\chapter{Superfici} \label{superfici:chapter}

\section{Curve su superfici}

Ricordiamo che una curva \`e una mappa liscia $\gamma\colon I \to M$ da un intervallo $I \subset \matR$ a valori in una variet\`a differenziabile $M$. Una \emph{curva chiusa} \`e una mappa liscia $\gamma\colon S^1 \to M$. Una curva (eventualmente chiusa) $\gamma$ \`e \emph{semplice} se \`e iniettiva e \emph{regolare} se $\gamma'(t)\neq 0$ per ogni $t$. L'immagine di una curva chiusa, semplice e regolare \`e una sottovariet\`a di $M$, diffeomorfa alla circonferenza $S^1$. 

Studiamo in questa sezione le curve chiuse in una superficie $S_g$, con un occhio di riguardo per le curve semplici: queste formano un insieme molto ricco e sono un utile strumento per analizzare le propriet\`a topologiche di $S_g$. Supporremo sempre implicitamente che le curve siano regolari. Di norma usiamo il simbolo $\gamma$ per indicare la curva $\gamma\colon S^1 \to M$, ma con un piccolo abuso di linguaggio indichiamo ogni tanto per semplicit\`a con $\gamma$ anche il suo supporto $\img(\gamma)$.

\subsection{Omotopia libera di curve}
Se $Y$ e $X$ sono due spazi topologici, il simbolo $[Y,X]$ indica l'insieme delle mappe continue da $Y$ in $X$, viste a meno di omotopia. Consideriamo qui il caso $Y=S^1$, studiamo cio\`e l'insieme $[S^1, X]$ di tutte le curve chiuse a meno di omotopia. 

Ricordiamo che un laccio in $(X,x_0)$ \`e una mappa continua $[0,1] \to X$ con $f(0)=f(1) = x_0$; tramite la funzione $t \mapsto e^{2\pi ti}$ possiamo identificare il segmento $[0,1]$ con estremi incollati e la circonferenza $S^1$ e reinterpretare lo stesso laccio come una mappa $S^1 \to X$. Otteniamo cos\`\i\ una mappa naturale $\pi_1(X,x_0) \to [S^1, X]$.

\begin{prop} \label{libera:prop}
Sia $X$ uno spazio connesso per archi e $x_0$ un punto base. La mappa naturale 
$$\pi_1(X,x_0) \to [S^1, X]$$
induce una corrispondenza biunivoca fra classi di coniugio di $\pi_1(X,y_0)$ e $[S^1,X]$.
\end{prop}
\begin{proof}
La mappa \`e suriettiva, perch\'e qualsiasi mappa da $S^1$ in $X$ pu\`o essere omotopata in modo da passare per $x_0$. 

Due lacci $\alpha, \alpha'$ con punto base $\alpha(1)=\alpha'(1)=x_0$ inducono lo stesso elemento in $[S^1, X]$ se e solo se sono collegati da una omotopia $H\colon S^1 \times [0,1] \to X$. L'omotopia \`e libera: la curva $\gamma\colon t\mapsto H(1,t)$ non \`e costantemente ferma in $x_0$, ma forma un altro laccio che parte e torna in $x_0$. L'omotopia $H$ induce facilmente una omotopia a estremi fissati fra $\alpha$ e $\gamma^{-1}\circ\alpha'\circ\gamma$. In altre parole, i lacci $\alpha$ e $\alpha'$ inducono lo stesso elemento in $[S^1, X]$ se e solo se sono coniugati in $\pi_1(X,x_0)$. \appunto{Fare disegno?}
\end{proof}

Una curva chiusa in $X$ \`e \emph{omotopicamente banale} se \`e omotopa ad una funzione costante. \begin{cor} Una curva chiusa $\gamma$ \`e omotopicamente banale se e solo se rappresenta l'elemento banale di $\pi_1(X,\gamma(1))$.
\end{cor}

Sia $p\colon\widetilde X\to X$ il rivestimento universale e $\Gamma$ il gruppo degli automorfismi di $p$. Fissando un punto base $x_0$ in $\widetilde{X}$ otteniamo l'usuale identificazione fra $\Gamma$ e $\pi_1\big(X,p(x_0)\big)$ nel modo seguente: per ogni $\varphi \in \Gamma$ si sceglie un arco qualsiasi da $x_0$ a $\varphi(x_0)$ e lo si compone con il rivestimento $p$, ottenendo un laccio in $X$ con punto base $p(x_0)$. 

La Proposizione \ref{libera:prop} fornisce quindi una corrispondenza biunivoca
\begin{equation} \label{coniugio:eqn}
\big\{\rm classi\ di\ coniugio\ di\ \Gamma \big\} \longleftrightarrow [S^1, X].
\end{equation}
Questa corrispondenza pu\`o essere descritta direttamente senza fissare un punto base nel modo seguente. Data $\varphi\in\Gamma$, si prende $x\in \widetilde X$ punto qualsiasi ed $\alpha$ arco qualsiasi che colleghi $x$ e $\varphi(x)$: la composizione $p\circ\alpha$ \`e una curva chiusa in $X$. 

\begin{prop} \label{no:base:prop}
La mappa $[\varphi] \mapsto [p\circ \alpha]$ definisce la corrispondenza (\ref{coniugio:eqn}).
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $\beta$ un arco in $\widetilde X$ da $x_0$ in $x$. Concatenando $\beta$, $\alpha$ e $\varphi\circ\beta$ si ottiene un arco $\gamma$ da $x_0$ in $\varphi(x_0)$. Componendo $\gamma$ con la proiezione $p$ si ottiene l'elemento di $\pi_1(M,p(x_0))$ corrispondente a $\varphi$ e $p\circ\gamma$ \`e liberamente omotopo a $p\circ\alpha$. \appunto{Altro disegno?}
\end{proof}

\subsection{Geodetiche chiuse}
Sia $p\colon \matR \to S^1$ la mappa $p(t) = e^{it}$. Una \emph{geodetica chiusa} in una variet\`a riemanniana $M$ \`e una mappa liscia $\alpha\colon S^1\to M$ tale che $\alpha\circ p\colon \matR\to M$ sia una geodetica non costante. Consideriamo implicitamente equivalenti due geodetiche chiuse $\alpha_1, \alpha_2$ tali che $\alpha_1(z) = \alpha_2(ze^{it})$ per qualche $t\in\matR$ fissato. Sostituendo $\alpha (z)$ con $\overline\alpha(z) = \alpha(\bar z)$ si cambia l'\emph{orientazione} della geodetica.

Notiamo che una geodetica chiusa non \`e necessariamente semplice.
\begin{prop} \label{avvolge:prop}
Sia $\gamma$ una geodetica chiusa in una variet\`a riemanniana $M$. Vale uno (ed uno solo) dei fatti seguenti.
\begin{enumerate}
\item la curva $\gamma$ \`e semplice,
\item la curva $\gamma$ si autointerseca solo trasversalmente in un numero finito di punti,
\item la curva $\gamma$ percorre una curva di tipo (1) o (2) un numero $k\geqslant 2$ di volte.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
Se la curva non \`e semplice, deve autointersecarsi. Se lo fa solo con tangenti diverse vale (2). Se lo fa anche con le stesse tangenti vale (3).
\end{proof}
Il numero naturale $k$ nel punto (3) \`e la \emph{molteplicit\`a} della geodetica. Una geodetica di molteplicit\`a $k$ \`e del tipo $\gamma (e^{it}) = \eta(e^{kit})$ per una geodetica $\eta$ che si autointerseca solo trasversalmente in un numero finito di punti.

\begin{prop}
Una geodetica chiusa in una variet\`a riemanniana $M$ \`e determinata dal suo supporto, dalla sua orientazione e dalla sua molteplicit\`a.
\end{prop}
\begin{proof}
Il supporto \`e immagine di una geodetica che si autointerseca solo trasversalmente ed ha una certa lunghezza $l$. Se la geodetica ha molteplicit\`a $k$, questa \`e lunga $kl$ ed ha quindi velocit\`a costante $\frac {kl}{2\pi}$. L'orientazione determina infine il verso del vettore velocit\`a in ogni punto.
\end{proof}

\subsection{Geodetiche chiuse nella sfera e nel toro}
Le geodetiche chiuse nella sfera $S^2$ sono facilmente identificabili.

\begin{prop}
Le geodetiche chiuse in $S^2$ sono i cerchi massimi, percorsi un certo numero di volte.
\end{prop}
\begin{proof}
Tutte le geodetiche di $S^2$ sono di questo tipo: preso un punto $p\in S^2$ ed un vettore direzione $v$, la geodetica descrive un cerchio massimo che ritorna in $p$ con direzione ancora $v$.
\end{proof}

Sul toro possiamo mettere varie metriche piatte.

\begin{prop}
Un toro piatto \`e isometrico a $\matR^2/_\Gamma$ per qualche gruppo discreto $\Gamma$ di traslazioni di $\matR^2$ isomorfo a $\matZ^2$.
\end{prop}
\begin{proof}
Una $n$-variet\`a piatta completa orientabile $M$ \`e isometrica a $\matR^n/_\Gamma$ per qualche gruppo discreto $\Gamma$ di isometrie di $\matR^n$ senza punti fissi che preservano l'orientazione. Le uniche isometrie di $\matR^2$ senza punti fissi che preservano l'orientazione del piano sono le traslazioni\footnote{Quelle che invertono l'orientazione sono tutte \emph{glissoriflessioni}, come nell'esempio della bottiglia di Klein mostrato nella Sezione \ref{piatte:subsection} del Capitolo \ref{varieta:chapter}. Una glissoriflessione \`e la composizione di una riflessione lungo un asse $r$ e di una traslazione parallela a $r$.}. Il gruppo $\Gamma$ \`e isomorfo al gruppo fondamentale di $M$, in questo caso $\matZ\times \matZ$.
\end{proof}

Poich\'e il gruppo di traslazioni di $\matR^2$ \`e canonicamente identificato con $\matR^2$, il gruppo $\Gamma$ \`e un sottogruppo discreto di $\matR^2$ isomorfo a $\matZ^2$. Un tale sottogruppo \`e detto \emph{reticolo}.

\begin{defn}Una \emph{traslazione} di vettore $v\in\matR$ su un toro piatto $T=\matR^2/_\Gamma$ \`e una isometria $T\to T$ definita nel modo seguente: la traslazione $x\mapsto x+v$ in $\matR^2$ commuta con $\Gamma$ e quindi passa come mappa al quoziente $T\to T$.
\end{defn}
Notiamo che il gruppo di isometrie $\Iso^+(T)$ di un toro piatto $T$ non \`e un gruppo di Lie discreto, perch\'e contiene famiglie continue di isometrie (le traslazioni). Una variet\`a riemanniana $M$ \`e \emph{omogenea} se per ogni coppia di punti $x,y \in M$ esiste una isometria di $M$ che manda $x$ in $y$. I modelli $S^n, \matR^n$ e $\matH^n$ sono tutti omogenei.

\begin{prop} Un toro piatto $T$ \`e omogeneo.
\end{prop}
\begin{proof}
Basta sollevare i punti in $\matR^2$ e prendere la traslazione di vettore $y-x$.
\end{proof}

Il toro $T$ ha gruppo fondamentale abeliano isomorfo a $\matZ \times \matZ$ e in un gruppo abeliano le classi di coniugio contengono un solo elemento. Per la Proposizione \ref{libera:prop} gli elementi in $[S^1, T]$ sono quindi in corrispondenza biunivoca con $\pi_1(T)$. 

\begin{prop} \label{omotopia:toro:prop}
Sia $T$ un toro con metrica piatta. Un elemento non banale in $[S^1, T]$ \`e rappresentato da una geodetica chiusa, unica a meno di traslazioni. L'elemento banale non \`e rappresentato da geodetiche chiuse.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $T = \matR^2/_\Gamma$ con $\Gamma < \matR^2$ gruppo di traslazioni. Una traslazione $v \in \Gamma$ ha una famiglia di rette parallele invarianti (tutte le rette parallele a $v$) che si proiettano su geodetiche chiuse in $T$ tutte parallele fra loro. 

D'altra parte, una geodetica chiusa $\gamma$ in $T$ si solleva ad un arco geodetico in $\matR^2$ che collega due punti $x_0$ e $\varphi(x_0)$ per una trasformazione $\varphi \in \Gamma$. La trasformazione preserva la retta $r$ passante per $x_0$ e $\varphi(x_0)$ ed \`e quindi una traslazione parallela a $r$.
\end{proof}

Passiamo a studiare le superfici iperboliche.

\subsection{Geodetiche chiuse in una variet\`a iperbolica}
Sia $M=\matH^n/_\Gamma$ una variet\`a iperbolica completa. La Proposizione \ref{no:base:prop} fornisce una corrispondenza biunivoca
$$\big\{\rm classi\ di\ coniugio\ di\ \Gamma \big\} \longleftrightarrow [S^1, M].$$
Due elementi coniugati di $\Gamma$ sono dello stesso tipo (banale, parabolico o iperbolico) e hanno lo stesso spostamento minimo (si veda la Sezione \ref{orosfere:subsection} nel Capitolo 1). Quindi ogni elemento di $[S^1,M]$ \`e di un tipo ben definito (banale, parabolico o iperbolico) e ha un ben definito spostamento minimo.

\begin{prop} \label{omotopia:prop}
Sia $M$ una variet\`a iperbolica completa.
Un elemento iperbolico di $[S^1,M]$ \`e rappresentato da un'unica geodetica chiusa, di lunghezza $d$ pari al suo spostamento minimo. Gli elementi banale e parabolici non sono rappresentati da geodetiche chiuse.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $M=\matH^n/_\Gamma$. Una isometria iperbolica $\varphi\in \Gamma$ ha un'unica geodetica invariante in $\matH^n$, l'asse, che si proietta su una geodetica chiusa di $M$ di lunghezza $d$. Due isometrie coniugate determinano la stessa geodetica chiusa in $M$. 

D'altra parte, una geodetica chiusa $\gamma$ in $M$ si solleva ad un arco geodetico in $\matH^n$ che collega due punti $x_0$ e $\varphi(x_0)$ per una trasformazione $\varphi\in \Gamma$. La trasformazione preserva tutta la retta passante per $x_0$ e $\varphi(x_0)$: le uniche isometrie (senza punti fissi) che preservano una geodetica in $\matH^n$ sono le iperboliche, e la geodetica \`e necessariamente l'asse.
\end{proof}

Otteniamo quindi una bigezione
$$\begin{Bmatrix}{\rm classi\ di\ coniugio\ iperboliche\ di\ } \Gamma \end{Bmatrix} \longleftrightarrow \begin{Bmatrix}{\rm geodetiche\ chiuse\ in\ } M \end{Bmatrix}.$$

\begin{cor} \label{geodetica:cor}
Sia $M$ una variet\`a iperbolica compatta. Ogni elemento non banale in $[S^1,M]$ \`e rappresentato da un'unica geodetica chiusa.
\end{cor}
\begin{proof}
Se $M=\matH^n/_\Gamma$ \`e compatto ogni elemento non banale in $\Gamma$ \`e iperbolico.
\end{proof}

\begin{prop}
Sia $M$ una variet\`a iperbolica compatta. Per ogni $L>0$ esiste un numero finito di geodetiche chiuse di lunghezza minore di $L$.
\end{prop}
\begin{proof}
Fissiamo un punto base $x_0 \in M = \matH^n/_\Gamma$. Supponiamo che ci siano infinite geodetiche chiuse $\gamma_1,\gamma_2,\ldots $ di lunghezza minore di $L$. 
Poich\'e $M$ \`e compatta esiste $D>0$ tale che due punti in $M$ sono sempre a distanza minore di $D$. Prendiamo per ogni $i\in\matN$ un arco $\alpha_i$ di lunghezza minore di $D$ che collega $x_0$ ad un punto qualsiasi di $\gamma_i$. 

Fissiamo una controimmagine $\widetilde{x_0}$ di $x_0$ in $\matH^n$. Per ogni $i$ solleviamo il concatenamento di $\alpha_i$ e $\gamma_i$ a partire da $\widetilde{x_0}$. Il sollevamento ha lunghezza minore di $D+L$ e contiene due punti (l'inizio e la fine del sollevamento di $\gamma_i$) collegati da una trasformazione iperbolica $\varphi_i$ corrispondente a $\gamma_i$.

Le trasformazioni $\varphi_i$ al variare di $i$ stanno in classi di coniugio diverse di $\Gamma$ perch\'e corrispondono a geodetiche distinte di $M$: in particolare le $\varphi_i$ sono tutte distinte. Consideriamo la palla $B = B(\widetilde{x_0}, D+L)$ e notiamo che $\varphi_i(B)\cap B \neq \emptyset$ per ogni $i\in\matN$: questo \`e assurdo perch\'e $B$ \`e relativamente compatta e $\Gamma$ agisce in modo propriamente discontinuo.
\end{proof}

Notiamo che, a differenza del toro, le superfici iperboliche $S_g$ non contengono traslazioni. 

\begin{cor} Una variet\`a iperbolica compatta $M$ non \`e omogenea.
\end{cor}
\begin{proof}
Un elemento non banale di $\pi_1(M)$ definisce una classe non banale in $[S^1,M]$ e quindi una geodetica chiusa $\gamma$ in $M$. Per la proposizione precedente esiste un numero finito $\gamma = \gamma_1,\ldots, \gamma_k$ di geodetiche aventi la stessa lunghezza di $\gamma$, e queste non possono certo ricoprire interamente $M$. Il gruppo $\Iso(M)$ permuta necessariamente questo insieme di geodetiche e quindi non pu\`o agire transitivamente sui punti di $M$.
\end{proof}

\subsection{Curve semplici chiuse omotopicamente banali e primitive}
Possiamo usare le propriet\`a geometriche delle metriche piatte e iperboliche per mostrare alcuni fatti topologici sulle superfici.
\begin{prop} \label{disco:prop}
Una curva semplice chiusa $\gamma$ in $S_g$ \`e omotopicamente banale se e solo se borda un disco.
\end{prop}
\begin{proof}
Tagliando la superficie lungo $\gamma$ si ottiene una superficie $S'$ con una o due componenti connesse avente la stessa caratteristica di $S_{g}$. Se si ottengono due componenti e una di queste \`e un disco siamo a posto. Altrimenti $S'$ \`e un anello oppure tutte le componenti di $S'$ hanno caratteristica negativa. 

Nel primo caso $S_g=S_1$ \`e un toro: possiamo assegnare all'anello $S'$ la metrica piatta prodotto $S^1 \times [0,1]$ e reincollare, ottenendo una metrica piatta sul toro iniziale in cui $\gamma$ \`e geodetica; questo contraddice la Proposizione \ref{omotopia:toro:prop} perch\'e $\gamma$ \`e omotopicamente banale. Il secondo caso \`e analogo: per il Corollario \ref{ammette:cor} nel Capitolo \ref{varieta:chapter} \`e possibile assegnare ad $S'$ una metrica iperbolica con componenti di bordo della stessa lunghezza. 
Queste componenti di bordo possono essere reincollate e generare una metrica iperbolica su $S_{g}$ in cui $\gamma$ \`e geodetica, contraddicendo la Proposizione \ref{omotopia:prop}. 
\end{proof}

Un elemento non banale $g$ di un gruppo $G$ \`e \emph{primitivo} se non pu\`o essere scritto come $g=h^n$, dove $n\geqslant 2$ \`e un numero naturale e $h\in G$. %Gli elementi primitivi di $\matZ\times \matZ$ sono le coppie $(p,q)$ di interi coprimi.
Se $X$ \`e uno spazio topologico connesso per archi, un elemento $a\in [S^1, X]$ \`e \emph{primitivo} se corrisponde ad elementi primitivi di $\pi_1(X)$ tramite la Proposizione \ref{libera:prop}.\footnote{La primitivit\`a \`e invariante per coniugio e quindi \`e ben definita in $[S^1,X]$.}

\begin{prop} \label{primitiva:prop}
Una curva semplice chiusa $\gamma$ in $S_g$ omotopicamente non banale rappresenta un elemento primitivo in $[S^1,S_g]$.
\end{prop}
\begin{proof}
Come nella dimostrazione della Proposizione \ref{disco:prop} possiamo costruire una metrica piatta (se $g=1$) o iperbolica (se $g\geqslant 2$) in cui $\gamma$ \`e geodetica. Supponiamo che $\gamma$ sia omotopa ad una curva $\eta$ percorsa $n\geqslant 2$ volte. Anche $\eta$ \`e omotopa ad una geodetica $\overline \eta$ per la Proposizione \ref{omotopia:toro:prop} o il Corollario \ref{geodetica:cor}: quindi $\gamma$ \`e omotopicamente equivalente a $\overline \eta$ percorsa $n$ volte. Quindi $\gamma$ \`e rappresentata da due geodetiche distinte: la curva semplice $\gamma$ e la curva non-semplice $n\overline \eta$. Questo \`e assurdo per l'unicit\`a delle geodetiche enunciata nelle Proposizioni \ref{omotopia:toro:prop} e \ref{omotopia:prop}.
\end{proof}

\begin{prop} \label{no:inverso:prop}
Sia $\gamma$ una curva chiusa omotopicamente non banale in $S_g$ e $\gamma'$ la stessa curva percorsa in senso inverso. Le curve $\gamma$ e $\gamma'$ non sono omotope.
\end{prop}
\begin{proof}
Se $g=1$ allora $\gamma$ e $\gamma'$ rappresentano due elementi opposti e quindi due classi di coniugio distinte in $\pi_1(S_1) =  \matZ \times \matZ$. Questo argomento funziona solo per il toro; l'argomento geometrico seguente invece funziona per ogni $g$.

Dotiamo $S_g$ di una metrica piatta o iperbolica. La curva $\gamma$ \`e omotopa ad una geodetica $\overline\gamma$ e ovviamente $\gamma'$ \`e omotopa alla stessa geodetica $\overline\gamma'$ percorsa in senso inverso: poich\'e le due geodetiche sono distinte (hanno verso opposto) anche a meno di traslazioni (se $g=1$), anche le classi di coniugio di $\gamma$ e $\gamma'$ sono distinte per l'unicit\`a delle geodetiche enunciata nelle Proposizioni \ref{omotopia:toro:prop} e \ref{omotopia:prop}.
\end{proof}

\subsection{Controimmagini di geodetiche}
Per studiare una geodetica chiusa in $S_g$ \`e spesso utile esaminare la sua controimmagine nel rivestimento universale. 

\begin{prop} \label{T:assi:prop}
Sia $\gamma$ una geodetica chiusa in un toro $T$ con metrica piatta. La controimmagine $p^{-1}(\gamma)$ nel rivestimento universale $p\colon \matR^2 \to T$ \`e unione di infinite rette parallele. Dopo averne fissata una, queste sono in naturale corrispondenza biunivoca con le classi laterali di $\gamma$ in $\pi_1(T)$. Otteniamo quindi una corrispondenza biunivoca:
$$\big\{{\rm rette\ in\ } p^{-1}(\gamma) \big\} \longleftrightarrow \pi_1(T)/_{\langle\gamma\rangle}.$$%\big\{{\rm trasformazioni\ in\ } \Gamma {\rm \ corrispondenti\ a\ } \gamma\big\}.$$
La geodetica $\gamma$ non ha autointersezioni trasverse.
\end{prop}
\begin{proof}
I sollevamenti di $\gamma$ sono geodetiche disgiunte e quindi necessariamente parallele. Preso un sollevamento, gli altri si ottengono traslando rispetto alle isometrie in $\pi_1(T)/_{\langle\gamma\rangle}$. Poich\'e $p$ \`e un rivestimento, autointersezioni tasverse di $\gamma$ determinano intersezioni trasverse di $p^{-1}(\gamma)$, ma le rette in $p^{-1}(\gamma)$ sono parallele.
\end{proof}

\appunto{Mettere disegno?}
In una variet\`a iperbolica la situazione \`e nettamente differente essenzialmente per due motivi: ogni trasformazione iperbolica ha una sola retta invariante e le trasformazioni non commutano. Notiamo inoltre che, a differenza del toro, in una variet\`a iperbolica una geodetica pu\`o autointersecarsi trasversalmente. Indichiamo con $C(\gamma)<\Gamma$ la classe di coniugio corrispondente ad una curva chiusa $\gamma$ secondo (\ref{coniugio:eqn}).

\begin{prop} \label{assi:prop}
Sia $\gamma$ una geodetica chiusa in una variet\`a iperbolica $M=\matH^n/_\Gamma$.
La controimmagine $p^{-1}(\gamma)$ nel rivestimento universale $p\colon \matH^n \to M$ \`e unione di rette, corrispondenti agli assi delle isometrie in $C(\gamma)$. Otteniamo quindi una corrispondenza biunivoca:
$$\big\{{\rm rette\ in\ } p^{-1}(\gamma) \big\} \longleftrightarrow C(\gamma).$$%\big\{{\rm trasformazioni\ in\ } \Gamma {\rm \ corrispondenti\ a\ } \gamma\big\}.$$
Le rette in $p^{-1}(\gamma)$ sono tutte disgiunte se e solo se $\gamma$ non ha autointersezioni trasverse. 
\end{prop}
\begin{proof}
Abbiamo gi\`a visto nella dimostrazione della Proposizione \ref{omotopia:prop} che i sollevamenti di $\gamma$ sono gli assi delle isometrie in $C(\gamma)$. Poich\'e $p$ \`e un rivestimento, autointersezioni tasverse di $\gamma$ determinano intersezioni trasverse di $p^{-1}(\gamma)$ e viceversa. 
%Dobbiamo solo dimostrare che elementi distinti nella classe di coniugio hanno assi distinti. Supponiamo che $\varphi_1$ e $\varphi_2$ siano elementi aventi lo stesso asse. Per ipotesi hanno lo stesso spostamento minimo $d$, pari alla lunghezza di $\gamma$. Una delle due trasformazioni $\varphi_1\circ \varphi_2$ o $\varphi_1\circ\varphi_2^{-1}$ fissa tutti i punti dell'asse, e deve quindi essere l'identit\`a perch\'e $\Gamma$ non contiene trasformazioni ellittiche non banali. Quindi $\varphi_1 = \varphi_2^{-1}$ oppure $\varphi_1 = \varphi_2$. Il primo caso \`e escluso dalla Proposizione \ref{no:inverso:prop}, quindi $\varphi_1=\varphi_2$.
\end{proof}


\subsection{Curve e geodetiche semplici}
Studiamo in questa sezione le geodetiche semplici in superfici piatte e iperboliche. 
Sappiamo gi\`a dalla Proposizione \ref{primitiva:prop} che una geodetica semplice chiusa deve essere primitiva: nel toro \`e vero anche l'opposto.

\begin{prop} \label{T:primitivo:prop}
Sia $T$ un toro piatto. Ogni elemento primitivo di $\pi_1(T)$ \`e rappresentato da una geodetica semplice chiusa.
\end{prop}
\begin{proof}
Sappiamo che le geodetiche in $T$ non si autointersecano trasversalmente, quindi sono semplici oppure avvolgono $n\geqslant 2$ volte geodetiche semplici. Il secondo caso \`e escluso se rappresentano un elemento primitivo in $[S^1,T]$.
\end{proof}

\begin{cor} \label{T:primitivo:cor}
Sia $T$ un toro piatto. Una curva semplice chiusa omotopicamente non banale in $T$ \`e omotopa ad una geodetica semplice chiusa.
\end{cor}
\begin{proof}
Se la curva \`e semplice allora \`e primitiva e se \`e primitiva \`e rappresentata da una geodetica.
\end{proof}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 9 cm] {toro32.pdf}
\nota{Sia $T= \matR^2/_{\matZ^2}$ il toro piatto standard. Una curva semplice chiusa che rappresenti un elemento primitivo $(p,q)\in\matZ^2 = \pi_1(T)$ \`e ottenuta proiettando la retta generata da $(p,q)\in\matR^2$ lungo il rivestimento. Qui $(p,q) = (3,2)$.}
\label{toro32:fig}
\end{center}
\end{figure}

%Gli elementi primitivi di $\pi_1(T) = \matZ\times \matZ$ sono le coppie $(p,q)$ di interi coprimi. 
La Fig.~\ref{toro32:fig} mostra una geodetica semplice chiusa nel toro piatto standard $\matR^2/_{\matZ^2}$.  In una superficie iperbolica l'identificazione delle geodetiche semplici chiuse \`e pi\`u complessa: per parlarne abbiamo bisogno di caratterizzare alcuni intorni delle geodetiche in $\matH^n$. 

Sia $Y\subset X$ un sottoinsieme di uno spazio metrico $X$ e $R>0$ un numero reale positivo. Un \emph{$R$-intorno} $N_R(Y)$ \`e ovviamente l'insieme dei punti di $X$ che distano al pi\`u $R$ da qualche punto di $X$. Gli $R$-intorni delle geodetiche nei modelli conformi dello spazio iperbolico hanno una forma particolarmente semplice.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 11.5 cm] {intorni.pdf}
\nota{Gli $R$-intorni di una geodetica $l$ nel semipiano (sinistra) e nel disco di Poincar\'e (destra).}
\label{intorni:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{prop} \label{banana:prop}
Sia $l\subset \matH^2$ una retta nel modello del disco o del semipiano. Un $R$-intorno di $l$ \`e delimitato da due rette (euclidee) o archi di circonferenza aventi gli stessi estremi di $\gamma$ come in Fig.~\ref{intorni:fig}.
\end{prop}
\begin{proof}
Se $l$ \`e una retta verticale nel semispazio con estremi in $0$ e $\infty$, il suo $R$-intorno \`e invariante per le isometrie del tipo $x\mapsto \lambda x$ e quindi \`e necessariamente un cono come in figura. Tutti gli altri casi seguono, perch\'e le isometrie agiscono transitivamente sulle rette e mandano le due rette in $\partial N_R(l)$ in rette o archi di circonferenza per il Corollario \ref{mandano:cor} dal Capitolo \ref{spazio:chapter}.
\end{proof}

In una superficie iperbolica non \`e pi\`u vero che un elemento primitivo di $[S^1,S_g]$ \`e rappresentato da una geodetica semplice, perch\'e questa pu\`o auto-intersecarsi in modo trasverso. \appunto{Mettere esempio}
Il Corollario \ref{T:primitivo:cor} si estende per\`o comunque anche alle superfici iperboliche.

\begin{prop} \label{semplice:prop}
Sia $S_g$ dotata di una metrica piatta o iperbolica. Una curva semplice chiusa omotopicamente non banale \`e omotopa ad una geodetica semplice chiusa. %e $\gamma$ una curva semplice chiusa omotopicamente non banale. L'unica geodetica chiusa $\overline \gamma$ omotopa a $\gamma$ \`e anch'essa semplice.
\end{prop}
\begin{proof}
Il caso piatto $g=1$ \`e gi\`a stato considerato nel Corollario \ref{T:primitivo:cor}, passiamo quindi al caso iperbolico $g\geqslant 2$.

Sia $\gamma$ una curva semplice chiusa in $S_g$. La controimmagine di $\gamma$ nel rivestimento universale $\matH^2$ \`e unione di curve semplici disgiunte, e la controimmagine di $\overline{\gamma}$ \`e unione di rette: mostriamo che anche queste sono disgiunte. L'omotopia fra $\gamma$ e $\overline{\gamma}$ si solleva ad una omotopia fra queste curve e queste rette. Poich\'e l'omotopia fra $\gamma$ e $\overline{\gamma}$ ha supporto compatto, esiste $R>0$ tale che ogni punto viene spostato durante tutta l'omotopia meno di $R$. Quindi ogni sollevamento di $\gamma$ \`e interamente contenuto in un $R$-intorno del corrispondente sollevamento di $\overline {\gamma}$ e per la Proposizione \ref{banana:prop} i due sollevamenti tendono agli stessi estremi in $\partial \matH^2$, come in Fig.~\ref{geodetica:fig}-(sinistra). 

\appunto{Fare dei colori rossi pi\`u tenui per la stampa BN}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 11.5 cm] {geodetica.pdf}
\nota{I sollevamenti di una curva (nera) e del suo rappresentante geodetico (rosso) hanno gli stessi estremi in $\partial \matH^n$ (sinistra). Se due rette geodetiche si intersecano in un punto, anche le curve ad esse omotope devono intersecarsi in almeno un punto (destra).}
\label{geodetica:fig}
\end{center}
\end{figure}

Se due rette nella controimmagine di $\overline{\gamma}$ si intersecano in un punto, i loro estremi in $\partial\matH^2$ sono concatenati\footnote{Due coppie $\{A,B\}$ e $\{C,D\}$ di punti distinti in una circonferenza $S^1$ sono \emph{concatenate} se ciascuno dei due archi con estremi in $A$ e $B$ interseca l'insieme $\{C,D\}$.} e quindi devono intersecarsi anche le corrispondenti curve sollevamenti di $\gamma$, perch\'e hanno gli stessi estremi: si veda Fig.~\ref{geodetica:fig}-(destra). Questo \`e contrario alle ipotesi: i sollevamenti di $\overline \gamma$ quindi non si intersecano mai trasversalmente in un punto, e ne segue che $\overline \gamma$ non ha punti di autointersezione trasversa. Per la Proposizione \ref{avvolge:prop} la geodetica chiusa $\overline \gamma$ \`e semplice oppure si avvolge pi\`u volte su un'altra geodetica chiusa semplice $\eta$: la seconda possibilit\`a \`e per\`o esclusa dalla Proposizione \ref{primitiva:prop}.
\end{proof}

Vogliamo ora studiare le intersezioni fra curve semplici chiuse in una superficie. 
Per fare ci\`o avremo bisogno di un paio di risultati sulle isometrie di $\matH^n$. 

\subsection{Isometrie che commutano o generano gruppi discreti}
Indichiamo con $\Fix(\varphi)$ i punti fissi in $\overline{\matH^n}$ di una isometria $\varphi$. Ricordiamo che se $\varphi$ \`e parabolica o iperbolica l'insieme $\Fix(\varphi)$ consta di uno o due punti fissi in $\partial \matH^n$.

\begin{lemma}
Siano $\varphi_1,\varphi_2\in\Iso(\matH^n)$ due isometrie iperboliche o paraboliche. Se commutano allora $\Fix(\varphi_1) = \Fix(\varphi_2)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Se commutano, l'isometria $\varphi_1$ agisce su $\Fix(\varphi_2)$ e viceversa. Se $\varphi_2$ \`e iperbolica, allora $\Fix(\varphi_2)=\{p,q\}$ e $\varphi_1$ fissa la retta con estremi $p$ e $q$, quindi \`e anch'essa iperbolica con $\Fix(\varphi_1)=\{p,q\}$. Se $\varphi_1$ e $\varphi_2$ sono paraboliche allora hanno un solo punto fisso e quindi necessariamente $\Fix(\varphi_1) = \Fix(\varphi_2)$.
\end{proof}

\begin{lemma} \label{fissi:lemma}
Siano $\varphi_1,\varphi_2\in\Iso(\matH^n)$ due isometrie che generano un sottogruppo discreto $\Gamma < \Iso (\matH^n)$ che non contiene elementi ellittici non banali. Valgono i fatti seguenti:
\begin{enumerate}
\item  se $\varphi_1$ \`e iperbolica e $\varphi_2$ parabolica allora $\Fix(\varphi_1)\cap \Fix(\varphi_2) = \emptyset$.
\item se $\varphi_1$ e $\varphi_2$ sono entrambe iperboliche allora $\Fix(\varphi_1) \cap \Fix(\varphi_2) = \emptyset$ oppure $\Fix(\varphi_1) = \Fix(\varphi_2)$ ed esiste $\varphi \in \Gamma$ tale che $\varphi_1 = \varphi^{k_1}, \varphi_2 = \varphi^{k_2}$ per qualche $k_1, k_2\in\matZ$.
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
Mostriamo (1) usando il modello del semispazio, supponendo per assurdo che $\infty$ sia punto fisso per entrambe $\varphi_1$ e $\varphi_2$ e che $0$ sia l'altro punto fisso per $\varphi_1$. Dalla Proposizione \ref{tre:prop} del Capitolo \ref{spazio:chapter} ricaviamo $\varphi_1(x,t) = \lambda(Ax,t)$ e $\varphi_2(x,t) = (A'x+b, t)$ con $A, A' \in O(n-1)$ e $\lambda \neq 1$. Quindi 
\begin{align*}
\varphi_1^n\circ \varphi_2\circ  \varphi_1^{-n}(x,t) & = \varphi_1^n\big(A'(\lambda^{-n}A^{-n}x)+b,\lambda^{-n}t)  = \Big(\lambda^n A^n \big(A'(\lambda^{-n}A^{-n}x)+b\big), t\Big) \\
& = \big(A^nA'A^{-n}x + \lambda^n A^nb , t\big).
\end{align*}
A meno di scambiare $\varphi_1$ con $\varphi_1^{-1}$ possiamo supporre che $\lambda < 1$ e otteniamo 
$$\lim_{n\to \infty} \varphi_1^n \circ \varphi_2 \circ \varphi_1^{-n}(0,t) = 
\lim_{n\to \infty} \left(\lambda^nA^nb, t\right) = (0,t).$$
Il sottogruppo $\Gamma$ quindi non \`e discreto, perch\'e non agisce in modo propriamente discontinuo. 

Dimostriamo (2). Supponiamo che $\varphi_1$ e $\varphi_2$ fissino $\infty$ e abbiano spostamento minimo $d_1$ e $d_2$, definiti con segno positivo se $\infty$ \`e attrattore e negativo se \`e repulsore. Indichiamo con $O_t$ l'orosfera ad altezza $t$. Abbiamo $\varphi_i (O_t) = O_{e^{d_i}t}$, quindi il commutatore 
$$[\varphi_1,\varphi_2] = \varphi_2\circ \varphi_1 \circ \varphi_2^{-1} \circ \varphi_1^{-1}$$
fissa ogni orosfera $O_t$. Quindi $[\varphi_1,\varphi_2]\in \Gamma$ \`e parabolico con punto fisso $\infty$ oppure banale: il primo caso \`e escluso da (1); nel secondo caso il lemma precedente mostra che $\varphi_1$ e $\varphi_2$ hanno lo stesso asse $r$. Poich\'e $\Gamma$ non contiene elementi ellittici non banali, agisce come traslazioni su $r$ in modo libero e propriamente discontinuo. Un tale gruppo di traslazioni di una retta $r$ \`e necessariamente isomorfo a $\matZ$: quindi $\varphi_1$ e $\varphi_2$ sono generati dallo stesso elemento $\varphi\in\Gamma$.
\end{proof}

\begin{cor} 
Sia $\matH^n/_\Gamma$ una variet\`a iperbolica completa. Gli assi in $\matH^n$ di due isometrie iperboliche in $\Gamma$ sono incidenti o ultraparalleli (non sono mai asintoticamente paralleli). 
\end{cor}

\subsection{Intersezioni fra curve semplici chiuse}
Passiamo a studiare le intersezioni fra curve semplici chiuse. Diciamo che una classe di omotopia $g\in [S^1,M]$ \`e \emph{semplice} se \`e rappresentata da una curva semplice chiusa. %In una variet\`a $M$ di dimensione $n\geqslant 3$ tutte le classi sono semplici, in una superficie no. Per la Proposizione \ref{primitiva:prop} una classe semplice deve essere primitiva.

\begin{defn} Siano $g_1, g_2\in [S^1, S]$ due classi semplici di omotopia in una superficie orientabile $S$. Definiamo la loro \emph{intersezione geometrica} come
$$i(g_1, g_2) = \min \big\{ \#(\gamma_1\cap \gamma_2) \ \big|\ \gamma_1 \in g_1, \gamma_2 \in g_2 \big\}$$
al variare di $\gamma_1$ e $\gamma_2$ fra le curve semplici chiuse nelle classi $g_1$ e $g_2$ che si intersecano trasversalmente. 
\end{defn}

Ricordiamo che due curve semplici $\gamma_1,\gamma_2$ si intersecano trasversalmente se le loro tangenti in ogni punto di intersezione sono non-parallele.\footnote{L'ipotesi di trasversalit\`a in verit\`a non ha nessun effetto nella definizione di $i(g_1,g_2)$, ma la assumiamo per semplicit\`a.} Due curve semplici chiuse trasverse si intersecano in un numero finito di punti. Indichiamo per semplicit\`a con $i(\gamma_1,\gamma_2)$ l'intersezione geometrica delle classi di omotopia contenenti le curve $\gamma_1$ e $\gamma_2$.

Diciamo che due curve $\gamma_1$ e $\gamma_2$ in $S_g$ sono \emph{parallele} se hanno supporti disgiunti che cobordano una sottosuperficie di $S_g$ diffeomorfa all'anello $S_{0,2}$. 

\begin{prop} Vale $i(\gamma,\gamma)=0$ per ogni curva semplice chiusa $\gamma$ in $S_g$.
\end{prop}
\begin{proof}
Il supporto di $\gamma$ \`e una 1-sottovariet\`a compatta connessa di $S_g$ ed ha quindi un intorno tubolare diffeomorfo a $S^1\times [-1,1]$; \`e quindi possibile scegliere due curve omotope a $\gamma$ parallele $S^1\times \left\{-\frac {1}2\right\}$ e $S^1 \times \left\{\frac 12\right\}$. Le due curve parallele non si intersecano e quindi $i(\gamma, \gamma)=0$.\footnote{Se estendiamo la definizione di intersezione geometrica a superfici non orientabili l'intorno tubolare di una curva $\gamma$ pu\`o essere un nastro di M\"obius ed in questo caso otteniamo $i(g,g)=1$.}
\end{proof}

\subsection{Criterio del bigono}
Due curve semplici chiuse $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono \emph{in posizione minimale} se si intersecano trasversalmente in $i(\gamma_1,\gamma_2)$ punti. Il complementare di due curve semplici chiuse trasverse in $S$ \`e l'unione disgiunta di un insieme finito di aperti in $S$ con bordo poligonale; un tale aperto \`e un \emph{bigono} se \`e un disco con due lati come in Fig.~\ref{bigono:fig}. Il seguente criterio \`e uno strumento semplice e molto utile per determinare l'intersezione geometrica di due curve.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 4 cm] {bigono.pdf}
\nota{Due curve $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono in posizione minimale se e solo se non creano bigoni.}
\label{bigono:fig}
\end{center}
\end{figure}

\appunto{Mettere toro}
\begin{prop}[Criterio del bigono] \label{bigono:prop}
Due curve semplici chiuse trasverse $\gamma_1,\gamma_2$ in $S_g$ sono in posizione minimale se e solo se non creano bigoni.
\end{prop}
\begin{proof}
Se $\gamma_1$ e $\gamma_2$ formano un bigono, le omotopie descritte in Fig.~\ref{bigono_proof:fig}-(sinistra) trasformano $\gamma_1$ e $\gamma_2$ in due nuove curve che si intersecano in due punti in meno: quindi $\gamma_1$ e $\gamma_2$ non sono in posizione minimale.

Supponiamo adesso che $\gamma_1$ e $\gamma_2$ non formino bigoni: dobbiamo mostrare che sono in posizione minimale. Consideriamo innanzitutto il caso in cui una delle curve (ad esempio $\gamma_1$) sia banale. Per la Proposizione \ref{disco:prop} la curva $\gamma_1$ borda un disco $D$ e $\gamma_2$ interseca $D$ in archi come in Fig.~\ref{bigono_proof:fig}-(destra). Se non c'\`e neanche un arco allora $\gamma_1\cap \gamma_2 = \emptyset$ e le due curve sono in posizione minimale. Se c'\`e almeno un arco, gli estremi degli archi in $\partial D$ si annidano, ed esiste sempre una coppia di estremi \emph{innermost} (cio\`e pi\`u interni di tutti: bordano un arco in $\partial D$ che non contiene altri estremi). Due estremi innermost determinano un bigono (in Fig.~\ref{bigono_proof:fig}-(destra) ce ne sono tre): assurdo.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 9 cm] {bigono_proof.pdf}
\nota{Un bigono pu\`o essere eliminato con una omotopia che riduce il numero di intersezioni (sinistra). Se $\gamma_1$ borda un disco e $\gamma_2$ interseca $\gamma_1$, esiste necessariamente un bigono (destra).}
\label{bigono_proof:fig}
\end{center}
\end{figure}

Passiamo a considerare il caso in cui $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono entrambe omotopicamente non banali. Fissiamo su $S_g$ una metrica piatta o iperbolica arbitraria. Per la Proposizione \ref{semplice:prop} le due curve sono omotopicamente equivalenti a delle geodetiche semplici chiuse $\overline{\gamma_1}$ e $\overline{\gamma_2}$. %Poich\'e l'omotopia fra $\gamma_i$ e $\overline{\gamma_i}$ \`e a supporto compatto, sposta tutti i punti ad una distanza minore di un certo $M>0$; questa si solleva ad una omotopia fra
I sollevamenti di $\gamma_i$ e $\overline{\gamma_i}$ in $\matR^2$ o $\matH^2$ sono curve e rette e
abbiamo gi\`a visto nella dimostrazione della Proposizione \ref{semplice:prop} che esiste un $R>0$ per cui ogni curva sta nel $R$-intorno di una retta corrispondente. Nel caso iperbolico questo implica che curve e rette hanno gli stessi estremi in $\partial \matH^2$, come in Fig.~\ref{geodetiche0:fig}-(sinistra). 

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10 cm] {geodetiche0.pdf}
\nota{I sollevamenti di $\gamma_i$ e $\overline{\gamma_i}$ hanno distanza uniformemente limitata e tendono quindi agli stessi punti al bordo (sinistra). Due curve che si intersecano in pi\`u di un punto formano un bigono (destra).} 
\label{geodetiche0:fig}
\end{center}
\end{figure}

Mostriamo adesso che due sollevamenti $\widetilde \gamma_1$ e $\widetilde \gamma_2$ di $\gamma_1$ e $\gamma_2$ si intersecano al pi\`u in un punto. Se si intersecano in pi\`u punti, un argomento \emph{innermost} come quello gi\`a descritto mostra che formano un bigono $D$ in $\matR^2$ o $\matH^2$ come in Fig.~\ref{geodetiche0:fig}-(destra). \`E facile verificare che il bigono in $\matR^2$ o $\matH^2$ determina un bigono in $S$: i due vertici di $D$ sono proiettati su punti distinti di $\gamma_1\cap\gamma_2$ perch\'e si intersecano con orientazioni opposte, mentre gli automorfismi del rivestimento mantengono sempre l'orientazione di $\matR^2$ o $\matH^2$ (perch\'e $S_g$ \`e orientabile). Anche i due archi di $D$ sono proiettati iniettivamente su due archi in $S_g$ e quindi tutto $D$ \`e proiettato iniettivamente su un bigono in $S_g$, assurdo.

Calcoliamo adesso i punti di intersezione fra $\gamma_1$ e $\gamma_2$ nel rivestimento universale. Consideriamo prima il caso del toro $S_1 = T$. Per la Proposizione \ref{T:assi:prop} le controimmagini di $\overline{\gamma_1}$ e $\overline{\gamma_2}$ sono due insiemi di rette parallele con pendenze diverse, corrispondenti agli elementi in $\pi_1(T)/_{\langle \gamma_1 \rangle}$ e in $\pi_1(T)/_{\langle \gamma_2 \rangle}$. Due sollevamenti di $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono due curve che si muovono a distanza limitata da due rette incidenti e quindi sono anch'esse incidenti, in un punto solo per quanto abbiamo appena visto. \appunto{Figura?} Abbiamo stabilito due corrispondenze biunivoche
$$p^{-1}(\gamma_1) \cap p^{-1}(\gamma_2) \longleftrightarrow p^{-1}(\overline{\gamma_1}) \cap p^{-1}(\overline{\gamma_2}) \longleftrightarrow \pi_1(T)/_{\langle \gamma_1\rangle} \times \pi_1(T)/_{\langle \gamma_2 \rangle}.$$
Queste corrispondenze biunivoche sono $\pi_1(T)$-equivarianti. Quozientando per l'azione di $\pi_1(T)$ otteniamo
$$\gamma_1 \cap \gamma_2 \longleftrightarrow \overline{\gamma_1} \cap \overline{\gamma_2} \longleftrightarrow \pi_1(T)/_{\langle\gamma_1, \gamma_2 \rangle}.$$
Questo insieme ha una cardinalit\`a $N$ che dipende solo dal tipo di omotopia di $\gamma_1$ e $\gamma_2$. Quindi due curve omotope a $\gamma_1$ e $\gamma_2$ avranno sempre almeno queste $N$ intersezioni e ne segue che $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono in posizione minimale.

L'argomento per $g\geqslant 2$ \`e analogo. Sia $\Gamma<\Iso^+(\matH^2)$ il gruppo di automorfismi del rivestimento $p\colon \matH^2\to S_g$. Per la Proposizione \ref{assi:prop} le rette in $p^{-1}(\overline{\gamma_i})$ sono gli assi delle isometrie iperboliche nella classe di coniugio $C(\gamma_i) \subset \Gamma$ corrispondente a $\gamma_i$. Per il Lemma \ref{fissi:lemma}-(2) assi distinti hanno estremi disgiunti in $\partial\matH^2$: quindi due sollevamenti di $\gamma_1$ e $\gamma_2$ si intersecano (in un punto solo) se e solo se si intersecano (sempre in un punto solo) i corrispondenti sollevamenti di $\overline{\gamma_1}$ e $\overline{\gamma_2}$ e questo accade se e solo se gli estremi delle due rette in $\matH^2$ sono concatenati in $\partial \matH^2$. Abbiamo stabilito una corrispondenza biunivoca fra gli insiemi
$$p^{-1}(\gamma_1) \cap p^{-1}(\gamma_2) \longleftrightarrow p^{-1}(\overline{\gamma_1}) \cap p^{-1}(\overline{\gamma_2}) \longleftrightarrow X$$
con
$$X = \big\{(\varphi_1,\varphi_2) \in C(\gamma_1) \times C(\gamma_2) \ \big| 
\ \Fix(\varphi_1) \ {\rm e}\ \Fix(\varphi_2) \ {\rm sono\ concatenati} \big\}.$$
Le corrispondenze biunivoche sono $\Gamma$-equivarianti. Quozientando per l'azione di $\Gamma$ otteniamo
$$\gamma_1 \cap \gamma_2 \longleftrightarrow \overline{\gamma_1} \cap \overline{\gamma_2} \longleftrightarrow X/_\Gamma.$$
%L'insieme $\gamma_1\cap\gamma_2$ \`e quindi in naturale corrispondenza biunivoca con $X/_\sim$ dove $\sim$ \`e la relazione di equivalenza sulle coppie $(\varphi_1, \varphi_2)$ generata dall'azione diagonale per coniugio di $\Gamma$.\footnote{In questa azione $g\in \Gamma$ manda $(\varphi_1, \varphi_2)$ in $(g^{-1}\varphi_1 g, g^{-1}\varphi_2 g)$.}
La cardinalit\`a $N$ di questo insieme dipende solo dal tipo di omotopia di $\gamma_1$ e $\gamma_2$. Quindi due curve omotope a $\gamma_1$ e $\gamma_2$ avranno sempre almeno queste $N$ intersezioni, e ne segue che $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono in posizione minimale.
\end{proof}

Nell'ultimo paragrafo abbiamo implicitamente dimostrato che due geodetiche semplici chiuse con supporti distinti sono sempre in posizione minimale. Possiamo comunque fornire una breve dimostrazione alternativa.

\begin{cor} \label{geodetiche:cor}
Sia $S_g$ dotata di una metrica piatta o iperbolica. Due geodetiche semplici chiuse con supporti distinti sono sempre in posizione minimale.
\end{cor}
\begin{proof}
Due geodetiche chiuse con supporti distinti si intersecano in modo trasverso. Sia $p\colon \matR^2 \to S_1$ oppure $p\colon \matH^2 \to S_g$ il rivestimento universale. Se due geodetiche semplici chiuse distinte $\gamma_1$ e $\gamma_2$ non sono in posizione minimale formano un bigono in $S_g$, che si solleva ad un bigono formato dalle loro controimmagini $p^{-1}(\gamma_1)$ e $p^{-1}(\gamma_2)$: assurdo, perch\'e due rette in $\matR^2$ o $\matH^2$ si intersecano al pi\`u in un punto solo.
\end{proof}

Abbiamo anche gi\`a implicitamente calcolato la funzione di intersezione sul toro $T$. Fissiamo una identificazione $\pi_1(T) = \matZ \times \matZ$. Poich\'e le classi semplici di $[S^1,T]$ corrispondono agli elementi primitivi di $\pi_1(T)$ possiamo indicare ogni classe semplice di $[S^1,T]$ come una coppia
$(p,q)\in \matZ\times\matZ$ di interi coprimi.

\begin{prop}
Vale la formula
$$i\big((p,q), (r,s) \big) = \left|\det \begin{pmatrix} p & r \\ q & s \end{pmatrix}\right|.$$
\end{prop}
\begin{proof}
Abbiamo visto nella dimostrazione della Proposizione \ref{bigono:prop} che 
$$i(\gamma_1, \gamma_2) = \# \left(\pi_1(T)/_{\langle\gamma_1, \gamma_2 \rangle}\right).$$ 
Qui otteniamo 
$$i\big((p,q), (r,s) \big) = \# \left(\matZ \times \matZ /_{(p,q), (r,s)} \right) = \left|\det \begin{pmatrix} p & r \\ q & s \end{pmatrix}\right|.$$
Per dimostrare questa uguaglianza basta considerare il caso $(p,q)=(1,0)$, visto che entrambi i membri non variano per un cambiamento di coordinate in $\matZ\times\matZ$ che porti $(p,q)$ in $(1,0)$.
\end{proof}

\subsection{Omotopia e isotopia fra curve}
Mostriamo in questa sezione che due curve semplici chiuse $\gamma_1$ e $\gamma_2$ in $S_g$ sono omotopicamente equivalenti se e solo se sono collegate da una isotopia ambiente, cio\` e esiste un diffeomorfismo $\varphi$ di $S_g$ isotopo all'identit\`a per cui $\gamma_2=\varphi\circ\gamma_1$. Iniziamo con alcuni lemmi.

\begin{lemma} \label{parallele:lemma}
Siano $\gamma_1$ e $\gamma_2$ due curve omotopicamente non banali in $S_g$. Se sono disgiunte e omotopicamente equivalenti allora sono parallele.
\end{lemma}
\begin{proof}
Tagliamo $S_g$ lungo $\gamma_1\cup \gamma_2$. Non otteniamo dischi perch\'e le curve sono omotopicamente non banali e se otteniamo un anello le curve sono parallele. Resta da considerare il caso in cui otteniamo una o due superfici con caratteristica negativa: possiamo assegnare a queste superfici una metrica iperbolica con bordi di lunghezza 1 e reincollare, e ottenere cos\`\i\ una metrica iperbolica su $S_g$ in cui $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono geodetiche omotope ma distinte, assurdo.
\end{proof}

Diciamo che due diffeomorfismi di $S^1$ sono \emph{coorientati} se entrambi preservano (o entrambi invertono) l'orientazione di $S^1$.
\begin{lemma} \label{diffeo:isotopi:lemma}
Due diffeomorfismi di $S^1$ coorientati sono isotopi.
\end{lemma}
\begin{proof}
Siano $f_0$ e $f_1$ due diffeomorfismi coorientati di $S^1$, che identifichiamo con il gruppo additivo $\matR/_{2\pi \matZ}$. La derivata di $f_0$ e $f_1$ \`e sempre positiva (se preservano l'orientazione) o sempre negativa (se la invertono). L'interpolazione $f_t = (1-t)f_0 + tf_1$ continua ad avere sempre derivata positiva (o negativa), ed \`e quindi anch'essa un diffeomorfismo di $S^1$, per ogni $t$. La famiglia $f_t$ \`e quindi una isotopia.
\end{proof}

Esistono teoremi generali che sostengono che (sotto ipotesi ragionevoli) mappe isotope sono sempre collegate da isotopia ambiente. Dimostriamo l'unico caso che ci serve.

\begin{lemma} \label{supporto:lemma}
Siano $\gamma_1$ e $\gamma_2$ due curve semplici chiuse in una superficie orientabile $S$ aventi la stessa orientazione e lo stesso supporto. Sia $U$ un intorno di questo supporto. Esiste una isotopia ambiente che porta $\gamma_1$ in $\gamma_2$ e fissa tutti i punti non contenuti in $U$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Sappiamo dal lemma precedente che $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono isotope, dobbiamo solo estendere questa isotopia ad una isotopia ambiente di $S_g$ che muove solo i punti di $U$. 

Prendiamo un intorno tubolare di $\Img(\gamma_1) = \Img(\gamma_2)$ contenuto in $U$. L'intorno \`e diffeomorfo a $S^1\times [-1,1]$ in cui $\Img(\gamma_1) = S^1\times \{0\}$. %A meno di riparametrizzare $S^1$ possiamo supporre che $\gamma_1(\theta) = (\theta,0)$ e $\gamma_2$ sia un altro diffeomorfismo di $S^1$ che preserva l'orientazione. 
Identifichiamo $S^1 \times \{0\}$ con $S^1$ e vediamo le curve $\gamma_1, \gamma_2$ come mappe $S^1 \to S^1$.
Sia $f\colon [-1,1]\to \matR$ una funzione a campana, cio\`e una funzione liscia tale che $f(u) = 0 $ per ogni $u\in \left[-1,-\frac 12 \right] \cup \left[ \frac 12, 1 \right]$ e $f(0)=1$. Identifichiamo $S^1$ con il gruppo additivo $\matR/_{2\pi \matZ}$. Definiamo per ogni $t\in [0,1]$ il diffeomorfismo $\varphi_t$ di $S^1\times [-1,1] = \matR/_{2\pi \matZ}\times [-1,1]$ seguente:
$$\varphi_t(\theta,u) = \big(\big(1- tf(u)\big)\theta + tf(u)(\gamma_2\circ\gamma_1^{-1})(\theta), u\big).$$
La funzione $\varphi_t$ ristretta a $S^1\times \{u\}$ \`e una interpolazione fra $\id_{S^1}$ e $\gamma_2\circ \gamma_1^{-1}$ come nella dimostrazione del lemma precedente. 

Notiamo che $\varphi_t(\theta,u) = (\theta,u)$ se $|u|\geqslant \frac 12$: possiamo quindi estendere $\varphi_t$ a diffeomorfismo di $S_g$ che fissa tutti i punti fuori dell'anello, per ogni $t$. Notiamo anche che $\varphi_0 (\theta, 0) = \theta$ e $\varphi_1(\theta,1) = (\gamma_2\circ\gamma_1^{-1})(\theta)$. Quindi $\varphi_t$ definisce una isotopia ambiente che collega $\gamma_1$ e $\gamma_2$.
\end{proof}

Possiamo finalmente dimostrare il fatto seguente.

\begin{prop}[Omotopia implica isotopia] \label{ambiente:prop}
Due curve semplici chiuse omotopicamente non banali in $S_g$ sono omotopicamente equivalenti se e solo se sono collegate da una isotopia ambiente.
\end{prop}
\begin{proof}
Siano $\gamma_1$ e $\gamma_2$ due curve semplici chiuse omotopicamente non banali in $S_g$.
A meno di una piccola isotopia ambiente possiamo supporre che si intersechino in modo trasverso. Poich\'e $i(\gamma_1,\gamma_2) = i(\gamma_1,\gamma_1)=0$ le curve sono disgiunte o formano dei bigoni. Nel secondo caso, con una isotopia ambiente \`e possibile ridurre il numero di intersezioni come suggerito da Fig.~\ref{bigono_proof:fig}-(sinistra) e dopo un numero finito di tali operazioni otteniamo due insiemi disgiunti.

Le curve $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono parallele per il Lemma \ref{parallele:lemma}. Possiamo usare l'anello per costruire una isotopia ambiente che sposti il supporto di $\gamma_1$ sopra $\gamma_2$. Le due curve hanno lo stesso verso per la Proposizione \ref{no:inverso:prop} e per il Lemma \ref{supporto:lemma} esiste una isotopia ambiente che sposta la prima nella seconda.
\end{proof}

Questo fatto non \`e vero in dimensione pi\`u alta: due curve chiuse omotopicamente equivalenti possono essere ``annodate'' in modo diverso; la \emph{teoria dei nodi} si occupa proprio della differenza fra omotopia e isotopia ambiente di curve semplici chiuse in $\matR^3$ o in 3-variet\`a pi\`u complicate.

\begin{cor}
Sia $S_g$ dotata di metrica piatta o iperbolica. Una curva semplice chiusa omotopicamente non banale \`e collegata ad una geodetica semplice chiusa tramite isotopia ambiente.
\end{cor}

\subsection{Multicurve}
Introduciamo la definizione seguente.
\begin{defn} Una \emph{multicurva} $\mu$ in $S_g$  \`e un insieme finito di curve semplici chiuse disgiunte omotopicamente non banali.
\end{defn}

Una multicurva su $S_g$ contiene un certo numero (limitato) di tipi di curve non parallele e per ciascun tipo contiene un certo numero (arbitrariamente alto) di curve parallele: si veda ad esempio Fig.~\ref{multicurva:fig}. Il numero di tipi pu\`o essere limitato facilmente.

\begin{prop} \label{parallele:prop}
Una multicurva $\mu$ nel toro contiene un solo tipo di curve non parallele.

Una multicurva $\mu$ in $S_g$ con $g\geqslant 2$ contiene al pi\`u $3g-3$ tipi di curve non parallele. Ne contiene $3g-3$ se e solo se tagliando lungo $\mu$ si ottengono solo anelli e pantaloni. Ogni multicurva \`e contenuta in una multicurva con $3g-3$ tipi non paralleli.
\end{prop}
\begin{proof}
Tagliando $S_g$ lungo una multicurva $\mu$ non si possono ottenere dischi (perch\'e le componenti di $\mu$ sono omotopicamente non banali) e quindi si ottengono solo anelli e alcune superfici $S^1,\ldots, S^k$ di caratteristica negativa tali che $\chi(S_g) = \chi(S^1)+\ldots \chi(S^k)$.

Il toro ha caratteristica zero e quindi tagliando lungo $\mu$ si possono ottenere solo anelli. Passiamo al caso $g\geqslant 2$. Se tagliando lungo $\mu$ si ottengono solo anelli e pantaloni, ogni pantalone ha caratteristica $-1$ e quindi i pantaloni sono esattamente $-\chi(S_g) = 2g-2$: i tipi non paralleli sono quindi $\frac 32(2g-2) = 3g-3$ perch\'e ogni pantalone ha 3 componenti di bordo e ciascuna \`e contata due volte. Se non si ottengono pantaloni allora si ottengono altre superfici di caratteristica negativa che possono essere decomposte in pantaloni per la Proposizione \ref{decompone:pantaloni:prop} del Capitolo \ref{varieta:chapter}: quindi \`e possibile aggiungere nuove curve che non sono parallele alle precedenti per ottenere solo pantaloni.
\end{proof}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 8 cm] {multicurva.pdf}
\nota{Una multicurva in $S_2$ contiene al pi\`u $3$ tipi distinti di omotopia di curve non parallele e per ciascuno di questi tipi un numero arbitrario di componenti parallele.} 
\label{multicurva:fig}
\end{center}
\end{figure}

La nozione di intersezione geometrica si estende naturalmente alle multicurve. 
Siano $m_1$ e $m_2$ due classi di isotopia ambiente di multicurve. Definiamo il numero naturale
$$i(m_1, m_2) = \min \big\{ \#(\mu_1\cap \mu_2) \ \big|\ \mu_1 \in m_1, \mu_2 \in m_2 \big\}.$$
Questa definizione estende la nozione di intersezione geometrica fra classi di curve semplici chiuse: l'intersezione geometrica fra curve era stata definita inizialmente sulle classi di \emph{omotopia} e non di isotopia ambiente, ma la Proposizione \ref{ambiente:prop} mostra che le due nozioni sono equivalenti per curve semplici chiuse. Indichiamo ancora per semplciti\`a con $i(\mu_1, \mu_2)$ l'intersezione geometrica delle classi di isotopia contenenti $\mu_1$ e $\mu_2$. Due multicurve trasverse $\mu_1$ e $\mu_2$ sono in \emph{posizione minimale} se si intersecano in $i(\mu_1, \mu_2)$ punti. Il criterio del bigono si estende facilmente alle multicurve:

\begin{prop}
Siano $\mu_1, \mu_2 \subset S_g$ multicurve in posizione trasversa con $g\geqslant 2$. Vale l'uguaglianza
$$i(\mu_1, \mu_2) = 
\sum_{\tiny{\begin{array}{c} \gamma_1 \subset \mu_1 \\ \gamma_2 \subset \mu_2 \end{array}} }  
i(\gamma_1, \gamma_2)$$
dove la somma \`e su tutte le componenti connesse $\gamma_1$ e $\gamma_2$ di $\mu_1$ e $\mu_2$. Le multicurve $\mu_1$ e $\mu_2$ sono in posizione minimale se e solo se non formano bigoni.
\end{prop}
\begin{proof}
Supponiamo che $\mu_1$ e $\mu_2$ siano in posizione minimale: allora non formano bigoni, quindi non ci sono bigoni neppure fra le componenti $\gamma_1$ e $\gamma_2$ e quindi per la Proposizione \ref{bigono:prop} anche tutte le componenti sono fra loro in posizione minimale. Questo dimostra l'equazione e anche il fatto che se non ci sono bigoni le multicurve $\mu_1$ e $\mu_2$ sono in posizione minimale.
\end{proof}

Notiamo ancora che $i(\mu,\mu)=0$. %Per la Proposizione \ref{parallele:prop} una multicurva senza componenti parallele in $S_g$ contiene al pi\`u $3g-3$ componenti.
Possiamo estendere facilmente la Proposizione \ref{ambiente:prop} alle multicurve.

\begin{prop}[Omotopia implica isotopia] \label{ambiente:multicurve:prop}
Siano $\mu^1 = \{\gamma_1^1, \ldots, \gamma_n^1\}$ e $\mu^2 = \{\gamma_1^2, \ldots, \gamma_n^2\}$
due multicurve senza componenti parallele in $S_g$.
Se $\gamma_j^1$ \`e omotopicamente equivalente a $\gamma_j^2$ per ogni $j$ allora esiste una isotopia ambiente che sposta $\mu^1$ in $\mu^2$. % $\gamma_j^1$ in $\gamma_j^2$ per ogni $j$.
\end{prop}
\begin{proof}
La dimostrazione \`e la stessa della Proposizione \ref{ambiente:prop}. Poich\'e
$i(\gamma_j^1, \gamma_k^2) = i(\gamma_j^1,\gamma_k^1) = 0$ dopo una isotopia ambiente tutte le curve sono disgiunte. Il Lemma \ref{parallele:lemma} implica che le curve $\gamma_j^1$ e $\gamma_j^2$ sono parallele e possono essere sovrapposte. Poich\'e le curve $\gamma_1^1,\ldots, \gamma_k^1$ sono a coppie non parallele, tutti questi anelli sono disgiunti fra loro e quindi le sovrapposizione possono essere fatte indipendentemente per ogni $j$.
\end{proof}
 
\begin{cor} \label{isotopia:geodetiche:cor}
Sia $S_g$ dotata di una metrica iperbolica. Una multicurva senza componenti parallele \`e trasportabile tramite isotopia ambiente ad un (unico) insieme di geodetiche semplici chiuse disgiunte.
\end{cor}


\subsection{Multicurve in posizione minimale}
Una \emph{riparametrizzazione} per una curva chiusa $\gamma\colon S^1 \to M$ \`e la pre-composizione di $\gamma$ con un diffeomorfismo di $S^1$ che ne preservi l'orientazione. Una riparametrizzazione di una multicurva \`e semplicemente una riparametrizzazione delle sue componenti. Mostriamo che la posizione minimale fra due multicurve \`e unica a meno di isotopia ambiente e di riparametrizzazione.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 11 cm] {minimale_unica.pdf}
\nota{Un bigono fra $\mu_2$ e $\eta_2$ interseca $\mu_1$ con archi come in figura e pu\`o essere rimosso con una isotopia ambiente che preserva $\mu_1$ (sinistra). Per ogni tipo di omotopia esistono $k$ curve in $\mu_2$ e $k$ in $\eta_2$ e tutte queste intersecano $\mu_1$ in archi come in figura (destra). }
\label{minimale_unica:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{prop}[Unicit\`a della posizione minimale] \label{minimale:unica:prop}
Siano $\mu_1, \mu_2$ e $\eta_1, \eta_2$ due coppie di multicurve in posizione minimale in $S_g$ con $g\geqslant 2$. Supponiamo che nessuna componente di $\mu_1$ sia parallela ad una componente di $\mu_2$.
Supponiamo che per ogni $i=1,2$ esista una isotopia ambiente che porta $\mu_i$ in $\eta_i$. Allora a meno di riparametrizzare $\mu_1$ e $\mu_2$ esiste una isotopia ambiente di $S_g$ che porta cotemporaneamente $\mu_1$ in $\eta_1$ e $\mu_2$ in $\eta_2$. 
\end{prop}
\begin{proof}
Esiste per ipotesi una isotopia ambiente che porta $\mu_1$ in $\eta_1$, quindi possiamo supporre che $\mu_1 = \eta_1$. Costruiamo adesso una isotopia ambiente che fissa $\mu_1$ e sposta $\mu_2$ in $\eta_2$. A meno di una piccola isotopia ambiente che fissa $\mu_1$ possiamo supporre che $\mu_2$ e $\eta_2$ si intersechino in modo trasverso. Se $\mu_2\cap \eta_2 \neq \emptyset$ allora $\mu_2$ e $\eta_2$ formano un bigono (perch\'e $i(\mu_2, \eta_2) = i(\mu_2,\mu_2) = 0$) come in Fig.~\ref{minimale_unica:fig}-(sinistra): la multicurva $\mu_1$ interseca il bigono in archi che congiungono i lati distinti del bigono come in figura (se congiungessero lo stesso lato $\mu_1$ formerebbe un bigono con $\mu_2$ o $\eta_2$, e ci\`o \`e escluso perch\'e sono in posizione minimale). \`E possibile eliminare il bigono con una isotopia ambiente che tenga fisso il supporto di $\mu_1$ come mostrato in Fig.~\ref{minimale_unica:fig}-(sinistra). Notiamo che questa isotopia ambiente non pu\`o fissare puntualmente $\mu_1$ ma ha il solo effetto di cambiare $\mu_1$ per una riparametrizzazione.

A meno di riparametrizzazione e isotopia ambiente abbiamo quindi $\mu_1=\eta_1$ e $\mu_2\cap \eta_2 = \emptyset$. Quindi $\mu_2 \cup \eta_2$ \`e una multicurva: come tutte le multicurve contiene un numero finito di tipi di curve non parallele e per ciascun tipo un certo numero di curve parallele. Poich\'e $\mu_2$ e $\eta_2$ sono isotope, in ciascun tipo curve di $\mu_2\cup \eta_2$ c'\`e lo stesso numero $k$ di curve di $\mu_2$ e di $\eta_2$. Le $2k$ curve parallele sono contenute in un anello che interseca $\mu_1$ in archi che congiungono bordi distinti dell'anello, come in Fig.~\ref{minimale_unica:fig}-(destra): se congiungessero lo stesso bordo formerebbero bigoni, e il fatto che $\mu_1$ e $\mu_2$ non abbiano componenti isotope esclude che $\mu_1$ abbia componenti parallele al cuore dell'anello.

Per concludere \`e sufficiente costruire una isotopia ambiente supportata sull'anello, che sposti le $k$ componenti di $\mu_2$ sulle $k$ componenti di $\eta_2$ tenendo fissi (riparametrizzandoli) gli archi di $\mu_1$. 
\end{proof}

\begin{cor} \label{unica:configurazione:cor}
Siano $\gamma_1, \gamma_2$ due curve semplici chiuse in $S_g$. Una metrica iperbolica su $S_g$ definisce due rappresentanti geodetici $\overline{\gamma_1}$ e $\overline{\gamma_2}$: la configurazione di $\overline{\gamma_1}\cup \overline{\gamma_2}$ in $S_g$ non dipende (a meno di isotopia ambiente) dalla metrica iperbolica scelta.
\end{cor}
\begin{proof}
Le due geodetiche $\overline{\gamma_1}$ e $\overline{\gamma_2}$ coincidono oppure sono in posizione minimale per ogni metrica e quindi la loro configurazione \`e sempre la stessa a meno di isotopia per la proposizione precedente.
\end{proof}

\subsection{Il trucco di Alexander} \label{Alexander:subsection}
Abbiamo dimostrato che due curve semplici chiuse in $S_g$ sono omotope se e solo se sono isotope, adesso vogliamo mostrare un risultato analogo per i diffeomorfismi di $S_g$. Iniziamo considerando il disco.

\begin{prop}[Trucco di Alexander] Siano $\varphi, \psi\colon D^n \to D^n$ due diffeomorfismi che coincidono puntualmente in $\partial D^n$. Esiste una isotopia che collega $\varphi$ e $\psi$ che fissa puntualmente $\partial D^n$ ad ogni tempo $t$. 
\end{prop}
\begin{proof}
Prendendo $f=\varphi\circ \psi^{-1}$ e $\id_{D^n}$, \`e sufficiente costruire una isotopia fra un diffeomorfismo $f$ che fissa puntualmente $\partial D^n$ e l'identit\`a. La funzione seguente svolge questo compito:
$$F(x,t) = \left\{ \begin{matrix} x & {\rm if \ } \|x\| \geqslant t, \\ t f\left(\frac xt \right) & {\rm if\  } \|x\| \leqslant t. \end{matrix} \right.$$
\end{proof}
Per $n=2$ \`e anche vero che c'\`e una isotopia \emph{liscia} che collega $\varphi$ e $\psi$, ma la dimostrazione \`e pi\`u complicata; in dimensione pi\`u alta l'esistenza di una isotopia liscia \`e un problema aperto (per $n=4$) ed \`e a volte falsa (per infiniti valori di $n\geqslant 7$: questo fatto \`e legato all'esistenza di \emph{sfere esotiche}, cio\`e variet\`a differenziabili omeomorfe ma non diffeomorfe a $S^n$). Per evitare inutili complicazioni in questa trattazione non supponiamo mai che le isotopie siano lisce.

\subsection{Decomposizioni in pantaloni}
Sia $S_g$ una superficie di genere $g\geqslant 2$. Una \emph{decomposizione in pantaloni} in $S_g$ \`e una multicurva $\mu$ tale che tagliando $S_g$ lungo $\mu$ si ottengono solo pantaloni. Per la Proposizione \ref{parallele:prop} i pantaloni sono $2g-2$ e le curve in $\mu$ sono $3g-3$.

\begin{prop} \label{esistono:pantaloni:prop}
Sia $S_g$ dotata di una metrica iperbolica e $\gamma_1,\ldots, \gamma_{3g-3}$ una decomposizione in pantaloni di $S_g$. I rappresentanti geodetici $\overline {\gamma_1}, \ldots, \overline{\gamma_{3g-3}}$ definiscono una decomposizione di $S_g$ in pantaloni iperbolici con bordo geodetico.
\end{prop}
\begin{proof}
Per il Corollario \ref{isotopia:geodetiche:cor} esiste una isotopia ambiente che porta $\gamma_1,\ldots, \gamma_k$ nei rappresentanti geodetici $\overline{\gamma_1}, \ldots, \overline{\gamma_k}$ che definiscono quindi ancora una decomposizione in pantaloni. Ciascun pantalone eredita una struttura di variet\`a iperbolica con bordo geodetico.
\end{proof}

Abbiamo quindi scoperto che la costruzione di metriche iperboliche su $S_g$ per incollamento di pantaloni geodetici descritta nella Sezione \ref{pantaloni:subsection} del Capitolo \ref{varieta:chapter} \`e in realt\`a generale: qualsiasi metrica iperbolica pu\`o essere costruita in questo modo. Vedremo nella Sezione \ref{Teichmuller:section} come definire e parametrizzare adeguatamente lo spazio di tutte le metriche iperboliche su $S_g$. Intanto finiamo questa sezione con un risultato topologico.

\subsection{Omotopia e isotopia fra diffeomorfismi}
Due multicurve $\mu_1$, $\mu_2\subset S_g$ in posizione minimale \emph{riempiono} la superficie $S_g$ se $S_g\setminus (\mu_1 \cup \mu_2)$ \`e unione di poligoni. I poligoni hanno tutti un numero pari di lati ed il fatto che le curve siano in posizione minimale si traduce nell'assenza di bigoni.
\`E facile costruire due multicurve che riempiono $S_g$, si veda ad esempio Fig.~\ref{decomposizione:fig}. 

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm] {decomposizione.pdf}
\nota{Due multicurve (blu e rosse) che riempiono $S_3$.}
\label{decomposizione:fig}
\end{center}
\end{figure}

Concludiamo la sezione mostrando il risultato seguente.

\begin{prop} \label{omotopi:isotopi:prop}
Due diffeomorfismi $\varphi, \psi\colon S_g \to S_g$ sono omotopi se e solo se sono isotopi.
\end{prop}
\begin{proof}
Fissiamo due multicurve $\mu_1$ e $\mu_2$ senza componenti parallele che riempiano $S_g$, come in Fig.~\ref{decomposizione:fig}. Le multicurve $\varphi(\mu_1)$ e $\psi(\mu_1)$ sono omotope e quindi sono isotope per la Proposizione \ref{ambiente:multicurve:prop} e analogamente sono isotope $\varphi(\mu_2)$ e $\psi(\mu_2)$. Entrambe le coppie $\varphi(\mu_1), \varphi(\mu_2)$ e $\psi(\mu_1), \psi(\mu_2)$ sono in posizione minimale (perch\'e lo sono $\mu_1$, $\mu_2$ e $\varphi$, $\psi$ sono diffeomorfismi) quindi per la Proposizione \ref{minimale:unica:prop} esiste una isotopia ambiente che porta la prima coppia nella seconda. A meno di questa isotopia ambiente possiamo quindi supporre che le mappe $\varphi$ e $\psi$ coincidano puntualmente sull'insieme $\mu_1\cup \mu_2$.

Le funzioni $\varphi$ e $\psi$ mandano i poligoni in $S_g\setminus (\mu_1\cup\mu_2)$ nei poligoni in $S_g \setminus \varphi(\mu_1 \cup \mu_2)$. Se le muticurve sono scelte come in Fig.~\ref{decomposizione:fig} ciascun poligono \`e determinato dall'ordine ciclico delle componenti di $\mu_1$ e $\mu_2$ a lui adiacenti (l'ordine \`e determinato da un'orietazione fissata \emph{a priori} per $S_g$): ne segue che $\varphi$ e $\psi$ mandano ciascun poligono $P$ nello stesso poligono $\varphi(P) = \psi(P)$. Le due mappe $\varphi$ e $\psi$ coincidono inoltre puntualmente su $\partial P$ e per il trucco di Alexander esiste una isotopia fra $\varphi|_P$ e $\psi|_P$ che fissa puntualmente $\partial P$. Effettuando una isotopia su ogni poligono otteniamo finalmente una isotopia fra $\varphi$ e $\psi$.
\end{proof}




\section{Spazio di Teichm\"uller} \label{Teichmuller:section}
In questa sezione studiamo le metriche iperboliche che possono essere assegnate su una superficie $S_g$ di genere $g\geqslant 2$.

Fissiamo una decomposizione in $-\chi = 2g-2$ pantaloni per $S_g$. Le curve semplici chiuse della decomposizione sono $3g-3$. Come abbiamo visto nel Corollario \ref{ammette:cor}, se assegniamo a ciascuna curva un numero reale positivo, possiamo rappresentare ogni pantalone come l'unico pantalone iperbolico avente lunghezze di bordo proprio i tre numeri fissati. Pantaloni adiacenti hanno bordi della stessa lunghezza, e possono essere incollati tramite una isometria: le isometrie possibili formano il gruppo di Lie $S^1$. Nella costruzione abbiamo quindi due gradi di libert\`a per ogni curva: possiamo variare la sua lunghezza e la mappa di incollamento. Otteniamo quindi $6g-6 = -3\chi(S_g)$ gradi di libert\`a in totale. Per formalizzare rigorosamente tutto ci\`o introduciamo due definizioni importanti.

\begin{defn}
Lo \emph{spazio dei moduli} di $S_{g}$ \`e lo spazio delle metriche iperboliche su $S_{g}$ considerate a meno di isometria.

Lo \emph{spazio di Teichm\"uller} di $S_{g}$ \`e lo spazio delle metriche iperboliche su $S_{g}$ considerate a meno di isometrie isotope all'identit\`a.
\end{defn}

Lo spazio dei moduli \`e a prima vista l'oggetto pi\`u naturale da studiare. Lo spazio di Teichm\"uller ha per\`o una naturale topologia che lo rende (come vedremo) omeomorfo a $\matR^{6g-6}$, mentre lo spazio dei moduli risulta essere topologicamente pi\`u complicato. Si preferisce quindi generalmente studiare innanzitutto lo spazio di Teichm\"uller e quindi vedere lo spazio dei moduli come un quoziente di questo. 

\subsection{Terremoti}
Sia $h$ una metrica iperbolica completa su una superficie orientata $S$ e $\gamma\subset S$ una geodetica semplice chiusa. Sia $\theta$ un numero reale arbitrario. Come abbiamo accennato sopra, \`e possibile \emph{torcere} la metrica $h$ di un angolo $\theta$ intorno a $\gamma$. Informalmente possiamo pensare di far scivolare una delle due componenti adiacenti a $\gamma$ di un angolo $\theta$ in senso antiorario. Formalmente, la superficie $S$ non si muove e cambia invece il tensore metrico $h$: descriviamo come.

Sappiamo che ogni curva semplice chiusa $\gamma$ in una superficie orientabile $S$ ha un intorno tubolare diffeomorfo a $S^1\times [-1,1]$ in cui $\gamma$ giace come $S^1\times\{0\}$. Se $\gamma$ \`e una geodetica chiusa possiamo chiedere che l'intorno sia un prodotto \emph{metrico}: indichiamo con $N_R(l)$ l'$R$-intorno chiuso di una geodetica in $\matH^2$, raffigurato in Fig.~\ref{prodotto:fig}-(sinistra). Sia $A_R^d$ il quoziente di $N_R(l)$ per una trasformazione iperbolica che preserva l'orientazione, con asse $l$ e spostamento minimo $d$.\footnote{Se $l$ ha estremi $0$ e $\infty$, la trasformazione \`e $\varphi(z) = e^dz$ oppure $\varphi(x) = e^{-d}z$, ed il quoziente $A_R^d$ \`e lo stesso.}

\begin{prop} \label{A:prop}
Sia $S$ una superficie iperbolica completa e $\gamma\subset S$ una geodetica semplice chiusa di lunghezza $l$. La geodetica $\gamma$ ha un intorno isometrico a $A_\varepsilon^l$ per qualche $\varepsilon>0$.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $p\colon \matH^2 \to S$ il rivestimento universale di $S=\matH^2/_\Gamma$ e consideriamo le rette $p^{-1}(\gamma)$. Un sollevamento di $\alpha$ \`e un segmento $s$ in una retta $l$ di queste, ed essendo compatto il segmento $s$ dista almeno $3\varepsilon>0$ da tutte le altre rette in $p^{-1}(\gamma)$. L'azione di $\Gamma$ sposta $s$ su vari segmenti che ricoprono tutto $p^{-1}(\gamma)$: ne segue che due rette distinte in $p^{-1}(\gamma)$ hanno sempre distanza almeno $3\varepsilon>0$.\footnote{Abbiamo cos\`\i\ fornito una nuova dimostrazione che le rette in $p^{-1}(\gamma)$ sono ultraparallele.} Quindi gli $\epsilon$-intorni delle rette $l$ in $p^{-1}(\gamma)$ sono disgiunti ed il quoziente di questi $\epsilon$-intorni per $\Gamma$ \`e un $\varepsilon$-intorno di $\gamma$ isometrico a $A_\varepsilon^l$.
\end{proof}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm] {prodotto.pdf}
\nota{Una geodetica chiusa $\gamma\subset S$ di lunghezza $l$ ha un intorno prodotto $A_\varepsilon^l$ di spessore $\varepsilon>0$, ottenuto a partire da un $\varepsilon$-intorno di una retta $l\subset\matH^2$ (sinistra) quozientando per una trasformazione iperbolica di spostamento minimo $l$. L'$\varepsilon$-intorno $A_\varepsilon^l$ \`e diffeomorfo a $S^1\times [-\varepsilon, \varepsilon]$, ed il diffeomorfismo \`e costruito usando le geodetiche (verdi) ortogonali a $\gamma$ (rossa) come mostrato a destra (nel rettangolo di destra i bordi inferiore e superiore vanno identificati).}
\label{prodotto:fig}
\end{center}
\end{figure}

L'intorno $A_\varepsilon^l$ di $\gamma$ non ha bordo geodetico: l'unica geodetica chiusa che contiene \`e $\gamma$.  Si possono comunque usare le geodetiche ortogonali a $\gamma$ per fissare una identificazione $A_\varepsilon^l \isom S^1 \times [-\varepsilon, \varepsilon]$ come in Fig.~\ref{prodotto:fig}. L'identificazione non \`e una isometria ma i segmenti $\{x\}\times [-\varepsilon, \varepsilon]$ sono comunque geodetici.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm] {twist.pdf}
\nota{Per definire una torsione lungo $\gamma$ si definisce una funzione che modifica i segmenti orizzontali come mostrato in figura.}
\label{twist:fig}
\end{center}
\end{figure}

Per definire la nuova metrica su $S$ scegliamo un diffeomorfismo $\varphi$ di $S^1\times [-\epsilon, \epsilon]$ che incurvi i segmenti come mostrato in Fig.~\ref{twist:fig}-(destra) di un angolo $\theta$. Pi\`u precisamente, sia $f\colon[-\epsilon, \epsilon] \to \matR$ una funzione liscia crescente che valga zero in $\left[-\epsilon, -\frac\epsilon 2\right]$ e $\theta$ in $\left[\frac \epsilon 2,\epsilon\right]$. Sia $\varphi$ il diffeomorfismo definito da $\varphi(e^{i\alpha},t) = (e^{i(\alpha+f(t))},t)$.

Possiamo definire formalmente una nuova metrica $h_\theta$ su $S$ nel modo seguente: il tensore metrico $h_\theta$ coincide con $h$ in tutti i punti di $S$ esterni all'intorno $S^1\times [-\epsilon,\epsilon]$, mentre coincide su $S^1\times [-\epsilon, \epsilon]$ con il tensore $\varphi_*h$ ottenuto trasportando $h$ lungo $\varphi^{-1}$ nel modo usuale in modo che valga l'uguaglianza 
$$(\varphi_*h)_{\varphi(p)} \left(d\varphi_p(v), d\varphi_p(w)\right) = h_p(v,w)$$
per ogni $p$ nel dominio e per ogni $v,w\in T_p$.
L'operazione che modifica $h$ in $h_\theta$ \`e detta \emph{terremoto}.

\begin{prop} Il tensore metrico $h_\theta$ \`e ben definito e produce effettivamente una metrica iperbolica che dipende solo da $\gamma$ e $\theta$ a meno di isometrie isotope all'identit\`a.
\end{prop}
\begin{proof}
C'\`e solo da notare che su $S^1\times [\frac\epsilon 2, \epsilon]$ i tensori $h$ e $h_\theta$ in realt\`a coincidono, perch\'e la mappa $(e^{i\alpha},t)\mapsto (e^{i(\alpha+\theta)},t)$ \`e una isometria di $S^1\times [-\epsilon, \epsilon]$. Quindi $h_\theta$ si incolla bene ed \`e iperbolica perch\'e ogni punto ha un intorno isometrico ad un intorno di $\matH^2$: nei punti fuori $S^1 \times  [\frac\epsilon 2, \epsilon]$ non \`e cambiato nulla, nei punti interni la metrica \`e localmente quella di prima (quindi iperbolica) trasportata con un diffeomorfismo.

Nella definizione di $h_\theta$ abbiamo scelto una funzione $f$ in modo arbitrario. Se scegliamo un'altra funzione $f'$, il diffeomorfismo di $S$ che \`e l'identit\`a fuori da $S^1\times [-\epsilon, \epsilon]$ e manda $(e^{i\alpha},t)$ in $(e^{i(\alpha+f(t)-f'(t))},t)$ \`e una isometria fra le due metriche isotopa all'identit\`a.
\end{proof}

Notiamo che nella metrica $h_\theta$ la curva $\gamma$ \`e ancora una geodetica chiusa di lunghezza $l$ e anche il suo $\varepsilon$-intorno $A_\varepsilon^l$ \`e invariato.

\subsection{Azione dei terremoti sullo spazio di Teichm\"uller}
Sia $\gamma$ una curva semplice chiusa omotopicamente non banale in $S_g$. La curva determina un'azione di $\matR$ su $\Teich(S_g)$ nel modo seguente:
\begin{align*}
T\colon \matR & \longrightarrow \Aut\big(\Teich(S_g)) \\
 \theta & \longmapsto \big( h \mapsto h_\theta^{\gamma} \big)
\end{align*}
dove $\Aut(X)$ indica l'insieme delle bigezioni $X\to X$ e $h_\theta^{\gamma}$ \`e la metrica ottenuta torcendo $h$ lungo l'unica geodetica chiusa $\overline \gamma$ in $(S_g,h)$ omotopa a $\gamma$. La mappa $T$ \`e effettivamente un'azione:

\begin{prop}
La mappa $T$ \`e un omomorfismo di gruppi.
\end{prop}
\begin{proof}
Dobbiamo mostrare che $T(\theta+\theta') = T(\theta) \circ T(\theta')$, cio\`e che 
$$h_{\theta+\theta'}^{\gamma} = \left(h_{\theta'}^\gamma\right)_\theta^\gamma.$$
Possiamo supporre che $\gamma$ sia geodetica rispetto a $h$. Per definizione la metrica di destra \`e ottenuta torcendo $h_{\theta'}^\gamma$ di un angolo $\theta$ lungo l'unica geodetica isotopa a $\gamma$, che \`e sempre $\gamma$. Anche l'intorno $A_\varepsilon^l$ \`e sempre lo stesso: la metrica di destra \`e quindi ottenuta da $h$ torcendo lo stesso intorno prima di $\theta$ e poi di $\theta'$ e ci\`o \`e equivalente a torcere l'intorno di un angolo $\theta+\theta'$.
\end{proof}
L'azione $T$ dipende ovviamente soltanto dalla classe di omotopia di $\gamma$.

\subsection{Funzioni lunghezza}
Sia $\gamma$ una curva chiusa omotopicamente non banale in $S_g$. Questa definisce una \emph{funzione lunghezza}
$$l^\gamma\colon \Teich(S_g) \to \matR_{>0}$$
nel modo seguente: nella metrica $h\in\Teich(S_g)$ la curva $\gamma$ \`e isotopa ad un'unica geodetica $\overline \gamma$ e definiamo $l^\gamma(h)$ come la lunghezza di $\overline \gamma$.

\begin{prop}
La funzione $l^\gamma$ \`e ben definita.
\end{prop}
\begin{proof}
Se $h'$ \`e una metrica iperbolica isometrica a $h$ tramite un diffeomorfismo $\varphi$ allora $l^{\gamma}(h') = l^{\varphi(\gamma)}(h)$. Se $\varphi$ \`e isotopo all'identit\`a allora $\varphi(\gamma)$ \`e isotopa a $\gamma$ e quindi $l^{\varphi(\gamma)}(h) = l^\gamma(h)$ per definizione.
\end{proof}

\subsection{Convessit\`a della funzione distanza}
Mostreremo pi\`u sotto che le funzioni lunghezza sono convesse lungo le orbite dell'azione dei terremoti. Avremo bisogno del fatto seguente. Ricordiamo che una funzione $f\colon \matR^k \to \matR$ \`e strettamente convessa se 
$$f(tv+(1-t)w)< tf(v) + (1-t)f(w)$$
per ogni coppia di punti distinti $v,w \in \matR^k$ e ogni $t\in (0,1)$. \`E immediato verificare che una funzione strettamente convessa a valori positivi \`e continua ed ammette un minimo se e solo se \`e \emph{propria}, cio\`e se la controimmagine di un compatto \`e sempre compatta.

\begin{prop} \label{distanza:convessa:prop}
Siano $l,l'\subset \matH^2$ due rette disgiunte, viste come geodetiche percorse a velocit\`a unitaria $\gamma\colon \matR \to l, \gamma'\colon \matR \to l'$. La mappa
\begin{align*}
\matR \times \matR & \longrightarrow \matR_{\geqslant 0} \\
(x,y) & \longmapsto d(\gamma(x), \gamma'(y))
\end{align*}
\`e strettamente convessa, ed \`e propria se e solo se le due rette sono ultraparallele.
\end{prop}
\begin{proof}
La funzione $d$ \`e chiaramente continua; quindi per mostrare la convessit\`a di $d$ \`e sufficiente mostrare che 
$$d\left(\frac{x_1+x_2}2, \frac{y_1+y_2}2\right) < d(x_1,y_1) + d(x_2,y_2)$$
per ogni coppia di punti distinti $(x_1,y_1), (x_2,y_2) \in \matR\times \matR$. Supponiamo $x_1\neq x_2$ e indichiamo per semplicit\`a con $m$ e $n$ i punti medi $\frac{x_1+x_2}2$ e $\frac{y_1+y_2}2$ come in Fig.~\ref{convex:fig}. 

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 9cm] {convex.pdf}
\nota{La distanza fra punti su geodetiche disgiunte \`e una funzione convessa.}
\label{convex:fig}
\end{center}
\end{figure}

Denotiamo con $\sigma_p$ la riflessione intorno al punto $p\in\matH^2$ e definiamo la mappa $\tau = \sigma_n\circ \sigma_m$. La mappa $\tau$ trasla la retta che contiene il segmento $mn$ di un passo pari a $2d(m,n)$: quindi \`e una trasformazione iperbolica con asse questa retta. Indichiamo in figura i punti $o = \tau(m)$ e $z_i = \tau(x_i)$ e notiamo che $z_1 = \sigma_n(x_2)$, quindi $d(x_2,y_2) = d(z_1,y_1)$. Dalla disuguaglianza triangolare ricaviamo
$$d(x_1, z_1) \leqslant d(x_1,y_1) + d(y_1, z_1) = d(x_1,y_1) + d(x_2, y_2).$$
Una trasformazione iperbolica ha spostamento minimo esattamente sull'asse e $x_1 \neq m$ non sta sull'asse; quindi
$$2d(m,n) = d(m,o) = d(m,\tau(m)) < d(x_1, \tau(x_1)) = d(x_1,z_1).$$
Otteniamo infine $2d(m,n) <  d(x_1,y_1) + d(x_2, y_2)$. La funzione $d$ \`e propria, cio\`e ha minimo, se e solo se le due rette sono ultraparallele per la Proposizione \ref{sottospazi:prop} nel Capitolo \ref{spazio:chapter}.
\end{proof}

\subsection{Convessit\`a delle funzioni lunghezza}
In questa sezione vogliamo mostrare che $l^\gamma$ \`e una funzione convessa sulle orbite dei terremoti. Per fare ci\`o useremo innanzitutto il fatto seguente, la cui dimostrazione lasciamo al lettore.

\begin{lemma} \label{convessa:lemma}
Sia $f\colon \matR^m \times \matR^n \to \matR_{\geqslant 0}$ una funzione strettamente convessa e propria. La funzione
\begin{align*}
F\colon \matR^n & \longrightarrow \matR_{\geqslant 0} \\
y & \longmapsto \min \left\{f(x,y)\ \big| \ x \in \matR^m \right\}
\end{align*}
\`e ben definita, strettamente convessa e propria.
\end{lemma}

Possiamo finalmente dimostrare il fatto seguente. Ricordiamo che la funzione $\theta \mapsto l^\eta(h_\theta^\gamma)$ indica la funzione lunghezza di $\eta$ ristretta ad un'orbita del terremoto lungo la curva $\gamma$.

\begin{prop} \label{strettamente:convessa:prop}
Siano $\eta$ e $\gamma$ due curve semplici chiuse omotopicamente non banali in $S_g$, dotata di una metrica iperbolica $h$. La funzione 
\begin{align*}
\matR & \longrightarrow \matR_{\geqslant 0} \\
\theta & \longmapsto l^\eta(h_\theta^\gamma)
\end{align*}
\`e 
\begin{itemize}
\item costante se $i(\eta,\gamma)=0$,
\item strettamente convessa e propria se $i(\eta, \gamma)>0$.
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{proof}
Possiamo supporre che $\gamma$ sia geodetica rispetto a $h$.
Se $i(\eta,\gamma)=0$ la curva $\eta$ \`e omotopa ad una geodetica chiusa disgiunta da $\gamma$ per il Corollario \ref{geodetiche:cor} e rimane tale nella metrica torta $h_\theta$: quindi la sua lunghezza \`e costante. 

Se $i(\eta,\gamma)>0$ la situazione \`e pi\`u complessa. Indichiamo con $\overline{\eta}^\theta$ la geodetica isotopa a $\eta$ nella metrica torta $h^\theta$: questa \`e una curva che interseca $\gamma$ trasversalmente sempre in $n=i(\eta, \gamma)$ punti. Ricordiamo che la metrica $h^\theta$ \`e ottenuta trasportando la metrica iniziale sull'anello $A_\varepsilon^l$ tramite un diffeomorfismo $\varphi$ che torce le curve secondo una funzione liscia crescente $f$ che vale $0$ in $-\varepsilon$ e $\theta$ in $+\varepsilon$. 

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm] {spezza.pdf}
\nota{Una geodetica rispetto alla metrica torta $h^\theta$ interseca l'anello $A_\varepsilon^l$ in $n$  curve (centro: qui $n=2$) ottenute torcendo tramite il diffeomorfismo $\varphi$ dei segmenti geodetici (sinistra). \`E possibile rappresentare le geodetiche di $h^\theta$ come spezzate rispetto alla metrica originaria $h$, che facciano un salto verso sinistra di angolo $\theta$ ad ogni attraversamento di $\gamma$ (destra).}
\label{spezza:fig}
\end{center}
\end{figure}

La curva $\overline{\eta}^\theta$ \`e una geodetica fuori dall'anello $A_\varepsilon^l$, dove le metriche $h$ ed $h^\theta$ coincidono, e attraversa l'anello in $n$ curve, ciascuna delle quali \`e ottenuta trasportando un segmento geodetico tramite il diffeomorfismo $\varphi$ come in Fig.~\ref{spezza:fig}-(centro). Si pu\`o rappresentare $\overline{\eta}^\theta$ efficacemente sostituendo ciascuna di queste $n$ curve con due segmenti geodetici come mostrato in Fig.~\ref{spezza:fig}. In conclusione, otteniamo una corrispondenza biunivoca
$$\left\{\begin{array}{c} {\rm geodetiche\ chiuse} \\ {\rm rispetto\ a\ } h^\theta \end{array} \right\}
\longleftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {\rm geodetiche\ spezzate} \\ {\rm rispetto\ a\ } h \end{array}\right\}$$
dove si intende che una geodetica spezzata \`e una geodetica chiusa che fa un salto di $\theta$ a sinistra ad ogni attraversamento trasverso di $\gamma$. Questa corrispondenza \`e particolarmente utile perch\'e preserva le lunghezze: la lunghezza della geodetica chiusa rispetto a $h^\theta$ \`e la lunghezza della corrispondente spezzata (cio\`e la somma delle lunghezze delle sue componenti): questo perch\'e i segmenti in Fig.~\ref{spezza:fig}-(sinistra) e le spezzate in Fig.~\ref{spezza:fig}-(destra) hanno la stessa lunghezza.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 6cm] {spezza_su.pdf}
\nota{La retta $l$ (in blu) \`e un sollevamento di $\overline \eta$. Consideriamo $n$ intersezioni consecutive con sollevamenti di $\gamma$ (in rosso): l'$(n+1)$-esimo sollevamento incontrato \`e collegato al primo tramite l'applicazione iperbolica $\tau$ di asse $l$ (qui $n=2$).}
\label{spezza_su:fig}
\end{center}
\end{figure}

Consideriamo adesso il rivestimento universale $p\colon \matH^2 \to S_g$ associato alla metrica iniziale $h$. Consideriamo l'unica geodetica $\overline{\eta}$ isotopa a $\eta$ nella metrica $h$, e fissiamo una retta $l$ in $p^{-1}(\overline\eta)$. Scorrendo lungo $l$, ogni tanto si incrocia un sollevamento di $\gamma$: prendiamo $n+1$ sollevamenti consecutivi $r_1,\ldots, r_{n+1}$ come in Fig.~\ref{spezza:fig}. Sia $\tau$ la trasformazione iperbolica con asse $l$ corrispondente a $\eta$: poich\'e $n=i(\eta,\gamma)$ abbiamo $r_{n+1} = \tau(r_1)$.

La geodetica chiusa $\overline{\eta}^\theta$, rappresentata come spezzata in $S_g$, si solleva ad una spezzata che parte da un certo punto $x_1+\theta\in r_1$ e arriva in un altro punto $x_2\in r_2$, quindi fa un salto di angolo $\theta$ e riparte da $x_2+\theta$ e cos\`\i\ via fino ad arrivare al punto $\tau(x_1)\in \tau(r_1) = r_{n+1}$. Al variare di $x_1\in r_1, \ldots, x_n \in r_n$ si ottengono varie spezzate, ma una sola di queste arriva e parte ad ogni retta $r_i$ con gli stessi angoli, cos\`\i\ da rappresentare veramente una geodetica chiusa. Tutte le altre spezzate rappresentano curve omotope a $\eta$ ed hanno lunghezza maggiore di $\overline{\eta}^\theta$ (le geodetiche chiuse sono le curve pi\`u corte nella loro classe di omotopia). Quindi la lunghezza di $\overline{\eta}^\theta$  \`e pari a
$$l(\overline{\eta}^\theta) = \min \left\{\sum_{i=1}^n d(x_i+\theta, x_{i+1}) \ \Bigg|\ (x_1,\ldots, x_n) \in \matR^n \right\}$$
dove $x_{n+1} = \tau(x_1)$.
Ci resta da verificare che la funzione $\theta \mapsto l(\overline{\eta}^\theta)$ sia propria e strettamente convessa. La funzione
\begin{align*}
\psi\colon \matR^{2n} & \longrightarrow \matR \\
(x_1,y_1, \ldots, x_n,y_n) & \longmapsto \sum_{i=1}^n d(y_i,x_{i+1})
\end{align*}
dove $x_{n+1}=\tau(x_1)$ \`e strettamente convessa e propria per la Proposizione \ref{distanza:convessa:prop}. La funzione ausiliaria
\begin{align*}
\phi\colon \matR^{2n}\times \matR & \longrightarrow \matR \\
(x,\theta) & \longmapsto \psi(x)
\end{align*}
invece \`e solo convessa, ma la sua restrizione al sottospazio 
$$H = \{y_i = x_i + \theta \}$$
\`e ancora strettamente convessa e propria, perch\'e $H$ non \`e parallelo alla direzione $(0,\ldots,0,1)$. Le coordinate $x_i$ e $\theta$ identificano $H$ con $\matR^n \times \matR$. La restrizione $f = \psi|_H$ \`e quindi una funzione $f\colon \matR^n \times \matR \to \matR$ e otteniamo
$$l(\overline \eta^\theta) = \min \left\{f(x,\theta) \ \big| \ x \in \matR^n \right\}.$$
Per il Lemma \ref{convessa:lemma} la funzione $\theta \mapsto l(\overline \eta^\theta)$ \`e strettamente convessa e propria.
\end{proof}

\subsection{Azione dei terremoti e decomposizione in pantaloni}
La convessit\`a delle funzioni lunghezza implica facilmente il fatto seguente.

\begin{cor} \label{distinti:cor}
Per ogni $\gamma$ e per ogni $\theta\neq 0$ le metriche $h$ e $h_\theta^\gamma$ sono elementi distinti in $\Teich(S_g)$.
\end{cor}
\begin{proof}
Se $h = h_\theta$, allora $h= h_{n\theta}$ per ogni $n\in\matN$. Sia $\eta$ una curva semplice chiusa con $i(\eta,\gamma)>0$ (una tale curva esiste sempre: basta completare $\gamma$ ad una decomposizione in pantaloni e prendere una curva come in Fig.~\ref{dual_curves:fig}); la funzione $\theta \mapsto l^\eta(h_\theta^\gamma)$ \`e strettamente convessa e periodica: assurdo. 
\end{proof}

Quanto detto per le curve si estende facilmente alle decomposizioni in pantaloni.
Una decomposizione in pantaloni $\mu = \gamma_1\sqcup \cdots \sqcup \gamma_{3g-3}$ di $S_g$ determina un'azione 
\begin{align*}
T\colon \matR^{3g-3} & \longrightarrow \Aut\big(\Teich(S_g)) \\
 \theta & \longmapsto \big( h \mapsto h_\theta^{\mu} \big)
\end{align*}
dove $\theta = (\theta_1,\ldots, \theta_{3g-3})$ e $h_\theta^\mu = h_{\theta_1}^{\gamma_1} \circ \cdots \circ h_{\theta_{3g-3}}^{\gamma_{3g-3}}$. Anche questa azione non ha punti fissi:

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 9cm] {dual_curves.pdf}
\nota{Come scegliere per ogni curva $\gamma_i$ della decomposizione in pantaloni una curva $\gamma_i'$ che intersechi $\gamma_i$ in uno o due punti e non intersechi le altre curve della decomposizione. Ci sono due casi da considerare, a seconda che $\gamma_i$ sia adiacente a due pantaloni distinti (sinistra) o due volte allo stesso pantalone (destra). }
\label{dual_curves:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{cor}
Per ogni $\mu$ e per ogni $\theta\neq 0$ le metriche $h$ e $h_\theta^\mu$ sono elementi distinti di $\Teich(S_g)$.
\end{cor}
\begin{proof}
Scegliamo per ogni $i=1,\ldots, 3g-3$ una curva $\gamma_i'$ come in Fig.~\ref{dual_curves:fig} tale che $i(\gamma_i,\gamma_i') > 0$ per ogni $i$ e $i(\gamma_i, \gamma_j')=0$ per ogni $i\neq j$. Supponiamo per assurdo che $h=h_\theta^\mu$ per qualche $\theta\neq 0$: conseguentemente abbiamo $h_{n\theta}^\mu = h$ per ogni $n\in\matZ$. Esiste un indice $i$ per cui $\theta_i\neq 0$. La funzione lunghezza $l^{\gamma_i'}$ dipende solo da $\theta_i$ e non dalle altre coordinate di $\theta$, perch\'e la curva $\gamma_i'$ \`e disgiunta da $\gamma_j$ per ogni $i\neq j$. Questa funzione \`e convessa e periodica in $\theta_i$: assurdo.
\end{proof}

\subsection{Coordinate di Fenchel-Nielsen}
Per fissare una bigezione fra lo spazio di Teichm\"uller e $\matR^{6g-6}$ \`e necessario fissare un ``sistema di riferimento''.\footnote{Allo stesso modo, per fissare un isomorfismo fra uno spazio vettoriale reale di dimensione $n$ e $\matR^n$ \`e necessario fissare una base.} Un sistema di riferimento in questo contesto \`e il dato di una orientazione per $S_g$ e due multicurve $\mu$ e $\nu$ in posizione minimale, tali che:

\begin{enumerate}
\item la multicurva $\mu$ \`e una decomposizione in pantaloni,
\item la multicurva $\nu$ decompone ogni pantalone in due esagoni.
\end{enumerate}
Un esempio di sistema di riferimento \`e mostrato in Fig.~\ref{decomposizione:fig}. Un sistema di riferimento induce una mappa
\begin{align*}
\FN\colon \Teich(S_g) & \longrightarrow \matR_{>0}^{3g-3} \times \matR^{3g-3} \\
h & \longmapsto  (l_1,\ldots, l_{3g-3}, \theta_1, \ldots, \theta_{3g-3})
\end{align*}
nel modo seguente. I \emph{parametri di lunghezza} $l_i = l^{\gamma_i}(h)$ sono le funzioni lunghezza sulle curve di $\mu = \gamma_1\sqcup \ldots \sqcup \gamma_{3g-3}$. Gli \emph{angoli di torsione} $\theta_i$ sono definiti nel modo seguente. Sia $\overline{\gamma_i}$ la geodetica omotopa a $\gamma_i$ nella metrica $h$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 11cm] {Teichmuller.pdf}
\nota{Una geodetica $\gamma_1$ con i due pantaloni adiacenti. Il parametro di torsione $t_1$ misura la distanza (nel rivestimento universale) fra due ortogeodetiche.}
\label{Teichmuller:fig}
\end{center}
\end{figure}

Per definire $\theta_i$ abbiamo bisogno della seconda multicurva $\nu$. Consideriamo una geodetica chiusa $\overline{\gamma_1}$. In Fig.~\ref{Teichmuller:fig}-(sinistra) sono mostrati i due pantaloni geodetici adiacenti a $\overline{\gamma_1}$ (che potrebbero anche coincidere). La seconda multicurva $\eta$ interseca questi due pantaloni in quattro archi blu, di cui due $\lambda$, $\lambda'$ intersecano $\overline{\gamma_1}$: scegliamone uno, ad esempio $\lambda$. Fissiamo un sollevamento $\widetilde P\in\matH^2$ del punto $P=\overline{\gamma_1}\cap\lambda$ e da l\`\i\ solleviamo $\overline{\gamma_1}$ ad una geodetica $\widetilde{\gamma_1}$ e $\lambda$ ad una curva (non geodetica) $\widetilde\lambda$ che collega due sollevamenti $\widetilde{\gamma_2}$ e $\widetilde{\gamma_3}$ delle geodetiche chiuse $\overline{\gamma_2}$ e $\overline{\gamma_3}$. Si veda la Fig.~\ref{Teichmuller:fig}-(destra).

Si tracciano come in figura le uniche ortogeodetiche che connettono $\widetilde{\gamma_1}$ a $\widetilde{\gamma_2}$ e a $\widetilde{\gamma_3}$. Il parametro di torsione $\theta_i$ associato a $\gamma_i$ \`e 
$$\theta_i = \frac {2\pi s_i}{l_i}$$
dove $s_i$ \`e la lunghezza del segmento di $\widetilde{\lambda_i}$ compreso tra le due ortogeodetiche. La lunghezza $s_i\in\matR$ \`e da considerare con segno: il segno \`e positivo se (come in figura) un osservatore che cammina lungo una ortogeodetica diretto verso $\widetilde{\gamma_i}$ vede l'altra ortogeodetica a sinistra.\footnote{Questa definizione usa il fatto che $S_g$ \`e orientata.} 

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 5cm] {Teichmuller2.pdf}
\nota{Scegliendo $\lambda'$ invece di $\lambda$ troviamo un segmento della stessa lunghezza $d_1$: entrambi i segmenti misurano infatti lo sfasamento fra due esagoni retti isometrici, i cui lati giacenti su $\widetilde{\gamma_1}$ sono entrambi della stessa lunghezza $\frac{l(\gamma_1)}2$.}
\label{Teichmuller2:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{teo}[Coordinate di Fenchel-Nielsen]
La mappa $\FN$ \`e ben definita ed \`e una biezione.
\end{teo}
\begin{proof}
Notiamo innanzitutto che nella definizione del parametro di torsione avremmo potuto scegliere $\lambda'$ al posto di $\lambda$, ma avremmo trovato la stessa lunghezza $d_1$, come mostrato in Fig.~\ref{Teichmuller2:fig}. La mappa $\FN$ inoltre dipende solo dalla classe di isotopia della metrica $h$: se $h' $ \`e una metrica iperbolica isometrica ad $h$ tramite un diffeomorfismo $\varphi$ isotopo all'identit\`a, i parametri $l_i$ e $\theta_j$ dipendono solo dalla classe di isotopia di $\mu$ e $\eta$ e quindi non variano.

Per qualsiasi vettore $(l_1,\ldots,l_{3g-3})\in\matR_{>0}^{3g-3}$ \`e possibile costruire una metrica su $S_g$ assegnando ad ogni pantalone la metrica iperbolica prescritta dalle lunghezze $l_i$. Un terremoto $T$ di angoli $\theta'$ lungo $\mu$ cambia i parametri di torsione da $\theta$ in $\theta+\theta'$: quindi esiste almeno una metrica per qualsiasi scelta di parametri, la $\FN$ \`e cio\`e suriettiva.

Mostriamo che $\FN$ \`e iniettiva: supponiamo che $\FN(h) = \FN(h')$. A meno dell'azione dei terremoti possiamo supporre $\FN(h)=\FN(h') = (l_1,\ldots,l_{3g-3},0,\ldots,0)$. Poich\'e il parametro di torsione $\theta_1$ \`e nullo, le due ortogeodetiche in Fig.~\ref{Teichmuller:fig}-(destra) sono a distanza $s_1=0$ e quindi formano un'unica ortogeodetica, che proiettata in $S_g$ \`e un'ortogeodetica che collega $\overline{\gamma_2}$ e $\overline{\gamma_3}$ isotopa a $\lambda$. Tutte le ortogeodetiche su tutti i pantaloni si uniscono formando quindi una multicurva geodetica $\overline \nu$ isotopa a $\nu$ e ortogonale a $\overline\mu$. Quindi $S_g\setminus (\overline\mu \cup \overline\nu)$ \`e unione di esagoni retti, determinati geometricamente dalle lunghezze $l_i$ (che determinano le lunghezze di tre loro lati non adiacenti). 

In entrambe le metriche $h$ e $h'$ le multicurve $\mu$ e $\nu$ hanno (unici) rappresentanti geodetici di questo tipo (con le stesse lunghezze e ortogonali fra loro) che suddividono $S_g$ in esagoni retti univocamente determinati. \`E chiaro quindi che esiste una isometria fra $h$ e $h'$ (basta definirla prima su $\overline\mu\cup \overline\nu$ e poi estenderla agli esagoni), e che questa isometria \`e isotopa all'identit\`a.
\end{proof}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm] {parametri.pdf}
\nota{Una torsione di un opportuno angolo $\theta$ permette di far combaciare le curve verdi minimizzando le intersezioni con le curve blu.}
\label{parametri:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{oss}
Come mostrato nella precedente dimostrazione, la metrica $h$ ha parametri di torsione tutti nulli se e solo se gli unici rappresentanti geodetici $\overline \nu$ e $\overline \mu$ di $\nu$ e $\mu$ sono ovunque ortogonali. 
\end{oss}

\subsection{Mapping class group}
Ricordiamo che un diffeomorfismo $\varphi\colon S_g \to S_g$ sposta la metrica $h$ nella metrica $\varphi_*h$, definita come
$$(\varphi_*h)_{\varphi(x)}\big(d\varphi_x(v), d\varphi_x(w)\big) = h_x(v,w).$$
\`E chiaro che se $h$ varia tramite una isotopia anche $\varphi_*h$ varia tramite una corrispondente isotopia; quindi l'azione su $\Teich(S_g)$ seguente:
\begin{align*}
\Teich(S_g) & \longrightarrow \Teich(S_g) \\
[h] & \longmapsto [\varphi_*h]
\end{align*} 
\`e ben definita. \`E anche chiaro che questa azione dipende solo dalla classe di isotopia di $\varphi$. \`E quindi naturale introdurre l'oggetto seguente.
\begin{defn}
Il \emph{mapping class group} di $S_g$ \`e il gruppo
$$\MCG(S_g) = \Diffeo^+(S_g)/_\sim$$
dove $\Diffeo^+(S_g)$ indica il gruppo dei diffeomorfismi $S_g\to S_g$ che preservano l'orientazione e $\varphi\sim\psi$ se esiste un isotopia fra $\varphi$ e $\psi$.
\end{defn}
Il mapping class group $\MCG(S_g)$ agisce sullo spazio di Teichm\"uller $\Teich(S_g)$. Il mapping class group \`e un gruppo ricco di elementi molto diversi fra loro; tra questi elementi giocano un ruolo importante i \emph{twist di Dehn}.

\subsection{Twist di Dehn}
Sia $\gamma$ una curva semplice chiusa omotopicamente non banale in una superficie orientata $S_g$. Il \emph{twist di Dehn} lungo $\gamma$ \`e un elemento $T_\gamma \in \MCG(S_g)$ definito nel modo seguente.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 12.5 cm] {Dehn_twist.pdf}
\nota{Un twist di Dehn lungo una curva $\gamma$ mappa un arco trasverso $\mu$ su un arco che fa un giro completo verso sinistra.}
\label{Dehn_twist:fig}
\end{center}
\end{figure}

Scegliamo un intorno tubolare di $\gamma$ diffeomorfo a $S^1\times [-1,1]$ in cui $\gamma$ giace come $S^1\times\{0\}$. Sia $f\colon[-1, 1] \to \matR$ una funzione liscia che valga zero in $\left[-1, -\frac 1 2\right]$ e $2\pi$ in $\left[\frac 1 2,1\right]$. Sia 
$$T_\gamma\colon S_g \longrightarrow S_g$$ 
il diffeomorfismo che sull'intorno tubolare \`e definito come $T_\gamma(e^{i\alpha},t) = (e^{i(\alpha+f(t))},t)$ e sul suo complementare in $S_g$ \`e semplicemente l'identit\`a. Il diffeomorfismo $\varphi$ fa fare un giro completo a sinistra agli archi che intersecano $\gamma$ trasversalmente come in Fig.~\ref{twist:fig}. 

\begin{prop} L'elemento $T_\gamma \in \MCG(S_g)$ dipende solo dalla classe di omotopia di $\gamma$.
\end{prop}
\begin{proof}
Nel definire $T_\gamma$ abbiamo scelto un intorno tubolare di $\gamma$ ed una funzione $f$. Gli intorni tubolari di sottovariet\`a differenziabili sono per\`o tutti isotopi fra loro e lo sono anche le funzioni crescenti ad estremi fissati: questi fatti implicano facilmente che $T_\gamma$ dipende a meno di isotopia solo da $\gamma$. Infine dipende solo dalla classe di omotopia di $\gamma$ perch\'e ogni omotopia di curve \`e collegata da una isotopia ambiente per la Proposizione \ref{ambiente:prop}.
\end{proof}

\begin{oss} Nella definizione di $T_\gamma$ abbiamo avuto bisogno dell'orientazione di $S_g$ per distinguere fra ``girare a sinistra'' e ``girare a destra'', ma non di un'orientazione per $\gamma$.
\end{oss}

\begin{prop}
L'elemento $T_\gamma\in\MCG(S_g)$ manda la metrica $h$ nella metrica $h_{2\pi}^\gamma$ ottenuta con un terremoto di angolo $2\pi$ lungo $\gamma$. 
\end{prop}
\begin{proof}
Per definire $h_\theta^\gamma$ prendiamo un $\varepsilon$-intorno metrico di $\gamma$ e lo parametrizziamo come $S^1\times [-\varepsilon, \varepsilon]$, quindi trasportiamo la metrica usando un diffeomorfismo $\varphi$ di $S^1\times [-\varepsilon, \varepsilon]$ che torce gli archi a sinistra di un angolo $\theta$. Se $\theta=2\pi$ il diffeomorfismo $\varphi$ \`e l'identit\`a sul bordo dell'intorno metrico e quindi si incolla con la funzione identit\`a sul resto di $S_g$, definendo un Dehn twist. 
\end{proof}

\subsection{Funzioni lunghezza su $9g-9$ curve}
Le $3g-3$ funzioni lunghezza su una decomposizione in pantaloni non sono sufficienti per caratterizzare completamente un punto $h$ di $\Teich(S_g)$: le coordinate di Fenchel-Nielsen mostrano che dobbiamo aggiungere altri $3g-3$ parametri di torsione. Alternativamente, \`e possibile aggiungere altre $6g-6$ funzioni lunghezza.

Sia $\mu = \gamma_1\sqcup \ldots \sqcup \gamma_{3g-3}$ una decomposizione in pantaloni per $S_g$. Per ogni $\gamma_i$ scegliamo una curva $\gamma_i'$ come mostrato in Fig.~\ref{dual_curves:fig}. Indichiamo inoltre con $\gamma_i'' = T_{\gamma_i}(\gamma_i')$ la curva ottenuta torcendo $\gamma_i'$ lungo $\gamma_i$.

\begin{prop} \label{9g-9:prop}
La mappa
\begin{align*}
L\colon \Teich(S_g) & \longrightarrow \matR_{>0}^{9g-9} \\
h & \longmapsto \big(l(\gamma_i), l(\gamma_i'), l(\gamma_i'')\big)
\end{align*}
\`e iniettiva.
\end{prop}
\begin{proof}
Siano $\FN(h) = (l(\gamma_i), \theta_i)$ le coordinate di Fenchel-Nielsen di un punto $h\in\Teich(S_g)$.
Per costruzione $\gamma_i'$ e $\gamma_i''$ intersecano $\gamma_j$ se e solo se $i=j$. Quindi le loro funzioni lunghezza $l(\gamma_i')$ e $l(\gamma_i'')$ dipendono solo da $\theta_i$. Sappiamo che $l(\gamma_i') = f(\theta_i)$ per una funzione strettamente convessa $f$ e per la proposizione precedente
$l(\gamma_i'') = f(\theta_i+2\pi)$. Una funzione convessa $f$ non \`e iniettiva, ma la funzione 
\begin{align*}
\matR & \longrightarrow \matR \times \matR \\
\theta_i & \longmapsto \big(f(\theta_i), f(\theta_i + 2 \pi)\big)
\end{align*}
\`e iniettiva e allora le funzioni $l(\gamma_i)$, $l(\gamma_i')$ e $l(\gamma_i'')$ determinano le coordinate $\FN(h)$. Quindi $L$ \`e iniettiva.
\end{proof}

\subsection{Lemma del collare}
Abbiamo visto nella Proposizione \ref{A:prop} che una geodetica semplice chiusa $\gamma$ in una superficie iperbolica completa $S$ ha sempre un intorno isometrico all'anello $A_\varepsilon^l$ di larghezza $2\varepsilon$, per qualche $\varepsilon>0$. Mostriamo in questa sezione che possiamo scegliere $\varepsilon$ grande quando $\gamma$ \`e corta: geodetiche molto corte hanno intorni isometrici ad anelli molto larghi. Mostriamo inoltre che geodetiche disgiunte hanno intorni di questo tipo disgiunti.

Definiamo una funzione $f\colon \matR_{>0} \to \matR_{>0}$ nel modo seguente. Per ogni $l\in\matR_{>0}$ si sceglie un segmento in $\matH^2$ di lunghezza $l$ e si tracciano due semirette ortogonali a $s$ nei suoi estremi come in Fig.~\ref{collar:fig}-(sinistra). Gli estremi delle due semirette identificano due punti in $\partial \matH^2$ che determinano a loro volta una retta $r$: sia $f(l)$ la distanza fra il segmento iniziale e $r$. Dalla costruzione si vede facilmente che $f$ \`e una funzione strettamente crescente con $\lim_{l \to 0} f(l) = \infty$. Ricordiamo che l'$R$-intorno $N_R(X)$ di un sottoinsieme $X$ \`e l'insieme di tutti i punti a distanza al pi\`u $R$ da qualche punto di $X$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 11cm] {collar.pdf}
\nota{Per definire $f(l)$ prendiamo un segmento (nero) lungo $l$ e tracciamo due semirette perpendicolari (rosse) uscenti dai suoi estremi. Le due semirette identificano due punti all'infinito, estremi di una nuova retta (blu) $r$. Il numero reale $f(l)$ \`e la distanza fra il segmento iniziale e $r$ (sinistra). Disegniamo un pantalone geodetico come unione di due esagoni isometrici: le geodetiche chiuse $\gamma_1$ e $\gamma_2$ hanno due $f(l_1)$ e $f(l_2)$-intorni disgiunti, colorati qui in giallo (destra).} 
\label{collar:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{lemma}[Lemma del collare] Sia $S_g$ dotata di una metrica iperbolica. Siano $\gamma_1, \ldots, \gamma_k$ geodetiche chiuse digiunte di lunghezza $l_1,\ldots, l_k$. Gli $f(l_i)$-intorni $N_{f(l_1)}(\gamma_1),\ldots, N_{f(l_k)}(\gamma_k)$ sono disgiunti e isometrici a $A_{f(l_1)}^{l_1}, \ldots, A_{f(l_k)}^{l_k}$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Le geodetiche semplici chiuse $\gamma_1 \sqcup \cdots \sqcup \gamma_k$ possono essere completate ad una decomposizione in pantaloni geodetici $\gamma_1 \sqcup \cdots \sqcup \gamma_{3g-3}$: dimostriamo il lemma per questo insieme pi\`u grande di curve. \`E sufficiente mostrare il lemma per gli $f(l_i)$-intorni di due curve $\gamma_1$ e $\gamma_2$ adiacenti ad un pantalone. 

Il pantalone geodetico si suddivide in due esagoni isometrici, che rappresentiamo nel rivestimento universale $\matH^2$ come in Fig.~\ref{collar:fig}-(destra). Prolunghiamo i lati (neri) dei due esagoni incidenti a $\gamma_1$ fino a determinare due punti all'infinito e quindi una retta (blu) $r_1$. Operando analogamente per $\gamma_2$ otteniamo un'altra retta $r_2$ disgiunta da $r_1$. 

La distanza fra $\gamma_i$ e $r_i$ \`e proprio $f(l_i)$: \`e chiaro quindi che gli $f(l_1)$ e $f(l_2)$-intorni di $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono disgiunti. Gli $f(l_i)$-intorni sono colorati in figura.
\end{proof}

Il lemma del collare ha molte applicazioni, tra cui la seguente.
\begin{cor}  \label{strizza:cor}
Sia $S_g$ dotata di una metrica iperbolica.
Siano $\gamma$ e $\eta$ due geodetiche semplici chiuse in $S_g$. Vale la disuguaglianza
$$l(\eta)\geqslant 2i(\gamma,\eta) f(l(\gamma)).$$
\end{cor}
\begin{proof}
La geodetica $\gamma$ ha un intorno anulare metrico di raggio $f(l(\gamma))$. La geodetica $\eta$ interseca $\gamma$ in esattamente $i(\eta,\gamma)$ punti e quindi interseca l'intorno anulare in almeno $i(\eta,\gamma)$ segmenti, ciascuno lungo almeno $2f(l(\gamma))$.
\end{proof}

\subsection{Topologia dello spazio di Teichm\"uller}
Indichiamo con $\calC$ l'insieme delle curve chiuse (non orientate) non banali in $S_g$, considerate a meno di isotopia. Ogni elemento $\gamma\in\calC$ induce una funzione lunghezza
$$l^\gamma\colon \Teich(S_g) \longrightarrow \matR_{>0}.$$
Definiamo una topologia per $\Teich(S_g)$ nel modo seguente.
\begin{defn} La topologia di $\Teich(S_g)$ \`e la meno fine fra tutte quelle che rendono le funzioni lunghezza $l^\gamma$ continue.
\end{defn}
Indichiamo con $\matR^\calC$ l'insieme delle funzioni $\calC \to \matR$. Esaminiamo la mappa naturale
\begin{align*}
\Teich(S_g) & \longrightarrow \matR^\calC \\
h & \longmapsto \big( \gamma \longmapsto l^\gamma(h) \big)
\end{align*}
Per la Proposizione \ref{9g-9:prop} questa mappa \`e iniettiva: possiamo quindi considerare $\Teich(S_g)$ come sottoinsieme di $\matR^\calC$; la topologia che gli abbiamo assegnato \`e precisamente quella di sottospazio in $\matR^\calC$ dotato dell'usuale topologia prodotto.\footnote{Ricordiamo che la topologia prodotto su un prodotto (anche infinito, come in questo caso) di spazi topologici \`e la meno fine fra tutte quelle che rendono le proiezioni continue.}
Verifichiamo che le coordinate di Fenchel-Nielsen sono un omeomorfismo: 

\begin{prop}
Le coordinate di Fenchel-Nielsen 
$$\FN\colon \Teich(S_g) \longrightarrow \matR_{>0}^{3g-3}\times\matR^{3g-3}$$
sono un omeomorfismo.
\end{prop}
\begin{proof}
Consideriamo $\Teich(S_g)$ dentro $\matR^\calC$ e valutiamo la mappa inversa
$$\FN^{-1}\colon\matR_{>0}^{3g-3}\times\matR^{3g-3} \longrightarrow \matR^\calC.$$
Sappiamo che la mappa \`e iniettiva ed ha come immagine $\Teich(S_g)$. La mappa $\FN^{-1}$ assegna ai parametri $(l_i, \theta_i)$ una metrica su $S_g$ costruita incollando esagoni: gli esagoni ed il modo in cui vengono incollati dipendono in modo continuo dai parametri $(l_i, \theta_i)$, e quindi anche le lunghezze di curve chiuse dipendono in modo continuo. Per ogni $\gamma\in\calC$ la funzione $l^\gamma$ \`e il minimo delle lunghezze all'interno della classe di omotopia di $\gamma$ e quindi anche $l^\gamma$ dipende in modo continuo dai parametri $(l_i,\theta_i)$. Abbiamo dimostrato che $\FN^{-1}$ \`e continua.

Mostriamo che $\FN^{-1}$ \`e propria. Prendiamo una successione di parametri $(l_i,\theta_i)$ divergente (cio\`e senza sottosuccessioni convergenti) in $\matR_{>0}^{3g-3}\times \matR^{3g-3}$ e mostriamo che la sua immagine in $\matR^\calC$ \`e anch'essa una successione divergente: questa tesi equivale a mostrare che la funzione lunghezza di qualche curva tende a infinito.
Se $l_i\to +\infty$ per qualche $i$, allora siamo a posto. Se $l_i\to 0$, la lunghezza di una qualsiasi curva chiusa che interseca $\gamma_i$ tende a infinito per il Corollario \ref{strizza:cor} e siamo ancora a posto. Infine, supponiamo che le lunghezze $l_i$ siano tutte limitate in un compatto ma qualche $\theta_j$ tende a infinito: in questo caso la lunghezza di una qualsiasi curva che interseca $\gamma_j$ tende a infinito per la Proposizione \ref{strettamente:convessa:prop}.

Una mappa iniettiva, continua e propria definita su uno spazio localmente compatto \`e un omeomorfismo sull'immagine. Quindi $\FN^{-1}$ \`e un omeomorfismo sull'immagine, cio\`e $\FN$ \`e un omeomorfismo.
\end{proof}

\begin{prop}
Terremoti e mapping class group agiscono su $\Teich(S_g)$ tramite omeomorfismi. Per i terremoti, tutta l'azione
$$\matR^{3g-3} \times \Teich(S_g) \longrightarrow \Teich(S_g)$$
\`e una mappa continua. 
\end{prop}
\begin{proof}
Il mapping class group agisce sull'insieme delle curve $\calC$ e quindi globalmente su $\matR^\calC$ tramite omeomorfismi, quindi preserva la topologia del sottoinsieme $\Teich(S_g)$. 
Rispetto alle coordinate $(l_i,\theta_i)$ di Fenchel-Nielsen, l'azione di terremoto manda semplicemente $\theta$ in $\theta+\theta'$.
\end{proof}

Anche la rappresentazione in $\matR^{9g-9}$ data dalla Proposizione \ref{9g-9:prop} \`e topologicamente fedele.

\begin{prop}
La rappresentazione iniettiva $\Teich(S_g) \to \matR^{9g-9}$ \`e un omeomorfismo sull'immagine.
\end{prop}
\begin{proof}
Possiamo identificare $\Teich(S_g)$ con le coordinate di Fenchel-Nielsen e verificare che la mappa $\matR_{>0}^{3g-3}\times \matR^{3g-3} \to \matR^{9g-g}$ risultante \`e iniettiva, continua e propria. La mappa manda $(l_i, \theta_i)$ in $(l_i, l_i', l_i'')$ dove $l_i'$ e $l_i''$ sono le lunghezze di due curve che intersecano $\gamma_i$. Sappiamo gi\`a che la mappa \`e iniettiva e le funzioni lunghezza sono continue. La stessa dimostrazione della proposizione precedente mostra anche che la funzione \`e propria.
\end{proof}
