\chapter{Variet\`a iperboliche} \label{varieta:chapter}

\section{Gruppi di isometrie}

\subsection{Variet\`a iperboliche, piatte e ellittiche}
Una variet\`a iperbolica, piatta o ellittica \`e una variet\`a riemanniana modellata localmente su aperti di $\matH^n$, $\matR^n$ o $S^n$.

\begin{defn} Una \emph{variet\`a iperbolica} (rispettivamente \emph{piatta} o \emph{ellittica}) \`e una $n$-variet\`a riemanniana in cui ogni punto ha un intorno aperto isometrico ad un aperto di $\matH^n$ (risp.~$\matR^n$ o $S^n$). 
\end{defn}

\begin{oss} Una variet\`a iperbolica (risp.~piatta o ellittica) ha curvatura sezionale costante $-1$ (risp.~$0$ o $+1$). \`E possibile dimostrare l'opposto, cio\`e che una variet\`a riemanniana con curvatura costante $-1$  (risp.~$0$ o $+1$) \`e necessariamente iperbolica (risp.~piatta o ellittica). 
\end{oss}

Lo scopo principale di questa sezione sar\`a dimostrare il Teorema \ref{completa:teo}, secondo cui ogni variet\`a iperbolica (piatta o ellittica) \`e ottenuta da $\matH^n$ ($\matR^n$ o $S^n$) come quoziente di un opportuno gruppo di isometrie. Per introdurre l'argomento richiamiamo innanzitutto alcuni fatti di topologia generale. 

\subsection{Azioni di un gruppo e rivestimenti}
Ricordiamo brevemente in questa sezione alcune nozioni di topologia generale.
\begin{defn} Una \emph{azione} di un gruppo $G$ su uno spazio topologico $X$ \`e un omomorfismo $\rho\colon G \to \Omeo(X)$ a valori nel gruppo $\Omeo (X)$ degli omeomorfismi da $X$ in s\'e. 
\end{defn}
Nei casi che studieremo $G$ sar\`a semplicemente un sottogruppo di $\Omeo(X)$. In generale, si indica comunque con $g(x)$ l'elemento $\rho(g)(x)$ per ogni $g\in G$ e $x\in X$. Ricordiamo che l'\emph{orbita} di un punto $x\in X$ \`e l'insieme 
$$\big\{g(x) \ \big|\ g \in G\big\} \subset X $$
mentre lo \emph{stablizzatore} di $x\in X$ \`e il sottogruppo
$$\big\{g \ \big|\ g(x)=x \big\} < G.$$
Le orbite definiscono una partizione dello spazio $X$: due punti $x,y \in X$ stanno nella stessa orbita se e solo se $y=g(x)$ per qualche $g\in G$. Lo spazio topologico quoziente $X/_G$ \`e ottenuto identificando i punti che stanno nella stessa orbita.
Diamo due definizioni importanti.
\begin{defn}
L'azione di $G$ \`e \emph{libera} se ogni $g\in G$ non banale non ha punti fissi, cio\`e $g(x)\neq x$ per ogni $x\in X$. 

L'azione \`e \emph{propriamente discontinua} se per ogni coppia di punti $x,y\in X$ esistono due intorni aperti $U_x\ni x$ e $U_y\ni y$ tali che $g(U_x)\cap U_y \neq \emptyset$ solo per un insieme finito di $g\in G$.
\end{defn}

Sia $G$ un gruppo che agisce su uno spazio topologico $X$ di Hausdorff. Ricordiamo il teorema seguente di topologia.
\begin{prop}
Sono fatti equivalenti:
\begin{enumerate}
\item  $G$ agisce in modo libero e propriamente discontinuo,
\item $X/_G$ \`e di Hausdorff e la proiezione $p\colon X\to X/_G$ \`e un rivestimento.
\end{enumerate}
\end{prop}
%\begin{proof}
%Mostriamo che (1) implica (2). Per ogni coppia di punti $x$ e $y$ in $X$ esistono due intorni aperti $U_x\ni x$ e $U_y \ni y$ tali che $g(U_x)\cap U_y$ \`e non-vuoto solo per un numero finito di $g\in G$. 

%Supponiamo che $x$ e $y$ appartengano ad orbite diverse. Usando il fatto che $X$ \`e di Hausdorff si dimostra facilmente che esistono degli intorni aperti (pi\`u piccoli) $V_x$ e $V_y$ per cui $g(V_x)\cap V_y$ \`e vuoto per ogni $g\in G$. Questo implica che $X/_G$ \`e di Hausdorff. 

%Usando lo stesso argomento con $x=y$ e il fatto che l'azione \`e libera, si vede che ogni punto $x$ ha un intorno aperto $V_x \ni x$ tale che $g(V_x)\cap V_x = \emptyset $ per ogni $g\in G$. Quindi $p|_{V_x}$ \`e un omeomorfismo sull'immagine $p(V_x)$ e la controimmagine di $p(V_x)$ \`e unione disgiunta degli aperti $g(V_x)$ al variare di $g\in G$: quindi $p$ \`e un rivestimento.

%Si dimostra in modo analogo che (2) implica (1).
%\end{proof}

Ricordiamo alcuni fatti noti sui rivestimenti. Considereremo implicitamente solo rivestimenti fra spazi sufficientemente regolari (di Hausdorff, connessi, localmente connessi per archi e localmente contrattili).

Un \emph{automorfismo} di un rivestimento $p\colon X\to Y$ \`e un omeomorfismo $f\colon X\to X$ tale che $p = p\circ f$. Gli automorfismi di un rivestimento formano un gruppo che indichiamo con $\Aut(p)$. Il gruppo $\Aut(p)$ agisce in modo libero e propriamente discontinuo su $X$. \`E quindi naturale chiedersi se il rivestimento $p\colon X \to Y$ sia il quoziente rispetto a tale azione: vediamo che questo accade solo per una classe specifica di rivestimenti. 

Ricordiamo che un rivestimento induce una mappa iniettiva $p_*\colon \pi_1(X) \to\pi_1(Y)$ a livello di gruppi fondamentali (omettiamo il punto base nella notazione). Il rivestimento \`e detto \emph{regolare} se l'immagine $p_*(\pi_1(X))$ \`e un sottogruppo normale di $\pi_1(Y)$.

\begin{prop}
Se $p\colon X\to Y$ \`e un rivestimento regolare allora $Y = X/_{\Aut(p)}$ e vale l'isomorfismo
$$\Aut(p) \Isom \pi_1(Y)/_{p_*(\pi_1(X))}.$$
\end{prop}
\begin{cor} \label{universale:cor}
Se $p\colon \widetilde X \to X$ \`e un rivestimento universale allora $X = \widetilde X/_{\Aut(p)}$ e
$$\Aut(p) \Isom \pi_1(X)$$
\end{cor}

Un rivestimento regolare $p\colon X\to Y$ pu\`o quindi sempre essere interpretato come l'effetto dell'azione di un gruppo $\Aut(p)$ su $X$.

\subsection{Gruppi di Lie}
Gli esempi pi\`u importanti di variet\`a iperboliche, piatte ed ellittiche si ottengono quozientando lo spazio iperbolico, piatto ed ellittico tramite un opportuno gruppo di isometrie. Ricordiamo la definizione seguente.

\begin{defn} Un \emph{gruppo di Lie} \`e un gruppo $G$ munito di una struttura di variet\`a differenziabile, tale che le operazioni
\begin{align*}
G\times G & \to G, \quad (a,b) \mapsto ab \\
G & \to G, \quad a \mapsto a^{-1}
\end{align*}
siano funzioni lisce. 
\end{defn}
Un gruppo di Lie di dimensione zero \`e semplicemente un insieme di punti munito della topologia discreta. Un tale gruppo di Lie \`e detto \emph{discreto}. Qualsiasi gruppo \`e in modo naturale un gruppo discreto.

I gruppi di Lie sono oggetti importanti in geometria riemanniana in virt\`u del fatto seguente, che non dimostriamo. Ricordiamo che una mappa fra spazi topologici \`e \emph{propria} se la controimmagine di un compatto \`e sempre compatta.
\begin{teo}[Myers-Steenrod]
Il gruppo di isometrie $\Iso(M)$ di una variet\`a riemanniana ha una naturale struttura di gruppo di Lie, che rende la mappa seguente liscia e propria: 
\begin{align*}
\Iso(M) \times M & \to M \times M \\
(\varphi, p) & \mapsto (\varphi(p), p)
\end{align*}
\end{teo}
Il gruppo di Lie $\Iso(M)$ pu\`o avere infinite componenti connesse e pu\`o avere dimensione zero. Il teorema di Myers-Steenrod per le variet\`a che ci interessano pu\`o essere dimostrato direttamente: abbiamo gi\`a visto che i gruppi di isometrie di $\matH^n$, $\matR^n$ e $S^n$ sono isomorfi a particolari gruppi di matrici
$$\Iso(\matH^n) \isom O_*(n,1), \quad \Iso(\matR^n) \isom O(n) \ltimes \matR^n, \quad \Iso(S^n) \isom 
O(n+1)$$
e ciascuno di questi gruppi ha una naturale struttura di gruppo di Lie.\footnote{Qui $\ltimes$ indica il prodotto semidiretto: come variet\`a $\Iso(\matR^n)$ \`e diffeomorfa a $O(n)\times \matR^n$, con un prodotto per\`o diverso da quello diretto (ma pur sempre liscio).} Tutti e tre i gruppi hanno due componenti connesse: la componente connessa contenente l'identit\`a \`e formata dalle isometrie che preservano l'orientazione. Notiamo che $\Iso(S^n)$ \`e compatto mentre $\Iso(\matH^n)$ e $\Iso(\matR^n)$ non lo sono: effettivamente, il teorema di Myers-Steenrod implica immediatamente il fatto seguente.
\begin{cor}
Il gruppo di isometrie di una variet\`a compatta \`e compatto.
\end{cor}

\subsection{Gruppi discreti di isometrie}
Se $G$ \`e un gruppo di isometrie di una variet\`a riemanniana $M$, \`e facile capire quando $G$ agisce in modo propriamente discontinuo. Ricordiamo che un sottoinsieme $Y$ di uno spazio topologico $X$ \`e \emph{discreto} se \`e chiuso e se la topologia indotta su $Y$ da $X$ \`e quella discreta.\footnote{Equivalentemente, ogni punto $x\in X$ ha un intorno $U$ tale che $U\setminus \{x\}$ non interseca $Y$.}
\begin{prop} \label{discreto:chiuso:prop}
Un sottogruppo $H<G$ di un gruppo di Lie $G$ \`e discreto se e solo se l'elemento neutro $e\in H$ \`e un punto isolato.
\end{prop}
\begin{proof}
Se $H$ \`e discreto ogni suo punto \`e isolato. D'altra parte, supponiamo che $e \in H$ sia isolato, cio\`e esiste un aperto $U\subset G$ tale che $U\cap H = \{e\}$. Per ogni $h\in H$ otteniamo $hU\cap H = \{h\}$ e quindi ogni punto $h\in H$ \`e isolato. Resta da dimostrare che $H$ \`e un sottogruppo chiuso.

Sia $p \in G\setminus H$; dobbiamo mostrare che esiste un intorno aperto $W$ di $p$ tale che $W\cap H = \emptyset$. Sia $U$ un intorno di $e$ tale che $U\cap H = \{e\}$.
Poich\'e moltiplicazione e inversa sono mappe continue, la mappa 
\begin{align*}
F\colon G\times G & \to G \\ 
(v,w) & \mapsto v^{-1}w
\end{align*} 
\`e continua. Quindi $F^{-1}(U)$ \`e un aperto in $G\times G$ contenente $(e,e)$, e per definizione di topologia prodotto esiste un intorno aperto $V$ di $e$ tale che $V\times V \subset F^{-1}(U)$. Ne segue che 
$$V\subset V^{-1}V=\big\{v^{-1}w\ \big|\ v,w \in V\big\}\subset U.$$ 
Mostriamo che l'aperto $pV$ contiene al pi\`u un elemento di $H$: se ne contiene due $pg_1, pg_2\in H$, allora $g_1^{-1}g_2 = (pg_1)^{-1}pg_2\in V\cap H = \{e\}$ implica $pg_1 = pg_2$. Togliendo da $V$ l'eventuale unico elemento di $H$ si ottiene l'intorno aperto $W$ desiderato.
\end{proof}

\begin{prop} \label{discreto:prop}
Sia $G<\Iso(M)$ un gruppo di isometrie di una variet\`a riemanniana $M$. L'azione di $G$ su $M$ \`e propriamente discontinua se e solo se $G$ \`e un sottoinsieme discreto di $\Iso(M)$.
\end{prop}
\begin{proof}
%\`E facile mostrare che, essendo $M$ di Hausdorff e localmente compatto, l'azione di $G$ \`e propriamente discontinua se e solo se vale il fatto seguente: per ogni compatto $K\subset M$ esistono un numero finito di $g\in G$ tali che $g(K)\cap K \neq \emptyset$.

Per il Teorema di Myers-Steenrod la mappa 
$$F\colon \Iso(M)\times M \to M \times M, \quad (\varphi, p) \mapsto (\varphi(p),p)$$
\`e propria. Sia $\pi\colon \Iso(M) \times M \to \Iso(M)$ la proiezione sul primo fattore. %Un insieme $K\subset M$ definisce un insieme $\Psi(K)\subset \Iso(M)$ nel modo seguente:
%$$\Psi(K)= \pi\big(F^{-1}(K\times K)\big) = \big\{g\in\Iso(M) \ |\ g(K)\cap K \neq \emptyset\big\}.$$
Supponiamo che $G$ sia discreto. Siano $x,y \in M$ punti qualsiasi e $U_x \ni x, U_y \ni y$ intorni a chiusura compatta. Poich\'e $F$ \`e propria anche l'insieme 
$$S = \pi\big(F^{-1}(U_y \times U_x)\big) = \big\{g \in \Iso(M) \ |\ g(U_x)\cap U_y \neq \emptyset\big\} $$ 
ha chiusura compatta. Quindi $S\cap G$ \`e un insieme finito e l'azione \`e propriamente discontinua.
%Notiamo che $\varphi$ \`e propriamente discontinua se e solo se $\Psi(K)$ \`e finito per ogni compatto $K$. Se $K\subset M$ \`e compatto allora $\Psi(K)$ \`e compatto, perch\'e $F$ \`e propria. Se $G$ \`e discreto, interseca il compatto $\Psi(K)$ in un numero finito di punti, e quindi l'azione \`e propriamente discontinua. 

D'altra parte, supponiamo che l'azione sia propriamente discontinua. Esiste quindi un aperto $U\subset M$ tale che 
$$S = \pi\big(F^{-1}(U \times U)\big) = \big\{g \in \Iso(M) \ |\ g(U)\cap U \neq \emptyset\big\} $$ 
interseca $G$ in un numero finito di punti. Poich\'e $\pi$ \`e aperta l'insieme $S$ \`e un aperto che contiene $e\in G$: quindi $e$ \`e isolato in $G$ e $G$ \`e discreto per la Proposizione \ref{discreto:chiuso:prop}.
\end{proof}

\subsection{Strutture indotte da rivestimenti}
Le strutture (differenziabili, riemanniane, etc.) possono essere ``sollevate'' lungo i rivestimenti. 

\begin{defn}
Un \emph{omeomorfismo} (risp.~\emph{diffeomorfismo}, \emph{isometria}) \emph{locale} \`e una mappa $f\colon M\to N$ tale che per ogni $p\in M$ esistono due intorni aperti $U$ di $p$ e $V$ di $f(p)$ per cui $f|_U\colon U \to V$ \`e un omeomorfismo (risp.~diffeomorfismo, isometria).
\end{defn}

\begin{prop} \label{solleva:prop}
Sia $p\colon \widetilde M \to M$ un rivestimento fra spazi topologici. Se $M$ \`e una variet\`a differenziabile (o riemanniana), allora $\widetilde M$ ha un'unica struttura di variet\`a differenziabile (o riemanniana) tale che $p$ sia un diffeomorfismo (o isometria) locale.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $U\subset M$ un aperto banalizzante. Per ``banalizzante'' intendiamo che la sua controimmagine $p^{-1}(U)$ sia unione disgiunta di aperti $U_i$ tali che $p|_{U_i}\colon U_i\to U$ sia un omeomorfismo per ogni $i$. A questo punto \`e sufficiente (e necessario) dare a ciascun $U_i$ la struttura differenziabile o riemanniana di $U$ trasportata tramite $p$. 
\end{proof}

Le strutture (differenziabili, riemanniane, etc.) non scendono con altrettanta facilit\`a da $\widetilde M$ a $M$. Consideriamo il caso in cui il rivestimento sia indotto dall'azione di un gruppo.

\begin{prop} \label{scende:prop}
Sia $G$ un gruppo che agisce in modo libero e propriamente discontinuo su una variet\`a differenziabile (riemanniana) $M$ e $M \to M/_G$ il rivestimento indotto. Esiste una struttura di variet\`a differenziabile (riemanniana) su $M/_G$ che rende la proiezione $p$ un diffeomorfismo (isometria) locale se e solo se $G$ \`e un gruppo di diffeomorfismi (isometrie) di $M$. Questa struttura, se esiste, \`e unica.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $x\in M/_G$ un punto e $U\ni x$ un intorno banalizzante; abbiamo quindi $p^{-1}(U) = \cup_{i\in I} U_i$ e $p|_{U_i}\colon U_i \to U$ omeomorfismo per ogni $i\in I$. Cerchiamo una struttura differenziabile (riemanniana) su $U$ per cui $p|_{U_i}$ \`e un diffeomorfismo (isometria) per ogni $i\in I$. Una tale struttura esiste (ed \`e unica) se e solo se $p|_{U_j}^{-1}\circ p|_{U_i}$ \`e un diffeomorfismo (isometria) per ogni $i,j \in I$, e questo accade precisamente quando $G$ agisce tramite diffeomorfismi (isometrie).
%Sia $i_0 \in I$ un indice qualsiasi. Otteniamo $p^{-1}(U) = \cup_{g\in G} g(U_{i_0})$. Per ottenere una struttura differenziabile (riemanniana) su $U$ \`e necessario e sufficiente che gli aperti $g(U_{i_0})$ inducano tramite $p$ la stessa struttura su $U$ al variare di $g\in G$. Questo accade precisamente quando ogni $g$ agisce come un diffeomorfismo (isometria).
\end{proof}

\begin{cor}
Sia $G<\Iso(M)$ un gruppo di isometrie. Se $G$ \`e discreto e agisce in modo libero il quoziente $M/_G$ \`e una variet\`a riemanniana e $p\colon M\to M/_G$ un rivestimento ed una isometria locale.
\end{cor}

\begin{cor} \label{discreto:cor}
Sia $G<\Iso(\matH^n)$ un gruppo discreto composto solo da isometrie iperboliche e paraboliche. Il quoziente $M/_G$ \`e una variet\`a iperbolica.
\end{cor}
\begin{proof}
Le isometrie iperboliche e paraboliche agiscono in modo libero. Il quoziente \`e localmente isometrico a $\matH^n$ ed \`e quindi iperbolico.
\end{proof}

\subsection{Mappa sviluppante}
D'ora in poi un \emph{rivestimento di variet\`a riemanniane} sar\`a sempre implicitamente un rivestimento $p\colon M \to N$ fra variet\`a riemanniane che sia una isometria locale. Notiamo un paio di fatti elementari.

\begin{prop} \label{completa:prop}
Sia $p\colon M\to N$ un rivestimento fra variet\`a riemanniane. Allora $M$ \`e completa se e solo se $N$ \`e completa.
\end{prop}
\begin{proof}
Per il Teorema di Hopf-Rinow una variet\`a riemanniana \`e completa se e solo se le geodetiche esistono per ogni $t$. Supponiamo che $N$ sia completa e mostriamo che anche $M$ lo \`e. 
Sia $\gamma$ una geodetica massimale uscente da un punto $x\in M$ con direzione $v$. La geodetica $p\circ\gamma$ vive in $N$ e quindi esiste per ogni $t$. Il sollevamento di $p\circ \gamma$ uscente da $x$ \`e di nuovo $\gamma$ ed esiste per ogni $t$. Quindi tutte le geodetiche in $M$ esistono per ogni $t$. Si dimostra in modo analogo che $M$ completa implica $N$ completa.
\end{proof}

\begin{prop}
Sia $p\colon M \to N$ una isometria locale fra variet\`a riemanniane. Se $M$ \`e completa allora $p$ \`e un rivestimento.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $x\in N$ un punto qualsiasi: dobbiamo costruire un intorno aperto $U$ di $x$ che sia ben rivestito da $p$. Prendiamo un numero reale $0<\epsilon < \inj_x(M)$ e definiamo $U= B(x,\epsilon)$. Per ogni $y \in p^{-1}(x)$ definiamo l'aperto $U_y = B(y,\epsilon)\subset M$. A questo punto ci resta da mostrare che $p^{-1}(U) = \cup_{y\in p^{-1}(x)}U_y$, che $U_y\cap U_{y'}=\emptyset$ se $y\neq y'$, e che $p|_{U_y}\colon U_y \to U$ \`e un omeomorfismo per ogni $y$. 

Il fatto che $p$ sia una isometria locale e che $M$ sia completa implica che tutte le geodetiche possono essere sollevate da $N$ in $M$. Usando questa sollevabilit\`a \`e facile dimostrare i fatti elencati sopra.
\end{proof}

Se $M$ \`e una variet\`a iperbolica non completa, il suo rivestimento universale $\widetilde M$ \`e una variet\`a iperbolica semplicemente connessa non completa. Ad esempio, $\widetilde M$ potrebbe essere un aperto semplicemente connesso contenuto dentro $\matH^n$. Mostriamo che in generale esiste comunque una mappa naturale da $\widetilde M$ in $\matH^n$.

\begin{prop} \label{sviluppante:prop}
Sia $\widetilde M$ una variet\`a iperbolica semplicemente connessa. Esiste una isometria locale 
$$D\colon \widetilde M \to \matH^n$$
detta \emph{sviluppante}. Due isometrie locali da $\widetilde M$ in $\matH^n$ sono ottenute l'una dall'altra tramite post-composizione con una isometria di $\matH^n$. Se $\widetilde M$ \`e completa allora $D$ \`e una isometria.
\end{prop}
\begin{proof}
Fissiamo un punto arbitrario $x\in \widetilde M$ e lo mandiamo in un punto arbitrario $D(x)\in \matH^n$. Poich\'e $\widetilde M$ \`e iperbolica, in ogni punto $y\in\widetilde M$ c'\`e un intorno $U_y$ (che possiamo supporre essere un disco aperto centrato in $y$ di raggio piccolo) isometrico ad un aperto (un disco) di $\matH^n$. Estendiamo quindi $D$ ad una isometria fra $U_x$ e un disco aperto centrato in $D(x)$. 

Mostriamo che la mappa $D\colon U_x \to \matH^n$ si estende ad un unica mappa $D\colon \widetilde M \to \matH^n$ che sia una isometria locale. Sia $y\in\widetilde M$ un punto arbitrario. Scegliamo un arco $\gamma$ da $x$ in $y$. Per compattezza esistono punti $x=x_1,\ldots, x_k= y$ su $\gamma$ tali che i dischi $U_{x_1}, \ldots, U_{x_k}$ ricoprano $\gamma$. Per ogni $i=2,\ldots, k$ esiste una unica estensione a $U_{x_1}\cup \ldots \cup U_{x_i}$ della mappa gi\`a definita su $U_{x_1}\cup \ldots \cup U_{x_{i-1}}$ che sia una isometria locale. Estendendo a questo modo definiamo $D(y)$. Si veda Fig.~\ref{developing:fig}.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10 cm] {developing.pdf}
\nota{La mappa sviluppante.}
\label{developing:fig}
\end{center}
\end{figure}

La definizione non dipende dalle scelte fatte perch\'e $\widetilde M$ \`e semplicemente connessa. Sia $\gamma'$ un altro arco che collega $x$ a $y$, da cui ricaviamo un altra catena di aperti $U_{x_1'}, \ldots, U_{x_h'}$. L'arco $\gamma'$ \`e omotopo a estremi fissati con $\gamma$. \`E quindi facile vedere che le due catene di aperti sono ottenute l'una dall'altra da mosse elementari quali quella di sostituire due dischi consecutivi $U_{x_i}$ e $U_{x_{i+1}}$ con tre dischi $U_{x_i}, U_{x_{i+\frac 12}}, U_{x_{i+1}}$ tali che $U_{x_i}\cap U_{x_{i+\frac 12}}\cap U_{x_{i+1}}\neq \emptyset$. Due isometrie che coincidono su un aperto coincidono ovunque, quindi l'estensione ai primi due dischi \`e la stessa di quella ai secondi tre: la sviluppante $D$ \`e ben definita.

La mappa $D$ \`e unica quando \`e fissata al primo ordine in $x$, quindi \`e unica a meno di post-comporre con una isometria di $\matH^n$. Infine, supponiamo che $\widetilde M$ sia completa. La mappa sviluppante $D$ \`e una isometria locale. Ricordiamo che un omeomorfismo locale \`e promosso ad un rivestimento quando tutti i cammini possono essere sollevati. Il fatto che $D$ sia un isometria locale e che $\widetilde M$ sia completa implica facilmente che i cammini possono essere sollevati. Poich\'e $\matH^n$ \`e semplicemente connesso, il rivestimento $D$ \`e in realt\`a un omeomorfismo e quindi una isometria.
\end{proof}

Tutta questa sezione pu\`o essere riassunta nel risultato seguente.

\begin{teo} \label{completa:teo}
Una variet\`a riemanniana completa \`e iperbolica se e solo se \`e isometrica a $\matH^n/_G$ per un gruppo discreto $G$ di isometrie composto solo da trasformazioni paraboliche, iperboliche e l'identit\`a.
\end{teo}

\begin{proof}
Se $G$ \`e discreto e contiene solo parabolici e iperbolici allora $\matH^n/_G$ \`e iperbolica per il Corollario \ref{discreto:cor} e completa per la Proposizione \ref{completa:prop}. 

D'altra parte, sia $M$ una variet\`a iperbolica completa. Il suo rivestimento universale $\widetilde M$ \`e una variet\`a iperbolica per la Proposizione \ref{solleva:prop} e completa per la Proposizione \ref{completa:prop}. Quindi \`e isometrico a $\matH^n$ per la Proposizione \ref{sviluppante:prop}.

Il Corollario \ref{universale:cor} implica che $M$ \`e il quoziente di $\matH^n$ per l'azione di un gruppo $G=\Aut(p)$ che deve essere un gruppo di isometrie per la Proposizione \ref{scende:prop}, discreto e senza punti fissi per la Proposizione \ref{discreto:prop}.
\end{proof}

\begin{oss}
In modo analogo si mostra che ogni variet\`a ellittica o piatta \`e ottenuta come quoziente di $S^n$ o $\matR^n$ per un gruppo discreto $G$ di isometrie senza punti fissi. In particolare, abbiamo dimostrato che una variet\`a iperbolica (piatta, ellittica) completa e semplicemente connessa \`e isometrica a $\matH^n$ ($\matR^n$, $S^n$).
\end{oss}

\begin{cor} C'\`e una naturale corrispondenza biunivoca fra gli insiemi
$$\left\{
\begin{array}{c}{\rm variet\mathaccent 18 a\ iperboliche\ complete} \\ {\rm a\ meno\ di\ isometria}\end{array}\right\} \longleftrightarrow
\left\{
\begin{array}{c}{\rm sottogruppi\ discreti\ di\ }\Iso(\matH^n) \\ {\rm senza\ elementi\ ellittici\ non\ banali} \\ {\rm a\ meno\ di\ coniugio}\end{array}\right\} .$$
\end{cor}
\begin{proof}
Abbiamo visto come ogni variet\`a iperbolica completa si realizzi come $\matH^n/_\Gamma$ per un gruppo $\Gamma$ discreto di isometrie senza elementi ellittici non banali (solo iperbolici o parabolici). L'unica arbitrariet\`a nel passaggio da $M$ a $\Gamma$ \`e la scelta di una isometria fra $\widetilde M$ e $\matH^n$. Ogni altra isometria si ottiene componendo quella scelta con un elemento $g\in\Iso (M)$, ed il gruppo $\Gamma$ cambia conseguentemente come coniugio rispetto a $g$.
\end{proof}

\subsection{Variet\`a piatte} \label{piatte:subsection}
Nelle sezioni precedenti abbiamo dimostrato che ogni variet\`a iperbolica, piatta o ellittica \`e costruita come quoziente di $\matH^n$, $\matR^n$ o $S^n$ per un gruppo discreto $\Gamma$ di isometrie senza punti fissi. Mostriamo alcuni esempi importanti in questa sezione e le successive.

Una traslazione intera di $\matR^n$ \`e una traslazione $x\mapsto x+b$ di un vettore $b\in\matZ^n$. Le traslazioni intere formano un sottogruppo discreto $\Gamma<\Iso (\matR^n)$ isomorfo a $\matZ^n$. Il quoziente $\matR^n /_\Gamma$ \`e in modo naturale diffeomorfo al toro $n$-dimensionale: 
$$\matR^n/_{\matZ^n} = \left(\matR/_{\matZ}\right)^n \isom \underbrace{S^1  \times \ldots \times S^1}_n$$
che \`e quindi dotato di una struttura di variet\`a riemanniana piatta. In dimensione $n=2$ pu\`o essere agevole disegnare un dominio fondamentale per l'azione di $\Gamma$. La seguente definizione vale in generale.

\begin{defn}
Un \emph{dominio fondamentale} per l'azione di un gruppo $\Gamma$ su una variet\`a $M$ \`e un chiuso connesso $D\subset M$ che interseca ogni orbita in almeno un punto, che sia la chiusura di un aperto $\dot D$ che interseca ogni orbita in al pi\`u un punto.
\end{defn}

In presenza di un dominio fondamentale $D$, lo spazio quoziente pu\`o essere ottenuto semplicemente quozientando $D$ identificando i punti di $\partial D$ che stanno sulla stessa orbita. Ad esempio un dominio fondamentale per $\Gamma$ \`e il quadrato $D$ mostrato in Fig.~\ref{domini:fig}-(sinistra). Identificando i lati opposti si ottiene effettivamente un toro.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 11.5 cm] {domini.pdf}
\nota{Due domini fondamentali in $\matR^2$ per il toro (sinistra) e la bottiglia di Klein (centro): i punti nei lati opposti devono essere identificati come indicato dalle frecce. Un dominio fondamentale in $S^2$ per il piano proiettivo.}
\label{domini:fig}
\end{center}
\end{figure}

Fra le superfici piatte troviamo anche la \emph{bottiglia di Klein} ottenuta prendendo come $\Gamma$ il gruppo generato dalle isometrie seguenti:
$$\tau\colon(x,y) \mapsto (x+1, y), \qquad \eta\colon(x,y) \mapsto (1-x, y+1).$$
Un dominio fondamentale per la bottiglia di Klein \`e mostrato in Fig.~\ref{domini:fig}-(centro).
I sottogruppi $\langle \tau \rangle$ e $\langle \eta \rangle$ generati rispettivamente da $\tau$ e $\eta$ sono entrambi isomorfi a $\matZ$. Notiamo per\`o che $\matR^2/_{\langle\tau\rangle}$ \`e un cilindro infinito e $\matR^2/_{\langle\eta\rangle}$ \`e un nastro di M\"obius infinito. Essendo sottogruppi di $\Gamma$ entrambi gli spazi rivestono la bottiglia di Klein.

Il sottogruppo di $\Gamma$ generato dalle traslazioni $\tau$ e $\eta^2$ \`e isomorfo a $\matZ^2$ ed ha indice due in $\Gamma$. La bottiglia di Klein ha infatti un rivestimento doppio isometrico ad un toro piatto. Il suo dominio fondamentale \`e un rettangolo di vertici $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,2)$, $(1,2)$.

\subsection{Variet\`a ellittiche}
Ogni variet\`a ellittica completa \`e quoziente di $S^n$, quindi \`e compatta e ha gruppo fondamentale finito.\footnote{Ogni rivestimento fra variet\`a compatte ha grado finito.}

Un esempio importante \`e lo spazio proiettivo reale $\matRP^n$ che pu\`o essere ottenuto quozientando $S^n$ tramite la mappa antipodale $i\colon v\mapsto -v$. In altre parole otteniamo $\matRP^n$ come quoziente del gruppo formato da due elementi $\{e,i\}$. La mappa antipodale \`e una isometria e quindi $\matRP^n$ eredita una struttura di variet\`a ellittica. Un esmisfero \`e un dominio fondamentale, in Fig.~\ref{domini:fig}-(destra) \`e mostrato il caso $n=2$.

Troviamo altri esempi oltre allo spazio proiettivo in dimensione $n=3$. Siano $p$ e $q$ due interi coprimi qualsiasi. Sia $\omega = e^{\frac{2\pi i}p}$. Identifichiamo $\matR^4$ con $\matC^2$ e vediamo $S^3$ come 
$$S^3 = \big\{(z,w)\in \matC^2\ \big|\ |z|^2+|w|^2 = 1 \big\}.$$
La mappa
$$f(z,w) = (\omega z, \omega^qw)$$
\`e una isometria di $\matR^4$ perch\'e effettua contemporaneamente sui due piani ortogonali $w=0$ e $z=0$ due rotazioni di angolo $\frac {2\pi}p$ e $\frac{2\pi q}p$. La mappa $f$ quindi \`e una isometria di $S^3$. Inoltre ha ordine $p$ e nessuna delle sue potenze $f, f^2, \ldots, f^{p-1}$ ha punti fissi. Infine il gruppo $\Gamma = \langle f \rangle$ generato da $f$ \`e discreto perch\'e \`e finito. 

Il quoziente $S^3/_\Gamma$ \`e quindi una variet\`a ellittica avente gruppo fondamentale isomorfo a $\Gamma \isom \matZ_p$. Tale variet\`a \`e detta \emph{spazio lenticolare} ed \`e normalmente indicata con il simbolo $L(p,q)$.

\subsection{Cuspidi}
Non \`e sempre facile descrivere una variet\`a iperbolica costruendo esplicitamente un gruppo $\Gamma$ di isometrie di $\matH^n$, spesso si preferisce ricorrere a costruzioni pi\`u geometriche del tipo ``taglia e incolla'', come vedremo dopo. Descriviamo qui comunque un esempio importante.

Visualizziamo $\matH^n$ con il modello del semispazio, usando le coordinate $(x,t)$ con $x\in \matR^{n-1}$ e $t\in\matR_{>0}$. Sappiamo che ogni isometria $x\mapsto Ax +b$ di $\matR^{n-1}$ definisce una isometria $(x,t)\mapsto (Ax+b,t)$ di $\matH^n$.

\begin{defn} Sia $\Gamma < \Iso(\matR^{n-1})$ un gruppo discreto di isometrie senza punti fissi. Il gruppo $\Gamma$ agisce anche su $\matH^n$ ed il quoziente $\matH^n/_\Gamma$ \`e detta \emph{cuspide}.
\end{defn}

Il quoziente $M = \matR^{n-1}/_\Gamma$ \`e una variet\`a piatta di dimensione $n-1$, dotata di un tensore metrico $g_M$. La cuspide \`e quindi isometrica a $M \times \matR_{>0}$ con tensore metrico in $(x,t)$ dato da $\frac{g_M \oplus 1}{t^2}$. 
\begin{oss}
\`E pi\`u naturale parametrizzare la secondo coordinata $t$ tramite lunghezza d'arco. Come abbiamo visto nella Proposizione \ref{verticale:prop} del capitolo precedente, una geodetica verticale con velocit\`a unitaria \`e parametrizzata da $t=e^u$. Quindi usando $u$ invece di $t$ la cuspide \`e isometrica a $M\times \matR$ con tensore $(e^{-2u}g_M) \oplus 1$. Muovendosi di livello $u$ a velocit\`a costante otteniamo quindi una contrazione del fattore $M$ di tipo esponenziale.
\end{oss}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 6 cm] {Pseudosphere.png}
\nota{La pseudosfera \`e una superficie isometrica all'unione di due cuspidi troncate. Ogni punto ha curvatura gaussiana $-1$.}
\label{pseudosphere:fig}
\end{center}
\end{figure}

Se $n=2$ e $\Gamma$ \`e il gruppo di isometrie generato da una traslazione $x\mapsto x+b$ la cuspide \`e diffeomorfa a $S^1\times \matR$. La circonferenza $S^1$ al tempo $u$ \`e lunga $e^{-2u}$. Una porzione troncata di cuspide pu\`o essere visualizzata come superficie contenuta in $\matR^3$. Questa superficie \`e detta \emph{pseudosfera} ed \`e mostrata in Fig.~\ref{pseudosphere:fig}.

Topologicamente la cuspide \`e diffeomorfa a $\matH^2$ meno un punto $p$, per\`o non \`e isometrica a $\matH^2\setminus\{p\}$: quest'ultima variet\`a iperbolica infatti non \`e completa, mentre le cuspidi lo sono per la Proposizone \ref{completa:prop}.

Notiamo che una cuspide ha raggio di iniettivit\`a nullo. Pi\`u in generale vale il fatto seguente.
\begin{prop} Sia $\Gamma<\Iso(\matH^n)$ un gruppo discreto senza elementi ellittici. Se $\Gamma$ contiene elementi parabolici allora la variet\`a iperbolica $\matH^n/_\Gamma$ ha raggio di iniettivit\`a nullo.
\end{prop}
\begin{proof}
Un elemento parabolico $\gamma\in\Gamma$ ha spostamento minimo zero (si veda il Corollario \ref{spostamento:cor} nel Capitolo \ref{spazio:chapter}). Esistono cio\`e punti di $\matH^n$ che vengono spostati in punti arbitrariamente vicini. Il raggio di iniettivit\`a nell'immagine di questi punti in $\matH^n/_\Gamma$ deve quindi tendere a zero.
\end{proof}

\begin{cor}
Se $M=\matH^n/\Gamma$ \`e variet\`a iperbolica compatta il gruppo $\Gamma$ contiene solo l'identit\`a e elementi iperbolici.
\end{cor}
\begin{proof}
Il raggio di iniettivit\`a di una variet\`a compatta \`e positivo (Proposizione \ref{iniettivita:prop} nel Capitolo \ref{spazio:chapter}).
\end{proof}

\section{Superfici iperboliche}

\subsection{Classificazione delle superfici}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics {500px-Sphere_with_three_handles.png}
\quad \includegraphics {500px-Triple_torus_array.png}
\quad \includegraphics {500px-Triple_torus_illustration.png}
\nota{Una sfera con 3 manici pu\`o essere rappresentata in vari modi.}
\label{handles:fig}
\end{center}
\end{figure}

Richiamiamo il teorema di classificazione delle superfici.
\begin{teo} Ogni superficie compatta, connessa e orientabile \`e diffeomorfa alla superficie $S_g$ ottenuta attaccando $g$ manici alla sfera $S^2$ come indicato in Fig.~\ref{handles:fig}-(sinistra).
\end{teo}
La caratteristica di Eulero di $S_g$ \`e $\chi(S_g) = 2-2g$: le superfici $S_g$ hanno caratteristica di Eulero differente e sono quindi effettivamente non diffeomorfe fra loro. Una superficie riemaniana \`e ovviamente una superficie dotata di un tensore metrico. Ad esempio, ogni superficie contenuta in $\matR^3$ come le tre superfici mostrate in Fig.~\ref{handles:fig} ha un tensore metrico indotto da quello euclideo di $\matR^3$. 

Come abbiamo visto nella Sezione \ref{curvatura:subsection} in ogni punto $p$ di una superficie riemanniana $S$ \`e definita una curvatura gaussiana $K_p\in\matR$. Il famoso teorema di Gauss-Bonnet collega la curvatura alla caratteristica di Eulero di $S$:
\begin{teo}[Gauss-Bonnet] Sia $S$ una superficie compatta. Vale l'uguaglianza
$$\int_S K_p = 2\pi \chi(S).$$
\end{teo}
Ricordiamo che una superficie riemanniana ellittica, euclidea, iperbolica ha curvatura gaussiana costante rispettivamente pari a $1$, $0$ e $-1$. Il teorema di Gauss-Bonnet mostra in particolare che la sfera \`e l'unica superficie orientabile che pu\`o ammettere una metrica ellittica, il toro \`e l'unica che pu\`o ammettere una metrica piatta, e le altre superfici $S_g$ con genere $g\geqslant 2$ sono le uniche che possono ammettere una metrica iperbolica. Abbiamo gi\`a visto che sfera e toro ammettono effetivamente una metrica (rispettivamente) ellittica e piatta. Costruiamo nelle prossime sezioni delle metriche iperboliche su tutte le superfici orientabili di genere $g\geqslant 2$.

Notiamo inoltre che una superficie contenuta in $\matR^3$ con curvatura costante \`e necessariamente una sfera, per il motivo seguente.
 
\begin{prop}
Una superficie compatta contenuta in $\matR^3$ ha sempre almeno un punto con curvatura positiva. 
\end{prop}
\begin{proof}
Consideriamo i dischi chiusi $D_R$ di centro l'origine e raggio $R$. Sia $R$ il minimo valore per cui $D_R$ contiene la superficie compatta $S$. La sfera $\partial D_R$ \`e tangente ad $S$ in almeno un punto, ed in questo punto tutte le curvature di $S$ sono almeno $\frac 1R>0$: quindi il punto ha curvatura gaussiana positiva.
\end{proof}

Le metriche a curvatura costante $-1$ che costruiremo nelle prossime sezioni non saranno quindi visibili dentro $\matR^3$.

\subsection{Variet\`a iperboliche con bordo geodetico}
Come capita spesso in geometria, esiste una nozione di variet\`a iperbolica ``a bordo'' per cui continuano ad essere valide molte delle propriet\`a enunciate fin'ora.

\begin{defn} Una variet\`a iperbolica (ellittica, piatta) $M$ a \emph{bordo geodetico} \`e una variet\`a riemanniana con bordo in cui ogni punto ha un aperto isometrico ad un aperto di un semispazio fissato di $\matH^n$ ($S^n$, $\matR^n$).
\end{defn}

Il bordo $\partial M$ di una variet\`a iperbolica (ellittica, piatta) $M$ con bordo geodetico \`e in modo naturale una variet\`a iperbolica (ellittica, piatta) senza bordo. 

Due variet\`a con bordo geodetico isometrico possono essere incollate e generare cos\`i una nuova variet\`a. Pi\`u precisamente, siano $M$ e $N$ due variet\`a iperboliche (ellittiche, piatte) e $\psi\colon \partial M \to \partial N$ una isometria. Sia $M\cup_\psi N$ lo spazio topologico ottenuto quozientando l'unione disgiunta $M\sqcup N$ per la relazione di equivalenza che identifica $x$ con $\psi(x)$ per ogni $x\in \partial M$.

\begin{prop} Lo spazio $M\cup_\psi N$ ha una naturale struttura di variet\`a iperbolica (ellittica, piatta).
\end{prop}
\begin{proof}
Supponiamo che $M$ e $N$ siano iperboliche con bordo geodetico: la dimostrazione per le geometrie ellittica e piatta \`e la stessa. 

Definiamo su $M\cup_\psi N$ un atlante di aperti a valori in $\matH^n$, tale che le funzioni di transizione siano tutte isometrie: questo fornisce una struttura di variet\`a iperbolica. 
I punti $M\cup_\psi N$ provenienti da punti interni di $M$ o $N$ sono dotati delle stesse carte in $\matH^n$ che avevano in $\interior M$ e $\interior N$. Consideriamo ora un punto proveniente da una identificazione $x\sim \psi (x)$ fra due punti $x\in M$ e $\psi(x)\in N$. 

Il punto $x$ ha un intorno in $M$ isometrico ad una semi-palla in $\matH^n$ di raggio $\epsilon$. Analogamente $\psi(x)$ ha un intorno in $N$ isometrico ad una semi-palla di raggio $\epsilon$. L'isometria $\psi\colon \partial M\to \partial N$ definisce una isometria fra le pareti geodetiche delle due semi-palle e identifica un intorno per $x$ in $M\cup_\psi N$ isometrico ad una palla. 

Abbiamo cos\`\i\ definito un atlante ed una metrica iperbolica su $M\cup_\psi N$.
\end{proof}

Se $M$ \`e una variet\`a iperbolica con bordo geodetico, lo \`e anche il suo rivestimento universale $\widetilde M$, e continua ad essere vero che $M$ \`e completa se e solo se lo \`e $\widetilde M$. Inoltre \`e definita come nella Proposizione \ref{sviluppante:prop} una sviluppante $D\colon \widetilde M \to \matH^n$; l'unica novit\`a qui \`e che $D$ generalmente non \`e suriettiva, anche quando $M$ \`e completa.

\begin{prop}
Sia $\widetilde M$ una variet\`a iperbolica con bordo geodetico semplicemente connessa. Esiste una isometria locale 
$$D\colon \widetilde M \to \matH^n$$
detta \emph{sviluppante}. Due isometrie locali da $\widetilde M$ in $\matH^n$ sono ottenute l'una dall'altra tramite post-composizione con una isometria di $\matH^n$. Se $\widetilde M$ \`e completa allora $D$ \`e una isometria sull'immagine $D(\widetilde M)$, che \`e l'intersezione di alcuni semispazi di $\matH^n$.
\end{prop}
\begin{proof}
La sviluppante \`e definita come nella Proposizione \ref{sviluppante:prop} (si veda la Fig.~\ref{developing:fig}) e risulta sempre essere una isometria locale. Se $\widetilde M$ \`e completa la mappa $D\colon \widetilde M \to D(\widetilde M)$ \`e un rivestimento, ma l'immagine $D(\widetilde M) \subset \matH^n$ pu\`o essere un sottoinsieme proprio di $\matH^n$ perch\'e le geodetiche di $\matH^n$ si sollevano solo finch\'e non incontrano il bordo di $\widetilde M$.

L'immagine $D(\widetilde M)$ \`e una sottovariet\`a chiusa con bordo geodetico di $\matH^n$. Poich\'e \`e chiusa, il suo bordo \`e chiuso ed \`e necessariamente unione di iperpiani disgiunti. Quindi $D(\widetilde M)$ \`e intersezione di semispazi. In particolare $D(\widetilde M)$ \`e un sottoinsieme convesso di $\matH^n$, quindi contrattile, quindi semplicemente connesso. Quindi il rivestimento $D\colon \widetilde M \to D(\widetilde M)$ \`e in realt\`a un diffeomorfismo (e quindi una isometria).
\end{proof}

Possiamo quindi identificare il rivestimento universale di una variet\`a iperbolica $M$ completa con bordo geodetico con una intersezione di semispazi in $\matH^n$ come ad esempio in Fig.~\ref{universale:fig}. I sottospazi sono generalmente in numero infinito.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 4cm] {universale.pdf}
\nota{Il rivestimento universale di una superficie iperbolica con bordo geodetico \`e l'intersezione di un numero (generalmente infinito) di semipiani in $\matH^2$.}
\label{universale:fig}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Superfici a bordo}
Una superficie iperbolica (ellittica, piatta) compatta a bordo geodetico ha un bordo formato da un numero finito di geodetiche chiuse. Per tali superfici continua a valere il teorema di Gauss-Bonnet:

\begin{teo}[Gauss-Bonnet] Sia $S$ una superficie iperbolica (ellittica, piatta) compatta a bordo geodetico. Vale l'uguaglianza 
$$K\cdot \Area(S) = \int_S K = 2\pi\chi(S)$$
dove $K=-1$ (rispettivamente $K=1$, $K=0$) \`e la curvatura di $S$.
\end{teo}
Ne deduciamo che una superficie iperbolica con bordo geodetico deve avere caratteristica di Eulero negativa.

Se il bordo non \`e geodetico esiste una formula di Gauss-Bonnet pi\`u generale in cui nel termine a sinistra compare un contributo dato dalla curvatura del bordo (che si annulla quando \`e geodetico). Sia $S_{g,b}$ la superficie compatta con bordo ottenuta rimuovendo $b$ dischi aperti disgiunti dalla superficie $S_g$ di genere $g$. Il tipo di diffeomorfismo di $S_{g,b}$ non dipende da quali dischi vengono rimossi per il Teorema \ref{dischi:teo} del Capitolo \ref{richiami:chapter}. Il teorema di classificazione delle superfici implica il fatto seguente.

\begin{prop}
Ogni superficie compatta, connessa e orientabile con bordo \`e diffeomorfa a $S_{g,b}$ per qualche $g,b\geqslant 0$.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $S$ una superficie compatta, connessa, orientabile e con bordo. Poich\'e \`e compatta, la superficie $S$ ha un numero finito $b$ di componenti di bordo diffeomorfe a $S^1$. Incollando $d$ dischi lungo queste componenti di bordo otteniamo una superficie differenziabile compatta senza bordo, che per il teorema di classificazione delle superfici \`e diffeomorfa a $S_g$ per qualche $g\geqslant 0$. Quindi $S$ \`e diffeomorfa a $S$ meno $b$ dischi aperti, cio\`e $S_{g,b}$. 
\end{proof}

Ricordiamo che se $M\cup_\varphi N$ \`e ottenuta incollando due variet\`a $M$, $N$ con bordo tramite un diffeomorfismo $\varphi\colon M \to N$, la caratteristica di Eulero-Poincar\'e varia nel modo seguente:
$$\chi(M\cup_\varphi N) = \chi(M) + \chi(N) - \chi(\partial M).$$
In particolare se $M$ e $N$ sono superfici a bordo la caratteristica di Eulero \`e additiva, perch\'e $\chi(\partial M) = \chi(S^1) = 0$. Rimuovere un disco aperto da una superficie fa quindi scendere di uno la sua caratteristica e otteniamo la formula
$$\chi (S_{g,b}) = 2-2g-b.$$
Le uniche superfici compatte orientabili a caratteristica positiva sono la sfera $S^2 = S_0$ ed il disco $D^2 = S_{0,1}$, mentre le uniche a caratteristica nulla sono l'anello $S_{0,2}$ ed il toro $S_1$. Tutte le altre hanno caratteristica negativa: quelle con caratteristica $-1$ sono il \emph{pantalone} $S_{0,3}$ ed il \emph{toro bucato} $S_{1,1}$. 

\subsection{Pantaloni iperbolici} \label{pantaloni:subsection}
Dimostriamo in questa sezione il fatto seguente.

\begin{prop} \label{pantaloni:prop}
Dati tre numeri reali positivi $a,b,c>0$ esiste (a meno di isometrie) un unico pantalone iperbolico con bordo geodetico, le cui curve di bordo abbiano lunghezza $a$, $b$ e $c$.
\end{prop}
Per dimostrare questa proposizione avremo bisogno di studiare alcuni poligoni in $\matH^2$. Un \emph{poligono} in $\matH^2$ (o $\matR^2$, $S^2$) \`e l'intersezione di un numero finito di semipiani, che sia compatta e con parte interna non vuota. Il bordo di un poligono \`e unione di un numero finito di segmenti (cio\`e porzioni compatte di retta) detti \emph{lati}. Due segmenti consecutivi si intersecano in un punto detto \emph{vertice} e definiscono un \emph{angolo interno}. Un poligono \`e \emph{retto} se gli angoli interni sono tutti retti. 

Ad esempio Fig.~\ref{esagono:fig}-(sinistra) mostra un esagono retto. La proposizione seguente afferma che le lunghezze $a,b,c$ di tre lati alternati (cio\`e a coppie non adiacenti) determinano tutto l'esagono.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 11cm] {esagono.pdf}
\nota{Un esagono retto con lati non adiacenti di lunghezza $a$, $b$ e $c$ (sinistra) e sua costruzione (destra). La costruzione si svolge nel modo seguente: si prende una retta contenente due punti qualsiasi $A$ e $B$ (nera in basso). Da questi si tracciano le perpendicolari (rosse). Dopo aver percorso due segmenti di lunghezza $a$ e $b$ si trovano due punti $A'$ e $B'$ e da l\`\i\ si tracciano due nuove perpendicolari (nere) $r$ e $s$, che determinano due punti all'infinito $P$ e $Q$. Si tracciano le perpendicolari alla retta iniziale che puntano verso $P$ e $Q$ (blu): queste determinano due punti $T$ e $U$ nella retta iniziale. Notiamo che le lunghezze di $AT$ e $UB$ dipendono solo da $a$ e $b$. Possiamo variare la distanza $x$ tra $T$ e $U$ a piacimento. Se $x>0$ le rette blu sono ultraparallele ed esiste un'unica retta ortogonale ad entrambe (rossa).} 
\label{esagono:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm] {pantalone.pdf}
\nota{Incollando due esagoni lungo i lati neri si ottiene un pantalone iperbolico con bordo geodetico.}
\label{pantalone:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{lemma} \label{esagono:lemma}
Dati tre numeri reali $a,b,c>0$ esiste (a meno di isometrie) un unico esagono iperbolico retto che ha tre lati alternati di lunghezza $a$, $b$ e $c$.
\end{lemma}
\begin{proof}
La costruzione dell'esagono \`e descritta in Fig.~\ref{esagono:fig}-(destra). 
Si fissa una retta in $\matH^2$ e due suoi punti $A$ e $B$;  dai punti $A$ e $B$ si tracciano le perpendicolari (rosse in figura) e dopo aver percorso due segmenti di lunghezza rispettivamente $a$ e $b$ si tracciano ancora due perpendicolari (in nero) $r$ e $s$ che determinano due punti all'infinito $P$ e $Q$. 

Si tracciano infine le rette perpendicolari alla retta iniziale passanti (all'infinito) per $P$ e $Q$ (in blu): le rette blu intersecano la retta iniziale nei punti $T$ e $U$. Sia $x$ la distanza (con segno) tra $T$ e $U$. Notiamo che i segmenti $AT$ e $UB$ hanno lunghezza determinata solo da $a$ e $b$, quindi $x$ pu\`o assumere qualsiasi valore reale al variare di $A$ e $B$ sulla retta iniziale. 

Se $x=0$ le rette blu coincidono, $P=Q$ e $r$ ed $s$ sono asintoticamente parallele. Se $x>0$ le rette blu sono disgiunte e $r$ e $s$ sono ultraparallele, quindi esiste un'unica retta ortogonale ad entrambe (rossa) ed il segmento tra queste \`e lungo $f(x)$. La funzione $f\colon [0,+\infty) \to [0,+\infty)$ \`e continua, vale $f(0)=0$ e $\lim_{x\to \infty} f(x) = \infty$, ed \`e strettamente crescente: quindi esiste un unico $x$ per cui $f(x) = c$. Quindi esiste un unico esagono retto con lunghezze $a,b,c$ a meno di isometrie di $\matH^2$.
\end{proof}

Incollando due esagoni con lati lunghi $a, b,c$ come mostrato in Fig.~\ref{pantalone:fig} si costruiscono pantaloni iperbolici con curve di bordo lunghe $2a$, $2b$, $2c$. Possiamo dimostrare il risultato principale di questa sezione.

\begin{proof}[Dimostrazione della Proposizione \ref{pantaloni:prop}]
Abbiamo appena mostrato l'esistenza di pantaloni geodetici con lunghezze $2a, 2b, 2c$ arbitrarie, ci resta da mostrarne l'unicit\`a. Sia $P$ un pantalone iperbolico geodetico con lunghezze $2a, 2b, 2c$.

Siano $C_1, C_2, C_3$ le componenti di $\partial P$. Poich\'e $C_1$ e $C_2$ sono compatti, esistono punti $x_1\in C_1$ e $x_2 \in C_2$ tali che $d(x_1,x_2) = d(C_1,C_2)$. Per il Teorema di Hopf-Rinow esiste una geodetica $\gamma_3$ che unisce $x_1$ e $x_2$ tale che $L(\gamma) = d(x_1,x_2)$. Questa geodetica \`e necessariamente semplice (cio\`e iniettiva) e ortogonale ai bordi $C_1$ e $C_2$: se non fosse semplice ed ortogonale esisterebbe un'altra curva che connette $C_1$ e $C_2$ di lunghezza strettamente minore di $L(\gamma_3)$. Costruiamo analogamente delle geodetiche ortogonali (brevemente: ortogeodetiche) $\gamma_1$ e $\gamma_2$ che collegano rispettivamente $C_2$ a $C_3$, e $C_3$ a $C_1$.

Le geodetiche $\gamma_1, \gamma_2$ e $\gamma_3$ sono disgiunte: supponiamo infatti che $\gamma_1$ e $\gamma_2$ si intersechino in un punto $p$. Siano $\lambda_1$ e $\lambda_2$ le porzioni di $\gamma_1$ e $\gamma_2$ con estremi in $p$ e $C_3$. Possiamo supporre che $L(\lambda_1)\leqslant \lambda_2$. Modifichiamo allora $\gamma_2$ sostituendo il segmento $\lambda_2$ con $\lambda_1$: otteniamo una curva che collega $C_1$ e $C_3$ avente al pi\`u la stessa lunghezza di $\gamma_2$ ma che non \`e geodetica, perch\'e forma un angolo in $p$; \`e quindi possibile trovare un'altra curva di lunghezza strettamente minore: assurdo.

Le tre geodetiche $\gamma_1, \gamma_2$ e $\gamma_3$ suddividono $P$ in due esagoni. I due esagoni hanno tre lati alternati di lunghezze $L(\gamma_1)$, $L(\gamma_2)$ e $L(\gamma_3)$: per il Lemma \ref{esagono:lemma} i due esagoni sono isometrici, e quindi hanno anche gli altri tre lati uguali. Poich\'e la loro somma \`e $2a$, $2b$, $2c$ devono avere lati lunghi $a,b,c$: il pantalone \`e quindi unione di due esagoni isometrici di lunghezze $a,b,c$ come da costruzione.
\end{proof}

Nella sezione precedente abbiamo visto che una superficie iperbolica con bordo geodetico deve avere caratteristica negativa. Adesso abbiamo gli strumenti per provare l'implicazione opposta, e cio\`e che ogni superficie connessa con bordo avente caratteristica di Eulero negativa ammette una metrica iperbolica. 

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 8cm] {surface.pdf}
\nota{Incollando pantaloni si costruiscono tutte le superfici con bordo connesse di caratteristica di Eulero negativa. Qui \`e mostrata una decomposizione di $S_3$.}
\label{surface:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{prop} \label{decompone:pantaloni:prop}
Se $\chi (S_{g,b}) = 2-2g-b<0$ allora $S_{g,b}$ si decompone in $-\chi = 2g+b-2$ pantaloni.
\end{prop}
\begin{proof}
Se $b=0$ allora $g\geqslant 2$ e la superficie si decompone facilmente come mostrato in Fig.~\ref{surface:fig}. Una decomposizione per $S_{g,b}$ pu\`o essere ottenuta a partire da una decomposizione per $S_{g,b-1}$ infilando un pantalone tra due pantaloni adiacenti (creando quindi una componente di bordo in pi\`u ma lasciando il genere $g$ invariato).
\end{proof}

\begin{cor} \label{ammette:cor}
Se $\chi<0$ allora $S_{g,b}$ ammette una metrica iperbolica con bordi geodetici di lunghezza arbitraria.
\end{cor}
\begin{proof}
Decomponiamo $S_{g,b}$ in pantaloni. Assegniamo un numero reale positivo arbitrario ad ogni curva semplice chiusa della decomposizione (ad esempio, le 6 curve rosse mostrate in Fig.~\ref{surface:fig}). Assegniamo ad ogni pantalone l'unica metrica iperbolica le cui geodetiche di bordo hanno come lunghezze i numeri reali assegnati. Incolliamo quindi i pantaloni e otteniamo una metrica iperbolica per $S_{g,b}$. In questo procedimento possiamo assegnare alle geodetiche di bordo lunghezze arbitrarie.
\end{proof}

Nella costruzione di una metrica iperbolica su $S_{g,b}$ abbiamo avuto una certa libert\`a di scelta. Ad esempio, possiamo scegliere arbitrariamente le lunghezze delle geodetiche di bordo di $S_{g,b}$. 


\subsection{Superfici di Riemann}
Una superficie \`e una variet\`a reale bidimensionale; come a $\matR^2$ pu\`o essere data la struttura complessa $\matC$, \`e naturale tentare di definire su una superficie una struttura di ``variet\`a complessa unidimensionale''. Una tale struttura si definisce facilmente, ed \`e effettivamente presente su tutte le superfici orientabili. Ci\`o che \`e pi\`u sorprendente \`e il fatto che, pur essendo definite con linguaggi e strumenti molto differenti, esista una naturale corrispondenza biunivoca fra strutture complesse e strutture riemanniane con curvatura costante. Prima di studiare questa corrispondenza iniziamo con una importante definizione. Ricordiamo che un \emph{biolomorfismo} fra aperti di $\matC$ \`e una funzione olomorfa biunivoca (la cui inversa \`e necessariamente olomorfa).

\begin{defn} Una \emph{superficie di Riemann} \`e una variet\`a complessa di dimensione uno. In altre parole, \`e uno spazio topologico dotato di un atlante con carte in aperti di $\matC$, le cui funzioni di transizione siano biolomorfismi.
\end{defn}

Notiamo che la definizione \`e analoga a quella di variet\`a differenziabile, con $\matC$ al posto di $\matR^n$ e con i biolomorfismi al posto dei diffeomorfismi. Poich\'e $\matC$ \`e identificabile con $\matR^2$, una superficie di Riemann ha in particolare una struttura di superficie differenziabile. Una superficie di Riemann non \`e per\`o dotata di una struttura riemanniana (purtroppo la notazione pu\`o prestarsi a fraintendimenti: il matematico Riemann \`e citato per due strutture nettamente differenti).

Una mappa $f\colon X\to Y$ fra superfici di Riemann \`e \emph{olomorfa} se lo \`e letta sulle carte.\footnote{Anche qui, definizione analoga a quella di ``funzione differenziabile'' per le variet\`a differenziabili.} Una mappa olomorfa biunivoca con inversa olomorfa \`e ovviamente un \emph{biolomorfismo}.

Un qualsiasi aperto di $\matC$ \`e in modo naturale una superficie di Riemann. La retta proiettiva complessa $\matCP^1$ con le carte standard \`e una superficie di Riemann, detta \emph{sfera di Riemann}. Un risultato molto importante riguardante le superfici di Riemann \`e il seguente. Indichiamo con $D\subset \matC$ il disco aperto di raggio unitario.

\begin{teo}[uniformizzazione di Riemann]
Una superficie semplicemente connessa \`e biolomorfa a $\matC$, a $\matCP^1$ oppure a $D$.
\end{teo}
I tre modelli citati non sono biolomorfi fra loro. La sfera di Riemann $\matCP^1$ \`e compatta e quindi non \`e neppure omeomorfa agli altri due modelli $\matC$ e $D$. I due modelli $\matC$ e $D$ sono invece distinti dal teorema di Liouville: su $\matC$ non esistono funzioni olomorfe a valori in $\matC$ non costanti e limitate, mentre su $D$ esistono eccome, ad esempio la funzione identit\`a.

\begin{cor}
Sia $U\subset \matC$ un aperto proprio semplicemente connesso. Allora $U$ \`e biolomorfo a $D$.
\end{cor}
\begin{proof}
Per il teorema di uniformizzazione $U$ \`e biolomorfo a $D$ oppure a $\matC$. Supponiamo per assurdo che esista un biolomorfismo $f\colon \matC \to U$. La singolarit\`a all'infinito di $f$ non \`e essenziale perch\'e $f$ \`e iniettiva, quindi $f$ si estende ad una funzione meromorfa $f\colon\matCP^1 \to U \cup f(\infty) \subset \matCP^1$. In particolare la nuova $f$ \`e continua ed ha quindi immagine compatta: poich\'e $U$ \`e un aperto proprio di $\matC$, questo \`e impossibile.
\end{proof}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 5cm] {500px-Koch_Snowflake_5th_iteration.png}
\nota{La parte interna del fiocco di neve di Koch \`e biolomorfa al disco aperto $D$.}
\label{Koch:fig}
\end{center}
\end{figure}

Notiamo che il fatto stesso che $U$ sia omeomorfo a $D$ \`e un fatto tutt'altro che banale. Il teorema \`e valido anche quando $D$ non ha un bordo liscio, come in Fig.~\ref{Koch:fig}. Il teorema di uniformizzazione caratterizza completamente le superfici di Riemann semplicemente connesse e si pu\`o quindi dimostrare un teorema analogo al Teorema \ref{completa:teo} per le variet\`a iperboliche.

\begin{teo}
Una superficie di Riemann \`e biolomorfa a $X/_G$ con $X \in \{\matC, \matCP^1, D\}$ e $G$ gruppo di biolomorfismi che agisce su $X$ in modo libero e propriamente discontinuo.
\end{teo}
\begin{proof}
Tutto lo schema di dimostrazione per il Teorema \ref{completa:teo} si adatta anche in questo contesto. Se $Y$ \`e una superficie di Riemann, la sua struttura complessa si solleva a quella del suo rivestimento universale $\widetilde Y$, che deve essere uno dei tre modelli $X$ per il Teorema di uniformizzazione di Riemann. Poich\'e $Y$ \`e semplicemente connesso, il rivestimento \`e regolare e quindi $Y = X/_G$ dove $G$ \`e il gruppo degli automorfismi del rivestimento, che deve agire in modo libero e propriamente discontinuo. Inoltre gli automorfismi sono necessariamente biolomorfismi.
\end{proof}

Notiamo che, a differenza del caso iperbolico, non \`e necessario supporre che la superficie di Riemann sia completa: effettivamente, questo tipo di ipotesi non ha alcun senso in questo contesto, perch\'e una superficie di Riemann non ha una naturale struttura di spazio metrico. A questo punto \`e naturale chiedersi quali siano i biolomorfismi dei tre modelli, ed il risultato \`e sorprendentemente simile a quanto abbiamo gi\`a visto per le superfici iperboliche. Indichiamo con $\Biol(X)$ il gruppo dei biolomorfismi di $X$. Ricordiamo che il disco aperto $D$ \`e anche un modello per il piano iperbolico $\matH^2$ e indichiamo come sempre con $\Iso^+(D)$ le isometrie che preservano l'orientazione di $D$.

\begin{prop} 
Valgono le identit\`a seguenti:
\begin{align*}
\Biol(\matCP^1) & = \PSLC, \\
\Biol(\matC) & = \{z \mapsto az+b \ | \ a\neq 0\}, \\
\Biol(D) & = \Iso^+(D).
\end{align*}
\end{prop}
\begin{proof}
Una funzione olomorfa $f\colon \matCP^1 \to \matCP^1$ \`e necessariamente una funzione razionale, ovvero un rapporto $f(z) = \frac{p(z)}{q(z)}$ fra polinomi. Infatti $f$ \`e una funzione meromorfa su $\matC$ che pu\`o avere all'infinito solo una singolarit\`a di tipo polo. Il numero di poli \`e quindi finito: moltiplicando per un polinomio avente zeri in questi poli possiamo eliminare i poli in $\matC$ e ottenere una funzione olomorfa su $\matC$ con un polo all'infinito: una variante del teorema di Liouville mostra che questa funzione \`e un polinomio.

\`E facile vedere che se $f(z) = \frac{p(z)}{q(z)}$ \`e biunivoca allora (dopo aver ridotto ai minimi termini) entrambi i polinomi $p$ e $q$ hanno grado uno e quindi $f\in\PSLC$. L'uguaglianza $\Biol(\matC) = \{z \mapsto az+b\ |\ a\neq 0\}$ \`e una facile conseguenza.

L'enunciato per $D$ \`e invece una conseguenza (o variante) del \emph{lemma di Schwarz}. Notiamo innanzitutto che le isometrie $\Iso^+(H^2)$ nel modello del semipiano $H^2$ sono i biolomorfismi $\PSLR$; l'isometria tra il semipiano $H^2$ ed il disco $D$ \`e una inversione rispetto ad una circonferenza: le inversioni sono mappe anti-olomorfe, quindi anche le isometrie in $\Iso^+(D)$ sono biolomorfismi. Ci resta da mostrare che ogni biolomorfismo di $D$ \`e una isometria.

Sia $f\in\Biol(D)$. A meno di comporre $f$ con una isometria di $D$ possiamo supporre che $f(0)=0$. La funzione $g(z) = \frac {f(z)}z$ \`e quindi una funzione olomorfa $g\colon D \to \matC$. Sia $D_r$ il disco chiuso di raggio $r<1$ centrato nell'origine. Per il principio del massimo la funzione $|g(z)|$ sul disco $D_r$ ha massimo in un punto $z_0\in \partial D_r$. Quindi 
$$|g(z)| = \frac{|f(z)|}{|z|} \leqslant \frac{|f(z_0)|}{|z_0|} = \frac{|f(z_0)|}r \leqslant \frac 1r$$
per ogni $z\in D_r$. Fissando $z$ e facendo tendere $r$ a 1 si ottiene $|g(z)|\leqslant 1$ per ogni $z\in D$, ovvero $|f(z)|\leqslant |z|$. Usando $f^{-1}$ al posto di $f$ si ottiene la disuguaglianza opposta, e quindi $|f(z)| = |z|$ per ogni $z\in D$. Quindi $g$ \`e una funzione olomorfa a valori nella circonferenza unitaria $S^1$. Una funzione olomorfa \`e costante oppure aperta: poich\'e $S^1$ non ha parte interna $g$ deve essere costante. Quindi $f(z)= e^{i\theta}z$ per qualche $\theta$ fissato. Quindi $f$ \`e una rotazione del disco, un elemento di $\Iso^+(D)$.
\end{proof}

\begin{cor} Sia $S$ una superficie orientabile non omeomorfa alla sfera, al toro, al piano o all'anello aperto $S^1\times (0,1)$. C'\`e una naturale corrispondenza biunivoca fra gli insiemi
$$\left\{{\rm\ strutture \ iperboliche\ complete\ su\ } S\ \right\} \longleftrightarrow
\left\{{\rm\ strutture\ complesse\ su\ } S\ \right\}.$$
\end{cor}
\begin{proof}
Se $S$ ha una struttura complessa allora \`e del tipo $S=X/_G$ dove $X \in \{\matCP^1, \matC, D\}$ e $G$ \`e un gruppo di biolomorfismi che agisce in modo libero e propriamente discontinuo su $X$. Tali gruppi per $\matCP^1$ e $\matC$ sono classificati facilmente: per $\matCP^1$ c'\`e solo il gruppo banale e come $\matC/_G$ si possono ottenere solo tori o anelli. Quindi per ipotesi $X = D$, e la corrispondenza biunivoca naturale discende dal fatto che $\Biol(D) = \Iso^+(D)$.
\end{proof}
Questa corrispondenza pu\`o essere utilizzata per dimostrare fatti non banali in geometria iperbolica, ad esempio il risultato seguente.
\begin{prop}
Qualsiasi aperto del piano ammette una struttura iperbolica completa.
\end{prop}
\begin{proof}
Un aperto di $\matC$ ha una naturale struttura complessa, e quindi una corrispondente struttura iperbolica completa a meno che non sia omeomorfo ad una sfera, al toro, al piano o all'anello aperto. Non ci sono aperti del piano omeomorfi a sfere e tori. D'altra parte, il piano e l'anello aperto ammettono una metrica iperbolica completa, data rispettivamente da $\matH^2$ e da $\matH^2/_{\langle f\rangle}$ per una qualsiasi trasformazione iperbolica $f$.
\end{proof}
Ad esempio, il complementare $\matC\setminus K$ dell'insieme di Cantor $K$ ammette una metrica iperbolica completa. 

La corrispondenza fra strutture complesse e iperboliche complete passa attraverso il rivestimento universale e la scoperta che i gruppi di biolomorfismi e di isometrie del disco $D$ coincidono. Questa corrispondenza non dice per\`o come poter associare concretamente una struttura complessa ad una metrica iperbolica (e viceversa) senza passare dal rivestimento universale. Esiste un modo alternativo di realizzare questa corrispondenza, che esponiamo brevemente. Sia $S$ una superficie orientata qualsiasi, non omeomorfa alla sfera, al toro, al piano e all'anello aperto. Esistono delle mappe naturali fra gli insiemi seguenti di strutture su $S$:
$$
\xymatrix{ 
\big\{{\rm strutture\ complesse} \big\}\ar@{<->}[r] \ar@<2ex>[d] & \big\{{\rm strutture\ iperboliche\ complete}\big\} \ar[d] \\
\big\{{\rm strutture\ quasi-complesse} \big\} \ar@{.>}[u] & \big\{{\rm strutture\ conformi} \big\} \ar[l]
}
$$
La corrispondenza fra strutture complesse e strutture iperboliche complete \`e quella che abbiamo gi\`a dimostrato. Ricordiamo che una \emph{struttura conforme} su una variet\`a differenziabile \`e una metrica riemanniana vista a meno di riscalamento. Pi\`u formalmente, due metriche riemanniane $g, h$ sulla stessa variet\`a differenziabile $M$ definiscono la stessa \emph{classe conforme} se esiste una funzione liscia $f\colon M \to \matR_{>0}$ tale che $g = f\cdot h$; una struttura conforme per $M$ \`e la scelta di una classe conforme. Una struttura conforme non definisce una distanza fra punti di $M$ n\'e la lunghezza di un vettore tangente $v\in T_p$, ma l'angolo fra due vettori tangenti $v,w \in T_p$ risulta comunque ben definito. Nel diagramma commutativo assegniamo ad una struttura iperbolica la classe conforme a cui appartiene.

Una \emph{struttura quasi-complessa} su una variet\`a differenziabile $M$ di dimensione pari \`e l'assegnazione di un endomorfismo $J_p\colon T_p\to T_p$ in ogni punto $p\in M$ tale che $J_p^2 = -\id_{T_p}$. L'endomorfismo deve ovviamente variare in modo liscio con $p\in M$. Una struttura conforme su una superficie orientata $S$ definisce una struttura quasi-complessa nel modo seguente: sia $J_p$ l'endomorfismo che ruota ogni vettore tangente di un angolo retto in senso antiorario. Anche una struttura complessa definisce una struttura quasi-complessa: lo spazio tangente $T_p$ ad un punto $p\in S$ ha infatti in modo naturale una struttura complessa e $J_p$ \`e definito come la moltiplicazione per $i$.

Un teorema non banale di analisi complessa asserisce che ogni struttura quasi-complessa su una superficie $S$ \`e \emph{integrabile}, cio\`e \`e effettivamente indotta da una struttura complessa. Questo teorema fornisce l'ultima freccia del diagramma.

\subsection{Superfici di tipo finito}
Siano $g,b,p\geqslant 0$ tre numeri naturali. Ricordiamo che $S_{g,b}$ \`e una superficie compatta con bordo ottenuta rimuovendo $b$ dischi aperti disgiunti dalla superficie $S_g$ compatta di genere $g$. Indichiamo con $S_{g,b,p}$ la superficie ottenuta rimuovendo $p$ punti distinti da $S_{g,b}$. Una superficie di questo tipo \`e dette \emph{di tipo finito}. La superficie $S_{g,b,p}$ \`e determinata a meno di diffeomorfismi dalla tripla di numeri $g,b,p$, e due superfici con triple diverse non sono diffeomorfe. Una superficie di tipo finito \`e mostrata in Fig.~\ref{tipo_finito:fig}. I $p$ punti rimossi sono detti \emph{punture}. Una superficie di tipo finito ha caratteristica di Eulero
$$\chi(S_{g,b,p}) = 2-2g-b-p.$$

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 6cm] {tipo_finito.pdf}
\nota{Una superficie di tipo finito $S_{g,b,p}$.}
\label{tipo_finito:fig}
\end{center}
\end{figure}

Quando $\chi(S_{g,b,p})<0$ \`e possibile costruire sulla superficie una metrica iperbolica completa e di volume finito estendendo le tecniche gi\`a usate per $S_{g,b}$. Notiamo che per $p=0$ la superficie \`e compatta e quindi una struttura iperbolica \`e necessariamente completa e di volume finito; entrambi questi fatti per\`o non sono scontati in presenza di punture.

Ricordiamo che in Sezione \ref{pantaloni:subsection} abbiamo costruito per ogni tripla di numeri reali positivi $a,b,c>0$ un (unico) esagono retto con lati alternati di lunghezza $a,b,c$. Questa costruzione si estende facilmente al caso $a,b,c\geqslant 0$ come mostrato in Fig.~\ref{esagoni_generalizzati:fig}: per ogni tripla $a,b,c\geqslant 0$ esiste un unico esagono retto a meno di isometrie, dove i lati aventi lunghezza zero degenerano in vertici all'infinito. L'esagono retto con tutti e tre i lati degeneri mostrato in Fig.~\ref{esagoni_generalizzati:fig}-(destra) \`e un \emph{triangolo ideale}, avente tutti e tre i vertici all'infinito. I triangoli ideali sono effettivamente tutti isometrici, perch\'e $\PSLR\Isom \Iso^+(\matH^2)$ agisce transitivamente sulle triple di punti in $\partial \matH^2$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 12.5 cm] {esagoni_generalizzati.pdf}
\nota{Un esagono retto con alcuni lati di lunghezza zero, degenerati in vertici ideali.}
\label{esagoni_generalizzati:fig}
\end{center}
\end{figure}

Prendendo due copie dell'esagono con lati alternati di lunghezza $a,b,c\geqslant 0$ e incollandole lungo gli altri tre lati come in Sezione \ref{pantaloni:subsection} si ottengono dei pantaloni in cui alcune componenti di bordo sono degenerate a delle cuspidi come mostrato in Fig.~\ref{pantalone_degenere:fig}. Possiamo quindi usare questi pantaloni degeneri per costruire metriche arbitrarie su qualsiasi superficie di tipo finito $S_{g,b,p}$ con $\chi<0$: come sopra, \`e sufficiente suddividere la superficie in pantaloni, ed usare i pantaloni degeneri per creare delle cuspidi ove necessario. Per verificare che otteniamo effettivamente metriche complete e di volume finito \`e sufficiente verificare che ogni pantalone degenere sia effettivamente completo e di area finita. 

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 12.5 cm] {pantalone_degenere.pdf}
\nota{Negli esagoni raddoppiati un lato di lunghezza $x>0$ genera una geodetica di bordo di lunghezza $2x$ mentre un vertice ideale (lato di lunghezza zero) genera una cuspide. Si costruiscono in questo modo delle metriche iperboliche complete e di volume finito sulle superfici di tipo finito $S_{0,3,0}$, $S_{0,2,1}$, $S_{0,1,2}$ e $S_{0,0,3}$. L'ultima a destra \`e la sfera con tre punture.}
\label{pantalone_degenere:fig}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Aree}
Per calcolare l'area di un pantalone degenere usiamo il fatto seguente. Ammettiamo d'ora in poi nella nozione di poligono la presenza di alcuni vertici ideali. Ridefiniamo quindi la nozione nel modo seguente: un \emph{poligono} \`e l'intersezione di un numero finito di semipiani avente parte interna non vuota, la cui chiusura in $\overline{\matH^2}$ interseca $\partial \matH^2$ in al pi\`u un numero finito di punti. I vertici di un poligono possono essere interni (in $\matH^2$) o all'infinito (in $\partial\matH^2$). I punti all'infinito hanno per definizione angolo interno nullo. Ad esempio i poligoni mostrati in Fig.~\ref{esagoni_generalizzati:fig} hanno vertici interni retti e vertici all'infinito con angolo interno nullo. La somma degli angoli interni di un poligono \`e sempre strettamente minore di quella che troveremmo in un poligono euclideo, e questa differenza \`e precisamente l'area del poligono iperbolico:

\begin{prop}
Un poligono $P$ con angoli interni $\alpha_1,\ldots, \alpha_n$ ha area
$$\Area (P) = (n-2)\pi - \sum_{i=1}^n \alpha_i.$$
\end{prop}
\begin{proof}
Ogni poligono si decompone in triangoli, ed \`e facile vedere che basta dimostrare la formula per questi. Consideriamo innanzitutto un triangolo avente almeno un vertice all'infinito. Usiamo il modello del semipiano e mettiamo questo vertice all'infinito come in Fig.~\ref{triangle_area:fig}. Gli altri due vertici hanno angoli interni $\alpha$ e $\beta$ e possono essere sia interni che all'infinito. Possiamo supporre che il vertice del cerchio di raggio $r$ in figura sia l'origine di $\matR^2$. Nel calcolare l'area della regione rossa scriviamo la variabile $x$ come $x=r\cos \theta$. Il triangolo $T$ \`e il dominio
$$T = \{(r\cos\theta, y)\ | \ \beta\leqslant \theta \leqslant \pi-\alpha, \ y\geqslant r\sin\theta\}.$$
L'area del triangolo \`e quindi
\begin{align*}
\Area(T) & = \int_T \frac 1{y^2}dxdy = \int_{\pi-\alpha}^{\beta} \int_{r\sin\theta}^\infty \frac{-r\sin \theta}{y^2}dyd\theta \\
 & = \int_{\pi-\alpha}^\beta -r\sin\theta \left[-\frac 1y\right]_{r\sin\theta}^\infty d\theta = 
\int_{\beta}^{\pi-\alpha} \frac{r\sin\theta}{r\sin\theta}d\theta = \int_{\beta}^{\pi-\alpha} 1 = \pi-\alpha-\beta.
\end{align*} 
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10 cm] {triangle_area.pdf}
\nota{Un triangolo con almeno un vertice ideale (sinistra). L'area di un triangolo con vertici interni pu\`o essere calcolata come differenza di aree di triangoli con vertici ideali (destra).}
\label{triangle_area:fig}
\end{center}
\end{figure}
L'area di un triangolo con vertici interni $ABC$ pu\`o essere calcolata come in Fig.~\ref{triangle_area:fig}-(destra), scegliendo un punto all'infinito $\infty$ e usando la formula
$$\Area (ABC) = \Area(AB\infty) + \Area(BC\infty) - \Area (AC\infty).$$
\end{proof}
\begin{cor}
Un pantalone iperbolico con parametri $a,b,c\geqslant 0$ ha area $2\pi$.
\end{cor}
\begin{proof}
Il pantalone \`e unione di due esagoni retti. Un esagono retto ha area $4\pi - 3\pi = \pi$. Se alcuni dei parametri $a,b,c$ sono nulli, l'esagono \`e degenere ed \`e uno dei poligoni mostrati in Fig.~\ref{esagoni_generalizzati:fig}. Per ciascuno di questi poligoni l'area resta $\pi$.
\end{proof}
Una struttura iperbolica per $S_{g,b,p}$ ottenuta incollando pantaloni geodetici ha quindi sempre area finita, pari a $-2\pi\chi(S_{g,b,p})$. Abbiamo quindi ottenuto un'ennesima versione del Teorema di Gauss-Bonnet. \`E facile mostrare che una tale struttura iperbolica \`e completa. 

%Infine, si pu\`o definire lo spazio di Teichm\"uller di $S_{g,b,p}$ analogamente a quanto fatto per $S_{g,b}$ e si ottiene il risultato seguente.

%\begin{teo} Dopo aver fissato un opportuno sistema di riferimento esiste una corrispondenza biunivoca fra $\Teich(S_{g,b,p})$ e $\matR^{-3\chi(S_{g,b,p})-p} =  \matR^{6g+3b+2p-6}$.
%\end{teo}
%In particolare, esiste una sola struttura iperbolica per la sfera con 3 punture $S_{0,0,1}$, ed \`e quella ottenuta in Fig.~\ref{pantalone_degenere:fig} incollando due triangoli ideali.












