\chapter{Superfici iperboliche}

\section{Curve su superfici}

Le curve semplici chiuse su una superficie $S_g$ di genere $g$ formano un insieme molto ricco e sono un utile strumento per analizzare le propriet\`a topologiche e metriche di $S_g$, dotata eventualmente di una metrica iperbolica.

\subsection{Geodetiche chiuse}
Studiamo in questa sezione come si comportano le geodetiche chiuse in una superficie iperbolica (e in una variet\`a iperbolica di dimensione arbitraria). Sia $p\colon \matR \to S^1$ la mappa $p(t) = e^{it}$. Una \emph{geodetica chiusa} in una variet\`a riemanniana $M$ \`e una mappa liscia $\alpha\colon S^1\to M$ tale che $\alpha\circ p\colon \matR\to M$ sia una geodetica non costante. Consideriamo implicitamente equivalenti due geodetiche chiuse $\alpha_1, \alpha_2$ tali che $\gamma_1(z) = \gamma_2(ze^{it})$ per qualche $t\in\matR$ fissato.

Se $X$ e $Y$ sono due spazi topologici, il simbolo $[X,Y]$ indica l'insieme delle mappe continue da $X$ in $Y$, viste a meno di omotopia. Consideriamo qui il caso $X=S^1$ ed enunciamo un teorema di topologia.

\begin{prop} \label{libera:prop}
Sia $Y$ uno spazio connesso per archi e $y_0$ un punto base. La mappa naturale 
$$F\colon \pi_1(Y,y_0) \to [S^1, Y]$$
induce una corrispondenza biunivoca fra classi di coniugio di $\pi_1(Y,y_0)$ e $[S^1,Y]$.
\end{prop}
\begin{proof}
Un elemento di $\pi_1(Y,y_0)$ \`e rappresentato da un laccio $\alpha\colon S^1\to Y$ con punto base $\alpha(1) = y_0$ ed induce ben definito un elemento di $[S^1,Y]$. La mappa $F$ cos\`\i\ definita \`e suriettiva, perch\'e qualsiasi mappa da $S^1$ in $Y$ pu\`o essere omotopata in modo da passare per $y_0$. 

Inoltre due lacci $\alpha, \alpha'$ con punto base $\alpha(1)=\alpha'(1)=y_0$ inducono lo stesso elemento in $[S^1, Y]$ se e solo se esiste una omotopia $H\colon S^1 \times [0,1] \to Y$ che coincida con $\alpha$ e $\alpha'$ in $0$ e $1$. L'omotopia \`e libera: la curva $\gamma\colon t\mapsto H(1,t)$ non \`e costantemente ferma in $y_0$, ma forma un altro laccio che parte e torna in $y_0$. L'omotopia $H$ induce facilmente una omotopia a estremi fissati fra $\alpha$ e $\gamma^{-1}\circ\alpha'\circ\gamma$. In altre parole, $F(\alpha) = F(\alpha')$ se e solo se $\alpha$ e $\alpha'$ sono coniugate.
\end{proof}

Se $M= \matH^n/_\Gamma$ \`e una variet\`a iperbolica completa, le classi di coniugio di $\Gamma\cong \pi_1(M)$ sono quindi in corrispondenza biunivoca con gli elementi di $[S^1,M]$. Dato un elemento $g \in\Gamma$, l'elemento corrispondente $F(g) \in [S^1,M]$ \`e identificabile concretamente nel modo seguente: si prenda un punto $x\in \matH^n$ qualsiasi ed un arco $\alpha$ continuo che colleghi $x$ e $g(x)$. La proiezione di $\alpha$ in $M$ \`e una curva chiusa continua, quindi un elemento di $[S^1,M]$.

Due elementi coniugati di $\Gamma$ sono dello stesso tipo (banale, parabolico o iperbolico) e hanno lo stesso spostamento minimo. Corrispondentemente ogni elemento di $[S^1,M]$ \`e di un tipo ben definito (banale, parabolico o iperbolico) e ha uno spostamento minimo $d$ (si veda la Sezione \ref{orosfere:subsection} nel Capitolo 1).

\begin{prop} \label{omotopia:prop}
Sia $M$ una variet\`a iperbolica completa.
Un elemento iperbolico di $[S^1,M]$ \`e rappresentato da un'unica geodetica chiusa, di lunghezza $d$ pari al suo spostamento minimo. Gli elementi banale e parabolici non sono rappresentati da geodetiche chiuse.
\end{prop}
\begin{proof}
Una isometria iperbolica $g\in \Gamma$ ha un'unica geodetica invariante, l'asse, che si proietta su una geodetica chiusa di $M$ di lunghezza $d$. Due isometrie coniugate determinano la stessa geodetica. %Due isometrie non coniugate invece determinano geodetiche non omotope per la Proposizione \ref{libera:prop}.

D'altra parte, se $\gamma$ \`e una geodetica chiusa, fissando un punto base $x_0 \in \matH^n$ con $p(x_0)\in \gamma$ la curva $\gamma$ determina un elemento in $\pi_1(M,p(x_0)) = \Gamma$ cio\`e una isometria $g$ che preserva la geodetica $\tilde\gamma\subset \matH^n$ ottenuta sollevando $\gamma$. Le uniche isometrie (senza punti fissi) che preservano una geodetica in $\matH^n$ sono le iperboliche, e la geodetica \`e necessariamente l'asse.
\end{proof}

\begin{cor} \label{geodetica:cor}
Sia $M$ una variet\`a iperbolica compatta senza bordo. Ogni elemento non banale in $[S^1,M]$ \`e rappresentato da un'unica geodetica chiusa.
\end{cor}
\begin{proof}
Se $M=\matH^n/_\Gamma$ \`e compatto ogni elemento non banale in $\Gamma$ \`e iperbolico.
\end{proof}

Ricordiamo che una curva chiusa \`e \emph{semplice} se \`e iniettiva.
Notiamo che una geodetica chiusa non \`e necessariamente semplice.
\begin{prop} \label{avvolge:prop}
Sia $\gamma$ una geodetica chiusa in una variet\`a riemanniana $M$. Vale uno (ed uno solo) dei fatti seguenti.
\begin{enumerate}
\item la curva $\gamma$ \`e semplice,
\item la curva $\gamma$ si autointerseca trasversalmente in un numero finito di punti,
\item la curva $\gamma$ percorre una curva di tipo (1) o (2) un numero $k\geqslant 2$ di volte.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
Se la curva non \`e semplice, deve autointersecarsi. Se lo fa solo con tangenti diverse vale (2). Se lo fa con le stesse tangenti vale (3).
\end{proof}
Il punto (3) equivale a dire che $\gamma (e^{it}) = \eta(e^{kit})$ per una geodetica $\eta$ e $k\geqslant 2$. Sia $M=\matH^n/\Gamma$ una variet\`a iperbolica completa e $\gamma$ una geodetica chiusa in $M$: la controimmagine $p^{-1}(\gamma)$ di $\gamma$ rispetto al rivestimento universale $p\colon\matH^n \to M$ \`e unione di geodetiche (e quindi rette) in $\matH^n$; queste rette sono tutte disgiunte se e solo se $\gamma$ non ha autointersezioni trasverse. Abbiamo indicato sopra con $F$ la bigezione fra le classi di coniugio iperboliche di $\Gamma$ e le geodetiche chiuse di $M$.

\begin{prop} \label{assi:prop}
Sia $M=\matH^n/\Gamma$ una variet\`a iperbolica completa e $\gamma$ una geodetica chiusa in $M$. Le rette in $p^{-1}(\gamma)\subset \matH^n$ sono precisamente gli assi delle isometrie in $F^{-1}(\gamma)$. 
\end{prop}
\begin{proof}
Ogni sollevamento di $\gamma$ forma una retta geodetica $\widetilde \gamma$ in $\matH^n$, e determina un automorfismo del rivestimento che fissa $\widetilde \gamma$ ed \`e necessariamente un elemento della classe di coniugio $F^{-1}(\gamma)$ con asse $\widetilde \gamma$. D'altra parte, ogni elemento nella classe $F^{-1}(\gamma)$ ha un (unico) asse che si proietta su $\gamma$.
\end{proof}

\subsection{Curve semplici chiuse omotopicamente banali e primitive}
La Proposizione \ref{omotopia:prop} pu\`o essere usata per mostrare alcuni fatti topologici sulle superfici.  
\begin{prop} \label{disco:prop}
Una curva semplice chiusa $\gamma$ in $S_{g,b}$ \`e omotopicamente banale se e solo se borda un disco.
\end{prop}
\begin{proof}
Tagliando la superficie lungo $\gamma$ si ottiene una superficie $S'$ con al pi\`u due componenti connesse avente la stessa caratteristica di $S_{g,b}$. Se si ottengono due componenti e una di queste \`e un disco siamo a posto. Altrimenti tutte le componenti di $S'$ hanno caratteristica negativa, oppure $S'$ \`e un anello. 

Nel primo caso \`e possibile assegnare ad $S'$ una metrica iperbolica con componenti di bordo tutte e due lunghe $1$. Queste componenti di bordo possono essere reincollate e generare una metrica iperbolica su $S_{g,b}$ in cui $\gamma$ \`e geodetica: questo contraddice la Proposizione \ref{omotopia:prop} perch\'e $\gamma$ \`e omotopicamente banale. Nel secondo caso $S_{g,b}=S_{1,0}$ \`e un toro e $\gamma$ \`e non banale in $\pi_1(S_{1,0})\isom \matZ\times \matZ$, assurdo.
\end{proof}

Ricordiamo che un elemento non banale $g$ di un gruppo $G$ \`e \emph{primitivo} se non pu\`o essere scritto come $g=nh$ per nessun numero naturale $n\geqslant 2$ e nessun altro elemento $h\in G$. 
Se $X$ \`e uno spazio topologico connesso per archi, un elemento $a\in [S^1, X]$ \`e \emph{primitivo} se corrisponde ad elementi primitivi di $\pi_1(X)$ tramite la Proposizione \ref{libera:prop} (la primitivit\`a \`e invariante per coniugio e quindi \`e ben definita in $[S^1,X]$).

\begin{prop} \label{primitiva:prop}
Una curva semplice chiusa liscia in $S_g$ omotopicamente non banale rappresenta un elemento primitivo in $[S^1,S_g]$.
\end{prop}
\begin{proof}
Supponiamo che $\gamma$ sia una curva semplice liscia omotopa ad una curva $\eta$ percorsa $n\geqslant 2$ volte. Tagliamo lungo $\gamma$ e otteniamo una nuova superficie $S'$ con la stessa caratteristica di $S_g$: per ipotesi $\gamma$ \`e omotopicamente non banale e quindi $S'$ non contiene dischi; se $S'$ \`e un anello allora $S_g = S_1$ \`e un toro e $\gamma$ \`e un generatore di $\pi_1(S_1) = \matZ \times \matZ$ quindi \`e primitivo; resta da considerare il caso in cui ogni componente di $S'$ ha $\chi<0$. 

Come nella dimostrazione della Proposizione \ref{disco:prop}, tagliando e reincollando lungo $\gamma$ costruiamo una metrica iperbolica su $S_g$ in cui $\gamma$ \`e una geodetica semplice chiusa. La curva $\eta$ \`e a sua volta omotopicamente equivalente ad una geodetica chiusa $\overline \eta$ per la Proposizione \ref{omotopia:prop}, e $\gamma$ \`e omotopicamente equivalente a $\overline \eta$ percorsa $n$ volte per ipotesi: assurdo, perch\'e otteniamo due geodetiche chiuse distinte ($\gamma$ \`e semplice e $n\overline \eta$ no) non possono essere omotopicamente equivalenti.
\end{proof}

\subsection{Curve e geodetiche semplici}
In questa sezione mostriamo che se una curva chiusa in una superficie iperbolica \`e semplice, allora anche l'unica geodetica ad essa omotopa \`e semplice. Per dimostrare questo fatto abbiamo bisogno di un risultato preliminare.

Sia $Y\subset X$ un sottoinsieme di uno spazio metrico $X$ e $R>0$ un numero reale positivo. Un \emph{$R$-intorno} $N_R(Y)$ \`e ovviamente l'insieme dei punti di $X$ che distano al pi\`u $R$ da qualche punto di $X$. Gli $R$-intorni delle geodetiche nei modelli conformi dello spazio iperbolico hanno una forma particolarmente semplice.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 11.5 cm] {intorni.pdf}
\nota{Gli $R$-intorni di una geodetica $l$ nel semipiano (sinistra) e nel disco di Poincar\'e (destra).}
\label{intorni:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{prop} \label{banana:prop}
Sia $l\subset \matH^2$ una retta in $\matH^2$ nel modello del disco o del semipiano. Un $R$-intorno di $l$ \`e delimitato da due rette (euclidee) o archi di circonferenza aventi gli stessi estremi di $\gamma$ come in Fig.~\ref{intorni:fig}.
\end{prop}
\begin{proof}
Se $l$ \`e una retta verticale nel semispazio con estremi in $0$ e $\infty$, il suo $R$-intorno \`e invariante per le isometrie del tipo $x\mapsto \lambda x$ e quindi \`e necessariamente un cono come in figura. Tutti gli altri casi seguono, perch\'e le isometrie agiscono transitivamente sulle rette e mandano le due rette in $\partial N_R(l)$ in rette o archi di circonferenza per il Corollario \ref{mandano:cor} dal Capitolo \ref{spazio:chapter}.
\end{proof}

\begin{prop} \label{semplice:prop}
Sia $S_g$ dotata di una metrica iperbolica e $\gamma$ una curva semplice chiusa liscia omotopicamente non banale. L'unica geodetica chiusa $\overline \gamma$ omotopa a $\gamma$ \`e anch'essa semplice.
\end{prop}
\begin{proof}
La controimmagine di $\gamma$ nel rivestimento universale $\matH^2$ \`e unione di curve semplici disgiunte, e la controimmagine di $\overline{\gamma}$ \`e unione di rette disgiunte. L'omotopia fra $\gamma$ e $\overline{\gamma}$ si solleva ad una omotopia fra queste curve e queste rette. Poich\'e l'omotopia fra $\gamma$ e $\overline{\gamma}$ ha supporto compatto, esiste $R>0$ tale che ogni punto viene spostato durante tutta l'omotopia meno di $R$. Quindi ogni sollevamento $\widetilde {\gamma}$ di $\gamma$ \`e interamente contenuto in un $R$-intorno di un sollevamento $\widetilde{\overline{\gamma}}$ di $\overline {\gamma}$ e per la Proposizione \ref{banana:prop} i due sollevamenti tendono agli stessi estremi in $\partial \matH^2$, come in Fig.~\ref{geodetiche0:fig}-(sinistra).

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 11.5 cm] {geodetica.pdf}
\nota{I sollevamenti di una curva (nera) e del suo rappresentante geodetico (rosso) hanno gli stessi estremi in $\partial \matH^n$ (sinistra). Se due rette geodetiche si intersecano in un punto, anche le curve ad esse omotope devono intersecarsi in almeno un punto (destra).}
\label{geodetica:fig}
\end{center}
\end{figure}

Poich\'e $\gamma$ \`e semplice, due suoi sollevamenti $\widetilde \gamma_1$ e $\widetilde \gamma_2$ sono sempre disgiunti. I sollevamenti corrispondenti $\widetilde {\overline \gamma}_1$ e $\widetilde {\overline {\gamma}}_2$ sono le rette aventi gli stessi estremi di $\widetilde \gamma_1$ e $\widetilde \gamma_2$: se le due rette si intersecano in un punto, si intersecherebbero in almeno un punto anche le curve $\widetilde \gamma_1$ e $\widetilde \gamma_2$, si veda Fig.~\ref{geodetiche0:fig}-(destra). Quindi i sollevamenti di $\overline \gamma$ non si intersecano mai trasversalmente in un punto, e ne segue che $\overline \gamma$ non ha punti di autointersezione trasversa. Per la Proposizione \ref{avvolge:prop} la geodetica chiusa $\overline \gamma$ \`e semplice oppure si avvolge pi\`u volte su un'altra geodetica chiusa semplice $\eta$: la seconda possibilit\`a \`e esclusa dalla Proposizione \ref{primitiva:prop}.
\end{proof}

La proposizione precedente non \`e valida in generale in dimensione $n\geqslant 3$: esistono in dimensione pi\`u alta di due delle curve semplici chiuse omotope a geodetiche chiuse non semplici.

\subsection{Intersezione fra curve semplici chiuse}
In questa sezione parliamo di intersezione fra curve semplici chiuse in una superficie. Il risultato principale sar\`a il \emph{criterio del bigono} enunciato nella Proposizione \ref{bigono:prop}: secondo tale criterio, due curve semplici chiuse in una superficie compatta si intersecano (a meno di omotopia) nel numero minimo di punti possibili se e solo se non formano \emph{bigoni}. 

Avremo bisogno di un paio di risultati sulle isometrie di $\matH^n$. Indichiamo con $\Fix(\varphi)$ i punti fissi in $\overline{\matH^n}$ di una isometria. Ricordiamo che se $\varphi$ \`e parabolica o iperbolica l'insieme $\Fix(\varphi)$ consta di uno o due punti fissi in $\partial \matH^n$.

\begin{lemma}
Siano $\varphi_1,\varphi_2\in\Iso(\matH^n)$ due isometrie senza punti fissi in $\matH^n$. Se commutano, allora $\Fix(\varphi_1) = \Fix(\varphi_2)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Due isometrie senza punti fissi in $\matH^n$ sono iperboliche o paraboliche. Se commutano, l'isometria $\varphi_1$ agisce su $\Fix(\varphi_2)$ e viceversa. Se $\varphi_2$ \`e iperbolica, allora $\Fix(\varphi_2)=\{p,q\}$ e $\varphi_1$ fissa la retta con estremi $p$ e $q$, quindi \`e anch'essa iperbolica con $\Fix(\varphi_1)=\{p,q\}$. Se $\varphi_1$ e $\varphi_2$ sono paraboliche allora hanno un solo punto fisso e quindi necessariamente $\Fix(\varphi_1) = \Fix(\varphi_2)$.
\end{proof}

\begin{lemma} \label{fissi:lemma}
Siano $\gamma_1,\gamma_2\in\Iso(\matH^n)$ due isometrie che generano un sottogruppo discreto $\Gamma < \Iso (\matH^n)$. Valgono i fatti seguenti:
\begin{enumerate}
\item  se $\varphi_1$ \`e iperbolica e $\varphi_2$ parabolica allora $\Fix(\varphi_1)\cap \Fix(\varphi_2) = \emptyset$.
\item se $\varphi_1$ e $\varphi_2$ sono entrambe iperboliche allora $\Fix(\varphi_1) \cap \Fix(\varphi_2) = \emptyset$ oppure $\Fix(\varphi_1) = \Fix(\varphi_2)$ ed esiste $\varphi \in \Gamma$ tale che $\varphi_1 = \varphi^{k_1}, \varphi_2 = \varphi^{k_2}$ per qualche $k_1, k_2\in\matN$.
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
Mostriamo (1) usando il modello del semispazio, supponendo che $\infty$ sia punto fisso per entrambe $\varphi_1$ e $\varphi_2$ e che $0$ sia l'altro punto fisso per $\varphi_1$. Dalla Proposizione \ref{tre:prop} del Capitolo \ref{spazio:chapter} ricaviamo $\varphi_1(x,t) = \lambda(Ax,t)$ e $\varphi_2(x,t) = (A'x+b, t)$ con $A, A' \in O(n-1)$ e $\lambda \neq 1$. Quindi 
\begin{align*}
\varphi_1^n\circ \varphi_2\circ  \varphi_1^{-n}(x,t) & = \varphi_1^n\big(A'(\lambda^{-n}A^{-n}x)+b,\lambda^{-n}t)  = \Big(\lambda^n A^n \big(A'(\lambda^{-n}A^{-n}x)+b\big), t\Big) \\
& = \big(A^nA'A^{-n}x + \lambda^n A^nb , t\big).
\end{align*}
A meno di scambiare $\varphi_1$ con $\varphi_1^{-1}$ possiamo supporre che $\lambda < 1$ e otteniamo 
$$\lim_{n\to \infty} \varphi_1^n \circ \varphi_2 \circ \varphi_1^{-n}(0,t) = (0,t).$$
Il sottogruppo $\Gamma$ quindi non \`e discreto, perch\'e non agisce in modo propriamente discontinuo. 

Dimostriamo (2). Supponiamo che $\varphi_1$ e $\varphi_2$ fissino $\infty$ e abbiano spostamento minimo $d_1$ e $d_2$, definiti con segno positivo se $\infty$ \`e attrattore e negativo se \`e repulsore. Indichiamo con $O_t$ l'orosfera ad altezza $t$. Abbiamo $\varphi_i (O_t) = O_{e^dt}$, quindi il commutatore 
$$[\varphi_1,\varphi_2] = \varphi_2\circ \varphi_1 \circ \varphi_2^{-1} \circ \varphi_1^{-1}$$
fissa ogni orosfera $O_t$. Quindi $[\varphi_1,\varphi_2]\in \Gamma$ \`e parabolico con punto fisso $\infty$ oppure banale: il primo caso \`e escluso da (1); nel secondo caso il lemma precedente mostra che $\varphi_1$ e $\varphi_2$ hanno lo stesso asse $r$. Poich\'e $\Gamma$ \`e discreto, agisce sull'asse $r$ come gruppo di traslazioni in modo propriamente discontinuo e deve quindi essere isomorfo a $\matZ$ ed avere un generatore $\varphi$ come da tesi.
\end{proof}

Sia $\matH^n/\Gamma$ una variet\`a iperbolica completa. Consideriamo l'insieme degli assi in $\matH^n$ di tutte le isometrie iperboliche in $\Gamma$: il lemma precedente implica che questi assi sono (a coppie) incidenti o ultraparalleli (non sono mai asintoticamente paralleli). 

Passiamo a studiare le intersezioni fra curve semplici chiuse.

\begin{defn} Siano $g_1, g_2\in [S^1, S]$ due classi di omotopia di curve semplici chiuse lisce in una superficie orientabile $S$. Definiamo la loro \emph{intersezione geometrica} come
$$i(g_1, g_2) = \min \big\{ \#(\gamma_1\cap \gamma_2) \ \big|\ \gamma_1 \in g_1, \gamma_2 \in g_2 \big\}$$
al variare di $g_1$ e $g_2$ fra le curve semplici chiuse lisce nelle classi $\gamma_1$ e $\gamma_2$.
\end{defn}

\subsection{Criterio del bigono}
Due curve semplici chiuse lisce $\gamma_1,\gamma_2$ si intersecano \emph{in modo trasverso} se le loro tangenti in ogni punto di intersezione sono non-parallele. Diciamo che le due curve sono \emph{in posizione minimale} se si intersecano in $i([\gamma_1],[\gamma_2])$ punti. Il complementare di due curve semplici chiuse trasverse in $S$ \`e l'unione disgiunta di un insieme finito di aperti in $S$ con bordo poligonale; un tale aperto \`e un \emph{bigono} se \`e un disco con due lati come in Fig.~\ref{bigono:fig}. Il seguente criterio \`e uno strumento semplice e molto utile per determinare l'intersezione geometrica di due curve.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 4 cm] {bigono.pdf}
\nota{Due curve $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono in posizione minimale se e solo se non creano bigoni.}
\label{bigono:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{prop}[Criterio del bigono] \label{bigono:prop}
Sia $S_g$ una superficie chiusa di genere $g\geqslant 2$. Due curve semplici chiuse lisce trasverse $\gamma_1,\gamma_2$ sono in posizione minimale se e solo se non creano bigoni come in Fig.~\ref{bigono:fig}.
\end{prop}
\begin{proof}
Se $\gamma_1$ e $\gamma_2$ formano un bigono, le omotopie descritte in Fig.~\ref{bigono_proof:fig}-(sinistra) trasformano $\gamma_1$ e $\gamma_2$ in due nuove curve che si intersecano in due punti in meno: quindi $\gamma_1$ e $\gamma_2$ non sono in posizione minimale.

Supponiamo adesso che $\gamma_1$ e $\gamma_2$ non formino bigoni: dobbiamo mostrare che sono in posizione minimale. Consideriamo innanzitutto il caso in cui una delle curve (ad esempio $\gamma_1$) sia banale. Per la Proposizione \ref{disco:prop} la curva $\gamma_1$ borda un disco $D$ e $\gamma_2$ interseca $D$ in archi come in Fig.~\ref{bigono_proof:fig}-(destra). Se non c'\`e neanche un arco allora $\gamma_1\cap \gamma_2 = \emptyset$ e le due curve sono in posizione minimale. Se c'\`e almeno un arco, gli estremi degli archi in $\partial D$ si annidano, ed esiste sempre una coppia di estremi \emph{innermost} (cio\`e pi\`u interni di tutti: bordano un arco in $\partial D$ che non contiene altri estremi). Due estremi innermost determinano un bigono (in Fig.~\ref{bigono_proof:fig}-(destra) ce ne sono tre): assurdo.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 9 cm] {bigono_proof.pdf}
\nota{Un bigono pu\`o essere eliminato con una omotopia che riduce il numero di intersezioni (sinistra). Se $\gamma_1$ borda un disco e $\gamma_2$ interseca $\gamma_1$, esiste necessariamente un bigono (destra).}
\label{bigono_proof:fig}
\end{center}
\end{figure}

Passiamo a considerare il caso in cui $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono entrambe omotopicamente non banali. Fissiamo su $S_g$ una metrica iperbolica arbitraria. Per la Proposizione \ref{semplice:prop} le due curve sono omotopicamente equivalenti a delle geodetiche semplici chiuse $\overline{\gamma_1}$ e $\overline{\gamma_2}$. Abbiamo gi\`a visto nella dimostrazione della Proposizione \ref{semplice:prop} che le controimmagini di $\gamma_i$ e $\overline{\gamma_i}$ sono rette e curve con gli stessi estremi in $\partial \matH^2$, come in Fig.~\ref{geodetiche0:fig}-(sinistra). 

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10 cm] {geodetiche0.pdf}
\nota{I sollevamenti di $\gamma_i$ e $\overline{\gamma_i}$ hanno distanza uniformemente limitata e tendono quindi agli stessi punti al bordo (sinistra). Due curve che si intersecano in pi\`u di un punto formano un bigono (destra).} 
\label{geodetiche0:fig}
\end{center}
\end{figure}

Mostriamo adesso che due sollevamenti $\widetilde \gamma_1$ e $\widetilde \gamma_2$ di $\gamma_1$ e $\gamma_2$ si intersecano al pi\`u in un punto. Se si intersecano in pi\`u punti, un argomento \emph{innermost} come quello gi\`a descritto mostra che formano un bigono $D$ in $\matH^2$ come in Fig.~\ref{geodetiche0:fig}-(destra). \`E facile verificare che il bigono in $\matH^2$ determina un bigono in $S$: i due vertici di $D$ sono proiettati su punti distinti di $\gamma_1\cap\gamma_2$ perch\'e si intersecano con orientazioni opposte, mentre gli automorfismi del rivestimento mantengono sempre l'orientazione di $\matH^2$ (perch\'e $S_g$ \`e orientabile). Anche i due archi di $D$ sono proiettati iniettivamente su due archi in $S_g$, e quindi tutto $D$ \`e proiettato iniettivamente su un bigono in $S_g$, assurdo.

Calcoliamo adesso i punti di intersezione fra $\gamma_1$ e $\gamma_2$ nel rivestimento universale $\matH^2$. Sia $\Gamma<\Iso^+(\matH^2)$ il gruppo di automorfismi del rivestimento $p\colon \matH^2\to S_g$. Per la Proposizione \ref{assi:prop} le rette in $p^{-1}(\overline{\gamma_i})$ sono gli assi delle isometrie iperboliche (tutte coniugate fra loro) in $F^{-1}(\gamma_i) < \Gamma$. Per il Lemma \ref{fissi:lemma}-(2) assi distinti hanno estremi disgiunti in $\partial\matH^2$: quindi due sollevamenti di $\gamma_1$ e $\gamma_2$ si intersecano (in un punto solo) se e solo se si intersecano (sempre in un punto solo) i corrispondenti sollevamenti di $\overline{\gamma_1}$ e $\overline{\gamma_2}$, e questo accade se e solo se gli estremi delle due rette in $\matH^2$ sono concatenati in $\partial \matH^2$.\footnote{Due coppie $\{A,B\}$ e $\{C,D\}$ di punti distinti in una circonferenza $S^1$ sono concatenate se ciascuno dei due archi con estremi in $A$ e $B$ interseca l'insieme $\{C,D\}$.} L'insieme $p^{-1}(\gamma_1) \cap p^{-1}(\gamma_2)$ \`e quindi in naturale corrispondenza biunivoca con
$$S = \big\{(\varphi_1,\varphi_2) \in F^{-1}(\gamma_1) \times F^{-1}(\gamma_2) \ \big| 
\ \Fix(\varphi_1) \ {\rm e}\ \Fix(\varphi_2) \ {\rm sono\ concatenati} \big\}$$

L'insieme $\gamma_1\cap\gamma_2$ \`e quindi in naturale corrispondenza biunivoca con $S/_\sim$ dove $\sim$ \`e la relazione di equivalenza sulle coppie $(\varphi_1, \varphi_2)$ generata dall'azione diagonale per coniugio di $\Gamma$.\footnote{In questa azione $g\in \Gamma$ manda $(\varphi_1, \varphi_2)$ in $(g^{-1}\varphi_1 g, g^{-1}\varphi_2 g)$.}

La cardinalit\`a $N$ di $S/_\sim$ dipende solo dal tipo di omotopia di $\gamma_1$ e $\gamma_2$. Quindi due curve omotope a $\gamma_1$ e $\gamma_2$ avranno sempre almeno queste $N$ intersezioni, e ne segue che $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono in posizione minimale.
\end{proof}

Nell'ultimo paragrafo abbiamo implicitamente dimostrato che due geodetiche semplici chiuse distinte sono sempre in posizione minimale. Possiamo comunque fornire una breve dimostrazione alternativa.

\begin{cor}
Sia $S_g$ dotata di una metrica iperbolica. Due geodetiche semplici chiuse con supporti distinti sono sempre in posizione minimale.
\end{cor}
\begin{proof}
Due geodetiche chiuse con supporti distinti si intersecano in modo trasverso. Sia $p\colon \matH^2 \to S_g$ il rivestimento universale. Se due geodetiche semplici chiuse distinte $\gamma_1$ e $\gamma_2$ non sono in posizione minimale formano un bigono in $S_g$, che si solleva ad un bigono formato dalle loro controimmagini $p^{-1}(\gamma_1)$ e $p^{-1}(\gamma_2)$ in $\matH^2$: assurdo, perch\'e due rette in $\matH^2$ si intersecano in un punto solo.
\end{proof}


\subsection{Omotopia e isotopia fra curve}
Mostriamo in questa sezione che due curve semplici chiuse sono omotopicamente equivalenti se e solo se sono collegate da una isotopia ambiente liscia.

Ricordiamo che una \emph{omotopia} fra due mappe continue $\varphi, \psi\colon X \to Y$ fra spazi topologici $X$ e $Y$ \`e una mappa $F\colon X\times [0,1]\to Y$  tale che $F_0 = \varphi$ e $F_1 = \psi$, dove si intende ovviamente $F_t = F(\cdot, t)$. Una omotopia \`e una \emph{isotopia} se ogni funzione $F_t$ \`e un omeomorfismo. Una \emph{isotopia ambiente} in uno spazio topologico $X$ \`e una isotopia fra $\id_X$ e un altro omeomorfismo $\varphi\colon X \to X$. Se $X$ \`e una variet\`a differenziabile, aggiungiamo anche implicitamente a questa condizione l'ipotesi che $\varphi$ sia un diffeomorfismo: brevemente, una isotopia ambiente \`e un diffeomorfismo isotopo all'identit\`a\footnote{Non richiediamo per\`o che l'isotopia $F$ sia liscia: questa condizione aggiuntiva non porterebbe grandi vantaggi in questa trattazione, e renderebbe alcune dimostrazioni notevolmente pi\`u complicate, si veda ad esempio il trucco di Alexander nella Sezione \ref{Alexander:subsection}.}.

%Per tutte queste nozioni \`e possibile aggiungere richieste di liscezza in presenza di funzioni $\varphi, \psi \colon M \to N$ fra variet\`a differenziabili. Una \emph{isotopia liscia} fra due diffeomorfismi $\varphi, \psi\colon M \to N$ \`e una isotopia in cui $F$ \`e liscia e ogni livello $F_t$ \`e un diffeomorfismo.

\begin{lemma} \label{ambiente:lemma}
Per ogni $i=1,2$, sia $\gamma_1^i,\ldots, \gamma_k^i$ un insieme di curve semplici chiuse lisce omotopicamente non banali in $S_g$, a coppie disgiunte e non omotopicamente equivalenti. Se $\gamma_j^1$ \`e omotopicamente equivalente a $\gamma_j^2$ per ogni $j$, allora esiste una isotopia ambiente che sposta $\gamma_j^1$ in $\gamma_j^2$ per ogni $j$.
\end{lemma}
\begin{proof}
A meno di una piccola isotopia ambiente possiamo supporre che tutte le intersezioni fra $\gamma_j^1$ e $\gamma_k^2$ siano trasverse. Notiamo che esistono rappresentanti disgiunti per ogni coppia $\gamma_j^1, \gamma_k^2$ (se $j=k$ le curve sono omotope e basta prendere due rapprentanti paralleli), e quindi $i(\gamma_j^2, \gamma_k^2)=0$ per ogni $j,k$. Se ci sono intersezioni fra gli insiemi
$\cup_j \gamma_j^1$ e $\cup_k \gamma_k^2$ allora devono esserci dei bigoni: con una isotopia ambiente \`e possibile ridurre il numero di intersezioni come suggerito da Fig.~\ref{bigono_proof:fig}-(sinistra), e dopo un numero finito di tali operazioni otteniamo due insiemi disgiunti. Quindi tutte le curve $\gamma_j^i$ sono disgiunte.

A questo punto asseriamo che per ogni $j$ le curve $\gamma_j^1$ e $\gamma_j^2$ cobordano un anello che non interseca le altre curve. Se cos\`\i\ non fosse per qualche $j$, tagliando la superficie lungo $\gamma_j^1$ e $\gamma_j^2$ otterrei una, due o tre superfici, tutte di caratteristica negativa. Potrei quindi assegnare a queste superfici una metrica con bordi di lunghezza 1 e reincollare, e ottenere cos\`\i\ una metrica iperbolica su $S_g$ in cui $\gamma_j^1$ e $\gamma_j^2$ sono geodetiche omotope ma distinte: assurdo.

A questo punto \`e sufficiente costruire una isotopia ambiente che faccia scivolare $\gamma_j^1$ su $\gamma_j^2$ per ogni $j$.
\end{proof}

\begin{cor} \label{omotopia:isotopia:cor}
Due curve semplici chiuse lisce in $S_g$ sono omotopicamente equivalenti se e solo se sono collegate da una isotopia ambiente.
\end{cor}

Questo fatto non \`e vero in dimensione pi\`u alta: due curve chiuse omotopicamente equivalenti possono essere ``annodate'' in modo diverso; la \emph{teoria dei nodi} si occupa proprio della differenza fra omotopia e isotopia ambiente di curve semplici chiuse in $\matR^3$ o in 3-variet\`a pi\`u complicate.
 
\begin{cor} \label{isotopia:geodetiche:cor}
Sia $S_g$ dotata di una metrica iperbolica. Un insieme di curve semplici chiuse lisce omotopicamente non banali, a coppie disgiunte e non omotope, \`e trasportabile tramite isotopia ambiente ad un (unico) insieme di geodetiche semplici chiuse disgiunte.
\end{cor}

\subsection{Multicurve}
A partire da questa sezione consideriamo le curve semplici chiuse in una superficie $S_g$ non pi\`u come mappe $S^1\to S_g$, ma come sottoinsiemi di $S_g$: ci interessiamo cio\`e soltanto al loro supporto e non alla loro parametrizzazione; in particolare le curve non sono pi\`u dotate di una orientazione.

\begin{defn} Una \emph{multicurva} $\mu \subset S_g$ \`e una $1$-sottovariet\`a differenziabile compatta di $S_g$, tale che nessuna componente connessa di $\mu$ borda un disco in $S_g$.
\end{defn}
In altre parole una multicurva \`e l'unione finita di un numero finito di curve semplici chiuse lisce disgiunte omotopicamente non banali. Ricordiamo che due curve semplici chiuse in $S_g$ sono \emph{parallele} se cobordano un anello. Tagliando $S_g$ lungo una multicurva $\mu$ si ottengono anelli e superfici di caratteristica negativa: queste ultime non possono essere pi\`u di $-\chi(S_g) = 2g-2$. Quindi una multicurva su $S_g$ contiene al pi\`u $3g-3$ tipi diversi di omotopia di curve, e per ciascun tipo contiene un certo numero (arbitrariamente alto) di curve parallele: si veda ad esempio Fig.~\ref{multicurva:fig}.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 8 cm] {multicurva.pdf}
\nota{Una multicurva in $S_2$ contiene al pi\`u $3$ tipi distinti di omotopia di curve semplici chiuse, e per ciascuno di questi tipi un numero arbitrario di componenti parallele.} 
\label{multicurva:fig}
\end{center}
\end{figure}

Diciamo brevemente che due multicurve $\mu_1$ e $\mu_2$ sono \emph{isotope} se esiste una isotopia ambiente $F$ in $S_g$ tale che $F_1(\mu_1) = \mu_2$. 
Indichiamo con $\calM$ le classi di isotopia di multicurve nella superficie $S_g$ e definiamo l'\emph{intersezione geometrica} di due classi $m_1$, $m_2\in\calM$ come il numero naturale
$$i(m_1, m_2) = \min \big\{ \#(\mu_1\cap \mu_2) \ \big|\ \mu_1 \in m_1, \mu_2 \in m_2 \big\}.$$
Questa definizione estende la nozione di intersezione geometrica fra classi di curve semplici chiuse: l'intersezione geometrica fra curve era stata definita inizialmente sulle classi di \emph{omotopia} e non di isotopia, ma il Corollario \ref{omotopia:isotopia:cor} mostra che le due nozioni sono equivalenti per curve semplici chiuse. Due multicurve trasverse $\mu_1$ e $\mu_2$ sono in \emph{posizione minimale} se si intersecano in $i([\mu_1], [\mu_2])$ punti. Il criterio del bigono si estende facilmente alle multicurve.

\begin{prop}
Siano $\mu_1, \mu_2 \subset S_g$ multicurve in posizione trasversa. Vale l'uguaglianza
$$i([\mu_1], [\mu_2]) = 
\sum_{\tiny{\begin{array}{c} \gamma_1 \subset \mu_1 \\ \gamma_2 \subset \mu_2 \end{array}} }  
i([\gamma_1], [\gamma_2])$$
dove la somma \`e su tutte le componenti connesse $\gamma_1$ e $\gamma_2$ di $\mu_1$ e $\mu_2$. Le multicurve $\mu_1$ e $\mu_2$ sono in posizione minimale se e solo se non formano bigoni.
\end{prop}
\begin{proof}
Supponiamo che $\mu_1$ e $\mu_2$ siano in posizione minimale: allora non formano bigoni, quindi non ci sono bigoni neppure fra le componenti $\gamma_1$ e $\gamma_2$, e quindi per la Proposizione \ref{bigono:prop} anche tutte le componenti sono fra loro in posizione minimale. Questo dimostra l'equazione, e anche il fatto che se non ci sono bigoni le multicurve $\mu_1$ e $\mu_2$ sono in posizione minimale.
\end{proof}

Notiamo che $i(m,m)=0$: basta infatti prendere un rappresentante $\mu_1 \in m$ ed un altro rappresentante $\mu_2$ costruito a partire da $\mu_1$ traslando di poco ogni componente di $\mu_1$ in modo da non avere intersezioni fra $\mu_1$ e $\mu_2$. La posizione minimale fra due multicurve \`e unica a meno di isotopia ambiente:

\begin{prop} \label{minimale:unica:prop}
Siano $\mu_1, \mu_2$ e $\eta_1, \eta_2$ due coppie di multicurve in posizione minimale. Supponiamo che nessuna componente di $\mu_1$ sia isotopa ad una componente di $\mu_2$.
Se $\mu_i$ e $\eta_i$ sono isotope per ogni $i=1,2$ esiste una isotopia ambiente di $S_g$ che porta $\mu_1$ in $\eta_1$ e $\mu_2$ in $\eta_2$. 
\end{prop}
\begin{proof}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 11 cm] {minimale_unica.pdf}
\nota{Un bigono fra $\mu_2$ e $\eta_2$ interseca $\mu_1$ con archi come in figura e pu\`o essere rimosso con una isotopia ambiente che preserva $\mu_1$ (sinistra). Per ogni tipo di omotopia esistono $k$ curve in $\mu_2$ e $k$ in $\eta_2$ e tutte queste intersecano $\mu_1$ in archi come in figura (destra). }
\label{minimale_unica:fig}
\end{center}
\end{figure}

Esiste per ipotesi una isotopia ambiente che porta $\mu_1$ in $\eta_1$, quindi possiamo supporre che $\mu_1 = \eta_1$. Costruiamo adesso una isotopia ambiente che fissa $\mu_1$ e sposta $\mu_2$ in $\eta_2$. A meno di una piccola isotopia ambiente che fissa $\mu_1$ possiamo supporre che $\mu_2$ e $\eta_2$ si intersechino in modo trasverso. Se $\mu_2\cap \eta_2 \neq \emptyset$ allora ci sono dei bigoni come in Fig.~\ref{minimale_unica:fig}-(sinistra): la multicurva $\mu_1$ interseca il bigono in archi che congiungono i lati distinti del bigono come in figura (se congiungessero lo stesso lato $\mu_1$ formerebbe un bigono con $\mu_2$ o $\eta_2$, e ci\`o \`e escluso perch\'e sono in posizione minimale). \`E possibile eliminare il bigono con una isotopia ambiente che tenga fisso $\mu_1$ come mostrato in Fig.~\ref{minimale_unica:fig}-(sinistra).

A meno di isotopia ambiente abbiamo quindi $\mu_1=\eta_1$ e $\mu_2\cap \eta_2 = \emptyset$. Quindi $\mu_2 \cup \eta_2$ \`e una multicurva, e come tutte le multicurve contiene un numero finito di tipi di omotopia di curve, e per ciascun tipo un certo numero di curve parallele. Poich\'e $\mu_2$ e $\eta_2$ sono isotope, in ciascun tipo di omotopia c'\`e lo stesso numero $k$ di curve di $\mu_2$ e di $\eta_2$. Le $2k$ curve parallele formano un anello e intersecano $\mu_1$ in archi che congiungono bordi distinti dell'anello, come in Fig.~\ref{minimale_unica:fig}-(destra): se congiungessero lo stesso arco formerebbero bigoni, e il fatto che $\mu_1$ e $\mu_2$ non abbiano componenti isotope esclude che $\mu_1$ abbia componenti parallele al cuore dell'anello.

Per concludere \`e sufficiente costruire una isotopia ambiente supportata sull'anello, che sposti le $k$ componenti di $\mu_2$ sulle $k$ componenti di $\eta_2$ tenendo fissi gli archi di $\mu_1$. 
\end{proof}

\begin{cor}
Siano $\gamma_1, \gamma_2$ due curve semplici chiuse in $S_g$. Una metrica iperbolica su $S_g$ definisce due rappresentanti geodetici $\overline{\gamma_1}$ e $\overline{\gamma_2}$: la configurazione di $\overline{\gamma_1}\cup \overline{\gamma_2}$ in $S_g$ non dipende (a meno di isotopia ambiente) dalla metrica iperbolica scelta.
\end{cor}
\begin{proof}
Le due geodetiche $\overline{\gamma_1}$ e $\overline{\gamma_2}$ coincidono oppure sono in posizione minimale per ogni metrica, e quindi la loro configurazione \`e sempre la stessa a meno di isotopia per la proposizione precedente.
\end{proof}

\subsection{Il trucco di Alexander} \label{Alexander:subsection}
Abbiamo dimostrato che due curve semplici chiuse in $S_g$ sono omotope se e solo se sono isotope, adesso vogliamo mostrare un risultato analogo per i diffeomorfismi di $S_g$. Iniziamo considerando il disco.

\begin{prop}[Trucco di Alexander] Siano $\varphi, \psi\colon D^n \to D^n$ due diffeomorfismi che coincidono puntualmente in $\partial D^n$. Esiste una isotopia che collega $\varphi$ e $\psi$ che fissa puntualmente $\partial D^n$ ad ogni tempo $t$. 
\end{prop}
\begin{proof}
Prendendo $f=\varphi\circ \psi$ e $\id_{D^n}$, \`e sufficiente costruire una isotopia fra un diffeomorfismo $f$ che fissa puntualmente $\partial D^n$ e l'identit\`a. La funzione seguente svolge questo compito:
$$F(x,t) = \left\{ \begin{matrix} x & {\rm if \ } \|x\| \geqslant t, \\ t f\left(\frac xt \right) & {\rm if\  } \|x\| \leqslant t. \end{matrix} \right.$$
\end{proof}
Per $n=2$ \`e anche vero che c'\`e una isotopia \emph{liscia} che collega $\varphi$ e $\psi$, ma la dimostrazione \`e pi\`u complicata; in dimensione pi\`u alta l'esistenza di una isotopia liscia \`e un problema aperto (per $n=4$) e a volte falso (per infiniti valori di $n\geqslant 7$: questo fatto \`e legato all'esistenza di \emph{sfere esotiche}, cio\`e variet\`a differenziabili omeomorfe ma non diffeomorfe a $S^n$). Per evitare inutili complicazioni in questa trattazione non supponiamo mai che le isotopie siano lisce.

\subsection{Decomposizioni in pantaloni}
Sia $S_g$ una superficie di genere $g\geqslant 2$. Una \emph{decomposizione in pantaloni} in $S_g$ \`e una multicurva $\mu$ tale che tagliando $S_g$ lungo $\mu$ si ottengono solo superfici diffeomorfe ai pantaloni $S_{0,3}$.

\begin{prop}
Sia $S_g$ dotata di una metrica iperbolica e $\gamma_1,\ldots, \gamma_k$ una decomposizione in pantaloni di $S_g$. I rappresentanti geodetici $\overline {\gamma_1}, \ldots, \overline{\gamma_k}$ definiscono una decomposizione di $S_g$ in pantaloni iperbolici con bordo geodetico.
\end{prop}
\begin{proof}
Per il Corollario \ref{isotopia:geodetiche:cor} esiste una isotopia ambiente che porta $\gamma_1,\ldots, \gamma_k$ nei rappresentanti geodetici $\overline{\gamma_1}, \ldots, \overline{\gamma_k}$ che definiscono quindi ancora una decomposizione in pantaloni. Ciascun pantalone eredita una struttura di variet\`a iperbolica con bordo geodetico.
\end{proof}

Abbiamo quindi scoperto che la costruzione di metriche iperboliche su $S_g$ per incollamento di pantaloni geodetici \`e in realt\`a generale: qualsiasi metrica iperbolica pu\`o essere costruita in questo modo. Vedremo nella Sezione \ref{Teichmuller:section} come definire e parametrizzare adeguatamente lo spazio di tutte le metriche iperboliche su $S_g$. Intanto finiamo questa sezione con un risultato topologico.

\subsection{Omotopia e isotopia fra diffeomorfismi}
Due multicurve $\mu_1$, $\mu_2\subset S_g$ in posizione minimale \emph{riempiono} la superficie $S_g$ se $S_g\setminus (\mu_1 \cup \mu_2)$ \`e unione di poligoni. \`E facile costruire due multicurve che riempiono $S_g$, si veda ad esempio Fig.~\ref{decomposizione:fig}. 

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm] {decomposizione.pdf}
\nota{Due multicurve (blu e rosse) che riempiono $S_3$.}
\label{decomposizione:fig}
\end{center}
\end{figure}

Concludiamo la sezione mostrando il risultato seguente.

\begin{prop} \label{omotopi:isotopi:prop}
Due diffeomorfismi $\varphi, \psi\colon S_g \to S_g$ sono omotopi se e solo se sono isotopi.
\end{prop}
\begin{proof}
Fissiamo due multicurve $\mu_1$ e $\mu_2$ senza componenti parallele che riempiano $S_g$, come in Fig.~\ref{decomposizione:fig}. Le multicurve $\varphi(\mu_1)$ e $\psi(\mu_1)$ sono omotope e quindi sono isotope per il Lemma \ref{ambiente:lemma}, e analogamente sono isotope $\varphi(\mu_2)$ e $\psi(\mu_2)$. Entrambe le coppie $\varphi(\mu_1), \varphi(\mu_2)$ e $\psi(\mu_1), \psi(\mu_2)$ sono in posizione minimale, quindi per la Proposizione \ref{minimale:unica:prop} esiste una isotopia ambiente che porta la prima coppia nella seconda. A meno di questa isotopia ambiente possiamo quindi supporre che le mappe $\varphi$ e $\psi$ coincidano puntualmente sull'insieme $\mu_1\cup \mu_2$.

Le funzioni $\varphi$ e $\psi$ mandano i poligoni in $S_g\setminus (\mu_1\cup\mu_2)$ nei poligoni in $S_g \setminus \varphi(\mu_1 \cup \mu_2)$. Se le muticurve sono scelte come in Fig.~\ref{decomposizione:fig} ciascun poligono \`e determinato dalle componenti di $\mu_1$ e $\mu_2$ a lui adiacenti: ne segue che $\varphi$ e $\psi$ mandano ciascun poligono $P$ nello stesso poligono $\varphi(P) = \psi(P)$. Le due mappe $\varphi$ e $\psi$ coincidono inoltre puntualmente su $\partial P$ e per il trucco di Alexander esiste una isotopia fra $\varphi|_P$ e $\psi|_P$ che fissa puntualmente $\partial P$. Effettuando una isotopia su ogni poligono otteniamo finalmente una isotopia fra $\varphi$ e $\psi$.
\end{proof}

%\subsection{Equivalenza omotopica e diffeomorfismo}
%Noti teoremi di topologia differenziale mostrano che una mappa continua $f\colon M\to N$ fra variet\`a differenziabili \`e sempre omotopicamente equivalente ad una mappa liscia. La proposzione seguente mostra un fatto pi\`u forte per le superfici. Ricordiamo che una equivalenza omotopica $\varphi\colon X \to Y$ fra spazi topologici \`e una mappa continua tale che esiste un'altra mappa continua $\psi\colon Y \to X$, per cui $\varphi\circ \psi$ sia omotopa a $\id_Y$ e $\psi\circ\varphi$ sia omotopa a $\id_X$.

%\begin{prop}
%Ogni equivalenza omotopica $\varphi\colon S_g \to S_g$ \`e omotopa ad un diffeomorfismo.
%\end{prop}
%\begin{proof}
%Sia $\mu$ una decomposizione in pantaloni per $S_g$. A meno di omotopia possiamo supporre che $\varphi$ sia liscia e trasversa\footnote{Il teorema di trasversalit\`a asserisce che per ogni mappa liscia $\varphi\colon M\to N$ fra variet\`a differenziabili e ogni sottovariet\`a differenziabile $Y\subset N$ esiste una omotopia fra $\varphi$ e una nuova funzione liscia $\psi\colon M\to N$ che sia \emph{trasversa} a $Y$, cio\`e tale che ${\rm Im}(d\psi_x)+T_{f(x)}Y = T_{f(x)}N$. Questa condizione garantisce che $\psi^{-1}(Y)$ sia una sottovariet\`a differenziabile di $M$.} rispetto a $\varphi$. In questo modo la controimmagine $\varphi^{-1}(\mu)$ \`e una $1$-sottovariet\`a di $S_g$.

%Ogni componente connessa $\gamma$ di $\varphi^{-1}(\mu)$ \`e mappata su una componente $\varphi(\gamma)$ di $\mu$ con un certo grado\footnote{Una mappa $f:S^1 \to S^1$ \`e omotopa a $g(z) = z^n$ per un unico intero $n\in \matZ$ detto \emph{grado}.}. %Fra le mappe $\varphi$ di questo tipo, supponiamo che $\varphi$ sia una mappa che minimizza il numero di componenti di $\varphi^{-1}(\mu)$: mostriamo che con questa ipotesi anche $\varphi^{-1}(\mu)$ \`e una decomposizione in pantaloni.

%Il complementare $S_g\setminus \varphi^{-1}(\mu)$ contiene un numero finito di superfici. Supponiamo che una di queste sia un disco $D$: il bordo $\partial D$ \`e mappato in una componente di $\mu$

% contenga una componente $\gamma$ \`e omotopicamente banale allora borda un disco $D$ in $S_g$, 

%La curva $\gamma$ \`e omotopicamente non banale, perch\'e lo \`e $\varphi(\gamma)$. Una equivalenza omotopica $\varphi$ manda elementi primitivi di $[S^1,X]$ in elementi primitivi: quindi il rivestimento $\gamma \to \varphi(\gamma)$ \`e in realta \`un diffeomorfismo perch\'e $\gamma$ \`e un elemento primitivo per la Proposizione \ref{primitiva:prop}. In conclusione $\varphi^{-1}(\mu)$ \`e una multicurva, e $\mu$ manda ciascuna componente di $\varphi^{-1}(\mu)$ su una componente di $\mu$ tramite un diffeomorfismo.

%Se la multicurva $\varphi^{-1}(\mu)$ contiene due curve parallele, cio\`e che cobordano un anello $A$, queste vengono mandate necessariamente nella stessa curva $\eta$ in $\mu$. \`E quindi possibili modificare $\varphi$ con una omotopia in modo che mandi l'intero anello $A$ sulla curva

 
%\end{proof}


\section{Spazio di Teichm\"uller} \label{Teichmuller:section}
In questa sezione studiamo le metriche iperboliche che possono essere assegnate su una superficie $S_g$ di genere $g\geqslant 2$.

Fissiamo una decomposizione in $-\chi = 2g-2$ pantaloni per $S_g$. Le curve semplici chiuse della decomposizione sono $3g-3$. Come abbiamo visto nel Corollario \ref{ammette:cor}, se assegniamo a ciascuna curva un numero reale positivo, possiamo rappresentare ogni pantalone come l'unico pantalone iperbolico avente lunghezze di bordo proprio i tre numeri fissati. Pantaloni adiacenti hanno bordi della stessa lunghezza, e possono essere incollati tramite una isometria: le isometrie possibili formano il gruppo di Lie $S^1$. Nella costruzione abbiamo quindi due gradi di libert\`a per ogni curva: possiamo variare la sua lunghezza e la mappa di incollamento. Otteniamo quindi $6g-6 = -3\chi(S_g)$ gradi di libert\`a in totale. Per formalizzare rigorosamente tutto ci\`o introduciamo due definizioni importanti.

\begin{defn}
Lo \emph{spazio dei moduli} di $S_{g}$ \`e lo spazio delle metriche iperboliche su $S_{g}$ considerate a meno di isometria.

Lo \emph{spazio di Teichm\"uller} di $S_{g}$ \`e lo spazio delle metriche iperboliche su $S_{g}$, considerate a meno di isometrie isotope all'identit\`a.
\end{defn}

Lo spazio dei moduli \`e a prima vista l'oggetto pi\`u naturale da studiare. Lo spazio di Teichm\"uller ha per\`o una naturale topologia che lo rende (come vedremo) omeomorfo a $\matR^{-6g-6}$, mentre lo spazio dei moduli risulta essere topologicamente pi\`u complicato. Si preferisce quindi generalmente studiare innanzitutto lo spazio di Teichm\"uller, e quindi vedere lo spazio dei moduli come un quoziente di questo. 

\subsection{Terremoti}
Sia $h$ una metrica su una superficie orientata qualsiasi $S$ (con o senza bordo) e $\gamma\subset S$ una geodetica semplice chiusa interna, che non sia cio\`e una componente di bordo. Sia $\theta$ un numero reale arbitrario. Come abbiamo accennato sopra, \`e possibile \emph{torcere} la metrica $h$ di un angolo $\theta$ intorno a $\gamma$. Informalmente possiamo pensare di far scivolare una delle due componenti adiacenti a $\gamma$ di un angolo $\theta$ in senso antiorario.

Introduciamo questa operazione in modo pi\`u formale. Prendiamo un $\epsilon$-intorno di $\gamma$, cio\`e l'insieme dei punti di $S$ a distanza minore o uguale di $\epsilon$ da $\gamma$. Per $\epsilon$ sufficientemente piccolo questo intorno ha una naturale struttura prodotto $S^1 \times [-\epsilon, \epsilon]$ dove $S^1 \times 0$ \`e $\gamma$ e $p \times [-\epsilon, \epsilon]$ \`e un segmento lungo $2\epsilon$ ortogonale a $\gamma$ nel punto $p\in\gamma$ orientato in modo che $S^1\times [-\epsilon, \epsilon]$ abbia la stessa orientazione di $S$. Si veda Fig.~\ref{twist:fig}-(sinistra).

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm] {twist.pdf}
\nota{L'$\epsilon$-intorno di una geodetica $\gamma$, per $\epsilon$ sufficientemente piccolo, ha una naturale struttura prodotto $S^1\times [-\epsilon, \epsilon]$. Per definire una torsione lungo $\gamma$ si definisce una funzione che modifica i segmenti orizzontali come mostrato in figura.}
\label{twist:fig}
\end{center}
\end{figure}

Adesso scegliamo un diffeomorfismo $\varphi$ di $S^1\times [-\epsilon, \epsilon]$ che incurvi i segmenti come mostrato in Fig.~\ref{twist:fig}-(destra) di un angolo $\theta$. Pi\`u precisamente, sia $f\colon[-\epsilon, \epsilon] \to \matR$ una funzione liscia che valga zero in $[-\epsilon, -\frac\epsilon 2]$ e $\theta$ in $[\frac \epsilon 2,\epsilon]$. Sia $\varphi$ il diffeomorfismo definito da $\varphi(e^{i\alpha},t) = (e^{i(\alpha+f(t))},t)$.

Possiamo definire formalmente una nuova metrica $h_\theta$ su $S$ nel modo seguente: il tensore metrico $h_\theta$ coincide con $h$ in tutti i punti di $S$ esterni all'intorno $S^1\times [-\epsilon,\epsilon]$, mentre coincide su $S^1\times [-\epsilon, \epsilon]$ con il tensore $\varphi^*h$ ottenuto trasportando $h$ lungo $\varphi^{-1}$. L'operazione che modifica $h$ in $h_\theta$ \`e detta \emph{terremoto}.

\begin{prop} Il tensore metrico $h_\theta$ \`e ben definito e produce effettivamente una metrica iperbolica che dipende solo da $\gamma$ e $\theta$ a meno di isometrie isotope all'identit\`a.
\end{prop}
\begin{proof}
C'\`e solo da notare che su $S^1\times [\frac\epsilon 2, \epsilon]$ i tensori $h$ e $h_\theta$ in realt\`a coincidono, perch\'e la mappa $(e^{i\alpha},t)\mapsto (e^{i(\alpha+\theta)},t)$ \`e una isometria di $S^1\times [-\epsilon, \epsilon]$. Quindi $h_\theta$ si incolla bene ed \`e ovviamente iperbolica.

Nella definizione di $h_\theta$ abbiamo scelto una funzione $f$ in modo arbitrario. Se scegliamo un'altra funzione $f'$, il diffeomorfismo di $S$ che \`e l'identit\`a fuori da $S^1\times [-\epsilon, \epsilon]$ e manda $(e^{i\alpha},t)$ in $(e^{i(\alpha+f(t)-f'(t))},t)$ \`e una isometria fra le due metriche isotopa all'identit\`a.
\end{proof}

\subsection{Coordinate di Fenchel-Nielsen}
Per fissare una bigezione fra lo spazio di Teichm\"uller e $\matR^{-6g-6}$ \`e necessario fissare un ``sistema di riferimento''.\footnote{Allo stesso modo, per fissare un isomorfismo fra uno spazio vettoriale reale di dimensione $n$ e $\matR^n$ \`e necessario fissare una base.} Un sistema di riferimento in questo contesto \`e il dato di una orientazione per $S_g$ e due multicurve $\mu$ e $\nu$ in posizione minimale, tali che:

\begin{enumerate}
\item la multicurva $\mu$ \`e una decomposizione in pantaloni,
\item la multicurva $\nu$ decompone ogni pantalone in due esagoni.
\end{enumerate}
Un esempio di sistema di riferimento \`e mostrato in Fig.~\ref{decomposizione:fig}. Un sistema di riferimento induce una mappa
\begin{align*}
\FN\colon \Teich(S_g) & \longrightarrow \matR_{>0}^{3g-3} \times \matR^{3g-3} \\
h & \longmapsto  (l_1,\ldots, l_{3g-3}, \theta_1, \ldots, \theta_{3g-3})
\end{align*}
nel modo seguente. Siano $\gamma_1, \ldots, \gamma_{3g-3}$ le curve della decomposizione in pantaloni $\mu$. Sia $h\in \Teich(S_g)$ una metrica iperbolica per $S_g$. Questa induce dei rappresentanti geodetici $\overline {\gamma_1}, \ldots, \overline{\gamma_{3g-3}}$ per queste curve, che decompongono $S_g$ in pantaloni iperbolici geodetici. Definiamo $l_i = l(\overline{\gamma_i})\in\matR_{>0}$ la lunghezza della geodetica $\overline{\gamma_i}$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 11cm] {Teichmuller.pdf}
\nota{Una geodetica $\gamma_1$ con i due pantaloni adiacenti. Il parametro di torsione $t_1$ misura la distanza (nel rivestimento universale) fra due ortogeodetiche.}
\label{Teichmuller:fig}
\end{center}
\end{figure}

Abbiamo definito i parametri di \emph{lunghezza} $l_i$, ora definiamo i parametri di \emph{torsione} $\theta_j$: per questo scopo abbiamo bisogno della seconda multicurva $\nu$. Consideriamo una geodetica chiusa $\overline{\gamma_1}$. In Fig.~\ref{parametri:fig}-(sinistra) sono mostrati i due pantaloni geodetici adiacenti a $\overline{\gamma_1}$ (che potrebbero anche coincidere). La seconda multicurva $\eta$ interseca questi due pantaloni in quattro archi blu, di cui due $\lambda$, $\lambda'$ intersecano $\overline{\gamma_1}$: scegliamone uno, ad esempio $\lambda$. Fissiamo un sollevamento $\widetilde P\in\matH^2$ del punto $P=\overline{\gamma_1}\cap\lambda$ e da l\`\i\ solleviamo $\overline{\gamma_1}$ ad una geodetica $\widetilde{\gamma_1}$ e $\lambda$ ad una curva (non geodetica) $\widetilde\lambda$ che collega due sollevamenti $\widetilde{\gamma_2}$ e $\widetilde{\gamma_3}$ delle geodetiche chiuse $\overline{\gamma_2}$ e $\overline{\gamma_3}$. Si veda la Fig.~\ref{parametri:fig}-(destra).

Si tracciano come in figura le uniche ortogeodetiche che connettono $\widetilde{\gamma_1}$ a $\widetilde{\gamma_2}$ e a $\widetilde{\gamma_3}$. Il parametro di torsione $\theta_i$ associato a $\gamma_i$ \`e 
$$\theta_i = \frac {2\pi s_i}{l_i}$$
dove $s_i$ \`e la lunghezza del segmento di $\widetilde{\lambda_i}$ compreso tra le due ortogeodetiche. La lunghezza $s_i\in\matR$ \`e da considerare con segno: il segno \`e positivo se (come in figura) un osservatore che cammina lungo una ortogeodetica diretto verso $\widetilde{\gamma_i}$ vede l'altra ortogeodetica a sinistra.\footnote{Questa definizione usa il fatto che $S_g$ \`e orientata.} 

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 5cm] {Teichmuller2.pdf}
\nota{Scegliendo $\lambda'$ invece di $\lambda$ troviamo un segmento della stessa lunghezza $d_1$: entrambi i segmenti misurano infatti lo sfasamento fra due esagoni retti isometrici, i cui lati giacenti su $\widetilde{\gamma_1}$ sono entrambi della stessa lunghezza $\frac{l(\gamma_1)}2$.}
\label{Teichmuller2:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{teo}[Coordinate di Fenchel-Nielsen]
La mappa $\FN$ \`e ben definita ed \`e una biezione.
\end{teo}
\begin{proof}
Notiamo innanzitutto che nella definizione del parametro di torsione avremmo potuto scegliere $\lambda'$ al posto di $\lambda$, ma avremmo trovato la stessa lunghezza $d_1$, come mostrato in Fig.~\ref{Teichmuller2:fig}.

Sia $h' = \varphi^* h$ una metrica iperbolica isometrica ad $h$ tramite un diffeomorfismo $\varphi$ isotopo all'identit\`a. 

\end{proof}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm] {parametri.pdf}
\nota{Una torsione di un opportuno angolo $\theta$ permette di far combaciare le curve verdi minimizzando le intersezioni con le curve blu.}
\label{parametri:fig}
\end{center}
\end{figure}

La torsione $\theta_i$ di una metrica $h$ pu\`o essere interpretata nel modo seguente. Se torciamo la metrica su ogni geodetica $\gamma_i$ dell'angolo $\theta_i$ otteniamo una nuova metrica iperbolica $h'$ in cui tutte le ortogeodetiche combaciano come in Fig.~\ref{parametri:fig}-(destra) e se attaccate tutte insieme danno luogo a geodetiche chiuse nella superficie isotope alle curve verdi di tipo (2). I parametri $\theta_i$ indicano quindi in un certo senso la distanza da questa configurazione particolare, determinata dal sistema di riferimento scelto.
