`e una funzione iniettiva $\partial \matH^n \to \partial \matH^n$.
\end{teo}
Divideremo la dimostrazione in alcuni lemmi.
\begin{lemma}
Sia $r\subset \matH^n$ una retta e $\pi\colon \matH^n \to r$ la proiezione ortogonale su $r$. Sia $x\in\matH^n$ un punto a distanza $s>0$ da $r$ e $d$ la massima dilatazione di $\pi$ in $x$. Vale
$$d =\frac 1 {\cosh s}.$$
\end{lemma}
\begin{proof}
Rappresentiamo $\matH^n$ con il modello del semispazio, con $r$ e $x$ come in Fig.~\ref{cosh:fig}-(sinistra): la retta $r$ \`e l'asse positivo e $x$ \`e un punto qualsiasi. Sia $s$ la distanza tra $x$ e $\pi(x)$. Mostriamo che
$$\cosh s = \frac 1 {\cos \theta}.$$
Per dimostrare questa uguaglianza consideriamo $\matH^2$ come semispazio dentro $\matC$ e con $\pi(x) = i$. Consideriamo la geodetica $\gamma$ di velocit\`a unitaria mostrata in figura, parametrizzata in modo che $\gamma(0) = \pi(x)$ e $\gamma(s)=x$. Troviamo una parametrizzazione esplicita per $\gamma$.

Sappiamo che una geodetica verticale $\eta$ \`e parametrizzata come $\eta(t) = ie^t$. La trasformazione di M\"obius
$$z \mapsto \frac{z+1}{-z+1}$$
manda $0, \infty$ in $1, -1$ e quindi trasforma $\eta$ in $\gamma$. Otteniamo 
$$\gamma(t) = \frac{ie^{t}+1}{-ie^{t}+1}.$$
Quindi
$$ x = \frac{ie^{s}+1}{-ie^{s}+1}$$
da cui otteniamo
$$\cos\theta = \Im x = \Im \frac{(ie^s+1)^2}{e^{2s}+1} = 2\frac{2e^s}{e^{2s}+1} = \frac 2{e^s+e^{-s}} = \frac 1 {\cosh s}.$$

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 12 cm] {cosh.pdf} 
\nota{Il coseno iperbolico della distanza fra $x$ e $\pi(x)$ \`e l'inverso del coseno di $\theta$ (sinistra). Prendiamo la decomposizione ortogonale del tangente $T_x$ suggerita in figura (destra).}
\label{cosh:fig}
\end{center}
\end{figure}

A questo punto consideriamo il differenziale $d\pi_x\colon T_x \to T_{\pi(x)}$ ed identifichiamo entrambi gli spazi tangenti con $\matR^n$. Consideriamo la decomposizione ortogonale $T_x = U \oplus V$ suggerita in Fig.~\ref{cosh:fig}-(destra), dove $U$ \`e la retta vettoriale generata da $x$ e $V= U^\bot$. Vediamo che $V=\ker d\pi_x$ mentre il generatore $u$ di $U$ viene ruotato di un angolo $-\theta$ da $d\pi_x$. Rispetto alla metrica euclidea $\|d\pi_x(u)\|=\|u\|$, ma rispetto alla metrica iperbolica abbiamo
$$\frac{\|d\pi_x(u)\|}{\|u\|} = \frac {x_n}{\pi(x)_n} = \cos\theta = \frac 1{\cosh s}$$
dove $y_n$ indica l'ultima coordinata del vettore $y$, da cui la tesi.
\end{proof}

Indichiamo con $\overline{pq}$ il segmento che unisce due punti $p,q\in\matH^n$, e con $N_r(A)$ il luogo dei punti distanti al pi\`u $r$ dal sottoinsieme $A\subset \matH^n$.

\begin{lemma}
Sia $F\colon\matH^n\to\matH^n$ una pseudo-isometria. Esiste $R>0$ tale che 
$$F(\overline{pq}) \subset N_R\big(\overline{F(p)F(q)}\big)$$ 
per ogni $p,q\in\matH^n$. 
\end{lemma}
\begin{proof}
Fissiamo un raggio $R$ sufficientemente grande in modo da avere $\cosh R > C_1^2$. Sia $l$ una retta che contiene i punti $F(p)$ e $F(q)$. Mostriamo che la curva $F(\overline{pq})$ pu\`o uscire da $N_R(l)$, ma pu\`o farlo solo per un tempo limitato. Sia $\overline {rs} \subset \overline {pq}$ un sottosegmento massimale tale che la curva $F(\overline{rs})$ sia interamente disgiunta dalla parte interna di $N_R(l)$, come la curva blu in Fig.~\ref{Mostow:fig}-(sinistra).

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 12 cm] {Mostow.pdf} 
\nota{L'immagine di un segmento attraverso una pseudo-isometria $F$ non pu\`o discostarsi troppo da un segmento.}
\label{Mostow:fig}
\end{center}
\end{figure}

Mostriamo che la lunghezza $d(r,s)$ del segmento $\overline{rs}$ \`e limitata da una costante che dipende solo da $C_1$ e $C_2$. Il fatto che $F$ sia una pseudo-isometria implica che
\begin{equation}
\frac 1{C_1} d(r,s) - C_2 \leqslant d(F(r), F(s)). \label{Mostow1:eqn}
\end{equation}
Adesso stimiamo $d(F(r), F(s))$ usando la curva rossa mostrata in Fig.~\ref{Mostow:fig}-(sinistra).
Poich\'e $F$ \`e $C_1$-Lipschitz, la curva blu \`e lunga al pi\`u $C_1 d(r,s)$. La proiezione della curva blu sulla retta $l$ ha dilatazione al pi\`u $1/{\cosh R}$ per il Lemma precedente, quindi la porzione di curva rossa dentro $l$ \`e lunga al pi\`u $C_1d(r,s)/\cosh R$. Quindi 
\begin{equation}
d(F(r), F(s)) \leqslant C_1 \frac {d(r,s)}{\cosh R} + 2R. \label{Mostow2:eqn}
\end{equation}
Combinando (\ref{Mostow1:eqn}) e (\ref{Mostow2:eqn}) troviamo
$$\frac{1}{C_1}d(r,s) - C_2 \leqslant C_1\frac{d(r,s)}{\cosh R} + 2R$$
Poich\'e $\cosh R > C_1^2$ otteniamo $d(r,s) < M$ per una costante $M$ che dipende solo da $C_1$ e $C_2$. Abbiamo dimostrato che la curva $F(\overline {pq})$ esce da $N_R(l)$ solo in sottosegmenti di lunghezza $<M$. Poich\'e $F$ \`e $C_1$-Lipchitziana la curva $F(\overline{pq})$ non pu\`o allontanarsi da $N_r(l)$ pi\`u di una distanza $C_1M/2$. Quindi a meno di sostituire $R$ con $R+C_1M/2$ la curva $F(\overline{pq})$ giace tutta in $N_R(l)$.

Ci resta da mostrare che $F(\overline{pq})$ non esce dal sottoinsieme limitato $N_R(\overline{F(p)F(q)})$: la dimostrazione \`e analoga (ma pi\`u semplice) a quella gi\`a vista. Scegliamo un segmento massimale $\overline{rs}$ su cui la curva \`e fuori da $N_R(\overline{F(p)F(q)})$ come in Fig.~\ref{Mostow:fig}. Usando il percorso rosso otteniamo
$$d(F(r), F(s))\leqslant 2R$$
che combinato con la disuguaglianza (\ref{Mostow1:eqn}) implica
$$\frac 1{C_1} d(r,s) - C_2 \leqslant 2R.$$
Come prima, ne deduciamo che la curva $F(\overline{rs})$ si allontana di una distanza finita da $N_R(\overline{F(p)F(q)})$ e quindi (a meno di cambiare $R$ con un raggio pi\`u grande) abbiamo concluso.
\end{proof}

In tutti questi lemmi la costante $R$ dipende soltanto da $C_1$ e $C_2$.

\begin{lemma}
Sia $F\colon \matH^n \to \matH^n$ una pseudo-isometria. Esiste $R>0$ tale che per ogni $p\in\matH^n$ e ogni semiretta $l$ uscente da $p$ esiste un'unica semiretta $l'$ uscente da $F(p)$ tale che
$$F(l) \subset N_R(l').$$
\end{lemma}
\begin{proof}
Parametrizziamo la semiretta $l$ come geodetica $l\colon [0,+\infty) \to \matH^n$ con $f(0)=p$ e velocit\`a unitaria. Il fatto che $F$ sia una pseudo-isometria implica subito che 
$$\lim_{t\to\infty} d\big(F(p), F(l(t))\big) \to \infty.$$
Per $i$ sufficientemente grande consideriamo il segmento con estremi $F(p)$ e $F(l(i))$. Sia $v_i\in T_{F(p)}$ il vettore unitario tangente che punta verso $F(l(i))$. Mostriamo che la successione $\{v_i\}_{i\in\matN}$ \`e di Cauchy: sia $\alpha_{ij}$ l'angolo formato dai vettori $v_i$ e $v_j$, e sia $R>0$ la costante fornita dal lemma precedente. Dato $\varepsilon >0$, sia $M>0$ tale  
$d(F(p), F(l(i)) > R\varepsilon^{-1}$ per ogni $i>M$; mostriamo che $\alpha_{ij}<\varepsilon $ per ogni $i>j>M$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10 cm] {Mostow2.pdf} 
\nota{Tutto l'arco da $F(p)$ in $F(l(i))$ \`e contenuto in un $R$-intorno (disegnato in giallo) del segmento con estremi $F(p)$ e $F(l(i))$.}
\label{Mostow2:fig}
\end{center}
\end{figure}

Per il Lemma precedente il punto $F(l(j))$ \`e contenuto in un $R$-intorno del segmento $\overline{F(p)F(l(i))}$ come mostrato in Fig.~\ref{Mostow2:fig}. Il segmento rosso mostrato in figura \`e quindi pi\`u piccolo di $R$. D'altra parte il segmento $\overline{F(p)F(l(j))}$ \`e pi\`u lungo di $R\varepsilon^{-1}$: quindi $\alpha_{ij}<\varepsilon$.
\appunto{Scrivere da qualche parte Pitagora iperbolico e mettere bene le costanti qui.}

La successione di Cauchy $v_i$ nella sfera unitaria di $T_{F(p)}$ converge ad un vettore unitario $v'$. Definiamo quindi $l'$ come la semiretta uscente da $F(p)$ con tangente $v'$. \`E facile concludere che $F(l)\subset N_R(l')$ e che $l'$ \`e l'unica semiretta uscente da $F(p)$ con questa propriet\`a.
\end{proof}
Il lemma precedente associa ad ogni semiretta $l$ di $\matH^n$ un'altra semiretta $l'$. Possiamo quindi estendere la pseudo-isometria $F\colon \matH^n\to \matH^n$ al bordo $\partial\matH^n$ nel modo seguente: se $l$ punta verso un punto $x\in\partial \matH^n$, definiamo $F(x)$ come il punto $\partial \matH^n$ puntato da $l'$.

\begin{lemma}
L'estensione al bordo $F\colon \partial \matH^n \to \partial\matH^n$ \`e ben definita e iniettiva.
\end{lemma}
\begin{proof}
Siano $l_1, l_2$ due semirette distinte che puntano verso lo stesso punto $x\in\matH^n$: dobbiamo mostrare che $l_1',l_2'$ puntano verso lo stesso punto $F(x)$. Parametrizziamo tutte le semirette come geodetiche $[0,+\infty) \to \matH^n$ con velocit\`a unitaria. Esiste un $M>0$ tale che $d(l_1(t), l_2(t))<M$ per ogni $t$. Se per assurdo $l_1'$ e $l_2'$ puntassero verso punti diversi, otterremmo $d(l_1(t'), l_2(t')) \to \infty$ e quindi anche $d\big(F(l_1(t)), F(l_2(t))\big) \to +\infty$, contraddicendo il fatto che $F$ \`e una quasi-isometria.

Mostriamo analogamente che $F$ \`e iniettiva. Se $l_1$ e $l_2$ sono semirette che puntano verso punti distinti, allora $d(l_1(t), l_2(t)) \to \infty$ e quindi $d(l_1'(t), l_2'(t)) \to \infty$ perch\'e $F$ \`e una pseudo-isometria. Quindi $l_1'$ e $l_2'$ puntano verso punti distinti.
\end{proof}

I prossimi lemmi servono per dimostrare che l'estensione $F\colon \overline{\matH^n} \to \overline{\matH^n}$ \`e continua. Innanzitutto estendiamo alle rette ci\`o che abbiamo gi\`a dimostrato per le semirette.
\begin{lemma}
Sia $F\colon \matH^n \to \matH^n$ una pseudo-isometria. Esiste $R>0$ tale che per ogni retta $l$ esiste un'unica retta $l'$ tale che $F(l) \subset N_R(l')$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Parametrizziamo $l$ come $(-\infty,+\infty) \to \matH^n$. Sappiamo gi\`a (spezzando $l$ in due semirette) che $F(l(t))$ \`e una curva continua che tende a due punti distinti $x_\pm\in\partial\matH^n$ per $t\to\pm\infty$. Sappiamo anche che per ogni $t>0$ vale
$$F\big(l([-t,t])\big) \subset N_R\left(\overline{F(l(-t))F(l(t))}\right)$$
e mandando $t\to +\infty$ ne deduciamo che $F(l)\subset N_R(l')$ dove $l'$ \`e la retta con estremi $x_-$ e $x_+$.
\end{proof}

Il prossimo lemma asserisce che una pseudo-isometria non distorce troppo le relazioni fra rette e iperpiani ortogonali.

\begin{lemma}
Sia $F\colon\matH^n \to \matH^n$ una pseudo-isometria. Esiste $R>0$ tale che per ogni retta $l$ e ogni iperpiano $H$ ortogonale a $l$, la proiezione di $F(H)$ ortogonale su $l'$ ha come immagine un segmento di lunghezza minore di $R$.
\end{lemma}
\begin{proof}
La configurazione \`e descritta in Fig.~\ref{Mostow3:fig}. Assicurandosi sempre che la costante $R$ che si ottiene dipenda solo da $C_1$ e $C_2$, \`e sufficiente considerare al posto di $H$ una retta generica $s\subset H$ passante per il punto $p=l\cap H$. Per i lemmi precedenti l'immagine $F(s)$ \`e a distanza $R$-limitata dalla retta $s'$: \`e quindi sufficiente dimostrare che la proiezione di $s'$ su $l'$ abbia immagine limitata (da una costante che dipende solo da $C_1$ e $C_2$). Questa immagine \`e in generale un segmento, i cui estremi sono le immagini dei punti all'infinito di $s'$. \`E quindi sufficiente considerare l'immagine di un punto all'infinito di $s'$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 12 cm] {Mostow3.pdf} 
\nota{Siano $l$ una retta e $H$ un iperpiano ortogonali: la proiezione ortogonale di $H$ su $l$ ha come immagine ovviamente solo il punto $l\cap H$. Una pseudo-isometria distorce questa configurazione di poco: la proiezione dell'immagine $F(H)$ proiettata sulla retta $l'$ \`e un segmento limitato.}
\label{Mostow3:fig}
\end{center}
\end{figure}

Consideriamo quindi la Fig.~\ref{Mostow4:fig}, ed in particolare la proiezione $f$ di $F(s^\infty)$ su $l'$. In figura sono mostrate le rette $s_1$ e $s_2$, che hanno distanze $d=d_1 = d_2$ fissate ($\cosh d_i = \sqrt 2$) da $p$. L'immagine $F(p)$ \`e $C_1d$-vicina alle curve $F(s_i)$ che sono a loro volta $R$-vicine alle rette $s_i'$, quindi $F(p)$ \`e $(C_1d+R)$-vicina alle rette $s_i'$. Il punto $F(p)$ \`e $R$-vicino a $l'$; quindi se indichiamo con $q$ la proiezione di $F(p)$ su $l'$ otteniamo che $q$ \`e $(C_1d+2R)$-vicino ad entrambe $s_1'$ e $s_2'$. Questo fatto implica facilmente che $f$ \`e $(C_1d+2R)$-vicino al punto $q$, che non dipende da nessuna scelta: abbiamo concluso.
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 12 cm] {Mostow4.pdf} 
\nota{Le rette $l'$, $s_1'$ e $s_2'$ approssimano a meno di un errore additivo $R$ le immagini di $l$, $s_1$ e $s_2$. La proiezione $q$ di $F(p)$ su $l'$ \`e quindi vicina a $F(p)$, che \`e a sua volta vicino alle rette $s_i'$. Quindi la proiezione $f$ di $F(s^\infty)$ su $l'$ \`e vicina a $q$. }
\label{Mostow4:fig}
\end{center}
\end{figure}
\end{proof}

\begin{lemma}
L'estensione $F\colon \overline{\matH^n} \to \overline{\matH^n}$ \`e continua.
\end{lemma}
\begin{proof}
Consideriamo $x\in \partial \matH^n$ e la sua immagine $F(x) \in \partial \matH^n$. Sia $l$ una semiretta che punta su $x$: quindi $l'$ punta su $F(x)$. Un sistema di intorni per $F(x)$ \`e dato da tutti i semispazi ortogonali a $l'$ contenenti $F(x)$: fissiamo un tale semispazio $S$. 

Sia $R>0$ la costante fornita dal lemma precedente. Esiste un punto $p \in l$ per cui l'intera semiretta $\overline{px}$ \`e mandata tramite $F$ dentro $S$ a distanza almeno $R$ da $\partial S$. Per il lemma precedente, l'immagine di ogni iperpiano $H$ ortogonale ad un punto di $\overline{px}$ \`e quindi contenuta in $S$: quindi l'intero semispazio determinato da $\overline{px}$ \`e spedito dentro $S$ da $F$. Quindi $F$ \`e continua in ogni punto del bordo $x$ (e sappiamo gi\`a che lo \`e all'interno).
\end{proof}

Abbiamo finalmente dimostrato che ogni pseudo-isometria $F$ si estende con continuit\`a al bordo, e che la sua estensione al bordo \`e iniettiva.

\subsection{Conclusione della dimostrazione del Teorema di Mostow}
Nelle sezioni precedenti abbiamo raccolto quasi tutte le informazioni necessarie per concludere finalmente la dimostrazione del Teorema di rigidit\`a di Mostow. Mancano ancora alcuni fatti, tra cui il seguente.

\begin{lemma} \label{regolare:lemma}
Sia $f\colon M \to N$ una equivalenza omotopica liscia fra variet\`a iperboliche chiuse orientabili e $\widetilde f\colon \matH^n \to \matH^n$ un suo sollevamento. L'estensione di $\widetilde f$ su $\partial\matH^n$ manda i vertici di un simplesso ideale regolare nei vertici di un simplesso ideale regolare.
\end{lemma}
\begin{proof}
Ricordiamo innanzitutto che $\widetilde f$ \`e una pseudo-isometria e si estende quindi ad una funzione continua su tutto $\overline {\matH^n}$ che manda il bordo in s\'e. Supponiamo per assurdo che esistano dei vertici $w_0,\ldots, w_n$ di un simplesso ideale regolare (avente quindi volume massimo $v_n$) le cui immagini $\widetilde f(w_0),\ldots ,\widetilde f(w_n)$ determinano un simplesso ideale non regolare, avente quindi volume pi\`u piccolo di $v_n-2\varepsilon$ per qualche $\varepsilon >0$. Per continuit\`a esiste per ogni $i$ un intorno $U_i$ di $w_i$ in $\overline{\matH^n}$ tale che il volume del simplesso con vertici $\widetilde f(u_0), \ldots, \widetilde f(u_n)$ \`e minore di $v_n-\varepsilon$ per qualsiasi scelta dei vertici $u_i\in U_i$. 
\appunto{Motivare continuit\`a.}

Nella Sezione \ref{efficienti:subsection} abbiamo definito per ogni $t<0$ un ciclo efficiente
$$\alpha(t) = \sum_{\omega \in \Omega} \lambda_\omega(t) \cdot \sigma_\omega.$$
Ricordiamo come \`e definito $\alpha(t)$. Abbiamo $M = \matH^n/_\Gamma$ e prendiamo un punto $x_0\in M$, che induce un insieme discreto $p^{-1}(x_0)$ di punti ed una tassellazione di $\matH^n$ in domini di Dirichlet $D(x)$ al variare di $x\in p^{-1}(x_0)$. Fissiamo anche una preimmagine $x\in p^{-1}(x_0)$. Definiamo quindi $\Omega = \Gamma^{n+1}/\Gamma = \{(\gamma_0,\ldots, \gamma_n)\}$ e $\sigma_\omega$ \`e il simplesso singolare con vertici $\gamma_0(x), \ldots, \gamma_n(x)$ proiettato in $M$. Il coefficiente $\lambda_\omega(t)$ \`e la ``quantit\`a'' (con segno) di $t$-simplessi aventi vertici rispettivamente nei domini di Dirichlet $\gamma_0(D(x)), \ldots, \gamma_n(D(x))$. 

Abbiamo visto nella Proposizione \ref{efficiente:prop} che la successione di cicli $\alpha(t)$ \`e efficiente: sappiamo quindi che esiste un $t_0<0$ tale che per ogni $t<t_0$ ciascun simplesso singolare $\sigma_\omega$ ha volume maggiore di $v_n-\varepsilon$. Diciamo che $\sigma_\omega$ \`e \emph{cattivo} se il suo $i$-esimo vertice \`e contenuto in $U_i$, per ogni $i$. Mostriamo adesso che $\alpha(t)$ deve contenere una ``percentuale'' minima di simplessi cattivi.

Innanzitutto mostriamo che la norma 
$$\|\alpha(t)\| = \sum_{\omega\in\Omega} |\lambda_\omega(t)|$$
di $\alpha(t)$ \`e per $|t|$ sufficientemente grande un numero reale che non dipende da $t$. Sappiamo dalla dimostrazione della Proposizione \ref{ciclo:prop} che per $|t|$ abbastanza grande $\lambda_\omega$ \`e uguale a $\lambda_\omega^+$ oppure $-\lambda_\omega^-$ per ogni $\omega\in\Omega$. Rappresentiamo ogni $\gamma\in \Omega$ come $({\rm id},\gamma_1,\ldots,\gamma_n)$ e quindi ogni simplesso singolare $\sigma_\omega$ come il simplesso di vertici $x, \gamma_1(x), \ldots, \gamma_n(x)$ composto con la proiezione $p\colon \matH^n\to M$. Il numero $\|\alpha(t)\|$ \`e quindi semplicemente la ``quantit\`a'' di $t$-simplessi in $\matH^n$ aventi il primo vertice nel dominio $D(x)$ e gli altri vertici ovunque. Questi simplessi sono in naturale corrispondenza biunivoca con le isometrie che mandano $x$ in un punto qualsiasi di $D(x)$, la cui misura non dipende da $t$ (ed \`e pari proprio a $\Vol(D(x)) = \Vol(M)$ per l'Osservazione \ref{Haar:oss}).

Stimiamo adesso il contributo dei simplessi cattivi, cio\`e il numero reale
$$\|\beta(t)\| = \sum |\lambda_\omega (t)|$$
dove la somma \`e presa solo sui simplessi singolari cattivi $\omega$. Scegliamo $x \in p^{-1}(x_0)$ tale che $D(x)$ sia interamente contenuto nell'aperto $U_0$. Ragionando come sopra, vediamo che $\|\beta(t)\|$ \`e la ``quantit\`a'' di $t$-simplessi con vertici $w_0 \in D(x)$ e $w_i \in U_i$ per ogni $i>0$. \`E facile vedere che per $t$ abbastanza grande questa quantit\`a \`e maggiore di una costante che non dipende da $t$.

Abbiamo quindi mostrato che la ``percentuale'' $\|\beta(t)\| / \|\alpha(t)\|$ di simplessi cattivi \`e maggiore di una costante $C$ che non dipende da $t$. Da questo giungiamo facilmente ad un assurdo. Dato un simplesso singolare raddrizzato $\sigma$ in $M$, definiamo $f_*(\sigma)$ come il simplesso ottenuto raddrizzando $f\circ \sigma$. Ricordiamo che $[M] = k(t)\alpha(t)$ per un numero reale $\alpha(t)>0$ dipendente da $t$. La mappa $f_*\colon H_n(M,\matR) \to H_n(N,\matR)$ ha grado uno e manda il ciclo $k(t)\cdot \alpha(t)$ nel ciclo 
$$k(t)\cdot f_*(\alpha(t)) = k(t)\sum_{\omega\in\Omega} \lambda_\omega(t) \cdot f_*(\sigma_\omega)$$
che rappresenta $[N]$. Poich\'e $f$ \`e una equivalenza omotopica vale $\Vol(M) = \Vol(N)$ per il Corollario \ref{stesso:volume:cor}. Quindi se $\eta_M$ e $\eta_N$ sono le forme volume di $M$ e $N$ otteniamo $f^*\eta_N = \eta_M$ e quindi
$$\Vol(M) = \int_{k(t)\cdot \alpha(t)} \eta_M = \int_{k(t)\cdot f_*(\alpha(t))} \eta_N = \Vol(N).$$
Sappiamo per\`o che una percentuale $>C>0$ di simplessi $\sigma_\omega$ \`e cattiva, e l'immagine $f_*(\sigma_\omega)$ di un simplesso cattivo ha volume $<v_n-\varepsilon$. Quindi
$$\int_{k(t)\cdot f_*(\alpha(t))} < \|N\| \big((1-C)v_n + C(v_n-\varepsilon)\big) = \Vol(N) -C\|N\|\varepsilon$$
e quindi giungiamo finalmente ad un assurdo.
\end{proof}

Nei risultati seguenti usiamo per la prima volta l'ipotesi $n\geqslant 3$.
\begin{prop} \label{riflessione:prop}
Sia $\Delta\subset \matH^n$ un simplesso ideale regolare e $F$ una sua $(n-1)$-faccia. Se $n\geqslant 3$ gli unici simplessi ideali regolari in $\matH^n$ aventi $F$ come faccia sono $\Delta$ e $r(\Delta)$, dove $r$ \`e la riflessione lungo l'iperpiano contenente $F$.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $\Delta'$ un simplesso ideale regolare con faccia $F$. La faccia $F$ \`e un simplesso ideale di dimensione $n-1\geqslant 2$ e quindi ha un ben definito ``centro'' $O$ ottenuto (ad esempio) intersecando gli ``assi'' di $F$, ottenuti prendendo per ogni vertice $v$ l'unica retta passante per $v$ ortogonale alla faccia opposta. Il vertice di $\Delta'$ opposto a $F$ deve giacere sulla retta ortogonale ad $F$ nel punto $O$, quindi ci sono solo due possibilit\`a $\Delta'= \Delta$ oppure $\Delta' = r(\Delta)$.
\end{proof}

Dato un $n$-simplesso non degenere $\Delta \subset \matH^n$ definiamo l'insieme $R(\Delta)$ di $n$-simplessi come l'insieme di tutti i simplessi ottenuti iterativamente da $\Delta$ specchiando lungo le facce.\footnote{Formalmente, poniamo $R_0 = \{\Delta\}$ e definiamo $R_{i+1}$ come l'insieme di tutti i simplessi ottenuti specchiando i simplessi i $R_i$ lungo gli iperpiani che contengono le loro $(n-1)$-facce. Definiamo infine $R(\Delta)=\cup_{i=0}^\infty R_i$.} Se $\Delta$ \`e un simplesso regolare di dimensione 2 l'insieme $R(\Delta)$ \`e la tassellazione di Farey gi\`a considerata nella Fig.~\ref{tiling_Farey:fig} del Capitolo \ref{singolarita:chapter}. Anche se $\Delta$ \`e un simplesso regolare di dimensione 3 otteniamo una tassellazione di $\matH^3$. Se per\`o $\Delta$ \`e un simplesso regolare di dimensione $\geqslant 4$ non otteniamo pi\`u una tassellazione perch\'e i simplessi di $R(\Delta)$ si sovrappongono. In ogni caso otteniamo facilmente il fatto seguente.

\begin{prop}
Sia $\Delta$ un simplesso ideale regolare in $\matH^n$. L'unione dei vertici di tutti i simplessi in $R(\Delta)$ \`e un sottoinsieme denso di $\partial\matH^n$.
\end{prop}
\appunto{Da dimostrare}

Possiamo finalmente dimostrare il cuore del Teorema di Mostow.

\begin{cor}
Sia $f\colon M \to N$ una equivalenza omotopica liscia fra variet\`a iperboliche chiuse orientabili di dimensione $n\geqslant 3$. L'estensione $\widetilde f|_{\partial H^n}\colon \partial \matH^n \to \partial \matH^n$ \`e la traccia di una isometria $\psi\colon \matH^n \to \matH^n$.
\end{cor}
\begin{proof}
Siano $v_0,\ldots, v_n$ vertici di un simplesso ideale regolare $\Delta$: sappiamo che anche $\widetilde f(v_0), \ldots, \widetilde f(v_n)$ sono vertici di un simplesso ideale regolare. Sia $\psi$ l'unica isometria di $\matH^n$ tale che $\psi (v_i) = \widetilde f(v_i)$ per ogni $i$. 

Sia $\psi$ che $\widetilde f$ sono iniettive e mandano i vertici di un simplesso ideale regolare nei vertici di un simplesso ideale regolare. Sia $r$ la riflessione lungo la faccia opposta al vertice $v_0$: dalla Proposizione \ref{riflessione:prop} segue che i punti $\psi(p(v_0))$ e $\widetilde f(p(v_0))$ sono entrambi forzati ad essere l'unico vertice diverso da $\psi(v_0) = \widetilde f(v_0)$ che determina un simplesso ideale regolare con gli altri vertici $\widetilde f(v_1), \ldots, \widetilde f(v_n)$. Quindi $\psi$ e $\widetilde f$ coincidono su $p(v_0)$. 

Iterando questo argomento troviamo che $\psi$ e $\widetilde f$ coincidono su tutti i vertici di tutti i simplessi in $R(\Delta)$. Poich\'e questi vertici formano un denso, le due funzioni coincidono su tutto $\partial \matH^n$. 
\end{proof}

Possiamo finalmente dimostrare il Teorema di rigidit\`a di Mostow.
\begin{teo} Sia $f\colon M \to N$ una equivalenza omotopica fra variet\`a iperboliche orientabili chiuse. La mappa $f$ \`e omotopicamente equivalente ad una isometria.
\end{teo}
\begin{proof}
A meno di omotopia supponiamo che $f$ sia liscia. Poniamo $M = \matH^n/_\Gamma$ e $N = \matH^n/_\Lambda$. La scelta di un punto base fornisce una identificazione dei gruppi $\Gamma$ e $\Lambda$ con i gruppi fondamentali di $M$ e $N$ e quindi un isomorfismo $f_*\colon \Gamma \to \Lambda$. Scegliamo il sollevamento $\widetilde f\colon\matH^n\to\matH^n$ in modo che $\widetilde f \circ \gamma = f_*(\gamma) \circ \widetilde f$ per ogni $\gamma \in \Gamma$.

Sappiamo che esiste una isometria $\psi\colon\matH^n \to \matH^n$ che coincide con $\widetilde f$ sul bordo. Quindi sul bordo vale l'uguaglianza $\psi\circ\gamma = f_*(\gamma)\circ \psi$ per ogni $\gamma \in \Gamma$. Due isometrie che coincidono al bordo sono identiche su tutto $\matH^n$: quindi la stessa uguaglianza vale su tutto $\matH^n$ per ogni $\gamma\in\Gamma$. Quindi l'isometria $\psi$ scende ad una isometria 
$$\psi\colon M \to N.$$
Una omotopia fra $f$ e $\psi$ si costruisce semplicemente proiettando su $M$ la combinazione convessa di $\widetilde f$ e $\psi$ in $\matH^n$.

%Mostriamo infine che l'isometria $\psi$ \`e unica a meno di omotopia: l'omotopia $M\times [0,1] \to N$ fra due isometrie $\psi$ e $\varphi$ si solleva ad una omotopia $\matH^n \times [0,1] \to \matH^n$ sui rivestimenti universali, che sposta i punti 
\end{proof}

\subsection{Conseguenze del teorema}
La conseguenza pi\`u importante del teorema di rigidit\`a di Mostow \`e il fatto che l'intera geometria di una variet\`a iperbolica $M$ di dimensione $n\geqslant 3$ \`e un invariante topologico. In questo modo si estende (in modo pi\`u forte) ad alcune variet\`a di dimensione $n\geqslant 3$ la nozione di \emph{geometrizzazione} che per le superfici \`e fornita dal teorema di uniformizzazione di Riemann.

Oltre a questo fatto fondamentale il teorema di Mostow ha altre conseguenze importanti. Dati due gruppi $H< G$ ricordiamo la differenza fra \emph{normalizzatore} e \emph{normalizzato} di $H$ in $G$: il normalizzatore \`e il pi\`u grande sottogruppo $N<G$ contenente $H$ tale che $H\triangleleft N$, mentre il normalizzato \`e il pi\`u piccolo sottogruppo $K<G$ contenente $H$ tale che $K\triangleleft G$. Indichiamo con $N(H)$ il normalizzatore di $H$ in $G$. Il risultato seguente \`e un fatto molto generale che non dipende dal teorema di Mostow. 

\begin{prop}
Sia $M=\matH^n/_\Gamma$ una variet\`a iperbolica completa. Esiste un isomorfismo naturale 
$$\Iso(M) \Isom N(\Gamma)/_\Gamma.$$
\end{prop}
\begin{proof}
Ogni isometria $\varphi\colon M \to M$ si solleva ad una mappa $\widetilde \varphi$ che faccia commutare il diagramma
$$
\xymatrix{ 
\matH^n\ar@{.>}[r]^{\widetilde \varphi} \ar[d]_p & \matH^n \ar[d]^p \\
M\ar[r]_\varphi & M
}
$$
tale che per ogni $\gamma\in\Gamma$ le isometrie $\widetilde \varphi\circ\gamma$ e $\widetilde\varphi$ differiscano per un automorfismo del rivestimento, cio\`e per un elemento $\gamma'\in\Gamma$. In altre parole $\widetilde\varphi\circ\gamma\circ\widetilde\varphi^{-1}\in\Gamma$ per ogni $\gamma\in\Gamma$, cio\`e $\widetilde\varphi\in N(\Gamma)$. Il sollevamento $\widetilde\varphi$ \`e unico a meno di moltiplicazione (a sinistra o a destra) per elementi di $\Gamma$. Il sollevamento da $\varphi$ a $\widetilde \varphi$ definisce quindi un omomorfismo 
$$\Iso(M) \to N(\Gamma)/_\Gamma.$$
\`E immediato verificare la suriettivit\`a (un elemento di $N(\Gamma)$ determina una isometria) e l'iniettivit\`a (se $\widetilde\varphi$ \`e un elemento di $\Gamma$ allora $\varphi$ \`e l'identit\`a).
\end{proof}

Dato un gruppo $G$ indichiamo con $\Aut(G)$ il gruppo dei suoi automorfismi e con $\Int(G)\triangleleft \Aut(G)$ il sottogruppo normale formato dagli automorfismi interni. Definiamo quindi il quoziente
$$\Out(G) = \Aut(G)/_{\Int(G)}$$
degli automorfismi \emph{esterni}. Sia $X$ uno spazio topologico connesso per archi. Sappiamo bene che $\pi_1(X)$ dipende dalla scelta di un punto base, e che punti base diversi danno gruppi isomorfi ma in modo non canonico: l'isomorfismo fra $\pi_1(X,x_0)$ e $\pi_1(X,x_1)$ dipende dalla scelta di un arco che collega $x_0$ e $x_1$ e quindi \`e determinato solo a meno di un automorfismo interno. Nel gruppo $\Out(\pi_1(X))$ gli automorfismi interni per\`o non hanno pi\`u nessun effetto e quindi esiste un isomorfismo canonico tra $\Out(\pi_1(X,x_0))$ e $\Out(\pi_1(X,x_1))$.

Sia $\Omeo(X)$ il gruppo degli omeomorfismi di $X$ in s\'e. Un omeomorfismo sposta il punto base e quindi non \`e ben definita una mappa da $\Omeo (X)$ in $\pi_1(X)$. Per quanto abbiamo appena detto \`e per\`o ben definito un omomorfismo di gruppi
$$\Omeo (X) \to \Out(\pi_1(X)).$$
In generale questo omomorfismo non \`e n\'e iniettivo n\'e suriettivo. \`E facile vedere che due omeomorfismi omotopi inducono lo stesso automorfismo esterno. Useremo il seguente facile esercizio.
\begin{ex}
Sia $M=\matH^n/_\Gamma$ una variet\`a iperbolica chiusa. L'unica isometria di $\matH^n$ che commuta con tutti gli elementi di $\Gamma$ \`e l'identit\`a.
\end{ex}

\begin{prop} Se $M$ \`e una variet\`a iperbolica chiusa la mappa
$$\Iso(M) \to \Out(\pi_1(M))$$
\`e iniettiva.
\end{prop}
\begin{proof}
Poniamo $M=\matH^n/_\Gamma$ e identifichiamo $\Iso(M)$ con $N(\Gamma)/_\Gamma$ e $\Gamma$ con $\pi_1(M)$. Con queste identificazioni la mappa
$$N(\Gamma)/_\Gamma \to \Out(\Gamma)$$
\`e semplicemente l'azione di coniugio, che manda un elemento $\gamma \in N(\Gamma)$ nell'automorfismo $x \mapsto \gamma^{-1}x\gamma$ di $\Gamma$. L'automorfismo \`e banale (cio\`e \`e interno) se e solo se esiste $\eta \in\Gamma$ tale che $\gamma^{-1}x\gamma = \eta^{-1}x\eta$ per ogni $x\in\Gamma$, cio\`e tale che $\gamma\eta^{-1}$ commuta con tutti gli elementi di $\Gamma$. Dall'esercizio precedente segue che $\gamma = \eta\in\Gamma$ e quindi $\gamma$ \`e banale in $N(\Gamma)/_\Gamma$. La mappa \`e quindi iniettiva.
\end{proof}
\begin{cor}
Sia $M$ una variet\`a iperbolica chiusa. Il gruppo $\Iso(M)$ \`e finito. Due isometrie distinte non sono omotopicamente equivalenti.
\end{cor}
\begin{proof}
Due isometrie distinte hanno immagini in $\Out(\pi_1(M))$ distinte e quindi non sono omotopicamente equivalenti. Il gruppo $\Iso(M)$ \`e un gruppo di Lie compatto perch\'e $M$ \`e una variet\`a riemanniana compatta. Mostriamo che $\Iso(M)$ \`e discreto: per fare ci\`o \`e sufficiente mostrare che l'identit\`a \`e isolata. 

Per assurdo, sia $\varphi_i$ una successione di isometrie che converge all'identit\`a. Per ogni $\varepsilon>0$ esiste $i$ tale che l'isometria $\varphi_i$ sposta i punti meno di $\varepsilon$. Prendiamo $\varepsilon$ minore del raggio di iniettivit\`a di $M$: ogni coppia di punti $x$ e $\varphi_i(x)$ \`e collegata da un'unica geodetica $\gamma_x$ di lunghezza $d(x,\varphi_i(x))$. Le geodetiche $\gamma_x$ al variare di $x\in M$ possono essere usate per definire una combinazione convessa fra $\varphi_i$ e l'identit\`a e quindi mostrare che $\varphi_i$ \`e omotopa all'identit\`a. Le isometrie sono per\`o uniche a meno di omotopia: assurdo.
\end{proof}

Usiamo finalmente il Teorema di Mostow per dimostrare il risultato seguente.

\begin{teo} Sia $M$ una variet\`a iperbolica chiusa di dimensione $n\geqslant 3$. La mappa
$$\Iso (M) \to \Out(\pi_1(M))$$
\`e un'isomorfismo.
\end{teo}
\begin{proof}
Per il teorema di Mostow la mappa \`e suriettiva. Pi\`u precisamente, ogni elemento di $\Out(\pi_1(M))$ \`e realizzato da una equivalenza omotopica $f\colon M \to M$ perch\'e $M$ \`e asferica (per la Proposizione \ref{complessi:omotopia:prop}) e la mappa $f$ \`e a sua volta omotopa ad una isometria per il Teorema di Mostow.
\end{proof}
Notiamo che quest'ultimo risultato \`e falso in dimensione $n=2$. Per una superficie iperbolica chiusa $S$ il gruppo $\Out(\pi_1(S))$ \`e infinito, mentre il gruppo di isometrie $\Iso(S)$ \`e sempre finito per quanto abbiamo appena visto.

