\chapter{Variet\`a iperboliche}

\section{Gruppi di isometrie}

\subsection{Variet\`a iperboliche, piatte e ellittiche}
Una variet\`a iperbolica, piatta o ellittica \`e una variet\`a riemanniana modellata localmente su aperti di $\matH^n$, $\matR^n$ o $S^n$.

\begin{defn} Una \emph{variet\`a iperbolica} (rispettivamente \emph{piatta} o \emph{ellittica}) \`e una $n$-variet\`a riemanniana in cui ogni punto ha un intorno aperto isometrico ad un aperto di $\matH^n$ (risp.~$\matR^n$ o $S^n$). 
\end{defn}

\begin{oss} Una variet\`a iperbolica (risp.~piatta o ellittica) ha curvatura sezionale costante $-1$ (risp.~$0$ o $+1$). \`E possibile dimostrare l'opposto, cio\`e che una variet\`a riemanniana con curvatura costante $-1$  (risp.~$0$ o $+1$) \`e necessariamente iperbolica (risp.~piatta o ellittica). 
\end{oss}

Lo scopo principale di questa sezione sar\`a dimostrare il Teorema \ref{completa:teo}, secondo cui ogni variet\`a iperbolica (piatta o ellittica) \`e ottenuta da $\matH^n$ ($\matR^n$ o $S^n$) come quoziente di un opportuno gruppo di isometrie. Per introdurre l'argomento richiamiamo innanzitutto alcuni fatti di topologia generale. 

\subsection{Azioni di un gruppo e rivestimenti}
Ricordiamo brevemente in questa sezione alcune nozioni di topologia generale.
\begin{defn} Una \emph{azione} di un gruppo $G$ su uno spazio topologico $X$ \`e un omomorfismo $\rho\colon G \to \Omeo(X)$ a valori nel gruppo $\Omeo (X)$ degli omeomorfismi da $X$ in s\'e. 
\end{defn}
Nei casi che studieremo $G$ sar\`a semplicemente un sottogruppo di $\Omeo(X)$. In generale, si indica comunque con $g(x)$ l'elemento $\rho(g)(x)$ per ogni $g\in G$ e $x\in X$. Ricordiamo che l'\emph{orbita} di un punto $x\in X$ \`e l'insieme 
$$\big\{g(x) \ \big|\ g \in G\big\} \subset X $$
mentre lo \emph{stablizzatore} di $x\in X$ \`e il sottogruppo
$$\big\{g \ \big|\ g(x)=x \big\} < G.$$
Le orbite definiscono una partizione dello spazio $X$: due punti $x,y \in X$ stanno nella stessa orbita se e solo se $y=g(x)$ per qualche $g\in G$. Lo spazio topologico quoziente $X/_G$ \`e ottenuto identificando i punti che stanno nella stessa orbita.
Diamo due definizioni importanti.
\begin{defn}
L'azione di $G$ \`e \emph{libera} se ogni $g\in G$ non banale non ha punti fissi, cio\`e $g(x)\neq x$ per ogni $x\in X$. 

L'azione \`e \emph{propriamente discontinua} se per ogni coppia di punti $x,y\in X$ esistono due intorni aperti $U_x\ni x$ e $U_y\ni y$ tali che $g(U_x)\cap U_y \neq \emptyset$ solo per un insieme finito di $g\in G$.
\end{defn}

Sia $G$ un gruppo che agisce su uno spazio topologico $X$ di Hausdorff. Ricordiamo il teorema seguente di topologia.
\begin{prop}
Sono fatti equivalenti:
\begin{enumerate}
\item  $G$ agisce in modo libero e propriamente discontinuo,
\item $X/_G$ \`e di Hausdorff e la proiezione $p\colon X\to X/_G$ \`e un rivestimento.
\end{enumerate}
\end{prop}
%\begin{proof}
%Mostriamo che (1) implica (2). Per ogni coppia di punti $x$ e $y$ in $X$ esistono due intorni aperti $U_x\ni x$ e $U_y \ni y$ tali che $g(U_x)\cap U_y$ \`e non-vuoto solo per un numero finito di $g\in G$. 

%Supponiamo che $x$ e $y$ appartengano ad orbite diverse. Usando il fatto che $X$ \`e di Hausdorff si dimostra facilmente che esistono degli intorni aperti (pi\`u piccoli) $V_x$ e $V_y$ per cui $g(V_x)\cap V_y$ \`e vuoto per ogni $g\in G$. Questo implica che $X/_G$ \`e di Hausdorff. 

%Usando lo stesso argomento con $x=y$ e il fatto che l'azione \`e libera, si vede che ogni punto $x$ ha un intorno aperto $V_x \ni x$ tale che $g(V_x)\cap V_x = \emptyset $ per ogni $g\in G$. Quindi $p|_{V_x}$ \`e un omeomorfismo sull'immagine $p(V_x)$ e la controimmagine di $p(V_x)$ \`e unione disgiunta degli aperti $g(V_x)$ al variare di $g\in G$: quindi $p$ \`e un rivestimento.

%Si dimostra in modo analogo che (2) implica (1).
%\end{proof}

Ricordiamo alcuni fatti noti sui rivestimenti. Considereremo implicitamente solo rivestimenti fra spazi sufficientemente regolari (di Hausdorff, connessi, localmente connessi per archi e localmente contrattili).

Un \emph{automorfismo} di un rivestimento $p\colon X\to Y$ \`e un omeomorfismo $f\colon X\to X$ tale che $p = p\circ f$. Gli automorfismi di un rivestimento formano un gruppo che indichiamo con $\Aut(p)$. Il gruppo $\Aut(p)$ agisce in modo libero e propriamente discontinuo su $X$. \`E quindi naturale chiedersi se il rivestimento $p\colon X \to Y$ sia il quoziente rispetto a tale azione: vediamo che questo accade solo per una classe specifica di rivestimenti. 

Ricordiamo che un rivestimento induce una mappa iniettiva $p_*\colon \pi_1(X) \to\pi_1(Y)$ a livello di gruppi fondamentali (omettiamo il punto base nella notazione). Il rivestimento \`e detto \emph{regolare} se l'immagine $p_*(\pi_1(X))$ \`e un sottogruppo normale di $\pi_1(Y)$.

\begin{prop}
Se $p\colon X\to Y$ \`e un rivestimento regolare allora $Y = X/_{\Aut(p)}$ e vale l'isomorfismo
$$\Aut(p) \Isom \pi_1(Y)/_{p_*(\pi_1(X))}.$$
\end{prop}
\begin{cor} \label{universale:cor}
Se $p\colon \widetilde X \to X$ \`e un rivestimento universale allora $X = \widetilde X/_{\Aut(p)}$ e
$$\Aut(p) \Isom \pi_1(X)$$
\end{cor}

Un rivestimento regolare $p\colon X\to Y$ pu\`o quindi sempre essere interpretato come l'effetto dell'azione di un gruppo $\Aut(p)$ su $X$.

\subsection{Gruppi di Lie}
Gli esempi pi\`u importanti di variet\`a iperboliche, piatte ed ellittiche si ottengono quozientando lo spazio iperbolico, piatto ed ellittico tramite un opportuno gruppo di isometrie. Ricordiamo la definizione seguente.

\begin{defn} Un \emph{gruppo di Lie} \`e un gruppo $G$ munito di una struttura di variet\`a differenziabile, tale che le operazioni
\begin{align*}
G\times G & \to G, \quad (a,b) \mapsto ab \\
G & \to G, \quad a \mapsto a^{-1}
\end{align*}
siano funzioni lisce. 
\end{defn}
Un gruppo di Lie di dimensione zero \`e semplicemente un insieme di punti munito della topologia discreta. Un tale gruppo di Lie \`e detto \emph{discreto}. Qualsiasi gruppo \`e in modo naturale un gruppo discreto.

I gruppi di Lie sono oggetti importanti in geometria riemanniana in virt\`u del fatto seguente, che non dimostriamo. Ricordiamo che una mappa fra spazi topologici \`e \emph{propria} se la controimmagine di un compatto \`e sempre compatta.
\begin{teo}[Myers-Steenrod]
Il gruppo di isometrie $\Iso(M)$ di una variet\`a riemanniana ha una naturale struttura di gruppo di Lie, che rende la mappa seguente liscia e propria: 
\begin{align*}
\Iso(M) \times M & \to M \times M \\
(\varphi, p) & \mapsto (\varphi(p), p)
\end{align*}
\end{teo}
Il gruppo di Lie $\Iso(M)$ pu\`o avere infinite componenti connesse e pu\`o avere dimensione zero. Il teorema di Myers-Steenrod per le variet\`a che ci interessano pu\`o essere dimostrato direttamente: abbiamo gi\`a visto che i gruppi di isometrie di $\matH^n$, $\matR^n$ e $S^n$ sono isomorfi a particolari gruppi di matrici
$$\Iso(\matH^n) \isom O_*(n,1), \quad \Iso(\matR^n) \isom O(n) \ltimes \matR^n, \quad \Iso(S^n) \isom 
O(n+1)$$
e ciascuno di questi gruppi ha una naturale struttura di gruppo di Lie.\footnote{Qui $\ltimes$ indica il prodotto semidiretto: come variet\`a $\Iso(\matR^n)$ \`e diffeomorfa a $O(n)\times \matR^n$, con un prodotto per\`o diverso da quello diretto (ma pur sempre liscio).} Tutti e tre i gruppi hanno due componenti connesse: la componente connessa contenente l'identit\`a \`e formata dalle isometrie che preservano l'orientazione. Notiamo che $\Iso(S^n)$ \`e compatto mentre $\Iso(\matH^n)$ e $\Iso(\matR^n)$ non lo sono: effettivamente, il teorema di Myers-Steenrod implica immediatamente il fatto seguente.
\begin{cor}
Il gruppo di isometrie di una variet\`a compatta \`e compatto.
\end{cor}

\subsection{Gruppi discreti di isometrie}
Se $G$ \`e un gruppo di isometrie di una variet\`a riemanniana $M$, \`e facile capire quando $G$ agisce in modo propriamente discontinuo. Ricordiamo che un sottoinsieme $Y$ di uno spazio topologico $X$ \`e \emph{discreto} se \`e chiuso e se la topologia indotta su $Y$ da $X$ \`e quella discreta.\footnote{Equivalentemente, ogni punto $x\in X$ ha un intorno $U$ tale che $U\setminus \{x\}$ non interseca $Y$.}
\begin{prop} \label{discreto:chiuso:prop}
Un sottogruppo $H<G$ di un gruppo di Lie $G$ \`e discreto se e solo se l'elemento neutro $e\in H$ \`e un punto isolato.
\end{prop}
\begin{proof}
Se $H$ \`e discreto ogni suo punto \`e isolato. D'altra parte, supponiamo che $e \in H$ sia isolato, cio\`e esiste un aperto $U\subset G$ tale che $U\cap H = \{e\}$. Per ogni $h\in H$ otteniamo $hU\cap H = \{h\}$ e quindi ogni punto $h\in H$ \`e isolato. Resta da dimostrare che $H$ \`e un sottogruppo chiuso.

Sia $p \in G\setminus H$; dobbiamo mostrare che esiste un intorno aperto $W$ di $p$ tale che $W\cap H = \emptyset$. Sia $U$ un intorno di $e$ tale che $U\cap H = \{e\}$.
Poich\'e moltiplicazione e inversa sono mappe continue, la mappa 
\begin{align*}
F\colon G\times G & \to G \\ 
(v,w) & \mapsto v^{-1}w
\end{align*} 
\`e continua. Quindi $F^{-1}(U)$ \`e un aperto in $G\times G$ contenente $(e,e)$, e per definizione di topologia prodotto esiste un intorno aperto $V$ di $e$ tale che $V\times V \subset F^{-1}(U)$. Ne segue che 
$$V\subset V^{-1}V=\big\{v^{-1}w\ \big|\ v,w \in V\big\}\subset U.$$ 
Mostriamo che l'aperto $pV$ contiene al pi\`u un elemento di $H$: se ne contiene due $pg_1, pg_2\in H$, allora $g_1^{-1}g_2 = (pg_1)^{-1}pg_2\in V\cap H = \{e\}$ implica $pg_1 = pg_2$. Togliendo da $V$ l'eventuale unico elemento di $H$ si ottiene l'intorno aperto $W$ desiderato.
\end{proof}

\begin{prop} \label{discreto:prop}
Sia $G<\Iso(M)$ un gruppo di isometrie di una variet\`a riemanniana $M$. L'azione di $G$ su $M$ \`e propriamente discontinua se e solo se $G$ \`e un sottoinsieme discreto di $\Iso(M)$.
\end{prop}
\begin{proof}
%\`E facile mostrare che, essendo $M$ di Hausdorff e localmente compatto, l'azione di $G$ \`e propriamente discontinua se e solo se vale il fatto seguente: per ogni compatto $K\subset M$ esistono un numero finito di $g\in G$ tali che $g(K)\cap K \neq \emptyset$.

Per il Teorema di Myers-Steenrod la mappa 
$$F\colon \Iso(M)\times M \to M \times M, \quad (\varphi, p) \mapsto (\varphi(p),p)$$
\`e propria. Sia $\pi\colon \Iso(M) \times M \to \Iso(M)$ la proiezione sul primo fattore. %Un insieme $K\subset M$ definisce un insieme $\Psi(K)\subset \Iso(M)$ nel modo seguente:
%$$\Psi(K)= \pi\big(F^{-1}(K\times K)\big) = \big\{g\in\Iso(M) \ |\ g(K)\cap K \neq \emptyset\big\}.$$
Supponiamo che $G$ sia discreto. Siano $x,y \in M$ punti qualsiasi e $U_x \ni x, U_y \ni y$ intorni a chiusura compatta. Poich\'e $F$ \`e propria anche l'insieme 
$$S = \pi\big(F^{-1}(U_y \times U_x)\big) = \big\{g \in \Iso(M) \ |\ g(U_x)\cap U_y \neq \emptyset\big\} $$ 
ha chiusura compatta. Quindi $S\cap G$ \`e un insieme finito e l'azione \`e propriamente discontinua.
%Notiamo che $\varphi$ \`e propriamente discontinua se e solo se $\Psi(K)$ \`e finito per ogni compatto $K$. Se $K\subset M$ \`e compatto allora $\Psi(K)$ \`e compatto, perch\'e $F$ \`e propria. Se $G$ \`e discreto, interseca il compatto $\Psi(K)$ in un numero finito di punti, e quindi l'azione \`e propriamente discontinua. 

D'altra parte, supponiamo che l'azione sia propriamente discontinua. Esiste quindi un aperto $U\subset M$ tale che 
$$S = \pi\big(F^{-1}(U \times U)\big) = \big\{g \in \Iso(M) \ |\ g(U)\cap U \neq \emptyset\big\} $$ 
interseca $G$ in un numero finito di punti. Poich\'e $\pi$ \`e aperta l'insieme $S$ \`e un aperto che contiene $e\in G$: quindi $e$ \`e isolato in $G$ e $G$ \`e discreto per la Proposizione \ref{discreto:chiuso:prop}.
\end{proof}

\subsection{Strutture indotte da rivestimenti}
Le strutture (differenziabili, riemanniane, etc.) possono essere ``sollevate'' lungo i rivestimenti. 

\begin{defn}
Un \emph{omeomorfismo} (risp.~\emph{diffeomorfismo}, \emph{isometria}) \emph{locale} \`e una mappa $f\colon M\to N$ tale che per ogni $p\in M$ esistono due intorni aperti $U$ di $p$ e $V$ di $f(p)$ per cui $f|_U\colon U \to V$ \`e un omeomorfismo (risp.~diffeomorfismo, isometria).
\end{defn}

\begin{prop} \label{solleva:prop}
Sia $p\colon \widetilde M \to M$ un rivestimento fra spazi topologici. Se $M$ \`e una variet\`a differenziabile (o riemanniana), allora $\widetilde M$ ha un'unica struttura di variet\`a differenziabile (o riemanniana) tale che $p$ sia un diffeomorfismo (o isometria) locale.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $U\subset M$ un aperto banalizzante. Per ``banalizzante'' intendiamo che la sua controimmagine $p^{-1}(U)$ sia unione disgiunta di aperti $U_i$ tali che $p|_{U_i}\colon U_i\to U$ sia un omeomorfismo per ogni $i$. A questo punto \`e sufficiente (e necessario) dare a ciascun $U_i$ la struttura differenziabile o riemanniana di $U$ trasportata tramite $p$. 
\end{proof}

Le strutture (differenziabili, riemanniane, etc.) non scendono con altrettanta facilit\`a da $\widetilde M$ a $M$. Consideriamo il caso in cui il rivestimento sia indotto dall'azione di un gruppo.

\begin{prop} \label{scende:prop}
Sia $G$ un gruppo che agisce in modo libero e propriamente discontinuo su una variet\`a differenziabile (riemanniana) $M$ e $M \to M/_G$ il rivestimento indotto. Esiste una struttura di variet\`a differenziabile (riemanniana) su $M/_G$ che rende la proiezione $p$ un diffeomorfismo (isometria) locale se e solo se $G$ \`e un gruppo di diffeomorfismi (isometrie) di $M$. Questa struttura, se esiste, \`e unica.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $x\in M/_G$ un punto e $U\ni x$ un intorno banalizzante; abbiamo quindi $p^{-1}(U) = \cup_{i\in I} U_i$ e $p|_{U_i}\colon U_i \to U$ omeomorfismo per ogni $i\in I$. Cerchiamo una struttura differenziabile (riemanniana) su $U$ per cui $p|_{U_i}$ \`e un diffeomorfismo (isometria) per ogni $i\in I$. Una tale struttura esiste (ed \`e unica) se e solo se $p|_{U_j}^{-1}\circ p|_{U_i}$ \`e un diffeomorfismo (isometria) per ogni $i,j \in I$, e questo accade precisamente quando $G$ agisce tramite diffeomorfismi (isometrie).
%Sia $i_0 \in I$ un indice qualsiasi. Otteniamo $p^{-1}(U) = \cup_{g\in G} g(U_{i_0})$. Per ottenere una struttura differenziabile (riemanniana) su $U$ \`e necessario e sufficiente che gli aperti $g(U_{i_0})$ inducano tramite $p$ la stessa struttura su $U$ al variare di $g\in G$. Questo accade precisamente quando ogni $g$ agisce come un diffeomorfismo (isometria).
\end{proof}

\begin{cor}
Sia $G<\Iso(M)$ un gruppo di isometrie. Se $G$ \`e discreto e agisce in modo libero il quoziente $M/_G$ \`e una variet\`a riemanniana e $p\colon M\to M/_G$ un rivestimento ed una isometria locale.
\end{cor}

\begin{cor} \label{discreto:cor}
Sia $G<\Iso(\matH^n)$ un gruppo discreto composto solo da isometrie iperboliche e paraboliche. Il quoziente $M/_G$ \`e una variet\`a iperbolica.
\end{cor}
\begin{proof}
Le isometrie iperboliche e paraboliche agiscono in modo libero. Il quoziente \`e localmente isometrico a $\matH^n$ ed \`e quindi iperbolico.
\end{proof}

\subsection{Mappa sviluppante}
D'ora in poi un \emph{rivestimento di variet\`a riemanniane} sar\`a sempre implicitamente un rivestimento $p\colon M \to N$ fra variet\`a riemanniane che sia una isometria locale. Notiamo un paio di fatti elementari.

\begin{prop} \label{completa:prop}
Sia $p\colon M\to N$ un rivestimento fra variet\`a riemanniane. Allora $M$ \`e completa se e solo se $N$ \`e completa.
\end{prop}
\begin{proof}
Per il Teorema di Hopf-Rinow una variet\`a riemanniana \`e completa se e solo se le geodetiche esistono per ogni $t$. Supponiamo che $N$ sia completa e mostriamo che anche $M$ lo \`e. 
Sia $\gamma$ una geodetica massimale uscente da un punto $x\in M$ con direzione $v$. La geodetica $p\circ\gamma$ vive in $N$ e quindi esiste per ogni $t$. Il sollevamento di $p\circ \gamma$ uscente da $x$ \`e di nuovo $\gamma$ ed esiste per ogni $t$. Quindi tutte le geodetiche in $M$ esistono per ogni $t$. Si dimostra in modo analogo che $M$ completa implica $N$ completa.
\end{proof}

\begin{prop}
Sia $p\colon M \to N$ una isometria locale fra variet\`a riemanniane. Se $M$ \`e completa allora $p$ \`e un rivestimento.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $x\in N$ un punto qualsiasi: dobbiamo costruire un intorno aperto $U$ di $x$ che sia ben rivestito da $p$. Prendiamo un numero reale $0<\epsilon < \inj_x(M)$ e definiamo $U= B(x,\epsilon)$. Per ogni $y \in p^{-1}(x)$ definiamo l'aperto $U_y = B(y,\epsilon)\subset M$. A questo punto ci resta da mostrare che $p^{-1}(U) = \cup_{y\in p^{-1}(x)}U_y$, che $U_y\cap U_{y'}=\emptyset$ se $y\neq y'$, e che $p|_{U_y}\colon U_y \to U$ \`e un omeomorfismo per ogni $y$. 

Il fatto che $p$ sia una isometria locale e che $M$ sia completa implica che tutte le geodetiche possono essere sollevate da $N$ in $M$. Usando questa sollevabilit\`a \`e facile dimostrare i fatti elencati sopra.
\end{proof}

Se $M$ \`e una variet\`a iperbolica non completa, il suo rivestimento universale $\widetilde M$ \`e una variet\`a iperbolica semplicemente connessa non completa. Ad esempio, $\widetilde M$ potrebbe essere un aperto semplicemente connesso contenuto dentro $\matH^n$. Mostriamo che in generale esiste comunque una mappa naturale da $\widetilde M$ in $\matH^n$.

\begin{prop} \label{sviluppante:prop}
Sia $\widetilde M$ una variet\`a iperbolica semplicemente connessa. Esiste una isometria locale 
$$D\colon \widetilde M \to \matH^n$$
detta \emph{sviluppante}. Due isometrie locali da $\widetilde M$ in $\matH^n$ sono ottenute l'una dall'altra tramite post-composizione con una isometria di $\matH^n$. Se $\widetilde M$ \`e completa allora $D$ \`e una isometria.
\end{prop}
\begin{proof}
Fissiamo un punto arbitrario $x\in \widetilde M$ e lo mandiamo in un punto arbitrario $D(x)\in \matH^n$. Poich\'e $\widetilde M$ \`e iperbolica, in ogni punto $y\in\widetilde M$ c'\`e un intorno $U_y$ (che possiamo supporre essere un disco aperto centrato in $y$ di raggio piccolo) isometrico ad un aperto (un disco) di $\matH^n$. Estendiamo quindi $D$ ad una isometria fra $U_x$ e un disco aperto centrato in $D(x)$. 

Mostriamo che la mappa $D\colon U_x \to \matH^n$ si estende ad un unica mappa $D\colon \widetilde M \to \matH^n$ che sia una isometria locale. Sia $y\in\widetilde M$ un punto arbitrario. Scegliamo un arco $\gamma$ da $x$ in $y$. Per compattezza esistono punti $x=x_1,\ldots, x_k= y$ su $\gamma$ tali che i dischi $U_{x_1}, \ldots, U_{x_k}$ ricoprano $\gamma$. Per ogni $i=2,\ldots, k$ esiste una unica estensione a $U_{x_1}\cup \ldots \cup U_{x_i}$ della mappa gi\`a definita su $U_{x_1}\cup \ldots \cup U_{x_{i-1}}$ che sia una isometria locale. Estendendo a questo modo definiamo $D(y)$. Si veda Fig.~\ref{developing:fig}.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10 cm] {developing.pdf}
\nota{La mappa sviluppante.}
\label{developing:fig}
\end{center}
\end{figure}

La definizione non dipende dalle scelte fatte perch\'e $\widetilde M$ \`e semplicemente connessa. Sia $\gamma'$ un altro arco che collega $x$ a $y$, da cui ricaviamo un altra catena di aperti $U_{x_1'}, \ldots, U_{x_h'}$. L'arco $\gamma'$ \`e omotopo a estremi fissati con $\gamma$. \`E quindi facile vedere che le due catene di aperti sono ottenute l'una dall'altra da mosse elementari quali quella di sostituire due dischi consecutivi $U_{x_i}$ e $U_{x_{i+1}}$ con tre dischi $U_{x_i}, U_{x_{i+\frac 12}}, U_{x_{i+1}}$ tali che $U_{x_i}\cap U_{x_{i+\frac 12}}\cap U_{x_{i+1}}\neq \emptyset$. Due isometrie che coincidono su un aperto coincidono ovunque, quindi l'estensione ai primi due dischi \`e la stessa di quella ai secondi tre: la sviluppante $D$ \`e ben definita.

La mappa $D$ \`e unica quando \`e fissata al primo ordine in $x$, quindi \`e unica a meno di post-comporre con una isometria di $\matH^n$. Infine, supponiamo che $\widetilde M$ sia completa. La mappa sviluppante $D$ \`e una isometria locale. Ricordiamo che un omeomorfismo locale \`e promosso ad un rivestimento quando tutti i cammini possono essere sollevati. Il fatto che $D$ sia un isometria locale e che $\widetilde M$ sia completa implica facilmente che i cammini possono essere sollevati. Poich\'e $\matH^n$ \`e semplicemente connesso, il rivestimento $D$ \`e in realt\`a un omeomorfismo e quindi una isometria.
\end{proof}

Tutta questa sezione pu\`o essere riassunta nel risultato seguente.

\begin{teo} \label{completa:teo}
Una variet\`a riemanniana completa \`e iperbolica se e solo se \`e isometrica a $\matH^n/_G$ per un gruppo discreto $G$ di isometrie composto solo da trasformazioni paraboliche, iperboliche e l'identit\`a.
\end{teo}

\begin{proof}
Se $G$ \`e discreto e contiene solo parabolici e iperbolici allora $\matH^n/_G$ \`e iperbolica per il Corollario \ref{discreto:cor} e completa per la Proposizione \ref{completa:prop}. 

D'altra parte, sia $M$ una variet\`a iperbolica completa. Il suo rivestimento universale $\widetilde M$ \`e una variet\`a iperbolica per la Proposizione \ref{solleva:prop} e completa per la Proposizione \ref{completa:prop}. Quindi \`e isometrico a $\matH^n$ per la Proposizione \ref{sviluppante:prop}.

Il Corollario \ref{universale:cor} implica che $M$ \`e il quoziente di $\matH^n$ per l'azione di un gruppo $G=\Aut(p)$ che deve essere un gruppo di isometrie per la Proposizione \ref{scende:prop}, discreto e senza punti fissi per la Proposizione \ref{discreto:prop}.
\end{proof}

\begin{oss}
In modo analogo si mostra che ogni variet\`a ellittica o piatta \`e ottenuta come quoziente di $S^n$ o $\matR^n$ per un gruppo discreto $G$ di isometrie senza punti fissi. In particolare, abbiamo dimostrato che una variet\`a iperbolica (piatta, ellittica) completa e semplicemente connessa \`e isometrica a $\matH^n$ ($\matR^n$, $S^n$).
\end{oss}

\begin{cor} C'\`e una naturale corrispondenza biunivoca fra gli insiemi
$$\left\{
\begin{array}{c}{\rm variet\mathaccent 18 a\ iperboliche\ complete} \\ {\rm a\ meno\ di\ isometria}\end{array}\right\} \longleftrightarrow
\left\{
\begin{array}{c}{\rm sottogruppi\ discreti\ di\ }\Iso(\matH^n) \\ {\rm senza\ elementi\ ellittici\ non\ banali} \\ {\rm a\ meno\ di\ coniugio}\end{array}\right\} .$$
\end{cor}
\begin{proof}
Abbiamo visto come ogni variet\`a iperbolica completa si realizzi come $\matH^n/_\Gamma$ per un gruppo $\Gamma$ discreto di isometrie senza elementi ellittici non banali (solo iperbolici o parabolici). L'unica arbitrariet\`a nel passaggio da $M$ a $\Gamma$ \`e la scelta di una isometria fra $\widetilde M$ e $\matH^n$. Ogni altra isometria si ottiene componendo quella scelta con un elemento $g\in\Iso (M)$, ed il gruppo $\Gamma$ cambia conseguentemente come coniugio rispetto a $g$.
\end{proof}

\subsection{Variet\`a piatte}
Nelle sezioni precedenti abbiamo dimostrato che ogni variet\`a iperbolica, piatta o ellittica \`e costruita come quoziente di $\matH^n$, $\matR^n$ o $S^n$ per un gruppo discreto $\Gamma$ di isometrie senza punti fissi. Mostriamo alcuni esempi importanti in questa sezione e le successive.

Una traslazione intera di $\matR^n$ \`e una traslazione $x\mapsto x+b$ di un vettore $b\in\matZ^n$. Le traslazioni intere formano un sottogruppo discreto $\Gamma<\Iso (\matR^n)$ isomorfo a $\matZ^n$. Il quoziente $\matR^n /_\Gamma$ \`e in modo naturale diffeomorfo al toro $n$-dimensionale: 
$$\matR^n/_{\matZ^n} = \left(\matR/_{\matZ}\right)^n \isom \underbrace{S^1  \times \ldots \times S^1}_n$$
che \`e quindi dotato di una struttura di variet\`a riemanniana piatta. In dimensione $n=2$ pu\`o essere agevole disegnare un dominio fondamentale per l'azione di $\Gamma$. La seguente definizione vale in generale.

\begin{defn}
Un \emph{dominio fondamentale} per l'azione di un gruppo $\Gamma$ su una variet\`a $M$ \`e un chiuso connesso $D\subset M$ che interseca ogni orbita in almeno un punto, che sia la chiusura di un aperto $\dot D$ che interseca ogni orbita in al pi\`u un punto.
\end{defn}

In presenza di un dominio fondamentale $D$, lo spazio quoziente pu\`o essere ottenuto semplicemente quozientando $D$ identificando i punti di $\partial D$ che stanno sulla stessa orbita. Ad esempio un dominio fondamentale per $\Gamma$ \`e il quadrato $D$ mostrato in Fig.~\ref{domini:fig}-(sinistra). Identificando i lati opposti si ottiene effettivamente un toro.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 11.5 cm] {domini.pdf}
\nota{Due domini fondamentali in $\matR^2$ per il toro (sinistra) e la bottiglia di Klein (centro): i punti nei lati opposti devono essere identificati come indicato dalle frecce. Un dominio fondamentale in $S^2$ per il piano proiettivo.}
\label{domini:fig}
\end{center}
\end{figure}

Fra le superfici piatte troviamo anche la \emph{bottiglia di Klein} ottenuta prendendo come $\Gamma$ il gruppo generato dalle isometrie seguenti:
$$\tau\colon(x,y) \mapsto (x+1, y), \qquad \eta\colon(x,y) \mapsto (1-x, y+1).$$
Un dominio fondamentale per la bottiglia di Klein \`e mostrato in Fig.~\ref{domini:fig}-(centro).
I sottogruppi $\langle \tau \rangle$ e $\langle \eta \rangle$ generati rispettivamente da $\tau$ e $\eta$ sono entrambi isomorfi a $\matZ$. Notiamo per\`o che $\matR^2/_{\langle\tau\rangle}$ \`e un cilindro infinito e $\matR^2/_{\langle\eta\rangle}$ \`e un nastro di M\"obius infinito. Essendo sottogruppi di $\Gamma$ entrambi gli spazi rivestono la bottiglia di Klein.

Il sottogruppo di $\Gamma$ generato dalle traslazioni $\tau$ e $\eta^2$ \`e isomorfo a $\matZ^2$ ed ha indice due in $\Gamma$. La bottiglia di Klein ha infatti un rivestimento doppio isometrico ad un toro piatto. Il suo dominio fondamentale \`e un rettangolo di vertici $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,2)$, $(1,2)$.

\subsection{Variet\`a ellittiche}
Ogni variet\`a ellittica completa \`e quoziente di $S^n$, quindi \`e compatta e ha gruppo fondamentale finito.\footnote{Ogni rivestimento fra variet\`a compatte ha grado finito.}

Un esempio importante \`e lo spazio proiettivo reale $\matRP^n$ che pu\`o essere ottenuto quozientando $S^n$ tramite la mappa antipodale $i\colon v\mapsto -v$. In altre parole otteniamo $\matRP^n$ come quoziente del gruppo formato da due elementi $\{e,i\}$. La mappa antipodale \`e una isometria e quindi $\matRP^n$ eredita una struttura di variet\`a ellittica. Un esmisfero \`e un dominio fondamentale, in Fig.~\ref{domini:fig}-(destra) \`e mostrato il caso $n=2$.

Troviamo altri esempi oltre allo spazio proiettivo in dimensione $n=3$. Siano $p$ e $q$ due interi coprimi qualsiasi. Sia $\omega = e^{\frac{2\pi i}p}$. Identifichiamo $\matR^4$ con $\matC^2$ e vediamo $S^3$ come 
$$S^3 = \big\{(z,w)\in \matC^2\ \big|\ |z|^2+|w|^2 = 1 \big\}.$$
La mappa
$$f(z,w) = (\omega z, \omega^qw)$$
\`e una isometria di $\matR^4$ perch\'e effettua contemporaneamente sui due piani ortogonali $w=0$ e $z=0$ due rotazioni di angolo $\frac {2\pi}p$ e $\frac{2\pi q}p$. La mappa $f$ quindi \`e una isometria di $S^3$. Inoltre ha ordine $p$ e nessuna delle sue potenze $f, f^2, \ldots, f^{p-1}$ ha punti fissi. Infine il gruppo $\Gamma = \langle f \rangle$ generato da $f$ \`e discreto perch\'e \`e finito. 

Il quoziente $S^3/_\Gamma$ \`e quindi una variet\`a ellittica avente gruppo fondamentale isomorfo a $\Gamma \isom \matZ_p$. Tale variet\`a \`e detta \emph{spazio lenticolare} ed \`e normalmente indicata con il simbolo $L(p,q)$.

\subsection{Cuspidi}
Non \`e sempre facile descrivere una variet\`a iperbolica costruendo esplicitamente un gruppo $\Gamma$ di isometrie di $\matH^n$, spesso si preferisce ricorrere a costruzioni pi\`u geometriche del tipo ``taglia e incolla'', come vedremo dopo. Descriviamo qui comunque un esempio importante.

Visualizziamo $\matH^n$ con il modello del semispazio, usando le coordinate $(x,t)$ con $x\in \matR^{n-1}$ e $t\in\matR_{>0}$. Sappiamo che ogni isometria $x\mapsto Ax +b$ di $\matR^{n-1}$ definisce una isometria $(x,t)\mapsto (Ax+b,t)$ di $\matH^n$.

\begin{defn} Sia $\Gamma < \Iso(\matR^{n-1})$ un gruppo discreto di isometrie senza punti fissi. Il gruppo $\Gamma$ agisce anche su $\matH^n$ ed il quoziente $\matH^n/_\Gamma$ \`e detta \emph{cuspide}.
\end{defn}

Il quoziente $M = \matR^{n-1}/_\Gamma$ \`e una variet\`a piatta di dimensione $n-1$, dotata di un tensore metrico $g_M$. La cuspide \`e quindi isometrica a $M \times \matR_{>0}$ con tensore metrico in $(x,t)$ dato da $\frac{g_M \oplus 1}{t^2}$. 
\begin{oss}
\`E pi\`u naturale parametrizzare la secondo coordinata $t$ tramite lunghezza d'arco. Come abbiamo visto nella Proposizione \ref{verticale:prop} del capitolo precedente, una geodetica verticale con velocit\`a unitaria \`e parametrizzata da $t=e^u$. Quindi usando $u$ invece di $t$ la cuspide \`e isometrica a $M\times \matR$ con tensore $(e^{-2u}g_M) \oplus 1$. Muovendosi di livello $u$ a velocit\`a costante otteniamo quindi una contrazione del fattore $M$ di tipo esponenziale.
\end{oss}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 6 cm] {Pseudosphere.png}
\nota{La pseudosfera \`e una superficie isometrica all'unione di due cuspidi troncate. Ogni punto ha curvatura gaussiana $-1$.}
\label{pseudosphere:fig}
\end{center}
\end{figure}

Se $n=2$ e $\Gamma$ \`e il gruppo di isometrie generato da una traslazione $x\mapsto x+b$ la cuspide \`e diffeomorfa a $S^1\times \matR$. La circonferenza $S^1$ al tempo $u$ \`e lunga $e^{-2u}$. Una porzione troncata di cuspide pu\`o essere visualizzata come superficie contenuta in $\matR^3$. Questa superficie \`e detta \emph{pseudosfera} ed \`e mostrata in Fig.~\ref{pseudosphere:fig}.

Topologicamente la cuspide \`e diffeomorfa a $\matH^2$ meno un punto $p$, per\`o non \`e isometrica a $\matH^2\setminus\{p\}$: quest'ultima variet\`a iperbolica infatti non \`e completa, mentre le cuspidi lo sono per la Proposizone \ref{completa:prop}.

Notiamo che una cuspide ha raggio di iniettivit\`a nullo. Pi\`u in generale vale il fatto seguente.
\begin{prop} Sia $\Gamma<\Iso(\matH^n)$ un gruppo discreto senza elementi ellittici. Se $\Gamma$ contiene elementi parabolici allora la variet\`a iperbolica $\matH^n/_\Gamma$ ha raggio di iniettivit\`a nullo.
\end{prop}
\begin{proof}
Un elemento parabolico $\gamma\in\Gamma$ ha spostamento minimo zero (si veda il Corollario \ref{spostamento:cor} nel Capitolo \ref{spazio:chapter}). Esistono cio\`e punti di $\matH^n$ che vengono spostati in punti arbitrariamente vicini. Il raggio di iniettivit\`a nell'immagine di questi punti in $\matH^n/_\Gamma$ deve quindi tendere a zero.
\end{proof}

\begin{cor}
Se $M=\matH^n/\Gamma$ \`e variet\`a iperbolica compatta il gruppo $\Gamma$ contiene solo l'identit\`a e elementi iperbolici.
\end{cor}
\begin{proof}
Il raggio di iniettivit\`a di una variet\`a compatta \`e positivo (Proposizione \ref{iniettivita:prop} nel Capitolo \ref{spazio:chapter}).
\end{proof}

\section{Superfici iperboliche}

\subsection{Classificazione delle superfici}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics {500px-Sphere_with_three_handles.png}
\quad \includegraphics {500px-Triple_torus_array.png}
\quad \includegraphics {500px-Triple_torus_illustration.png}
\nota{Una sfera con 3 manici pu\`o essere rappresentata in vari modi.}
\label{handles:fig}
\end{center}
\end{figure}

Richiamiamo il teorema di classificazione delle superfici.
\begin{teo} Ogni superficie compatta, connessa e orientabile \`e diffeomorfa alla superficie $S_g$ ottenuta attaccando $g$ manici alla sfera $S^2$ come indicato in Fig.~\ref{handles:fig}-(sinistra).
\end{teo}
La caratteristica di Eulero di $S_g$ \`e $\chi(S_g) = 2-2g$: le superfici $S_g$ hanno caratteristica di Eulero differente e sono quindi effettivamente non diffeomorfe fra loro. Una superficie riemaniana \`e ovviamente una superficie dotata di un tensore metrico. Ad esempio, ogni superficie contenuta in $\matR^3$ come le tre superfici mostrate in Fig.~\ref{handles:fig} ha un tensore metrico indotto da quello euclideo di $\matR^3$. 

Come abbiamo visto nella Sezione \ref{curvatura:subsection} in ogni punto $p$ di una superficie riemanniana $S$ \`e definita una curvatura gaussiana $K_p\in\matR$. Il famoso teorema di Gauss-Bonnet collega la curvatura alla caratteristica di Eulero di $S$:
\begin{teo}[Gauss-Bonnet] Sia $S$ una superficie compatta. Vale l'uguaglianza
$$\int_S K_p = 2\pi \chi(S).$$
\end{teo}
Ricordiamo che una superficie riemanniana ellittica, euclidea, iperbolica ha curvatura gaussiana costante rispettivamente pari a $1$, $0$ e $-1$. Il teorema di Gauss-Bonnet mostra in particolare che la sfera \`e l'unica superficie orientabile che pu\`o ammettere una metrica ellittica, il toro \`e l'unica che pu\`o ammettere una metrica piatta, e le altre superfici $S_g$ con genere $g\geqslant 2$ sono le uniche che possono ammettere una metrica iperbolica. Abbiamo gi\`a visto che sfera e toro ammettono effetivamente una metrica (rispettivamente) ellittica e piatta. Costruiamo nelle prossime sezioni varie metriche iperboliche tutte le superfici orientabili di genere $g\geqslant 2$.

Notiamo inoltre che una superficie contenuta in $\matR^3$ con curvatura costante deve avere curvatura positiva ed \`e quindi una sfera. Infatti \`e facile vedere che una superficie compatta contenuta in $\matR^3$ ha sempre almeno un punto con curvatura positiva. Le metriche a curvatura costante $-1$ che costruiremo nelle prossime sezioni non saranno quindi visibili dentro $\matR^3$.

\subsection{Variet\`a iperboliche con bordo geodetico}
Come capita spesso in geometria, esiste una nozione di variet\`a iperbolica ``a bordo'' per cui continuano ad essere valide molte delle propriet\`a enunciate fin'ora.

Ricordiamo che una variet\`a differenziabile $M$ \emph{con bordo} \`e uno spazio topologico con carte in un semispazio fissato di $\matR^n$ invece che in $\matR^n$. Gli atlanti sono sempre funzioni lisce. I punti corrispondenti al bordo del semispazio formano un sottoinsieme $\partial M$ di $M$ detto appunto \emph{bordo}. Il bordo di una $n$-variet\`a \`e in modo naturale una $(n-1)$-variet\`a senza bordo.

Possiamo definire lo spazio tangente $T_xM$ di un punto $x\in \partial M$ come insieme di curve passanti per $x$ a meno di equivalenza esattamente come nella Sezione \ref{tangente:subsection} del Capitolo \ref{spazio:chapter}: lo spazio $T_xM$ \`e in modo naturale un semi-spazio vettoriale, limitato da un iperpiano naturalmente identificato con $T_x\partial M$. Con questa definizione molte nozioni geometriche della geometria riemanniana si estendono facilmente a variet\`a con bordo: un tensore metrico su $M$ \`e come sempre un prodotto scalare definito positivo su ogni (semi-)spazio $T_x$ che vari in modo liscio rispetto al punto $x\in M$. Il bordo $\partial M$ di una variet\`a riemanniana $M$ \`e in modo naturale una variet\`a riemanniana (senza bordo). 

La mappa esponenziale ed il raggio di iniettivit\`a $\inj_x M$ di un punto di bordo $x\in \partial M$ sono definiti in modo analogo a quanto visto nella Sezione \ref{esponenziale:subsection} del Capitolo 1, tenendo conto che lo spazio tangente $T_x$ \`e in realt\`a solo un semispazio.

\begin{defn} Una variet\`a iperbolica (ellittica, piatta) $M$ a \emph{bordo geodetico} \`e una variet\`a riemanniana con bordo in cui ogni punto ha un aperto isometrico ad un aperto di un semispazio fissato di $\matH^n$ ($S^n$, $\matR^n$).
\end{defn}

Il bordo $\partial M$ di una variet\`a iperbolica (ellittica, piatta) $M$ con bordo geodetico \`e in modo naturale una variet\`a iperbolica (ellittica, piatta) senza bordo. 

Due variet\`a con bordo geodetico isometrico possono essere incollate e generare cos\`i una nuova variet\`a. Pi\`u precisamente, siano $M$ e $N$ due variet\`a iperboliche (ellittiche, piatte) e $\psi\colon \partial M \to \partial N$ una isometria. Sia $M\cup_\psi N$ lo spazio topologico ottenuto quozientando l'unione disgiunta $M\sqcup N$ per la relazione di equivalenza che identifica $x$ con $\psi(x)$ per ogni $x\in \partial M$.

\begin{prop} Lo spazio $M\cup_\psi N$ ha una naturale struttura di variet\`a iperbolica (ellittica, piatta).
\end{prop}
\begin{proof}
Supponiamo che $M$ e $N$ siano iperboliche con bordo geodetico: la dimostrazione per le geometrie ellittica e piatta \`e la stessa. 

Definiamo su $M\cup_\psi N$ un atlante di aperti a valori in $\matH^n$, tale che le funzioni di transizione siano tutte isometrie: questo fornisce una struttura di variet\`a iperbolica. 
I punti $M\cup_\psi N$ provenienti da punti interni di $M$ o $N$ sono dotati delle stesse carte in $\matH^n$ che avevano in $\interior M$ e $\interior N$. Consideriamo ora un punto proveniente da una identificazione $x\sim \psi (x)$ fra due punti $x\in M$ e $\psi(x)\in N$. 

Il punto $x$ ha un intorno in $M$ isometrico ad una semi-palla in $\matH^n$ di raggio $\epsilon$. Analogamente $\psi(x)$ ha un intorno in $N$ isometrico ad una semi-palla di raggio $\epsilon$. L'isometria $\psi\colon \partial M\to \partial N$ definisce una isometria fra le pareti geodetiche delle due semi-palle e identifica un intorno per $x$ in $M\cup_\psi N$ isometrico ad una palla. 

Abbiamo cos\`\i\ definito un atlante ed una metrica iperbolica su $M\cup_\psi N$.
\end{proof}

Se $M$ \`e una variet\`a iperbolica con bordo geodetico, lo \`e anche il suo rivestimento universale $\widetilde M$, e continua ad essere vero che $M$ \`e completa se e solo se lo \`e $\widetilde M$. Inoltre \`e definita come nella Proposizione \ref{sviluppante:prop} una sviluppante $D\colon \widetilde M \to \matH^n$; l'unica novit\`a qui \`e che $D$ generalmente non \`e suriettiva, anche quando $M$ \`e completa.

\begin{prop}
Sia $\widetilde M$ una variet\`a iperbolica con bordo geodetico semplicemente connessa. Esiste una isometria locale 
$$D\colon \widetilde M \to \matH^n$$
detta \emph{sviluppante}. Due isometrie locali da $\widetilde M$ in $\matH^n$ sono ottenute l'una dall'altra tramite post-composizione con una isometria di $\matH^n$. Se $\widetilde M$ \`e completa allora $D$ \`e una isometria sull'immagine $D(\widetilde M)$, che \`e l'intersezione di alcuni semispazi di $\matH^n$.
\end{prop}
\begin{proof}
La sviluppante \`e definita come nella Proposizione \ref{sviluppante:prop} (si veda la Fig.~\ref{developing:fig}) e risulta sempre essere una isometria locale. Se $\widetilde M$ \`e completa la mappa $D\colon \widetilde M \to D(\widetilde M)$ \`e un rivestimento, ma l'immagine $D(\widetilde M) \subset \matH^n$ pu\`o essere un sottoinsieme proprio di $\matH^n$ perch\'e le geodetiche di $\matH^n$ si sollevano solo finch\'e non incontrano il bordo di $\widetilde M$.

L'immagine $D(\widetilde M)$ \`e una sottovariet\`a chiusa con bordo geodetico di $\matH^n$. Poich\'e \`e chiusa, il suo bordo \`e chiuso ed \`e necessariamente unione di iperpiani disgiunti. Quindi $D(\widetilde M)$ \`e intersezione di semispazi. In particolare $D(\widetilde M)$ \`e un sottoinsieme convesso di $\matH^n$, quindi contrattile, quindi semplicemente connesso. Quindi il rivestimento $D\colon \widetilde M \to D(\widetilde M)$ \`e in realt\`a un diffeomorfismo (e quindi una isometria).
\end{proof}

Possiamo quindi identificare il rivestimento universale di una variet\`a iperbolica $M$ completa con bordo geodetico con una intersezione di semispazi in $\matH^n$ come ad esempio in Fig.~\ref{universale:fig}. I sottospazi sono generalmente in numero infinito.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 4cm] {universale.pdf}
\nota{Il rivestimento universale di una superficie iperbolica con bordo geodetico \`e l'intersezione di un numero (generalmente infinito) di semipiani in $\matH^2$.}
\label{universale:fig}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Superfici a bordo}
Una superficie iperbolica (ellittica, piatta) compatta a bordo geodetico ha un bordo formato da un numero finito di geodetiche chiuse. Per tali superfici continua a valere il teorema di Gauss-Bonnet:

\begin{teo}[Gauss-Bonnet] Sia $S$ una superficie iperbolica (ellittica, piatta) compatta a bordo geodetico. Vale l'uguaglianza 
$$K\cdot \Area(S) = \int_S K = 2\pi\chi(S)$$
dove $K=-1$ (rispettivamente $K=1$, $K=0$) \`e la curvatura di $S$.
\end{teo}
Ne deduciamo che una superficie iperbolica con bordo geodetico deve avere caratteristica di Eulero negativa.

Se il bordo non \`e geodetico esiste una formula di Gauss-Bonnet pi\`u generale in cui nel termine a sinistra compare un contributo dato dalla curvatura del bordo (che si annulla quando \`e geodetico). Il teorema di classificazione delle superfici implica il fatto seguente. Sia $S_{g,b}$ la superficie compatta con bordo ottenuta rimuovendo $b$ dischi aperti disgiunti dalla superficie $S_g$ di genere $g$.

\begin{prop}
Ogni superficie compatta, connessa e orientabile con bordo \`e diffeomorfa a $S_{g,b}$ per qualche $g,b\geqslant 0$.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $S$ una superficie compatta, connessa, orientabile e con bordo. Poich\'e \`e compatta, la superficie $S$ ha un numero finito $b$ di componenti di bordo diffeomorfe a $S^1$. Incollando $d$ dischi lungo queste componenti di bordo otteniamo una superficie differenziabile compatta senza bordo, che per il teorema di classificazione delle superfici \`e diffeomorfa a $S_g$ per qualche $g\geqslant 0$. Quindi $S$ \`e diffeomorfa a $S$ meno $b$ dischi aperti, cio\`e $S_{g,b}$.
\end{proof}

\begin{oss}
Per dirla tutta, la dimostrazione della proposizione precedente assume implicitamente due fatti:
\begin{enumerate}
\item che incollando per il bordo due superfici differenziabili si ottenga una superficie differenziabile,
\item che la superficie $S_{g,b}$ non dipende (a meno di diffeomorfismo) da quali siano i $b$ dischi aperti rimossi.
\end{enumerate}
Entrambi i fatti sono veri in un contesto pi\`u ampio. Date due variet\`a differenziabili $M$ e $N$ ed un diffeomorfismo $\varphi\colon \partial M \to \partial N$, lo spazio topologico quoziente $M\cup_\varphi N$ \`e una variet\`a topologica su cui \`e possibile definire una struttura differenziabile, unica a meno di diffeomorfismi\footnote{La costruzione di questa struttura usa l'esistenza di un \emph{intorno tubolare} per ciascuno dei bordi, diffeomorfo rispettivamente a $\partial M \times [0,1]$ e $\partial N \times [0,1]$. La variet\`a incollata \`e quindi definita a partire dall'unione disgiunta $(M\setminus \partial M)\sqcup (N\setminus \partial N)$ delle due variet\`a con i bordi rimossi, identificando gli \emph{aperti} $M\times (0,1)$ e $N\times (0,1)$ tramite $\varphi$, cio\`e $(x,t) \sim (\varphi(x), t)$ per ogni $t\in (0,1)$. Sul quoziente \`e ben definito un atlante differenziabile ereditato da $M$ e $N$.})

Il secondo fatto discende dal fatto seguente: sia $M$ una $n$-variet\`a differenziabile e $D_1, D_2 \subset M$ due $n$-sottovariet\`a differenziabili entrambe diffeomorfe a $D^n$ (in breve, due dischi contenuti in $M$). Esiste sempre un diffeomorfismo $\varphi\colon M \to M$ tale che $\varphi(D_1) = D_2$. Da questo segue che $M\setminus \interior{D_1}$ e $M\setminus \interior{D_2}$ sono diffeomorfi\footnote{Vale un risultato pi\`u forte: esiste una \emph{isotopia ambiente} di $M$ che sposta $D_1$ in $D_2$. La definizione di isotopia ambiente \`e data fra poche pagine.}.
\end{oss}

Ricordiamo che se $M\cup_\varphi N$ \`e ottenuta incollando due variet\`a $M$, $N$ con bordo tramite un diffeomorfismo $\varphi\colon M \to N$, la caratteristica di Eulero-Poincar\'e varia nel modo seguente:
$$\chi(M\cup_\varphi M) = \chi(M) + \chi(N) - \chi(\partial M).$$
In particolare se $M$ e $N$ sono superfici a bordo la caratteristica di Eulero \`e additiva, perch\'e $\chi(\partial M) = \chi(S^1) = 0$. Rimuovere un disco aperto da una superficie fa quindi scendere di uno la sua caratteristica e otteniamo la formula
$$\chi (S_{g,b}) = 2-2g-b.$$
Le uniche superfici compatte orientabili a caratteristica positiva sono la sfera $S^2 = S_0$ ed il disco $D^2 = S_{0,1}$, mentre le uniche a caratteristica nulla sono l'anello $S_{0,2}$ ed il toro $S_1$. Tutte le altre hanno caratteristica positiva: quelle con caratteristica $-1$ sono il \emph{pantalone} $S_{0,3}$ ed il \emph{toro bucato} $S_{1,1}$. 

\subsection{Pantaloni iperbolici} \label{pantaloni:subsection}
Dimostriamo in questa sezione il fatto seguente.

\begin{prop} \label{pantaloni:prop}
Dati tre numeri reali positivi $a,b,c>0$ esiste (a meno di isometrie) un unico pantalone iperbolico con bordo geodetico, le cui curve di bordo abbiano lunghezza $a$, $b$ e $c$.
\end{prop}
Per dimostrare questa proposizione avremo bisogno di studiare alcuni poligoni in $\matH^2$. Un \emph{poligono} in $\matH^2$ (o $\matR^2$, $S^2$) \`e l'intersezione di un numero finito di semipiani, che sia compatta e con parte interna non vuota. Il bordo di un poligono \`e unione di un numero finito di segmenti (cio\`e porzioni compatte di retta) detti \emph{lati}. Due segmenti consecutivi si intersecano in un punto detto \emph{vertice} e definiscono un \emph{angolo interno}. Un poligono \`e \emph{retto} se gli angoli interni sono tutti retti. 

Ad esempio Fig.~\ref{esagono:fig}-(sinistra) mostra un esagono retto. La proposizione seguente afferma che le lunghezze $a,b,c$ mostrate in figura determinano tutto l'esagono.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 11cm] {esagono.pdf}
\nota{Un esagono retto con lati non adiacenti di lunghezza $a$, $b$ e $c$ (sinistra) e sua costruzione (destra).} 
\label{esagono:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm] {pantalone.pdf}
\nota{Incollando due esagoni lungo i lati neri si ottiene un pantalone iperbolico con bordo geodetico.}
\label{pantalone:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{lemma} \label{esagono:lemma}
Dati tre numeri reali $a,b,c>0$ esiste (a meno di isometrie) un unico esagono iperbolico retto che ha tre lati non adiacenti di lunghezza $a$, $b$ e $c$.
\end{lemma}
\begin{proof}
La costruzione dell'esagono \`e descritta in Fig.~\ref{esagono:fig}. 
Si fissa una retta in $\matH^2$ e due suoi punti $A$ e $B$;  dai punti $A$ e $B$ si tracciano le perpendicolari (rosse in figura) e dopo aver percorso due segmenti di lunghezza rispettivamente $a$ e $b$ si tracciano ancora due perpendicolari (in nero) $r$ e $s$ che determinano due punti all'infinito $P$ e $Q$. 

Si tracciano infine le rette perpendicolari alla retta iniziale passanti (all'infinito) per $P$ e $Q$ (in blu): le rette blu intersecano la retta iniziale nei punti $T$ e $U$. Sia $x$ la distanza (con segno) tra $T$ e $U$. Notiamo che i segmenti $AT$ e $UB$ hanno lunghezza determinata solo da $a$ e $b$, quindi $x$ pu\`o assumere qualsiasi valore reale al variare di $A$ e $B$ sulla retta iniziale. 

Se $x=0$ le rette blu coincidono, $P=Q$ e $r$ ed $s$ sono asintoticamente parallele. Se $x>0$ le rette blu sono disgiunte e $r$ e $s$ sono ultraparallele, quindi esiste un'unica retta ortogonale ad entrambe (rossa) ed il segmento tra queste \`e lungo $f(x)$. La funzione $f\colon [0,+\infty) \to [0,+\infty)$ \`e continua, vale $f(0)=0$ e $\lim_{x\to \infty} f(x) = \infty$, ed \`e strettamente crescente: quindi esiste un unico $x$ per cui $f(x) = c$. Quindi esiste un unico esagono retto con lunghezze $a,b,c$ a meno di isometrie di $\matH^2$.
\end{proof}

Incollando due esagoni con lati lunghi $a, b,c$ come mostrato in Fig.~\ref{pantalone:fig} si costruiscono pantaloni iperbolici con curve di bordo lunghe $2a$, $2b$, $2c$. Possiamo dimostrare il risultato principale di questa sezione.

\begin{proof}[Dimostrazione della Proposizione \ref{pantaloni:prop}]
Abbiamo appena mostrato l'esistenza di pantaloni geodetici con lunghezze $2a, 2b, 2c$ arbitrarie, ci resta da mostrarne l'unicit\`a. Sia $P$ un pantalone iperbolico geodetico con lunghezze $2a, 2b, 2c$.

Siano $C_1, C_2, C_3$ le componenti di $\partial P$. Poich\'e $C_1$ e $C_2$ sono compatti, esistono punti $x_1\in C_1$ e $x_2 \in C_2$ tali che $d(x_1,x_2) = d(C_1,C_2)$. Per il Teorema di Hopf-Rinow esiste una geodetica $\gamma_3$ che unisce $x_1$ e $x_2$ tale che $L(\gamma) = d(x_1,x_2)$. Questa geodetica \`e necessariamente semplice (cio\`e iniettiva) e ortogonale ai bordi $C_1$ e $C_2$: se non fosse semplice esisterebbe un'altra curva che connette $C_1$ e $C_2$ di lunghezza strettamente minore di $L(\gamma_3)$. Costruiamo analogamente le geodetiche $\gamma_1$ e $\gamma_2$ che collegano rispettivamente $C_2$ a $C_3$, e $C_3$ a $C_1$.

Le geodetiche $\gamma_1, \gamma_2$ e $\gamma_3$ sono disgiunte: supponiamo infatti che $\gamma_1$ e $\gamma_2$ si intersechino in un punto $p$. Siano $\lambda_1$ e $\lambda_2$ le porzioni di $\gamma_1$ e $\gamma_2$ con estremi in $p$ e $C_3$. Possiamo supporre che $L(\lambda_1)\leqslant \lambda_2$. Modifichiamo allora $\gamma_2$ sostituendo il segmento $\lambda_2$ con $\lambda_1$: otteniamo una curva che collega $C_1$ e $C_3$ avente al pi\`u la stessa lunghezza di $\gamma_2$ ma che non \`e geodetica, perch\'e forma un angolo in $p$; \`e quindi possibile trovare un'altra curva di lunghezza strettamente minore, assurdo.

Le tre geodetiche $\gamma_1, \gamma_2$ e $\gamma_3$ suddividono $P$ in due esagoni. I due esagoni hanno tre lati non adiacenti di lunghezze $L(\gamma_1)$, $L(\gamma_2)$ e $L(\gamma_3)$: per il Lemma \ref{esagono:lemma} i due esagoni sono isometrici, e quindi hanno anche gli altri tre lati uguali. Poich\'e la loro somma \`e $2a$, $2b$, $2c$ devono avere lati lunghi $a,b,c$: il pantalone \`e quindi unione di due esagoni isometrici di lunghezze $a,b,c$ come da costruzione.
\end{proof}

Nella sezione precedente abbiamo visto che una superficie iperbolica con bordo geodetico deve avere caratteristica negativa. Adesso abbiamo gli strumenti per provare l'implicazione opposta, e cio\`e che ogni superficie connessa con bordo avente caratteristica di Eulero negativa ammette una metrica iperbolica. 

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 8cm] {surface.pdf}
\nota{Incollando pantaloni si costruiscono tutte le superfici con bordo connesse di caratteristica di Eulero negativa. Qui \`e mostrata una decomposizione di $S_3$.}
\label{surface:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{prop} 
Se $\chi (S_{g,b}) = 2-2g-b<0$ allora $S_{g,b}$ si decompone in $-\chi = 2g+b-2$ pantaloni.
\end{prop}
\begin{proof}
Se $b=0$ allora $g\geqslant 2$ e la superficie si decompone facilmente come mostrato in Fig.~\ref{surface:fig}. Una decomposizione per $S_{g,b}$ pu\`o essere ottenuta a partire da una decomposizione per $S_{g,b-1}$ infilando un pantalone tra due pantaloni adiacenti (creando quindi una componente di bordo in pi\`u ma lasciando il genere $g$ invariato).
\end{proof}

\begin{cor} \label{ammette:cor}
Se $\chi<0$ allora $S_{g,b}$ ammette una metrica iperbolica.
\end{cor}
\begin{proof}
Decomponiamo $S_{g,b}$ in pantaloni. Assegnamo un numero reale positivo arbitrario ad ogni curva semplice chiusa della decomposizione (ad esempio, le 6 curve rosse mostrate in Fig.~\ref{surface:fig}). Assegnamo ad ogni pantalone l'unica metrica iperbolica le cui geodetiche di bordo hanno come lunghezze i numeri reali assegnati. Incolliamo quindi i pantaloni e otteniamo una metrica iperbolica per $S_{g,b}$.
\end{proof}
Nella costruzione di una metrica iperbolica su $S_{g,b}$ abbiamo avuto molta libert\`a di scelta. Ad esempio, possiamo scegliere arbitrariamente le lunghezze delle geodetiche di bordo di $S_{g,b}$. Il resto di questo capitolo \`e essenzialmente dedicato allo studio delle differenti metriche iperboliche che possono essere assegnate ad una superficie compatta. 

\subsection{Geodetiche chiuse}
Studiamo in questa sezione come si comportano le geodetiche chiuse in una superficie iperbolica (e in una variet\`a iperbolica di dimensione arbitraria). Sia $p\colon \matR \to S^1$ la mappa $p(t) = e^{it}$. Una \emph{geodetica chiusa} in una variet\`a riemanniana $M$ \`e una mappa liscia $\alpha\colon S^1\to M$ tale che $\alpha\circ p\colon \matR\to M$ sia una geodetica non costante. Consideriamo implicitamente equivalenti due geodetiche chiuse $\alpha_1, \alpha_2$ tali che $\gamma_1(z) = \gamma_2(ze^{it})$ per qualche $t\in\matR$ fissato.

Se $X$ e $Y$ sono due spazi topologici, il simbolo $[X,Y]$ indica l'insieme delle mappe continue da $X$ in $Y$, viste a meno di omotopia. Consideriamo qui il caso $X=S^1$ ed enunciamo un teorema di topologia.

\begin{prop} \label{libera:prop}
Sia $Y$ uno spazio connesso per archi e $y_0$ un punto base. La mappa naturale 
$$F\colon \pi_1(Y,y_0) \to [S^1, Y]$$
induce una corrispondenza biunivoca fra classi di coniugio di $\pi_1(Y,y_0)$ e $[S^1,Y]$.
\end{prop}
\begin{proof}
Un elemento di $\pi_1(Y,y_0)$ \`e rappresentato da un laccio $\alpha\colon S^1\to Y$ con punto base $\alpha(1) = y_0$ ed induce ben definito un elemento di $[S^1,Y]$. La mappa $F$ cos\`\i\ definita \`e suriettiva, perch\'e qualsiasi mappa da $S^1$ in $Y$ pu\`o essere omotopata in modo da passare per $y_0$. 

Inoltre due lacci $\alpha, \alpha'$ con punto base $\alpha(1)=\alpha'(1)=y_0$ inducono lo stesso elemento in $[S^1, Y]$ se e solo se esiste una omotopia $H\colon S^1 \times [0,1] \to Y$ che coincida con $\alpha$ e $\alpha'$ in $0$ e $1$. L'omotopia \`e libera: la curva $\gamma\colon t\mapsto H(1,t)$ non \`e costantemente ferma in $y_0$, ma forma un altro laccio che parte e torna in $y_0$. L'omotopia $H$ induce facilmente una omotopia a estremi fissati fra $\alpha$ e $\gamma^{-1}\circ\alpha'\circ\gamma$. In altre parole, $F(\alpha) = F(\alpha')$ se e solo se $\alpha$ e $\alpha'$ sono coniugate.
\end{proof}

Se $M= \matH^n/_\Gamma$ \`e una variet\`a iperbolica completa, le classi di coniugio di $\Gamma\cong \pi_1(M)$ sono quindi in corrispondenza biunivoca con gli elementi di $[S^1,M]$. Dato un elemento $g \in\Gamma$, l'elemento corrispondente $F(g) \in [S^1,M]$ \`e identificabile concretamente nel modo seguente: si prenda un punto $x\in \matH^n$ qualsiasi ed un arco $\alpha$ continuo che colleghi $x$ e $g(x)$. La proiezione di $\alpha$ in $M$ \`e una curva chiusa continua, quindi un elemento di $[S^1,M]$.

Due elementi coniugati di $\Gamma$ sono dello stesso tipo (banale, parabolico o iperbolico) e hanno lo stesso spostamento minimo. Corrispondentemente ogni elemento di $[S^1,M]$ \`e di un tipo ben definito (banale, parabolico o iperbolico) e ha uno spostamento minimo $d$ (si veda la Sezione \ref{orosfere:subsection} nel Capitolo 1).

\begin{prop} \label{omotopia:prop}
Sia $M$ una variet\`a iperbolica completa.
Un elemento iperbolico di $[S^1,M]$ \`e rappresentato da un'unica geodetica chiusa, di lunghezza $d$ pari al suo spostamento minimo. Gli elementi banale e parabolici non sono rappresentati da geodetiche chiuse.
\end{prop}
\begin{proof}
Una isometria iperbolica $g\in \Gamma$ ha un'unica geodetica invariante, l'asse, che si proietta su una geodetica chiusa di $M$ di lunghezza $d$. Due isometrie coniugate determinano la stessa geodetica. %Due isometrie non coniugate invece determinano geodetiche non omotope per la Proposizione \ref{libera:prop}.

D'altra parte, se $\gamma$ \`e una geodetica chiusa, fissando un punto base $x_0 \in \matH^n$ con $p(x_0)\in \gamma$ la curva $\gamma$ determina un elemento in $\pi_1(M,p(x_0)) = \Gamma$ cio\`e una isometria $g$ che preserva la geodetica $\tilde\gamma\subset \matH^n$ ottenuta sollevando $\gamma$. Le uniche isometrie (senza punti fissi) che preservano una geodetica in $\matH^n$ sono le iperboliche, e la geodetica \`e necessariamente l'asse.
\end{proof}

\begin{cor} \label{geodetica:cor}
Sia $M$ una variet\`a iperbolica compatta senza bordo. Ogni elemento non banale in $[S^1,M]$ \`e rappresentato da un'unica geodetica chiusa.
\end{cor}
\begin{proof}
Se $M=\matH^n/_\Gamma$ \`e compatto ogni elemento non banale in $\Gamma$ \`e iperbolico.
\end{proof}

Ricordiamo che una curva chiusa \`e \emph{semplice} se \`e iniettiva.
Notiamo che una geodetica chiusa non \`e necessariamente semplice.
\begin{prop} \label{avvolge:prop}
Sia $\gamma$ una geodetica chiusa in una variet\`a riemanniana $M$. Vale uno (ed uno solo) dei fatti seguenti.
\begin{enumerate}
\item la curva $\gamma$ \`e semplice,
\item la curva $\gamma$ si autointerseca trasversalmente in un numero finito di punti,
\item la curva $\gamma$ percorre una curva di tipo (1) o (2) un numero $k\geqslant 2$ di volte.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
Se la curva non \`e semplice, deve autointersecarsi. Se lo fa solo con tangenti diverse vale (2). Se lo fa con le stesse tangenti vale (3).
\end{proof}
Il punto (3) equivale a dire che $\gamma (e^{it}) = \eta(e^{kit})$ per una geodetica $\eta$ e $k\geqslant 2$. Sia $M=\matH^n/\Gamma$ una variet\`a iperbolica completa e $\gamma$ una geodetica chiusa in $M$: la controimmagine $p^{-1}(\gamma)$ di $\gamma$ rispetto al rivestimento universale $p\colon\matH^n \to M$ \`e unione di geodetiche (e quindi rette) in $\matH^n$; queste rette sono tutte disgiunte se e solo se $\gamma$ non ha autointersezioni trasverse. Abbiamo indicato sopra con $F$ la bigezione fra le classi di coniugio iperboliche di $\Gamma$ e le geodetiche chiuse di $M$.

\begin{prop} \label{assi:prop}
Sia $M=\matH^n/\Gamma$ una variet\`a iperbolica completa e $\gamma$ una geodetica chiusa in $M$. Le rette in $p^{-1}(\gamma)\subset \matH^n$ sono precisamente gli assi delle isometrie in $F^{-1}(\gamma)$. 
\end{prop}
\begin{proof}
Ogni sollevamento di $\gamma$ forma una retta geodetica $\widetilde \gamma$ in $\matH^n$, e determina un automorfismo del rivestimento che fissa $\widetilde \gamma$ ed \`e necessariamente un elemento della classe di coniugio $F^{-1}(\gamma)$ con asse $\widetilde \gamma$. D'altra parte, ogni elemento nella classe $F^{-1}(\gamma)$ ha un (unico) asse che si proietta su $\gamma$.
\end{proof}

\subsection{Curve semplici chiuse omotopicamente banali e primitive}
La Proposizione \ref{omotopia:prop} pu\`o essere usata per mostrare alcuni fatti topologici sulle superfici.  
\begin{prop} \label{disco:prop}
Una curva semplice chiusa $\gamma$ in $S_{g,b}$ \`e omotopicamente banale se e solo se borda un disco.
\end{prop}
\begin{proof}
Tagliando la superficie lungo $\gamma$ si ottiene una superficie $S'$ con al pi\`u due componenti connesse avente la stessa caratteristica di $S_{g,b}$. Se si ottengono due componenti e una di queste \`e un disco siamo a posto. Altrimenti tutte le componenti di $S'$ hanno caratteristica negativa, oppure $S'$ \`e un anello. 

Nel primo caso \`e possibile assegnare ad $S'$ una metrica iperbolica con componenti di bordo tutte e due lunghe $1$. Queste componenti di bordo possono essere reincollate e generare una metrica iperbolica su $S_{g,b}$ in cui $\gamma$ \`e geodetica: questo contraddice la Proposizione \ref{omotopia:prop} perch\'e $\gamma$ \`e omotopicamente banale. Nel secondo caso $S_{g,b}=S_{1,0}$ \`e un toro e $\gamma$ \`e non banale in $\pi_1(S_{1,0})\isom \matZ\times \matZ$, assurdo.
\end{proof}

Ricordiamo che un elemento non banale $g$ di un gruppo $G$ \`e \emph{primitivo} se non pu\`o essere scritto come $g=nh$ per nessun numero naturale $n\geqslant 2$ e nessun altro elemento $h\in G$. 
Se $X$ \`e uno spazio topologico connesso per archi, un elemento $a\in [S^1, X]$ \`e \emph{primitivo} se corrisponde ad elementi primitivi di $\pi_1(X)$ tramite la Proposizione \ref{libera:prop} (la primitivit\`a \`e invariante per coniugio e quindi \`e ben definita in $[S^1,X]$).

\begin{prop} \label{primitiva:prop}
Una curva semplice chiusa liscia in $S_g$ omotopicamente non banale rappresenta un elemento primitivo in $[S^1,S_g]$.
\end{prop}
\begin{proof}
Supponiamo che $\gamma$ sia una curva semplice liscia omotopa ad una curva $\eta$ percorsa $n\geqslant 2$ volte. Tagliamo lungo $\gamma$ e otteniamo una nuova superficie $S'$ con la stessa caratteristica di $S_g$: per ipotesi $\gamma$ \`e omotopicamente non banale e quindi $S'$ non contiene dischi; se $S'$ \`e un anello allora $S_g = S_1$ \`e un toro e $\gamma$ \`e un generatore di $\pi_1(S_1) = \matZ \times \matZ$ quindi \`e primitivo; resta da considerare il caso in cui ogni componente di $S'$ ha $\chi<0$. 

Come nella dimostrazione della Proposizione \ref{disco:prop}, tagliando e reincollando lungo $\gamma$ costruiamo una metrica iperbolica su $S_g$ in cui $\gamma$ \`e una geodetica semplice chiusa. La curva $\eta$ \`e a sua volta omotopicamente equivalente ad una geodetica chiusa $\overline \eta$ per la Proposizione \ref{omotopia:prop}, e $\gamma$ \`e omotopicamente equivalente a $\overline \eta$ percorsa $n$ volte per ipotesi: assurdo, perch\'e otteniamo due geodetiche chiuse distinte ($\gamma$ \`e semplice e $n\overline \eta$ no) non possono essere omotopicamente equivalenti.
\end{proof}

\subsection{Curve e geodetiche semplici}
In questa sezione mostriamo che se una curva chiusa in una superficie iperbolica \`e semplice, allora anche l'unica geodetica ad essa omotopa \`e semplice. Per dimostrare questo fatto abbiamo bisogno di un risultato preliminare.

Sia $Y\subset X$ un sottoinsieme di uno spazio metrico $X$ e $R>0$ un numero reale positivo. Un \emph{$R$-intorno} $N_R(Y)$ \`e ovviamente l'insieme dei punti di $X$ che distano al pi\`u $R$ da qualche punto di $X$. Gli $R$-intorni delle geodetiche nei modelli conformi dello spazio iperbolico hanno una forma particolarmente semplice.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 11.5 cm] {intorni.pdf}
\nota{Gli $R$-intorni di una geodetica $l$ nel semipiano (sinistra) e nel disco di Poincar\'e (destra).}
\label{intorni:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{prop} \label{banana:prop}
Sia $l\subset \matH^2$ una retta in $\matH^2$ nel modello del disco o del semipiano. Un $R$-intorno di $l$ \`e delimitato da due rette (euclidee) o archi di circonferenza aventi gli stessi estremi di $\gamma$ come in Fig.~\ref{intorni:fig}.
\end{prop}
\begin{proof}
Se $l$ \`e una retta verticale nel semispazio con estremi in $0$ e $\infty$, il suo $R$-intorno \`e invariante per le isometrie del tipo $x\mapsto \lambda x$ e quindi \`e necessariamente un cono come in figura. Tutti gli altri casi seguono, perch\'e le isometrie agiscono transitivamente sulle rette e mandano le due rette in $\partial N_R(l)$ in rette o archi di circonferenza per il Corollario \ref{mandano:cor} dal Capitolo \ref{spazio:chapter}.
\end{proof}

\begin{prop} \label{semplice:prop}
Sia $S_g$ dotata di una metrica iperbolica e $\gamma$ una curva semplice chiusa liscia omotopicamente non banale. L'unica geodetica chiusa $\overline \gamma$ omotopa a $\gamma$ \`e anch'essa semplice.
\end{prop}
\begin{proof}
La controimmagine di $\gamma$ nel rivestimento universale $\matH^2$ \`e unione di curve semplici disgiunte, e la controimmagine di $\overline{\gamma}$ \`e unione di rette disgiunte. L'omotopia fra $\gamma$ e $\overline{\gamma}$ si solleva ad una omotopia fra queste curve e queste rette. Poich\'e l'omotopia fra $\gamma$ e $\overline{\gamma}$ ha supporto compatto, esiste $R>0$ tale che ogni punto viene spostato durante tutta l'omotopia meno di $R$. Quindi ogni sollevamento $\widetilde {\gamma}$ di $\gamma$ \`e interamente contenuto in un $R$-intorno di un sollevamento $\widetilde{\overline{\gamma}}$ di $\overline {\gamma}$ e per la Proposizione \ref{banana:prop} i due sollevamenti tendono agli stessi estremi in $\partial \matH^2$, come in Fig.~\ref{geodetiche0:fig}-(sinistra).

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 11.5 cm] {geodetica.pdf}
\nota{I sollevamenti di una curva (nera) e del suo rappresentante geodetico (rosso) hanno gli stessi estremi in $\partial \matH^n$ (sinistra). Se due rette geodetiche si intersecano in un punto, anche le curve ad esse omotope devono intersecarsi in almeno un punto (destra).}
\label{geodetica:fig}
\end{center}
\end{figure}

Poich\'e $\gamma$ \`e semplice, due suoi sollevamenti $\widetilde \gamma_1$ e $\widetilde \gamma_2$ sono sempre disgiunti. I sollevamenti corrispondenti $\widetilde {\overline \gamma}_1$ e $\widetilde {\overline {\gamma}}_2$ sono le rette aventi gli stessi estremi di $\widetilde \gamma_1$ e $\widetilde \gamma_2$: se le due rette si intersecano in un punto, si intersecherebbero in almeno un punto anche le curve $\widetilde \gamma_1$ e $\widetilde \gamma_2$, si veda Fig.~\ref{geodetiche0:fig}-(destra). Quindi i sollevamenti di $\overline \gamma$ non si intersecano mai trasversalmente in un punto, e ne segue che $\overline \gamma$ non ha punti di autointersezione trasversa. Per la Proposizione \ref{avvolge:prop} la geodetica chiusa $\overline \gamma$ \`e semplice oppure si avvolge pi\`u volte su un'altra geodetica chiusa semplice $\eta$: la seconda possibilit\`a \`e esclusa dalla Proposizione \ref{primitiva:prop}.
\end{proof}

La proposizione precedente non \`e valida in generale in dimensione $n\geqslant 3$: esistono in dimensione pi\`u alta di due delle curve semplici chiuse omotope a geodetiche chiuse non semplici.

\subsection{Intersezione fra curve semplici chiuse}
In questa sezione parliamo di intersezione fra curve semplici chiuse in una superficie. Il risultato principale sar\`a il \emph{criterio del bigono} enunciato nella Proposizione \ref{bigono:prop}: secondo tale criterio, due curve semplici chiuse in una superficie compatta si intersecano (a meno di omotopia) nel numero minimo di punti possibili se e solo se non formano \emph{bigoni}. 

Avremo bisogno di un paio di risultati sulle isometrie di $\matH^n$. Indichiamo con $\Fix(\varphi)$ i punti fissi in $\overline{\matH^n}$ di una isometria. Ricordiamo che se $\varphi$ \`e parabolica o iperbolica l'insieme $\Fix(\varphi)$ consta di uno o due punti fissi in $\partial \matH^n$.

\begin{lemma}
Siano $\varphi_1,\varphi_2\in\Iso(\matH^n)$ due isometrie senza punti fissi in $\matH^n$. Se commutano, allora $\Fix(\varphi_1) = \Fix(\varphi_2)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Due isometrie senza punti fissi in $\matH^n$ sono iperboliche o paraboliche. Se commutano, l'isometria $\varphi_1$ agisce su $\Fix(\varphi_2)$ e viceversa. Se $\varphi_2$ \`e iperbolica, allora $\Fix(\varphi_2)=\{p,q\}$ e $\varphi_1$ fissa la retta con estremi $p$ e $q$, quindi \`e anch'essa iperbolica con $\Fix(\varphi_1)=\{p,q\}$. Se $\varphi_1$ e $\varphi_2$ sono paraboliche allora hanno un solo punto fisso e quindi necessariamente $\Fix(\varphi_1) = \Fix(\varphi_2)$.
\end{proof}

\begin{lemma} \label{fissi:lemma}
Siano $\gamma_1,\gamma_2\in\Iso(\matH^n)$ due isometrie che generano un sottogruppo discreto $\Gamma < \Iso (\matH^n)$. Valgono i fatti seguenti:
\begin{enumerate}
\item  se $\varphi_1$ \`e iperbolica e $\varphi_2$ parabolica allora $\Fix(\varphi_1)\cap \Fix(\varphi_2) = \emptyset$.
\item se $\varphi_1$ e $\varphi_2$ sono entrambe iperboliche allora $\Fix(\varphi_1) \cap \Fix(\varphi_2) = \emptyset$ oppure $\Fix(\varphi_1) = \Fix(\varphi_2)$ ed esiste $\varphi \in \Gamma$ tale che $\varphi_1 = \varphi^{k_1}, \varphi_2 = \varphi^{k_2}$ per qualche $k_1, k_2\in\matN$.
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
Mostriamo (1) usando il modello del semispazio, supponendo che $\infty$ sia punto fisso per entrambe $\varphi_1$ e $\varphi_2$ e che $0$ sia l'altro punto fisso per $\varphi_1$. Dalla Proposizione \ref{tre:prop} del Capitolo \ref{spazio:chapter} ricaviamo $\varphi_1(x,t) = \lambda(Ax,t)$ e $\varphi_2(x,t) = (A'x+b, t)$ con $A, A' \in O(n-1)$ e $\lambda \neq 1$. Quindi 
\begin{align*}
\varphi_1^n\circ \varphi_2\circ  \varphi_1^{-n}(x,t) & = \varphi_1^n\big(A'(\lambda^{-n}A^{-n}x)+b,\lambda^{-n}t)  = \Big(\lambda^n A^n \big(A'(\lambda^{-n}A^{-n}x)+b\big), t\Big) \\
& = \big(A^nA'A^{-n}x + \lambda^n A^nb , t\big).
\end{align*}
A meno di scambiare $\varphi_1$ con $\varphi_1^{-1}$ possiamo supporre che $\lambda < 1$ e otteniamo 
$$\lim_{n\to \infty} \varphi_1^n \circ \varphi_2 \circ \varphi_1^{-n}(0,t) = (0,t).$$
Il sottogruppo $\Gamma$ quindi non \`e discreto, perch\'e non agisce in modo propriamente discontinuo. 

Dimostriamo (2). Supponiamo che $\varphi_1$ e $\varphi_2$ fissino $\infty$ e abbiano spostamento minimo $d_1$ e $d_2$, definiti con segno positivo se $\infty$ \`e attrattore e negativo se \`e repulsore. Indichiamo con $O_t$ l'orosfera ad altezza $t$. Abbiamo $\varphi_i (O_t) = O_{e^dt}$, quindi il commutatore 
$$[\varphi_1,\varphi_2] = \varphi_2\circ \varphi_1 \circ \varphi_2^{-1} \circ \varphi_1^{-1}$$
fissa ogni orosfera $O_t$. Quindi $[\varphi_1,\varphi_2]\in \Gamma$ \`e parabolico con punto fisso $\infty$ oppure banale: il primo caso \`e escluso da (1); nel secondo caso il lemma precedente mostra che $\varphi_1$ e $\varphi_2$ hanno lo stesso asse $r$. Poich\'e $\Gamma$ \`e discreto, agisce sull'asse $r$ come gruppo di traslazioni in modo propriamente discontinuo e deve quindi essere isomorfo a $\matZ$ ed avere un generatore $\varphi$ come da tesi.
\end{proof}

Sia $\matH^n/\Gamma$ una variet\`a iperbolica completa. Consideriamo l'insieme degli assi in $\matH^n$ di tutte le isometrie iperboliche in $\Gamma$: il lemma precedente implica che questi assi sono (a coppie) incidenti o ultraparalleli (non sono mai asintoticamente paralleli). 

Passiamo a studiare le intersezioni fra curve semplici chiuse.

\begin{defn} Siano $g_1, g_2\in [S^1, S]$ due classi di omotopia di curve semplici chiuse lisce in una superficie orientabile $S$. Definiamo la loro \emph{intersezione geometrica} come
$$i(g_1, g_2) = \min \big\{ \#(\gamma_1\cap \gamma_2) \ \big|\ \gamma_1 \in g_1, \gamma_2 \in g_2 \big\}$$
al variare di $g_1$ e $g_2$ fra le curve semplici chiuse lisce nelle classi $\gamma_1$ e $\gamma_2$.
\end{defn}

\subsection{Criterio del bigono}
Due curve semplici chiuse lisce $\gamma_1,\gamma_2$ si intersecano \emph{in modo trasverso} se le loro tangenti in ogni punto di intersezione sono non-parallele. Diciamo che le due curve sono \emph{in posizione minimale} se si intersecano in $i([\gamma_1],[\gamma_2])$ punti. Il complementare di due curve semplici chiuse trasverse in $S$ \`e l'unione disgiunta di un insieme finito di aperti in $S$ con bordo poligonale; un tale aperto \`e un \emph{bigono} se \`e un disco con due lati come in Fig.~\ref{bigono:fig}. Il seguente criterio \`e uno strumento semplice e molto utile per determinare l'intersezione geometrica di due curve.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 4 cm] {bigono.pdf}
\nota{Due curve $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono in posizione minimale se e solo se non creano bigoni.}
\label{bigono:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{prop}[Criterio del bigono] \label{bigono:prop}
Sia $S_g$ una superficie chiusa di genere $g\geqslant 2$. Due curve semplici chiuse lisce trasverse $\gamma_1,\gamma_2$ sono in posizione minimale se e solo se non creano bigoni come in Fig.~\ref{bigono:fig}.
\end{prop}
\begin{proof}
Se $\gamma_1$ e $\gamma_2$ formano un bigono, le omotopie descritte in Fig.~\ref{bigono_proof:fig}-(sinistra) trasformano $\gamma_1$ e $\gamma_2$ in due nuove curve che si intersecano in due punti in meno: quindi $\gamma_1$ e $\gamma_2$ non sono in posizione minimale.

Supponiamo adesso che $\gamma_1$ e $\gamma_2$ non formino bigoni: dobbiamo mostrare che sono in posizione minimale. Consideriamo innanzitutto il caso in cui una delle curve (ad esempio $\gamma_1$) sia banale. Per la Proposizione \ref{disco:prop} la curva $\gamma_1$ borda un disco $D$ e $\gamma_2$ interseca $D$ in archi come in Fig.~\ref{bigono_proof:fig}-(destra). Se non c'\`e neanche un arco allora $\gamma_1\cap \gamma_2 = \emptyset$ e le due curve sono in posizione minimale. Se c'\`e almeno un arco, gli estremi degli archi in $\partial D$ si annidano, ed esiste sempre una coppia di estremi \emph{innermost} (cio\`e pi\`u interni di tutti: bordano un arco in $\partial D$ che non contiene altri estremi). Due estremi innermost determinano un bigono (in Fig.~\ref{bigono_proof:fig}-(destra) ce ne sono tre): assurdo.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 9 cm] {bigono_proof.pdf}
\nota{Un bigono pu\`o essere eliminato con una omotopia che riduce il numero di intersezioni (sinistra). Se $\gamma_1$ borda un disco e $\gamma_2$ interseca $\gamma_1$, esiste necessariamente un bigono (destra).}
\label{bigono_proof:fig}
\end{center}
\end{figure}

Passiamo a considerare il caso in cui $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono entrambe omotopicamente non banali. Fissiamo su $S_g$ una metrica iperbolica arbitraria. Per la Proposizione \ref{semplice:prop} le due curve sono omotopicamente equivalenti a delle geodetiche semplici chiuse $\overline{\gamma_1}$ e $\overline{\gamma_2}$. Abbiamo gi\`a visto nella dimostrazione della Proposizione \ref{semplice:prop} che le controimmagini di $\gamma_i$ e $\overline{\gamma_i}$ sono rette e curve con gli stessi estremi in $\partial \matH^2$, come in Fig.~\ref{geodetiche0:fig}-(sinistra). 

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10 cm] {geodetiche0.pdf}
\nota{I sollevamenti di $\gamma_i$ e $\overline{\gamma_i}$ hanno distanza uniformemente limitata e tendono quindi agli stessi punti al bordo (sinistra). Due curve che si intersecano in pi\`u di un punto formano un bigono (destra).} 
\label{geodetiche0:fig}
\end{center}
\end{figure}

Mostriamo adesso che due sollevamenti $\widetilde \gamma_1$ e $\widetilde \gamma_2$ di $\gamma_1$ e $\gamma_2$ si intersecano al pi\`u in un punto. Se si intersecano in pi\`u punti, un argomento \emph{innermost} come quello gi\`a descritto mostra che formano un bigono $D$ in $\matH^2$ come in Fig.~\ref{geodetiche0:fig}-(destra). \`E facile verificare che il bigono in $\matH^2$ determina un bigono in $S$: i due vertici di $D$ sono proiettati su punti distinti di $\gamma_1\cap\gamma_2$ perch\'e si intersecano con orientazioni opposte, mentre gli automorfismi del rivestimento mantengono sempre l'orientazione di $\matH^2$ (perch\'e $S_g$ \`e orientabile). Anche i due archi di $D$ sono proiettati iniettivamente su due archi in $S_g$, e quindi tutto $D$ \`e proiettato iniettivamente su un bigono in $S_g$, assurdo.

Calcoliamo adesso i punti di intersezione fra $\gamma_1$ e $\gamma_2$ nel rivestimento universale $\matH^2$. Sia $\Gamma<\Iso^+(\matH^2)$ il gruppo di automorfismi del rivestimento $p\colon \matH^2\to S_g$. Per la Proposizione \ref{assi:prop} le rette in $p^{-1}(\overline{\gamma_i})$ sono gli assi delle isometrie iperboliche (tutte coniugate fra loro) in $F^{-1}(\gamma_i) < \Gamma$. Per il Lemma \ref{fissi:lemma}-(2) assi distinti hanno estremi disgiunti in $\partial\matH^2$: quindi due sollevamenti di $\gamma_1$ e $\gamma_2$ si intersecano (in un punto solo) se e solo se si intersecano (sempre in un punto solo) i corrispondenti sollevamenti di $\overline{\gamma_1}$ e $\overline{\gamma_2}$, e questo accade se e solo se gli estremi delle due rette in $\matH^2$ sono concatenati in $\partial \matH^2$.\footnote{Due coppie $\{A,B\}$ e $\{C,D\}$ di punti distinti in una circonferenza $S^1$ sono concatenate se ciascuno dei due archi con estremi in $A$ e $B$ interseca l'insieme $\{C,D\}$.} L'insieme $p^{-1}(\gamma_1) \cap p^{-1}(\gamma_2)$ \`e quindi in naturale corrispondenza biunivoca con
$$S = \big\{(\varphi_1,\varphi_2) \in F^{-1}(\gamma_1) \times F^{-1}(\gamma_2) \ \big| 
\ \Fix(\varphi_1) \ {\rm e}\ \Fix(\varphi_2) \ {\rm sono\ concatenati} \big\}$$

L'insieme $\gamma_1\cap\gamma_2$ \`e quindi in naturale corrispondenza biunivoca con $S/_\sim$ dove $\sim$ \`e la relazione di equivalenza sulle coppie $(\varphi_1, \varphi_2)$ generata dall'azione diagonale per coniugio di $\Gamma$.\footnote{In questa azione $g\in \Gamma$ manda $(\varphi_1, \varphi_2)$ in $(g^{-1}\varphi_1 g, g^{-1}\varphi_2 g)$.}

La cardinalit\`a $N$ di $S/_\sim$ dipende solo dal tipo di omotopia di $\gamma_1$ e $\gamma_2$. Quindi due curve omotope a $\gamma_1$ e $\gamma_2$ avranno sempre almeno queste $N$ intersezioni, e ne segue che $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono in posizione minimale.
\end{proof}

Nell'ultimo paragrafo abbiamo implicitamente dimostrato che due geodetiche semplici chiuse distinte sono sempre in posizione minimale. Possiamo comunque fornire una breve dimostrazione alternativa.

\begin{cor}
Sia $S_g$ dotata di una metrica iperbolica. Due geodetiche semplici chiuse distinte sono sempre in posizione minimale.
\end{cor}
\begin{proof}
Sia $p\colon \matH^2 \to S_g$ il rivestimento universale. Se due geodetiche semplici chiuse distinte $\gamma_1$ e $\gamma_2$ non sono in posizione minimale formano un bigono in $S_g$, che si solleva ad un bigono formato dalle loro controimmagini $p^{-1}(\gamma_1)$ e $p^{-1}(\gamma_2)$ in $\matH^2$: assurdo, perch\'e due rette in $\matH^2$ si intersecano in un punto solo.
\end{proof}

\subsection{Omotopia e isotopia fra curve}
Mostriamo in questa sezione che due curve semplici chiuse sono omotopicamente equivalenti se e solo se sono collegate da una isotopia ambiente liscia.

Ricordiamo che una \emph{omotopia} fra due mappe continue $\varphi, \psi\colon X \to Y$ fra spazi topologici $X$ e $Y$ \`e una mappa $F\colon X\times [0,1]\to Y$  tale che $F_0 = \varphi$ e $F_1 = \psi$, dove si intende ovviamente $F_t = F(\cdot, t)$. Una omotopia \`e una \emph{isotopia} se ogni funzione $F_t$ \`e un omeomorfismo. Una \emph{isotopia ambiente} in uno spazio topologico $X$ \`e una isotopia fra $\id_X$ e un altro omeomorfismo $\varphi\colon X \to X$. Se $X$ \`e una variet\`a differenziabile, aggiungiamo anche implicitamente a questa condizione l'ipotesi che $\varphi$ sia un diffeomorfismo: brevemente, una isotopia ambiente \`e un diffeomorfismo isotopo all'identit\`a\footnote{Non richiediamo per\`o che l'isotopia $F$ sia liscia: questa condizione aggiuntiva non porterebbe grandi vantaggi in questa trattazione, e renderebbe alcune dimostrazioni notevolmente pi\`u complicate, si veda ad esempio il trucco di Alexander nella Sezione \ref{Alexander:subsection}.}.

%Per tutte queste nozioni \`e possibile aggiungere richieste di liscezza in presenza di funzioni $\varphi, \psi \colon M \to N$ fra variet\`a differenziabili. Una \emph{isotopia liscia} fra due diffeomorfismi $\varphi, \psi\colon M \to N$ \`e una isotopia in cui $F$ \`e liscia e ogni livello $F_t$ \`e un diffeomorfismo.

\begin{lemma} \label{ambiente:lemma}
Per ogni $i=1,2$, sia $\gamma_1^i,\ldots, \gamma_k^i$ un insieme di curve semplici chiuse lisce omotopicamente non banali in $S_g$, a coppie disgiunte e non omotopicamente equivalenti. Se $\gamma_j^1$ \`e omotopicamente equivalente a $\gamma_j^2$ per ogni $j$, allora esiste una isotopia ambiente che sposta $\gamma_j^1$ in $\gamma_j^2$ per ogni $j$.
\end{lemma}
\begin{proof}
A meno di una piccola isotopia ambiente possiamo supporre che tutte le intersezioni fra $\gamma_j^1$ e $\gamma_k^2$ siano trasverse. Notiamo che esistono rappresentanti disgiunti per ogni coppia $\gamma_j^1, \gamma_k^2$ (se $j=k$ le curve sono omotope e basta prendere due rapprentanti paralleli), e quindi $i(\gamma_j^2, \gamma_k^2)=0$ per ogni $j,k$. Se ci sono intersezioni fra gli insiemi
$\cup_j \gamma_j^1$ e $\cup_k \gamma_k^2$ allora devono esserci dei bigoni: con una isotopia ambiente \`e possibile ridurre il numero di intersezioni come suggerito da Fig.~\ref{bigono_proof:fig}-(sinistra), e dopo un numero finito di tali operazioni otteniamo due insiemi disgiunti. Quindi tutte le curve $\gamma_j^i$ sono disgiunte.

A questo punto asseriamo che per ogni $j$ le curve $\gamma_j^1$ e $\gamma_j^2$ cobordano un anello che non interseca le altre curve. Se cos\`\i\ non fosse per qualche $j$, tagliando la superficie lungo $\gamma_j^1$ e $\gamma_j^2$ otterrei una, due o tre superfici, tutte di caratteristica negativa. Potrei quindi assegnare a queste superfici una metrica con bordi di lunghezza 1 e reincollare, e ottenere cos\`\i\ una metrica iperbolica su $S_g$ in cui $\gamma_j^1$ e $\gamma_j^2$ sono geodetiche omotope ma distinte: assurdo.

A questo punto \`e sufficiente costruire una isotopia ambiente che faccia scivolare $\gamma_j^1$ su $\gamma_j^2$ per ogni $j$.
\end{proof}

\begin{cor} \label{omotopia:isotopia:cor}
Due curve semplici chiuse lisce in $S_g$ sono omotopicamente equivalenti se e solo se sono collegate da una isotopia ambiente.
\end{cor}

Questo fatto non \`e vero in dimensione pi\`u alta: due curve chiuse omotopicamente equivalenti possono essere ``annodate'' in modo diverso; la \emph{teoria dei nodi} si occupa proprio della differenza fra omotopia e isotopia ambiente di curve semplici chiuse in $\matR^3$ o in 3-variet\`a pi\`u complicate.
 
\begin{cor} \label{isotopia:geodetiche:cor}
Sia $S_g$ dotata di una metrica iperbolica. Un insieme di curve semplici chiuse lisce omotopicamente non banali, a coppie disgiunte e non omotope, \`e trasportabile tramite isotopia ambiente ad un (unico) insieme di geodetiche semplici chiuse disgiunte.
\end{cor}

\subsection{Multicurve}
A partire da questa sezione consideriamo le curve semplici chiuse in una superficie $S_g$ non pi\`u come mappe $S^1\to S_g$, ma come sottoinsiemi di $S_g$: ci interessiamo cio\`e soltanto al loro supporto e non alla loro parametrizzazione; in particolare le curve non sono pi\`u dotate di una orientazione.

\begin{defn} Una \emph{multicurva} $\mu \subset S_g$ \`e una $1$-sottovariet\`a differenziabile compatta di $S_g$, tale che nessuna componente connessa di $\mu$ borda un disco in $S_g$.
\end{defn}
In altre parole una multicurva \`e l'unione finita di un numero finito di curve semplici chiuse lisce disgiunte omotopicamente non banali. Ricordiamo che due curve semplici chiuse in $S_g$ sono \emph{parallele} se cobordano un anello. Tagliando $S_g$ lungo una multicurva $\mu$ si ottengono anelli e superfici di caratteristica negativa: queste ultime non possono essere pi\`u di $-\chi(S_g) = 2g-2$. Quindi una multicurva su $S_g$ contiene al pi\`u $3g-3$ tipi diversi di omotopia di curve, e per ciascun tipo contiene un certo numero (arbitrariamente alto) di curve parallele: si veda ad esempio Fig.~\ref{multicurva:fig}.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 8 cm] {multicurva.pdf}
\nota{Una multicurva in $S_2$ contiene al pi\`u $3$ tipi distinti di omotopia di curve semplici chiuse, e per ciascuno di questi tipi un numero arbitrario di componenti parallele.} 
\label{multicurva:fig}
\end{center}
\end{figure}

Diciamo brevemente che due multicurve $\mu_1$ e $\mu_2$ sono \emph{isotope} se esiste una isotopia ambiente $F$ in $S_g$ tale che $F_1(\mu_1) = \mu_2$. 
Indichiamo con $\calM$ le classi di isotopia di multicurve nella superficie $S_g$ e definiamo l'\emph{intersezione geometrica} di due classi $m_1$, $m_2\in\calM$ come il numero naturale
$$i(m_1, m_2) = \min \big\{ \#(\mu_1\cap \mu_2) \ \big|\ \mu_1 \in m_1, \mu_2 \in m_2 \big\}.$$
Questa definizione estende la nozione di intersezione geometrica fra classi di curve semplici chiuse: l'intersezione geometrica fra curve era stata definita inizialmente sulle classi di \emph{omotopia} e non di isotopia, ma il Corollario \ref{omotopia:isotopia:cor} mostra che le due nozioni sono equivalenti per curve semplici chiuse. Due multicurve trasverse $\mu_1$ e $\mu_2$ sono in \emph{posizione minimale} se si intersecano in $i([\mu_1], [\mu_2])$ punti. Il criterio del bigono si estende facilmente alle multicurve.

\begin{prop}
Siano $\mu_1, \mu_2 \subset S_g$ multicurve in posizione trasversa. Vale l'uguaglianza
$$i([\mu_1], [\mu_2]) = 
\sum_{\tiny{\begin{array}{c} \gamma_1 \subset \mu_1 \\ \gamma_2 \subset \mu_2 \end{array}} }  
i([\gamma_1], [\gamma_2])$$
dove la somma \`e su tutte le componenti connesse $\gamma_1$ e $\gamma_2$ di $\mu_1$ e $\mu_2$. Le multicurve $\mu_1$ e $\mu_2$ sono in posizione minimale se e solo se non formano bigoni.
\end{prop}
\begin{proof}
Supponiamo che $\mu_1$ e $\mu_2$ siano in posizione minimale: allora non formano bigoni, quindi non ci sono bigoni neppure fra le componenti $\gamma_1$ e $\gamma_2$, e quindi per la Proposizione \ref{bigono:prop} anche tutte le componenti sono fra loro in posizione minimale. Questo dimostra l'equazione, e anche il fatto che se non ci sono bigoni le multicurve $\mu_1$ e $\mu_2$ sono in posizione minimale.
\end{proof}

Notiamo che $i(m,m)=0$: basta infatti prendere un rappresentante $\mu_1 \in m$ ed un altro rappresentante $\mu_2$ costruito a partire da $\mu_1$ traslando di poco ogni componente di $\mu_1$ in modo da non avere intersezioni fra $\mu_1$ e $\mu_2$. La posizione minimale fra due multicurve \`e unica a meno di isotopia ambiente:

\begin{prop}
Siano $\mu_1, \mu_2$ e $\eta_1, \eta_2$ due coppie di multicurve in posizione minimale. Supponiamo che nessuna componente di $\mu_1$ sia isotopa ad una componente di $\mu_2$.
Se $\mu_i$ e $\eta_i$ sono isotope per ogni $i=1,2$ esiste una isotopia ambiente di $S_g$ che porta $\mu_1$ in $\eta_1$ e $\mu_2$ in $\eta_2$. 
\end{prop}
\begin{proof}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 11 cm] {minimale_unica.pdf}
\nota{Un bigono fra $\mu_2$ e $\eta_2$ interseca $\mu_1$ con archi come in figura e pu\`o essere rimosso con una isotopia ambiente che preserva $\mu_1$ (sinistra). Per ogni tipo di omotopia esistono $k$ curve in $\mu_2$ e $k$ in $\eta_2$ e tutte queste intersecano $\mu_1$ in archi come in figura (destra). }
\label{minimale_unica:fig}
\end{center}
\end{figure}

Esiste per ipotesi una isotopia ambiente che porta $\mu_1$ in $\eta_1$, quindi possiamo supporre che $\mu_1 = \eta_1$. Costruiamo adesso una isotopia ambiente che fissa $\mu_1$ e sposta $\mu_2$ in $\eta_2$. A meno di una piccola isotopia ambiente che fissa $\mu_1$ possiamo supporre che $\mu_2$ e $\eta_2$ si intersechino in modo trasverso. Se $\mu_2\cap \eta_2 \neq \emptyset$ allora ci sono dei bigoni come in Fig.~\ref{minimale_unica:fig}-(sinistra): la multicurva $\mu_1$ interseca il bigono in archi che congiungono i lati distinti del bigono come in figura (se congiungessero lo stesso lato $\mu_1$ formerebbe un bigono con $\mu_2$ o $\eta_2$, e ci\`o \`e escluso perch\'e sono in posizione minimale). \`E possibile eliminare il bigono con una isotopia ambiente che tenga fisso $\mu_1$ come mostrato in Fig.~\ref{minimale_unica:fig}-(sinistra).

A meno di isotopia ambiente abbiamo quindi $\mu_1=\eta_1$ e $\mu_2\cap \eta_2 = \emptyset$. Quindi $\mu_2 \cup \eta_2$ \`e una multicurva, e come tutte le multicurve contiene un numero finito di tipi di omotopia di curve, e per ciascun tipo un certo numero di curve parallele. Poich\'e $\mu_2$ e $\eta_2$ sono isotope, in ciascun tipo di omotopia c'\`e lo stesso numero $k$ di curve di $\mu_2$ e di $\eta_2$. Le $2k$ curve parallele formano un anello e intersecano $\mu_1$ in archi che congiungono bordi distinti dell'anello, come in Fig.~\ref{minimale_unica:fig}-(destra): se congiungessero lo stesso arco formerebbero bigoni, e il fatto che $\mu_1$ e $\mu_2$ non abbiano componenti isotope esclude che $\mu_1$ abbia componenti parallele al cuore dell'anello.

Per concludere \`e sufficiente costruire una isotopia ambiente supportata sull'anello, che sposti le $k$ componenti di $\mu_2$ sulle $k$ componenti di $\eta_2$ tenendo fissi gli archi di $\mu_1$. 
\end{proof}

\begin{cor}
Siano $\gamma_1, \gamma_2$ due curve semplici chiuse in $S_g$ non omotope. Una metrica iperbolica su $S_g$ definisce due rappresentanti geodetici $\overline{\gamma_1}$ e $\overline{\gamma_2}$: la configurazione di $\overline{\gamma_1}\cup \overline{\gamma_2}$ in $S_g$ non dipende (a meno di isotopia ambiente) dalla metrica iperbolica scelta.
\end{cor}
\begin{proof}
Le due geodetiche $\overline{\gamma_1}$ e $\overline{\gamma_2}$ sono in posizione minimale per ogni metrica, e quindi la loro configurazione \`e sempre la stessa a meno di isotopia per la proposizione precedente.
\end{proof}

\subsection{Il trucco di Alexander} \label{Alexander:subsection}
Abbiamo dimostrato che due curve semplici chiuse in $S_g$ sono omotope se e solo se sono isotope, adesso vogliamo mostrare un risultato analogo per i diffeomorfismi di $S_g$. Iniziamo considerando il disco.

\begin{prop}[Trucco di Alexander] Siano $\varphi, \psi\colon D^n \to D^n$ due diffeomorfismi che coincidono puntualmente in $\partial D^n$. Esiste una isotopia che collega $\varphi$ e $\psi$ che fissa puntualmente $\partial D^n$ ad ogni tempo $t$. 
\end{prop}
\begin{proof}
Prendendo $f=\varphi\circ \psi$ e $\id_{D^n}$, \`e sufficiente costruire una isotopia fra un diffeomorfismo $f$ che fissa puntualmente $\partial D^n$ e l'identit\`a. La funzione seguente svolge questo compito:
$$F(x,t) = \left\{ \begin{matrix} x & {\rm if \ } \|x\| \geqslant t, \\ t f\left(\frac xt \right) & {\rm if\  \|x\| \leqslant t.} \end{matrix} \right.$$
\end{proof}
Per $n=2$ \`e anche vero che c'\`e una isotopia \emph{liscia} che collega $\varphi$ e $\psi$, ma la dimostrazione \`e pi\`u complicata; in dimensione pi\`u alta l'esistenza di una isotopia liscia \`e un problema aperto (per $n=4$) e a volte falso (per infiniti valori di $n\geqslant 7$: questo fatto \`e legato all'esistenza di \emph{sfere esotiche}, cio\`e variet\`a differenziabili omeomorfe ma non diffeomorfe a $S^n$). Per evitare inutili complicazioni in questa trattazione non supponiamo mai che le isotopie siano lisce.

\subsection{Decomposizioni in pantaloni}
Sia $S_g$ una superficie di genere $g\geqslant 2$. Una \emph{decomposizione in pantaloni} in $S_g$ \`e una multicurva $\mu$ tale che tagliando $S_g$ lungo $\mu$ si ottengono solo superfici diffeomorfe ai pantaloni $S_{0,3}$.

\begin{prop}
Sia $S_g$ dotata di una metrica iperbolica e $\gamma_1,\ldots, \gamma_k$ una decomposizione in pantaloni di $S_g$. I rappresentanti geodetici $\overline {\gamma_1}, \ldots, \overline{\gamma_k}$ definiscono una decomposizione di $S_g$ in pantaloni iperbolici con bordo geodetico.
\end{prop}
\begin{proof}
Per il Corollario \ref{isotopia:geodetiche:cor} esiste una isotopia ambiente che porta $\gamma_1,\ldots, \gamma_k$ nei rappresentanti geodetici $\overline{\gamma_1}, \ldots, \overline{\gamma_k}$ che definiscono quindi ancora una decomposizione in pantaloni. Ciascun pantalone eredita una struttura di variet\`a iperbolica con bordo geodetico.
\end{proof}


\subsection{Spazio di Teichm\"uller}
In questa sezione studiamo le metriche iperboliche che possono essere assegnate ad una data superficie $S_{g,b}$ di genere $g$ e con $b$ componenti di bordo avente caratteristica di Eulero $\chi(S_g)=2-2g-b$ negativa. 

Fissiamo una decomposizione in $-\chi = 2g+b-2$ pantaloni per $S_{g,b}$. Le curve semplici chiuse della decomposizione sono tre per pantalone, meno quelle che non giacciono sul bordo che vengono contate due volte: in totale sono $3g-3 +2b$, di cui $b$ sul bordo. Come abbiamo visto nel Corollario \ref{ammette:cor}, se assegnamo a ciascuna curva un numero reale positivo, possiamo rappresentare ogni pantalone come l'unico pantalone iperbolico avente lunghezze di bordo proprio i tre numeri fissati. Pantaloni adiacenti hanno bordi della stessa lunghezza, quindi isometrici, e possono essere incollati. In questo modo si costruisce una metrica iperbolica su $S_g$. Nella costruzione abbiamo avuto $3g-3+2b$ gradi di libert\`a.

Nell'incollare due pantaloni adiacenti abbiamo inoltre scelto una isometria fra due geodetiche chiuse: le isometrie possibili formano il gruppo di Lie $S^1$. Otteniamo quindi un grado di libert\`a supplementare per ogni curva interna. In totale contiamo quindi 
$$(3g-3+2b) + (3g- 3 +b) = 6g-6+3b = -3\chi(S_{g,b})$$ 
gradi di libert\`a. Vediamo adesso che i gradi di libert\`a sono effettivamente questi. Per chiarire rigorosamente questo fatto introduciamo due definizioni importanti. 

\begin{defn}
Lo \emph{spazio dei moduli} di $S_{g,b}$ \`e lo spazio delle metriche iperboliche su $S_{g,b}$ viste a meno di isometria.

Lo \emph{spazio di Teichm\"uller} di $S_{g,b}$ \`e lo spazio delle metriche iperboliche su $S_{g,b}$, viste a meno di isometrie isotope all'identit\`a.
\end{defn}

Ricordiamo che una \emph{isotopia} fra due diffeomorfismi di una variet\`a $M$ \`e una mappa liscia $M\times [0,1] \to M$ che collega i due diffeomorfismi in cui ogni livello $t$ definisce un diffeomorfismo.\footnote{In una omotopia non si chiede che ogni livello $t$ definisca un diffeomorfismo.} In particolare l'isotopia deve preservare ogni componente di bordo (come insieme, non puntualmente).

Lo spazio dei moduli \`e a prima vista l'oggetto pi\`u naturale da studiare. Lo spazio di Teichm\"uller ha per\`o una naturale topologia che lo rende (come vedremo) omeomorfo a $\matR^{-\chi(S_{g,b})}$, mentre lo spazio dei moduli risulta essere topologicamente pi\`u complicato. Si preferisce quindi generalmente studiare innanzitutto lo spazio di Teichm\"uller, e quindi vedere lo spazio dei moduli come un quoziente di questo. 

\subsection{Terremoti}
Sia $h$ una metrica su una superficie orientata qualsiasi $S$ (con o senza bordo) e $\gamma\subset S$ una geodetica semplice chiusa interna, che non sia cio\`e una componente di bordo. Sia $\theta$ un numero reale arbitrario. Come abbiamo accennato sopra, \`e possibile \emph{torcere} la metrica $h$ di un angolo $\theta$ intorno a $\gamma$. Informalmente possiamo pensare di far scivolare una delle due componenti adiacenti a $\gamma$ di un angolo $\theta$ in senso antiorario.

Introduciamo questa operazione in modo pi\`u formale. Prendiamo un $\epsilon$-intorno di $\gamma$, cio\`e l'insieme dei punti di $S$ a distanza minore o uguale di $\epsilon$ da $\gamma$. Per $\epsilon$ sufficientemente piccolo questo intorno ha una naturale struttura prodotto $S^1 \times [-\epsilon, \epsilon]$ dove $S^1 \times 0$ \`e $\gamma$ e $p \times [-\epsilon, \epsilon]$ \`e un segmento lungo $2\epsilon$ ortogonale a $\gamma$ nel punto $p\in\gamma$ orientato in modo che $S^1\times [-\epsilon, \epsilon]$ abbia la stessa orientazione di $S$. Si veda Fig.~\ref{twist:fig}-(sinistra).

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm] {twist.pdf}
\nota{L'$\epsilon$-intorno di una geodetica $\gamma$, per $\epsilon$ sufficientemente piccolo, ha una naturale struttura prodotto $S^1\times [-\epsilon, \epsilon]$. Per definire una torsione lungo $\gamma$ si definisce una funzione che modifica i segmenti orizzontali come mostrato in figura.}
\label{twist:fig}
\end{center}
\end{figure}

Adesso scegliamo un diffeomorfismo $\varphi$ di $S^1\times [-\epsilon, \epsilon]$ che incurvi i segmenti come mostrato in Fig.~\ref{twist:fig}-(destra) di un angolo $\theta$. Pi\`u precisamente, sia $f\colon[-\epsilon, \epsilon] \to \matR$ una funzione liscia che valga zero in $[-\epsilon, -\frac\epsilon 2]$ e $\theta$ in $[\frac \epsilon 2,\epsilon]$. Sia $\varphi$ il diffeomorfismo definito da $\varphi(e^{i\alpha},t) = (e^{i(\alpha+f(t))},t)$.

Possiamo definire formalmente una nuova metrica $h_\theta$ su $S$ nel modo seguente: il tensore metrico $h_\theta$ coincide con $h$ in tutti i punti di $S$ esterni all'intorno $S^1\times [-\epsilon,\epsilon]$, mentre coincide su $S^1\times [-\epsilon, \epsilon]$ con il tensore $\varphi^*h$ ottenuto trasportando $h$ lungo $\varphi^{-1}$. L'operazione che modifica $h$ in $h_\theta$ \`e detta \emph{terremoto}.

\begin{prop} Il tensore metrico $h_\theta$ \`e ben definito e produce effettivamente una metrica iperbolica che dipende solo da $\gamma$ e $\theta$ a meno di isometrie isotope all'identit\`a.
\end{prop}
\begin{proof}
C'\`e solo da notare che su $S^1\times [\frac\epsilon 2, \epsilon]$ i tensori $h$ e $h_\theta$ in realt\`a coincidono, perch\'e la mappa $(e^{i\alpha},t)\mapsto (e^{i(\alpha+\theta)},t)$ \`e una isometria di $S^1\times [-\epsilon, \epsilon]$. Quindi $h_\theta$ si incolla bene ed \`e ovviamente iperbolica.

Nella definizione di $h_\theta$ abbiamo scelto una funzione $f$ in modo arbitrario. Se scegliamo un'altra funzione $f'$, il diffeomorfismo di $S$ che \`e l'identit\`a fuori da $S^1\times [-\epsilon, \epsilon]$ e manda $(e^{i\alpha},t)$ in $(e^{i(\alpha+f(t)-f'(t))},t)$ \`e una isometria fra le due metriche isotopa all'identit\`a.
\end{proof}

Per fissare una bigezione fra lo spazio di Teichm\"uller e $\matR^{-3\chi(S_{g,b})}$ \`e necessario fissare un ``sistema di riferimento''.\footnote{Allo stesso modo, per fissare un isomorfismo fra uno spazio vettoriale reale di dimensione $n$ e $\matR^n$ \`e necessario fissare una base.} Un sistema di riferimento in questo contesto \`e il dato seguente:

\begin{enumerate}
\item una decomposizione di $S_{g,b}$ in pantaloni, cio\`e $3g-3+b$ curve semplici chiuse disgiunte che decompongano $S_g$ in pantaloni;
\item altre curve semplici disgiunte trasverse alle precedenti, che decompongano i pantaloni in esagoni.
\end{enumerate}
Un esempio \`e mostrato in Fig.~\ref{decomposizione:fig}. Quando la superficie \`e a bordo, alcune curve di tipo (2) sono archi con estremi in $\partial S_{g,b}$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm] {decomposizione.pdf}
\nota{Un sistema di riferimento per lo spazio di Teichm\"uller: 6 curve rosse che dividono $S_3$ in pantaloni e 4 curve blu che suddividono ulteriormente ogni pantalone in due esagoni.}
\label{decomposizione:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{teo} \label{Teich:teo}
Un sistema di riferimento per $S_{g,b}$ induce una bigezione fra $\Teich(S_{g,b})$ e $\matR^{-3\chi(S_{g,b})} = \matR^{6g-6+3b}$.
\end{teo}
\begin{proof}
Sia $S_g$ dotata di una metrica (cio\`e di un tensore metrico) iperbolica $h$: mostriamo come calcolare $6g-6+3b$ valori reali a partire da $h$. Le $3g-3+b$ curve in (1) pi\`u le $b$ curve di bordo sono a coppie disgiunte e non omotope. Per la Proposizione ... esiste una isotopia ambiente che sposta queste curve in $3g-3+2b$ geodetiche univocamente determinate. Le lunghezze di queste geodetiche formano le prime $3g-3+2b$ coordinate. Le componiamo con un logaritmo naturale per avere valori in tutto $\matR$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm] {Teichmuller.pdf}
\nota{Una geodetica $\gamma$ con i due pantaloni adiacenti. Il parametro $t$ misura la distanza (nel rivestimento universale) fra due ortogeodetiche.}
\label{Teichmuller:fig}
\end{center}
\end{figure}

Determiniamo le seconde $3g-3+b$ coordinate. Consideriamo una delle $3g-3+b$ geodetiche chiuse interne $\gamma$. In Fig.~\ref{parametri:fig}-(sinistra) sono mostrati i due pantaloni geodetici adiacenti a $\gamma$ (che potrebbero anche coincidere). Consideriamo i due archi blu $\lambda$, $\lambda'$ che intersecano $\gamma$ e che collegano rispettivamente le geodetiche $\alpha, \beta$ e $\delta, \eta$ come in figura: scegliamone uno, ad esempio $\lambda$. Fissiamo un sollevamento del punto $\gamma\cap\lambda$ in $\matH^2$ e da l\`\i\ solleviamo $\gamma$ ad una geodetica $\tilde\gamma$ e $\lambda$ ad una curva $\tilde\lambda$ che collega due sollevamenti $\tilde\alpha$ e $\tilde\beta$ di $\alpha$ e $\beta$. Si veda la Fig.~\ref{parametri:fig}-(destra).

Si tracciano come in figura le uniche ortogeodetiche che connettono $\tilde\gamma$ a $\tilde\alpha$ e a $\tilde\beta$. Il parametro di torsione associato a $\gamma$ \`e la lunghezza $t$ del segmento di $\tilde\lambda$ compreso tra le due ortogeodetiche. La lunghezza $t$ \`e da considerare con segno: il segno \`e positivo se (come in figura) un osservatore che cammina lungo una ortogeodetica diretto verso $\tilde\gamma$ vede l'altra ortogeodetica a sinistra. Scegliendo $\lambda'$ al posto di $\lambda$ avremmo trovato lo stesso parametro $t$, come mostrato in Fig.~\ref{Teichmuller2:fig}.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 5cm] {Teichmuller2.pdf}
\nota{Scegliendo $\lambda'$ invece di $\lambda$ troviamo lo stesso parametro $t$, che misura lo sfasamento fra due esagoni retti, i cui lati giacenti su $\tilde\gamma$ sono entrambi della stessa lunghezza $\frac{l(\gamma)}2$, dove $l(\gamma)$ \`e la lunghezza di $\gamma$.}
\label{Teichmuller2:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm] {parametri.pdf}
\nota{Una torsione di un opportuno angolo $\theta$ permette di far combaciare le curve verdi minimizzando le intersezioni con le curve blu.}
\label{parametri:fig}
\end{center}
\end{figure}

Come parametro si preferisce usare invece della lunghezza $t$ l'angolo $\theta = \frac {2\pi t}{l(\gamma)}$, dove $l(\gamma)$ \`e la lunghezza di $\gamma$. Abbiamo associato in questo modo ad ogni curva $\gamma_i$ della decomposizione un angolo $\theta_i$. Se torciamo la metrica su ogni geodetica $\gamma_i$ dell'angolo $\theta_i$ otteniamo una nuova metrica iperbolica in cui tutte le ortogeodetiche combaciano come in Fig.~\ref{parametri:fig}-(destra) e se attaccate tutte insieme danno luogo a geodetiche chiuse nella superficie isotope alle curve verdi di tipo (2). I parametri $\theta_i$ indicano quindi in un certo senso la distanza da questa configurazione particolare, determinata dal sistema di riferimento scelto.

Abbiamo definito una funzione $F\colon \Teich(S_{g,b})\to \matR^{6g-6+3b}$. La funzione \`e suriettiva: incollando pantaloni possiamo costruire metriche in cui le $3g-3+2b$ geodetiche hanno valori arbitrari, e con dei terremoti \`e possibile variare arbitrairamente le torsioni. D'altra parte la $F$ \`e anche iniettiva:
\end{proof}
\appunto{finire}

\subsection{Superfici di Riemann}
Una superficie \`e una variet\`a reale bidimensionale; come a $\matR^2$ pu\`o essere data la struttura complessa $\matC$, \`e naturale tentare di definire su una superficie una struttura di ``variet\`a complessa unidimensionale''. Una tale struttura si definisce facilmente, ed \`e effettivamente presente su tutte le superfici orientabili. Ci\`o che \`e pi\`u sorprendente \`e il fatto che, pur essendo definite con linguaggi e strumenti molto differenti, esista una naturale corrispondenza biunivoca fra strutture complesse e strutture riemanniane con curvatura costante. Prima di studiare questa corrispondenza iniziamo con una importante definizione. Ricordiamo che un \emph{biolomorfismo} fra aperti di $\matC$ \`e una funzione olomorfa biunivoca (la cui inversa \`e necessariamente olomorfa).

\begin{defn} Una \emph{superficie di Riemann} \`e una variet\`a complessa di dimensione uno. In altre parole, \`e uno spazio topologico dotato di un atlante con carte in aperti di $\matC$, le cui funzioni di transizione siano biolomorfismi.
\end{defn}

Notiamo che la definizione \`e analoga a quella di variet\`a differenziabile, con $\matC$ al posto di $\matR^n$ e con i biolomorfismi al posto dei diffeomorfismi. Poich\'e $\matC$ \`e identificabile con $\matR^2$, una superficie di Riemann ha in particolare una struttura di superficie differenziabile. Una superficie di Riemann non \`e per\`o dotata di una struttura riemanniana (purtroppo la notazione pu\`o prestarsi a fraintendimenti: il matematico Riemann \`e citato per due strutture nettamente differenti).

Una mappa $f\colon X\to Y$ fra superfici di Riemann \`e \emph{olomorfa} se lo \`e letta sulle carte.\footnote{Anche qui, definizione analoga a quella di ``funzione differenziabile'' per le variet\`a differenziabili.} Una mappa olomorfa biunivoca con inversa olomorfa \`e ovviamente un \emph{biolomorfismo}.

Un qualsiasi aperto di $\matC$ \`e in modo naturale una superficie di Riemann. La retta proiettiva complessa $\matCP^1$ con le carte standard \`e una superficie di Riemann, detta \emph{sfera di Riemann}. Un risultato molto importante riguardante le superfici di Riemann \`e il seguente. Indichiamo con $D\subset \matC$ il disco aperto di raggio unitario.

\begin{teo}[uniformizzazione di Riemann]
Una superficie semplicemente connessa \`e biolomorfa a $\matC$, a $\matCP^1$ oppure a $D$.
\end{teo}
I tre modelli citati non sono biolomorfi fra loro. La sfera di Riemann $\matCP^1$ \`e compatta e quindi non \`e neppure omeomorfa agli altri due modelli $\matC$ e $D$. I due modelli $\matC$ e $D$ sono invece distinti dal teorema di Liouville: su $\matC$ non esistono funzioni olomorfe a valori in $\matC$ non costanti e limitate, mentre su $D$ esistono eccome, ad esempio la funzione $z\mapsto \frac 2z$.

\begin{cor}
Sia $U\subset \matC$ un aperto proprio semplicemente connesso. Allora $U$ \`e biolomorfo a $D$.
\end{cor}
\begin{proof}
Per il teorema di uniformizzazione $U$ \`e biolomorfo a $D$ oppure $\matC$. Il teorema di Liouville per\`o non vale su $U$: il fatto che $U$ sia semplicemente connesso implica che il complementare $\matC\setminus U$ ha parte interna $V$ non vuota. Basta quindi scegliere un punto $z_0\in V$ e prendere la funzione $z\mapsto \frac{1}{z-z_0}$, limitata su $U$ e non costante.
\end{proof}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 5cm] {500px-Koch_Snowflake_5th_iteration.png}
\nota{La parte interna del fiocco di neve di Koch \`e biolomorfa al disco aperto $D$.}
\label{Koch:fig}
\end{center}
\end{figure}

Notiamo che il fatto stesso che $U$ sia omeomorfo a $D$ \`e un fatto tutt'altro che banale. Il teorema \`e valido anche quando $D$ non ha un bordo liscio, come in Fig.~\ref{Koch:fig}. Il teorema di uniformizzazione caratterizza completamente le superfici di Riemann semplicemente connesse e si pu\`o quindi dimostrare un teorema analogo al Teorema \ref{completa:teo} per le variet\`a iperboliche.

\begin{teo}
Una superficie di Riemann \`e biolomorfa a $X/_G$ con $X \in \{\matC, \matCP^1, D\}$ e $G$ gruppo di biolomorfismi che agisce su $X$ in modo libero e propriamente discontinuo.
\end{teo}
\begin{proof}
Tutto lo schema di dimostrazione per il Teorema \ref{completa:teo} si adatta anche in questo contesto. Se $Y$ \`e una superficie di Riemann, la sua struttura complessa si solleva a quella del suo rivestimento universale $\widetilde Y$, che deve essere uno dei tre modelli $X$ per il Teorema di uniformizzazione di Riemann. Poich\'e $Y$ \`e semplicemente connesso, il rivestimento \`e regolare e quindi $Y = X/_G$ dove $G$ \`e il gruppo degli automorfismi del rivestimento, che deve agire in modo libero e propriamente discontinuo. Inoltre gli automorfismi sono necessariamente biolomorfismi.
\end{proof}

Notiamo che, a differenza del caso iperbolico, non \`e necessario supporre che la superficie di Riemann sia completa: effettivamente, questo tipo di ipotesi non ha alcun senso in questo contesto, perch\'e una superficie di Riemann non ha una naturale struttura di spazio metrico. A questo punto \`e naturale chiedersi quali siano i biolomorfismi dei tre modelli, ed il risultato \`e sorprendentemente simile a quanto abbiamo gi\`a visto per le superfici iperboliche. Indichiamo con $\Biol(X)$ il gruppo dei biolomorfismi di $X$. Ricordiamo che il disco aperto $D$ \`e anche un modello per il piano iperbolico $\matH^2$ e indichiamo come sempre con $\Iso^+(D)$ le isometrie che preservano l'orientazione di $D$.

\begin{prop} 
Valgono le identit\`a seguenti:
\begin{align*}
\Biol(\matCP^1) & = \PSLC, \\
\Biol(\matC) & = \{z \mapsto az+b \ | \ a\neq 0\}, \\
\Biol(D) & = \Iso^+(D).
\end{align*}
\end{prop}
\begin{proof}
Una funzione olomorfa $f\colon \matCP^1 \to \matCP^1$ \`e necessariamente una funzione razionale, ovvero un rapporto $f(z) = \frac{p(z)}{q(z)}$ fra polinomi. Infatti $f$ \`e una funzione meromorfa su $\matC$ che pu\`o avere all'infinito solo una singolarit\`a di tipo polo. Il numero di poli \`e quindi finito: moltiplicando per un polinomio aventi zeri in questi poli possiamo eliminare i poli in $\matC$ e ottenere una funzione olomorfa su $\matC$ con un polo all'infinito: una versione del teorema di Liouville mostra che questa funzione \`e un polinomio.

\`E facile vedere che se $f(z) = \frac{p(z)}{q(z)}$ \`e biunivoca allora (dopo aver ridotto ai minimi termini) entrambi i polinomi $p$ e $q$ hanno grado uno e quindi $f\in\PSLC$. L'uguaglianza $\Biol(\matC) = \{z \mapsto az+b\ |\ a\neq 0\}$ \`e una facile conseguenza.

L'enunciato per $D$ \`e invece una conseguenza (o variante) del \emph{lemma di Schwarz}. Sia $f\in\Biol(D)$. A meno di comporre $f$ con una isometria di $D$ possiamo supporre che $f(0)=0$. La funzione $g(z) = \frac {f(z)}z$ \`e quindi una funzione olomorfa $g\colon D \to \matC$. Sia $D_r$ il disco chiuso di raggio $r<1$ centrato nell'origine. Per il principio del massimo la funzione $|g(z)|$ sul disco $D_r$ ha massimo in un punto $z_0\in \partial D_r$. Quindi 
$$|g(z)| = \frac{|f(z)|}{|z|} \leqslant \frac{|f(z_0)|}{|z_0|} = \frac{|f(z_0)|}r \leqslant \frac 1r$$
per ogni $z\in D_r$. Fissando $z$ e facendo tendere $r$ a 1 si ottiene $|g(z)|\leqslant 1$ per ogni $z\in D$, ovvero $|f(z)|\leqslant |z|$. Usando $f^{-1}$ al posto di $f$ si ottiene la disuguaglianza opposta, e quindi $|f(z)| = |z|$ per ogni $z\in D$. Quindi $g$ \`e una funzione olomorfa a valori nella circonferenza unitaria $S^1$. Una funzione olomorfa \`e costante oppure aperta: poich\'e $S^1$ non ha parte interna $g$ deve essere costante. Quindi $f(z)= e^{i\theta}z$ per qualche $\theta$ fissato. Quindi $f$ \`e una rotazione del disco, un elemento di $\Iso^+(D)$.
\end{proof}

\begin{cor} Sia $S$ una superficie orientabile non omeomorfa alla sfera, al toro, al piano o all'anello aperto $S^1\times (0,1)$. C'\`e una naturale corrispondenza biunivoca fra gli insiemi
$$\left\{{\rm\ strutture \ iperboliche\ complete\ su\ } S\ \right\} \longleftrightarrow
\left\{{\rm\ strutture\ complesse\ su\ } S\ \right\}.$$
\end{cor}
\begin{proof}
Se $S$ ha una struttura complessa allora \`e del tipo $S=X/_G$ dove $X \in \{\matCP^1, \matC, D\}$ e $G$ \`e un gruppo di biolomorfismi che agisce in modo libero e propriamente discontinuo su $X$. Tali gruppi per $\matCP^1$ e $\matC$ sono classificati facilmente: per $\matCP^1$ c'\`e solo il gruppo banale e come $\matC/_G$ si possono ottenere solo tori o anelli. Quindi per ipotesi $X = D$, e la corrispondenza biunivoca naturale discende dal fatto che $\Biol(D) = \Iso^+(D)$.
\end{proof}
Questa corrispondenza pu\`o essere utilizzata per dimostrare fatti non banali in geometria iperbolica, ad esempio il risultato seguente.
\begin{prop}
Qualsiasi aperto del piano ammette una struttura iperbolica completa.
\end{prop}
\begin{proof}
Un aperto di $\matC$ ha una naturale struttura complessa, e quindi una corrispondente struttura iperbolica a meno che non sia omeomorfo ad una sfera, al toro, al piano o all'anello aperto. Non ci sono aperti del piano omeomorfi a sfere e tori. D'altra parte, il piano e l'anello aperto ammettono una metrica iperbolica completa, data rispettivamente da $\matH^2$ e da $\matH^2/_{\langle f\rangle}$ per una qualsiasi trasformazione iperbolica $f$.
\end{proof}
Ad esempio, il complementare $\matC\setminus K$ dell'insieme di Cantor $K$ ammette una metrica iperbolica completa. 

La corrispondenza fra strutture complesse e iperboliche complete passa attraverso il rivestimento universale e la scoperta che i gruppi di biolomorfismi e di isometrie del disco $D$ coincidono. Questa corrispondenza non dice per\`o come poter associare concretamente una struttura complessa ad una metrica iperbolica (e viceversa) senza passare dal rivestimento universale. Esiste un modo alternativo di realizzare questa corrispondenza, che esponiamo brevemente. Sia $S$ una superficie orientata qualsiasi, non omeomorfa alla sfera, al toro, al piano e all'anello aperto. Esistono delle mappe naturali fra gli insiemi seguenti di strutture su $S$:
$$
\xymatrix{ 
\big\{{\rm strutture\ complesse} \big\}\ar@{<->}[r] \ar@<2ex>[d] & \big\{{\rm strutture\ iperboliche\ complete}\big\} \ar[d] \\
\big\{{\rm strutture\ quasi-complesse} \big\} \ar@{.>}[u] & \big\{{\rm strutture\ conformi} \big\} \ar[l]
}
$$
La corrispondenza fra strutture complesse e strutture iperboliche complete \`e quella che abbiamo gi\`a dimostrato. Ricordiamo che una \emph{struttura conforme} su una variet\`a differenziabile \`e una metrica riemanniana vista a meno di riscalamento. Pi\`u formalmente, due metriche riemanniane $g, h$ sulla stessa variet\`a differenziabile $M$ definiscono la stessa \emph{classe conforme} se esiste una funzione liscia $f\colon M \to \matR_{>0}$ tale che $g = f\cdot h$; una struttura conforme per $M$ \`e la scelta di una classe conforme. Una struttura conforme non definisce una distanza fra punti di $M$ n\'e la lunghezza di un vettore tangente $v\in T_p$, ma l'angolo fra due vettori tangenti $v,w \in T_p$ risulta comunque ben definito. Nel diagramma commutativo assegniamo ad una struttura iperbolica la classe conforme a cui appartiene.

Una \emph{struttura quasi-complessa} su una variet\`a differenziabile $M$ di dimensione pari \`e l'assegnazione di un endomorfismo $J_p\colon T_p\to T_p$ in ogni punto $p\in M$ tale che $J_p^2 = -\id_{T_p}$. L'endomorfismo deve ovviamente variare in modo liscio con $p\in M$. Una struttura conforme su $S$ definisce una struttura quasi-complessa nel modo seguente: sia $J_p$ l'endomorfismo che ruota ogni vettore tangente di un angolo retto in senso antiorario. Anche una struttura complessa definisce una struttura quasi-complessa: lo spazio tangente $T_p$ ad un punto $p\in S$ ha infatti in modo naturale una struttura complessa e $J_p$ \`e definito come la moltiplicazione per $i$.

Un teorema non banale di analisi complessa asserisce che ogni struttura quasi-complessa su una superficie $S$ \`e \emph{integrabile}, cio\`e \`e effettivamente indotta da una struttura complessa. Questo teorema fornisce l'ultima freccia del diagramma.

\subsection{Superfici di tipo finito}
Siano $g,b,p\geqslant 0$ tre numeri naturali. Ricordiamo che $S_{g,b}$ \`e una superficie compatta con bordo ottenuta rimuovendo $b$ dischi aperti disgiunti dalla superficie $S_g$ compatta di genere $g$. Indichiamo con $S_{g,b,p}$ la superficie ottenuta rimuovendo $p$ punti distinti da $S_{g,b}$. Una superficie di questo tipo \`e dette \emph{di tipo finito}. La superficie $S_{g,b,p}$ \`e determinata a meno di diffeomorfismi dalla tripla di numeri $g,b,p$, e due superfici con triple diverse non sono diffeomorfe. Una superficie di tipo finito \`e mostrata in Fig.~\ref{tipo_finito:fig}. I $p$ punti rimossi sono detti \emph{punture}. Una superficie di tipo finito ha caratteristica di Eulero
$$\chi(S_{g,b,p}) = 2-2g-b-p.$$

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 6cm] {tipo_finito.pdf}
\nota{Una superficie di tipo finito $S_{g,b,p}$.}
\label{tipo_finito:fig}
\end{center}
\end{figure}

Quando $\chi(S_{g,b,p})<0$ \`e possibile costruire sulla superficie una metrica iperbolica completa e di volume finito estendendo le tecniche gi\`a usate per $S_{g,b}$. Notiamo che per $p=0$ la superficie \`e compatta e quindi una struttura iperbolica \`e necessariamente completa e di volume finito; entrambi questi fatti per\`o non sono scontati in presenza di punture.

Ricordiamo che in Sezione \ref{pantaloni:subsection} abbiamo costruito per ogni tripla di numeri reali positivi $a,b,c>0$ un (unico) esagono retto con lati alternati di lunghezza $a,b,c$. Questa costruzione si estende facilmente al caso $a,b,c\geqslant 0$ come mostrato in Fig.~\ref{esagoni_generalizzati:fig}: per ogni tripla $a,b,c\geqslant 0$ esiste un unico esagono retto a meno di isometrie, dove i lati aventi lunghezza zero degenerano in vertici all'infinito. L'esagono retto con tutti e tre i lati degeneri mostrato in Fig.~\ref{esagoni_generalizzati:fig}-(destra) \`e un \emph{triangolo ideale}, avente tutti e tre i vertici all'infinito. I triangoli ideali sono effettivamente tutti isometrici, perch\'e $\PSLR\Isom \Iso^+(\matH^2)$ agisce transitivamente sulle triple di punti in $\partial \matH^2$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 12.5 cm] {esagoni_generalizzati.pdf}
\nota{Un esagono retto con alcuni lati di lunghezza zero, degenerati in vertici ideali.}
\label{esagoni_generalizzati:fig}
\end{center}
\end{figure}

Prendendo due copie dell'esagono con lati $a,b,c\geqslant 0$ e incollandole lungo gli altri tre lati come in Sezione \ref{pantaloni:subsection} si ottengono dei pantaloni in cui alcune componenti di bordo sono degenerate a delle cuspidi come mostrato in Fig.~\ref{pantalone_degenere:fig}. Possiamo quindi usare questi pantaloni degeneri per costruire metriche arbitrarie su qualsiasi superficie di tipo finito $S_{g,b,p}$ con $\chi<0$: come sopra, \`e sufficiente suddividere la superficie in pantaloni, ed usare i pantaloni degeneri per creare delle cuspidi ove necessario. Per verificare che otteniamo effettivamente metriche complete e di volume finito \`e sufficiente verificare che ogni pantalone degenere sia effettivamente completo e di area finita. 

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 12.5 cm] {pantalone_degenere.pdf}
\nota{Negli esagoni raddoppiati un lato di lunghezza $x>0$ genera una geodetica di bordo di lunghezza $2x$ mentre un vertice ideale (lato di lunghezza zero) genera una cuspide. Si costruiscono in questo modo delle metriche iperboliche complete e di volume finito sulle superfici di tipo finito $S_{0,3,0}$, $S_{0,2,1}$, $S_{0,1,2}$ e $S_{0,0,3}$. L'ultima a destra \`e la sfera con tre punture.}
\label{pantalone_degenere:fig}
\end{center}
\end{figure}

Per calcolare l'area di un pantalone degenere usiamo il fatto seguente. Ammettiamo d'ora in poi nella nozione di poligono la presenza di alcuni vertici ideali. Ridefiniamo quindi la nozione nel modo seguente: un \emph{poligono} \`e l'intersezione di un numero finito di semipiani avente parte interna non vuota, la cui chiusura in $\overline{\matH^2}$ interseca $\partial \matH^2$ in al pi\`u un numero finito di punti. I vertici di un poligono possono essere interni (in $\matH^2$) o all'infinito (in $\partial\matH^2$). I punti all'infinito hanno per definizione angolo interno nullo. Ad esempio i poligoni mostrati in Fig.~\ref{esagoni_generalizzati:fig} hanno vertici interni retti e vertici all'infinito con angolo interno nullo. La somma degli angoli interni di un poligono \`e sempre strettamente minore di quella che troveremmo in un poligono euclideo, e questa differenza \`e precisamente l'area del poligono iperbolico:

\begin{prop}
Un poligono $P$ con angoli interni $\alpha_1,\ldots, \alpha_n$ ha area
$$\Area (P) = (n-2)\pi - \sum_{i=1}^n \alpha_i.$$
\end{prop}
\begin{proof}
Ogni poligono si decompone in triangoli, ed \`e facile vedere che basta dimostrare la formula per questi. Consideriamo innanzitutto un triangolo avente almeno un vertice all'infinito. Usiamo il modello del semipiano e mettiamo questo vertice all'infinito come in Fig.~\ref{triangle_area:fig}. Gli altri due vertici hanno angoli interni $\alpha$ e $\beta$ e possono essere sia interni che all'infinito. Possiamo supporre che il vertice del cerchio di raggio $r$ in figura sia l'origine di $\matR^2$. Nel calcolare l'area della regione rossa scriviamo la variabile $x$ come $x=r\cos \theta$. Il triangolo $T$ \`e il dominio
$$T = \{(r\cos\theta, y)\ | \ \beta\leqslant \theta \leqslant \pi-\alpha, \ y\geqslant r\sin\theta\}.$$
L'area del triangolo \`e quindi
\begin{align*}
\Area(T) & = \int_T \frac 1{y^2}dxdy = \int_{\pi-\alpha}^{\beta} \int_{r\sin\theta}^\infty \frac{-r\sin \theta}{y^2}dyd\theta \\
 & = \int_{\pi-\alpha}^\beta -r\sin\theta \left[-\frac 1y\right]_{r\sin\theta}^\infty d\theta = 
\int_{\beta}^{\pi-\alpha} \frac{r\sin\theta}{r\sin\theta}d\theta = \int_{\beta}^{\pi-\alpha} 1 = \pi-\alpha-\beta.
\end{align*} 
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10 cm] {triangle_area.pdf}
\nota{Un triangolo con almeno un vertice ideale (sinistra). L'area di un triangolo con vertici interni pu\`o essere calcolata come differenza di aree di triangoli con vertici ideali (destra).}
\label{triangle_area:fig}
\end{center}
\end{figure}
L'area di un triangolo con vertici interni $ABC$ pu\`o essere calcolata come in Fig.~\ref{triangle_area:fig}-(destra), scegliendo un punto all'infinito $\infty$ e usando la formula
$$\Area (ABC) = \Area(AB\infty) + \Area(BC\infty) - \Area (AC\infty).$$
\end{proof}
\begin{cor}
Un pantalone iperbolico con parametri $a,b,c\geqslant 0$ ha area $2\pi$.
\end{cor}
\begin{proof}
Il pantalone \`e unione di due esagoni retti. Un esagono retto ha area $4\pi - 3\pi = \pi$. Se alcuni dei parametri $a,b,c$ sono nulli, l'esagono \`e degenere ed \`e uno dei poligoni mostrati in Fig.~\ref{esagoni_generalizzati:fig}. Per ciascuno di questi poligoni l'area resta $\pi$.
\end{proof}
Una struttura iperbolica per $S_{g,b,p}$ ottenuta incollando pantaloni geodetici ha quindi sempre area finita, pari a $-2\pi\chi(S_{g,b,p})$. Abbiamo quindi ottenuto un'ennesima versione del Teorema di Gauss-Bonnet. \`E facile mostrare che una tale struttura iperbolica \`e completa. Infine, si pu\`o definire lo spazio di Teichm\"uller di $S_{g,b,p}$ analogamente a quanto fatto per $S_{g,b}$ e si ottiene il risultato seguente.

\begin{teo} Dopo aver fissato un opportuno sistema di riferimento esiste una corrispondenza biunivoca fra $\Teich(S_{g,b,p})$ e $\matR^{-3\chi(S_{g,b,p})-p} =  \matR^{6g+3b+2p-6}$.
\end{teo}
In particolare, esiste una sola struttura iperbolica per la sfera con 3 punture $S_{0,0,1}$, ed \`e quella ottenuta in Fig.~\ref{pantalone_degenere:fig} incollando due triangoli ideali.












