\chapter{Richiami} \label{richiami:chapter}
In questo capitolo richiamiamo vari concetti generali di topologia e geometria differenziale che verranno usati successivamente in questo libro.

\section{Topologia differenziale}

\subsection{Variet\`a differenziabili}
Una \emph{variet\`a topologica} di dimensione $n$ \`e uno spazio topologico $M$ di Hausdorff e paracompatto localmente omeomorfo ad $\matR^n$. In altre parole, esiste un ricoprimento $\{U_i\}$ di $M$ fatto di aperti $U_i$ omeomorfi ad aperti $V_i$ di $\matR^n$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 7 cm] {300px-Alexander_horned_sphere.png}
\nota{La \emph{sfera cornuta di Alexander} \`e un sottoinsieme di $\matR^3$ omeomorfo alla sfera $S^2$. Divide lo spazio $\matR^3$ in due componenti connesse, nessuna delle quali \`e omeomorfa ad un disco aperto. \`E stato costruito da Alexander come controesempio ad una naturale generalizzazione del teorema della curva di Jordan in dimensione 3. La naturale generalizzazione sarebbe la seguente: \`e vero che ogni sfera in $\matR^3$ \`e il bordo di una palla? Se la sfera \`e intesa solo come sottovariet\`a topologica, la risposta \`e negativa e la sfera di Alexander \`e un controesempio. Se invece la sfera \`e intesa come sottovariet\`a differenziabile la risposta \`e positiva, come dimostrato dallo stesso Alexander.}
\label{Alexander:fig}
\end{center}
\end{figure}

Le variet\`a topologiche sono oggetti molto difficili da trattare. La loro definizione \`e troppo generale e non permette di definire e dimostrare quasi nulla. Anche la stessa nozione di dimensione \`e non banale: per dimostrare che un aperto di $\matR^k$ non \`e omeomorfo ad un aperto di $\matR^h$ per $k$ e $h$ differenti infatti abbiamo bisogno di strumenti raffinati come l'omologia. Definire e trattare sottospazi topologici in una variet\`a topologica \`e difficile: ad esempio, la \emph{sfera di Alexander} mostrata in Fig.~\ref{Alexander:fig} \`e un sottospazio di $\matR^3$ topologicamente omeomorfo ad una sfera. \`E un oggetto molto complicato che ha molti punti che non sono ``lisci'' e non possono essere ``allisciati'' in nessun modo.

Per definire oggetti pi\`u trattabili e ``lisci'' si fa generalmente ricorso ai potenti strumenti del calcolo infinitesimale in pi\`u variabili. A questo scopo si definiscono le nozioni di \emph{carta} e \emph{atlante}.

\begin{defn} Sia $M$ una variet\`a topologica.
Una \emph{carta} \`e un fissato omeomorfismo $\varphi_i\colon U_i \to V_i$ fra un aperto $U_i$ di $M$ ed un aperto $V_i$ di $\matR^n$. Un \emph{atlante} \`e un insieme di carte $\{(U_i, \varphi_i)\}$ tale che gli aperti $U_i$ ricoprono $M$. Un \emph{atlante differenziabile} \`e un atlante in cui le \emph{funzioni di transizione} $\varphi_{ji} = \varphi_j\circ \varphi_i^{-1}$, ove definite, sono lisce.\footnote{Se $U_i\cap U_j \neq \emptyset $ allora la funzione di transizione $\varphi_{ji}$ \`e l'omeomorfismo fra gli aperti $\varphi_i({U_i\cap U_j})$ e $\varphi_j({U_i\cap U_j})$ di $\matR^n$ definito come $\varphi_{ji} = \varphi_j|_{U_i\cap U_j} \circ (\varphi_i|_{U_i \cap U_j})^{-1}$. Questa mappa deve essere liscia (cio\`e $C^\infty$): questa richiesta ha senso perch\'e dominio e codominio sono aperti di $\matR^n$.}
\end{defn}

\begin{defn}
Una \emph{variet\`a differenziabile} \`e una variet\`a topologica dotata di un atlante differenziabile. 
\end{defn}

\begin{oss}
Molti atlanti diversi su $M$ definiscono in realt\`a lo stesso oggetto. \`E possibile dare una definizione che non dipenda dalla particolare scelta dell'atlante. Si definiscono due atlanti \emph{compatibili} se la loro unione \`e anch'essa un atlante differenziabile. La struttura differenziale di $M$ \`e quindi identificata dall'atlante compatibile \emph{massimale}, cio\`e quello che contiene tutti gli atlanti compatibili. 
\end{oss}

Abbiamo definito gli oggetti, passiamo come sempre a definire degli opportuni morfismi fra gli oggetti.

\begin{defn}
Una funzione $f\colon M \to N$ fra variet\`a differenziabili \`e \emph{liscia} se lo \`e localmente letta tramite le carte.\footnote{Per ogni $p \in M$ devono esistere due carte $(U_i, \varphi_i)$ di $M$ e $(U_j', \varphi_j')$ di $N$ contenenti rispettivamente $p$ e $f(p)$ tali che la composizione $\varphi_j'\circ f \circ \varphi_i^{-1}$ sia una funzione liscia da $\varphi_i(U_i)$ in $\varphi_j(U_j')$. Le variet\`a $M$ e $N$ possono avere dimensioni differenti.}
\end{defn}

Un \emph{diffeomorfismo} \`e una funzione liscia $f\colon M \to N$ che ammette una inversa $g\colon N\to M$ liscia.

Una \emph{curva} in $M$ \`e una funzione liscia $\gamma \colon I \to M$ definita su un intervallo $I$ della retta reale (l'intervallo $I$ pu\`o coincidere con $\matR$, essere aperto, chiuso, etc.).

\begin{defn} Una variet\`a differenziale \`e \emph{orientata} se \`e dotata di un atlante in cui tutte le funzioni di transizione preservano l'orientazione di $\matR^n$, cio\`e se il determinante del loro differenziale in ogni punto \`e positivo.
\end{defn}

Non tutte le variet\`a possono essere orientate. 

\subsection{Spazio tangente} \label{tangente:subsection}
Sia $M$ una variet\`a differenziabile di dimensione $n$. \`E possibile definire per ogni punto $p\in M$ uno spazio vettoriale $n$-dimensionale $T_pM$ detto \emph{spazio tangente}. 

Lo spazio $T_p$ pu\`o essere definito brevemente come l'insieme delle curve $\gamma\colon ]-a,a[ \to M$ tali che $f(0) = p$ con $a>0$ qualsiasi, viste a meno di una relazione di equivalenza. La relazione \`e la seguente: si identificano due curve che, lette in una carta $(U_i,\varphi_i)$, abbiano la stessa tangente nel punto $\varphi_i(p)$. La definizione non dipende dalla carta scelta.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 6 cm] {Tangentialvektor.pdf}
\nota{Lo spazio tangente in $p$ pu\`o essere definito come l'insieme delle curve $\gamma$ con $\gamma(0)=p$ viste a meno di una relazione di equivalenza, che identifica due curve che hanno (in qualche carta) la stessa tangente in $p$. Questa condizione \`e vera in una carta se e solo se \`e vera in tutte le carte.}
\label{Tangentialvektor:fig}
\end{center}
\end{figure}


Una carta identifica $T_pM$ con lo spazio tangente al punto $\varphi_i(p)$ nell'aperto $V_i = \varphi_i(U_i)$, cio\`e con $\matR^n$ stesso. Due carte diverse $\varphi_i$ e $\varphi_j$ danno due identificazioni differenti, ma la relazione fra queste \`e un isomorfismo di spazi vettoriali, dato dal differenziale (invertibile) di $\varphi_{ji}$. La struttura di spazio vettoriale su $T_p$ \`e quindi ben definita.

Ogni mappa liscia $f\colon M \to N$ fra variet\`a differenziabili induce in ogni punto $p\in M$ una mappa lineare $df_p\colon T_pM \to T_{f(p)} N$ fra spazi tangenti nel modo seguente: la curva $\gamma$ viene mandata nella curva $f\circ\gamma$.

\begin{defn} Una mappa $f\colon M \to N$ \`e un \emph{diffeomorfismo locale} in un punto $p \in M$ se esistono due aperti $U\subset M$ e $V\subset N$  contenenti rispettivamente $p$ e $f(p)$ tale che $f|_U\colon U \to V$ sia un diffeomorfismo.
\end{defn}

Il teorema di invertibilit\`a locale per aperti di $\matR^n$ implica facilmente il risultato seguente, che mostra l'importanza degli spazi tangenti.

\begin{teo}
Sia $f\colon M \to N$ una mappa liscia fra variet\`a della stessa dimensione. La mappa \`e un diffeomorfismo locale in $p\in M$ se e solo se il differenziale $df_p\colon T_pM \to T_{f(p)}N$ \`e invertibile.
\end{teo}

Nell'enunciato, una condizione puntuale (differenziabile invertibile in un punto) implica una condizione locale (diffeomorfismo). Vedremo pi\`u avanti che in geometria riemanniana una condizione puntuale pu\`o anche implicare una condizione globale.

Se $\gamma\colon I \to M$ \`e una curva, la sua \emph{velocit\`a} $\gamma'(t)$ in $t\in I$ \`e il vettore tangente $\gamma'(t) = d\gamma_t(1)$. Qui per 1 intendiamo il vettore 1 nello spazio tangente $\matR$ a $p$ in $I$. Notiamo che la velocit\`a \`e un vettore ma non un numero: il modulo di un vettore tangente non \`e definito in una variet\`a differenziabile (perch\'e lo spazio tangente \`e solo uno spazio vettoriale reale, non ha una norma). 

\subsection{Fibrato tangente}
L'unione degli spazi tangenti $T_p$ al variare di $p\in M$ \`e essa stessa in modo naturale una variet\`a differenziabile di dimensione doppia $2n$, detta \emph{fibrato tangente}. Questa variet\`a \`e indicata con il simbolo $TM$. Un atlante per $M$ induce infatti un atlante per $TM$. Come abbiamo visto, una carta $(U_i, \varphi_i)$ per $M$ identifica $\cup_{p\in U_i} T_p$ con l'aperto $\varphi(U_i) \times \matR^n$ di $\matR^{2n}$. Si pu\`o quindi dare una topologia a $TM$ in modo che $\cup_{p\in U_i} T_p$ siano aperti e queste identificazioni siano carte. Le funzioni di transizione sono automaticamente differenziabili.

Ogni mappa liscia $f\colon M \to N$ fra variet\`a differenziabili induce in ogni punto $p\in M$ una mappa lineare $df_p\colon T_pM \to T_{f(p)} N$ fra spazi tangenti (e quindi globalmente una mappa differenziabile $f_*\colon TM\to TN$ fra fibrati tangenti).

\subsection{Sottovariet\`a differenziabili}
Sia $N$ una variet\`a differenziabile di dimensione $n$. Una \emph{sottovariet\`a differenziabile} di dimensione $m$ in $N$ \`e un sottoinsieme connesso $M$ che \`e localmente %come luogo di zeri di funzioni a valori in $\matR^{n-k}$ con differenziale ovunque surgettivo.%\footnote{Oppure possono essere definite localmente 
l'immagine di una funzione iniettiva $\varphi\colon U\to N$ definita su un aperto $U\subset \matR^m$ con differenziale $d\varphi$ ovunque iniettivo\footnote{Si intende che ogni $p\in M$ ha un intorno $V$ in $N$ tale che $V\cap M = {\rm Im}(\varphi)$ per una $\varphi\colon U \to N$.}.  
 %Le due definizioni sono equivalenti e (per fortuna) sono entrambe molto semplici.} 

Il sottoinsieme $M$ ha una naturale struttura di $m$-variet\`a differenziabile, e per ogni $p \in M$ lo spazio tangente $T_p M$ \`e in modo naturale un $m$-sottospazio di $T_p N$; l'intero fibrato $TM$ \`e una sottovariet\`a di $TN$. 

\subsection{Omotopia, isotopia e isotopia ambiente}
Ricordiamo che una \emph{omotopia} fra due mappe continue $\varphi, \psi\colon X \to Y$ fra spazi topologici $X$ e $Y$ \`e una mappa $F\colon X\times [0,1]\to Y$  tale che $F_0 = \varphi$ e $F_1 = \psi$, dove si intende ovviamente $F_t = F(\cdot, t)$. Una omotopia \`e una \emph{isotopia} se ogni funzione $F_t$ \`e un omeomorfismo. 

Una \emph{isotopia ambiente} in uno spazio topologico $X$ \`e una isotopia fra $\id_X$ e un altro omeomorfismo $\varphi\colon X \to X$; con un piccolo abuso di linguaggio, chiamiamo una isotopia ambiente un omeomorfismo $\varphi\colon X \to X$ che \`e isotopo all'identit\`a. Se $X$ \`e una variet\`a differenziabile, aggiungiamo anche implicitamente a questa condizione l'ipotesi che $\varphi$ sia un diffeomorfismo\footnote{Non richiediamo per\`o che l'isotopia sia liscia: questa condizione aggiuntiva non porterebbe grandi vantaggi in questa trattazione, e renderebbe alcune dimostrazioni notevolmente pi\`u complicate, ad esempio il trucco di Alexander nella Sezione \ref{Alexander:subsection} del Capitolo \ref{superfici:chapter} non funzionerebbe.}.

\subsection{Intorno tubolare}
Indichiamo con $D^k \subset \matR^k$ il disco chiuso unitario. Una $m$-sottovariet\`a compatta $M$ di una $n$-variet\`a $N$ ha sempre un intorno, detto \emph{intorno tubolare}, diffeomorfo ad un $D^{n-m}$-fibrato su $M$. Nei casi utili in questa trattazione il fibrato sar\`a sempre banale:

\begin{teo} \label{tubolare:teo}
Sia $N$ una $n$-variet\`a differenziabile orientabile e $M\subset N$ una $m$-sottovariet\`a differenziabile compatta orientabile. Se $m = 1$ oppure $m=n-1$, esiste un intorno chiuso $V$ di $M$ in $N$ detto \emph{intorno tubolare}, per cui esiste un diffeomorfismo di coppie 
$$(V,M)\isom (M\times D^{n-m} , M \times 0).$$
L'intorno tubolare $V$ \`e unico a meno di isotopie ambiente di $N$.
\end{teo}

Un \emph{disco} in una $n$-variet\`a $N$ \`e una sotto-$n$-variet\`a $D\subset N$ con bordo, diffeomorfa al disco $D^n$.

\begin{teo} \label{dischi:teo}
Sia $N$ una $n$-variet\`a differenziabile. Dati due dischi $D, D' \subset N$, esiste sempre una isotopia ambiente che porta il primo nel secondo.
\end{teo}

\subsection{Variet\`a con bordo}
Una \emph{variet\`a differenziabile $M$ con bordo} \`e uno spazio topologico con carte in un semispazio fissato di $\matR^n$ invece che in $\matR^n$. Gli atlanti sono sempre funzioni lisce. I punti corrispondenti al bordo del semispazio formano un sottoinsieme $\partial M$ di $M$ detto appunto \emph{bordo}. Il bordo di una $n$-variet\`a \`e in modo naturale una $(n-1)$-variet\`a senza bordo.

Possiamo definire lo spazio tangente $T_xM$ di un punto $x\in \partial M$ come insieme di curve passanti per $x$ a meno di equivalenza esattamente come fatto sopra: lo spazio $T_xM$ \`e in modo naturale un semi-spazio vettoriale, limitato da un iperpiano naturalmente identificato con $T_x\partial M$. 

\subsection{Taglia e incolla}
Se $N$ \`e una variet\`a differenziabile orientabile e $M\subset N$ una sottovariet\`a orientabile di codimensione 1, \`e possibile \emph{tagliare} $N$ lungo $M$ e ottenere una nuova variet\`a con bordo, nel modo seguente. Per il Teorema \ref{tubolare:teo} la sottovariet\`a $M$ ha un intorno tubolare diffeomorfo a $M\times [-1,1]$: l'operazione di taglio consiste nella rimozione di $M\times (-\frac 12, + \frac 12)$ dall'intorno. La variet\`a tagliata ha due nuove componenti di bordo $M\times \{-\frac 12\}$ e $M\times \left\{\frac 12\right\}$, entrambe diffeomorfe a $M$. La variet\`a tagliata dipende (a meno di diffeomorfismi) soltanto da $M$ e non dalla scelta dell'intorno tubolare, perch\'e quest'ultimo \`e unico a meno di isotopia ambiente in $N$.

D'altra parte, se $M$ e $N$ sono due $n$-variet\`a con bordo e $\varphi\colon \partial M \to \partial N$ \`e un diffeomorfismo, \`e possibile \emph{incollare} le due variet\`a lungo $\varphi$ e ottenere una nuova variet\`a differenziabile. La nuova variet\`a \`e lo spazio topologico quoziente $M\cup_\varphi N$ ottenuto identificando $x$ con $\varphi(x)$ per ogni $x\in\partial M$. Si tratta di una variet\`a topologica su cui \`e possibile definire una struttura differenziabile, unica a meno di diffeomorfismi.\footnote{La costruzione di questa struttura usa l'esistenza di un \emph{collare} per ciascuno dei bordi, cio\`e un intorno tubolare di $\partial M$ e $\partial N$ diffeomorfo rispettivamente a $\partial M \times [0,1]$ e $\partial N \times [0,1]$ in cui $\partial M$ e $\partial N$ sono identificate a $\partial M\times 1$ e $\partial N \times 0$ rispettivamente. La variet\`a incollata \`e quindi definita a partire dall'unione disgiunta $(M\setminus \partial M)\sqcup (N\setminus \partial N)$ delle due variet\`a con i bordi rimossi, identificando gli \emph{aperti} $\partial M\times (0,1)$ e $\partial N\times (0,1)$ tramite $\varphi$, cio\`e $(x,t) \sim (\varphi(x), t)$ per ogni $t\in (0,1)$. Sul quoziente \`e ben definito un atlante differenziabile ereditato da $M$ e $N$.}

\subsection{Trasversalit\`a}
Sia $f\colon M \to N$ una funzione liscia fra variet\`a differenziabili e $X\subset N$ una sottovariet\`a differenziabile di $N$. Diciamo che $f$ \`e \emph{trasversa} rispetto a $X$ se per ogni $p\in f^{-1}X$ vale la condizione
$$\img (d f_p) + T_{f(x)}X = T_{f(x)}N.$$
Le mappe trasverse rispetto ad una sottovariet\`a fissata $X$ sono generiche, formano cio\`e un aperto denso nello spazio di tutte le mappe continue fra $X$ e $Y$, dotato di un'opportuna topologia. Vale in particolare il fatto seguente.
\begin{teo}
Sia $f\colon M \to N$ mappa continua e $d$ una metrica su $N$ compatibile con la topologia. Per ogni $\varepsilon >0$ esiste una mappa liscia $f'$ trasversa a $X$ omotopa a $f$ e tale che $d(f(p), f'(p))<\varepsilon$ per ogni $p\in M$.
\end{teo}

\section{Geometria riemanniana}

\subsection{Tensore metrico}
In una variet\`a differenziabile \`e definito uno spazio tangente in ogni punto. Non sono per\`o definite le nozioni di distanza fra punti, di volume, di angolo fra vettori, di lunghezza di un vettore. Ad esempio la velocit\`a di una curva \`e un vettore tangente il cui modulo non \`e per\`o definito. Per ottenere queste (ed altre) nozioni geometriche \`e sufficiente introdurre un solo oggetto, il tensore metrico.

Un \emph{tensore metrico} per $M$ \`e il dato di un prodotto scalare su ogni spazio tangente $T_p$ di $M$, che vari in modo liscio al variare di $p$ in $M$.\footnote{Su ogni carta il prodotto scalare \`e esprimibile come una matrice i cui coefficienti devono variare in modo liscio con il punto.}

\begin{defn}
Una \emph{variet\`a riemanniana} \`e una variet\`a differenziabile dotata di un tensore metrico che sia definito positivo su ogni spazio tangente. Generalmente si indica come coppia $(M,g)$, dove $M$ \`e la vairet\`a e $g$ il tensore.
\end{defn}

Consideriamo subito due esempi fondamentali.

\begin{example}
Lo \emph{spazio euclideo} \`e la variet\`a $\matR^n$ dotata del tensore metrico euclideo $g(x,y) = \sum_{i=1}^n x_iy_i$ su ogni spazio tangente $T_p = \matR^n$.
\end{example}

\begin{example}
Ogni sottovariet\`a differenziabile $N$ di una variet\`a riemanniana $M$ \`e essa stessa riemanniana: \`e sufficiente restringere il tensore metrico di $M$ su $N$.

In particolare, la \emph{sfera} 
$$S^n = \big\{x\in \matR^{n+1}\ \big| \ \|x\| = 1 \big\}$$
\`e una sottovariet\`a di $\matR^{n+1}$ e in quanto tale ha una struttura di variet\`a riemanniana.
\end{example}

Il tensore metrico $g$ definisce in particolare una norma per ogni vettore tangente, ed un angolo fra vettori tangenti nello stesso punto. La velocit\`a $\gamma'(t)$ di una curva ha quindi un modulo $|\gamma'(t)|\geqslant 0$ ben definito, e due curve che si incontrano in un punto con velocit\`a non nulle formano un angolo ben definito. La lunghezza di una curva $\gamma\colon I\to M$ pu\`o essere definita come

$$L(\gamma) = \int_I |\gamma'(t)| dt$$
e pu\`o essere finita o infinita.
\subsection{Quello che un tensore metrico pu\`o fare per voi.}
Sia $(M,g)$ una variet\`a riemanniana connessa. Le curve possono essere usate per definire una \emph{distanza} su $M$. 

Una curva $\gamma\colon [a,b] \to M$ \emph{parte} in $\gamma(a)$ e \emph{arriva} in $\gamma(b)$. Una curva che collega due punti $p,q \in M$ \`e una qualsasi curva che parta in $p$ e arrivi in $q$.
\begin{defn}
La distanza $d(p,q)$ fra due punti $p$ e $q$ \`e definita come
$$d(p,q) = \inf_\gamma L(\gamma)$$
al variare fra le curve $\gamma$ che collegano $p$ e $q$.
\end{defn}
La variet\`a $M$ dotata della distanza $d$ \`e uno spazio metrico (che induce su $M$ la stessa topologia di $M$). 

\begin{defn}
Una \emph{geodetica} \`e una curva $\gamma\colon I \to M$ con velocit\`a costante (in modulo) che realizza localmente le distanze.\footnote{Il modulo $k = |\gamma'(t)|$ non deve dipendere da $t$, e per ogni $t_0 \in I$ deve esistere $\epsilon >0$ tale che $d(\gamma(t),\gamma(t')) = L(\gamma|_{[t,t']}) = k|t-t'|$ per ogni $t,t' \in [t-\epsilon, t+\epsilon]$.}
\end{defn}

Nota che con questa definizione la curva costante $\gamma(t) = p_0$ \`e una geodetica avente velocit\`a costante zero. Chiameremo queste geodetiche \emph{banali}.
Una curva che realizza localmente le distanze pu\`o non realizzarle globalmente.

\begin{example}
Le geodetiche non banali nello spazio euclideo $\matR^n$ sono rette affini percorse a velocit\`a costante. 

Le geodetiche non banali nella sfera $S^n$ sono archi di cerchi massimi, percorsi a velocit\`a costante.
\end{example}

Se la variet\`a differenziabile $M$ \`e orientata, il tensore metrico induce anche una \emph{forma volume}. 

Brevemente, il modo migliore di definire una nozione di volume in una variet\`a $M$ consiste nel definire una opportuna $n$-\emph{forma differenziale}, dove $n$ \`e la dimensione di $M$. Formalmente, una $n$-forma differenziale $\omega$ \`e il dato in ogni spazio tangente $T_p$ di una forma multilineare alternante 
$$\omega_p: \underbrace{T_p \times \ldots \times T_p}_n \to \matR.$$
L'aggettivo \emph{alternante} indica che se vengono scambiati due vettori nel dominio il risultato cambia di segno. A meno di riscalamento esiste un solo $\omega_p$ che soddisfa questo criterio (identificando $T_p$ con $\matR^n$, questo non \`e altro che il determinante). La forma $\omega_p$ ovviamente deve cambiare in modo liscio con $p$. 

Le $n$-forme sono utili perch\'e possono essere integrate: in altre parole ha senso la scrittura
$$\int_D \omega$$
su un qualsiasi aperto $D$. Una \emph{forma volume} in una variet\`a orientata \`e una forma $\omega$ tale che $\omega_p(v_1,\ldots, v_n)> 0$ su ogni base positiva $v_1,\ldots, v_n$ di $T_p$ e per ogni $p\in M$.\footnote{L'orientazione su $M$ divide le basi per $T_p$ in positive e negative, per ogni punto $p \in M$.}

Il tensore metrico definisce una forma volume nel modo seguente: basta imporre che $\omega_p(e_1,\ldots, e_n)=1$ per ogni base ortonormale positiva $e_1,\ldots, e_n$. Con questa definizione, ogni aperto $D$ di $M$ ha un ben definito \emph{volume} 
$$\Vol(D) = \int_D \omega$$
che \`e un numero reale positivo oppure infinito. Se $D$ \`e relativamente compatto il volume \`e necessariamente finito. In particolare, una variet\`a riemanniana compatta $M$ ha un volume $\Vol (M)$ finito.

\subsection{Mappa esponenziale} \label{esponenziale:subsection}
Sia $(M,g)$ una variet\`a riemanniana. Una geodetica $\gamma:I \to M$ \`e \emph{massimale} se non pu\`o essere estesa ad una geodetica con dominio $J$ strettamente pi\`u grande di $I$. Le geodetiche massimali sono determinate da condizioni al primo ordine:

\begin{teo}  \label{geod:teo}
Siano $p\in M$ un punto e $v\in T_pM$ un vettore tangente. Esiste un unica geodetica massimale $\gamma: I \to M$ tale che $\gamma(0) = p$ e $\gamma'(0) = v$. L'intervallo $I$ \`e un aperto contenente $0$.
\end{teo}

Questo importante risultato ha numerose applicazioni. Ad esempio, permette di definire il concetto seguente.

\begin{defn}
Sia $p \in M$ un punto. La \emph{mappa esponenziale} in $p$ \`e la mappa
$$\exp_p\colon U_p \to M$$
definita su un sottoinsieme $U_p\subset T_p$ contenente l'origine nel modo seguente.

Un vettore $v\in T_p$ determina una geodetica massimale $\gamma_v\colon I_v \to M$ tale che $\gamma_v(0) = p$ e $\gamma_v'(0) = v$. Sia $U$ l'insieme dei vettori $v$ per cui $1 \in I_v$. Per questi vettori $v$ definiamo $\exp_p(v) = \gamma_v(1)$.
\end{defn}

\begin{teo} \label{exp:teo}
L'insieme $U_p$ \`e un aperto contenente l'origine. Il differenziale della mappa esponenziale $\exp_p$ nell'origine \`e l'identit\`a e quindi $\exp_p$ \`e un diffeomorfismo locale nell'origine.
\end{teo}

In questo modo un aperto dello spazio tangente $T_p$ pu\`o essere usato come carta locale intorno a $p$. Recuperiamo quindi l'idea intuitiva che lo spazio tangente approssimi localmente la variet\`a al primo ordine. 

\subsection{Raggio di iniettivit\`a}
Il massimo raggio su cui la mappa esponenziale sia un diffeomorfismo \`e chiamato \emph{raggio di iniettivit\`a}.

\begin{defn} 
Il \emph{raggio di iniettivit\`a} $\inj_pM$ di $M$ in un punto $p$ \`e definito nel modo seguente:
$$\inj_pM = \sup\big\{r>0 \ \big|\ \exp_p|_{B_0(r)} \ {\rm \mathaccent 18 e\ un\ diffeomorfismo\ sull'immagine} \big\}.$$
\end{defn}

Qui $B_0(r)$ \`e la palla aperta di centro $0$ e raggio $r$ nello spazio tangente $T_p$. Il raggio di iniettivit\`a \`e sempre positivo per il Teorema \ref{exp:teo}. Per ogni $r$ minore del raggio di iniettivit\`a la mappa esponenziale trasforma la palla di raggio $r$ in $T_p$ nella palla di raggio $r$ in $M$. Vale cio\`e l'uguaglianza

$$\exp_p(B_0(r)) = B_p(r)$$
e la palla $B_p(r)$ \`e effettivamente diffeomorfa ad una palla aperta in $\matR^n$. Per $r$ grande questo fatto ovviamente pu\`o non essere vero: se $M$ \`e compatta ad esempio esiste un $R>0$ tale che $B_p(R) = M$.

Il raggio di iniettivit\`a $\inj_p(M)$ varia in modo continuo rispetto a $p\in M$; 
il raggio di iniettivit\`a $\inj (M)$ di $M$ \`e definito come
$$\inj (M) = \inf_{p\in M} \inj_p M.$$

\begin{prop} \label{iniettivita:prop}
Una variet\`a riemanniana compatta ha raggio di iniettivit\`a positivo.
\end{prop}
\begin{proof}
Il raggio di iniettivit\`a $\inj_p M$ \`e positivo e varia con continuit\`a rispetto a $p$.
\end{proof}

Notiamo infine il fatto seguente.
\begin{prop}
Sia $M$ una variet\`a riemanniana. Una curva chiusa di lunghezza minore di $2\cdot \inj (M)$ \`e omotopicamente banale.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $x$ un punto qualsiasi attraversato dalla curva. Poich\`e la curva \`e pi\`u corta di $2\cdot\inj (M)$ non riesce ad uscire dalla palla $B_x(r)$ per qualche $r<\inj (M)\leqslant \inj_x M$, e questa palla \`e effettivamente diffeomorfa ad una palla in $\matR^n$. Quindi la curva \`e contenuta in un sottoinsieme contrattile di $M$ ed \`e omotopicamente banale.
\end{proof}

\subsection{Completezza}
Una variet\`a riemanniana $(M,g)$ \`e anche uno spazio metrico, che pu\`o essere completo oppure no. Ad esempio, una variet\`a riemanniana compatta \`e sempre completa. D'altra parte, rimuovendo un punto da una variet\`a riemanniana qualsiasi si ottiene sempre uno spazio non completo. Su $\matR^n$ \`e possibile assegnare strutture riemanniane complete (ad esempio quella euclidea) e non complete (il disco aperto in $\matR^n$ \`e diffeomorfo a $\matR^n$ ma la sua metrica indotta non \`e completa).

La completezza di una variet\`a riemanniana pu\`o essere espressa in vari modi equivalenti:

\begin{teo}[Hopf-Rinow] Sia $(M,g)$ variet\`a riemanniana connessa. Le condizioni seguenti sono equivalenti:
\begin{enumerate}
\item $M$ \`e completa,
\item un sottoinsieme di $M$ \`e compatto se e solo se \`e chiuso e limitato,
\item ogni geodetica \`e estendibile su tutto $\matR$.
\end{enumerate}
Se $M$ \`e completa due punti qualsiasi $p,q$ di $M$ sono sempre collegati da una geodetica $\gamma$ \emph{minimizzante}, cio\`e tale che $L(\gamma) = d(p,q)$.
\end{teo}
In particolare la condizione (3) \`e equivalente al fatto che la mappa esponenziale sia definita su tutto lo spazio tangente $T_p$ (e non solo su un suo aperto proprio), per ogni $p\in M$, 

\subsection{Curvatura} \label{curvatura:subsection}

La \emph{curvatura} di una variet\`a riemanniana $(M,g)$ \`e un oggetto complicato, generalmente definito a partire da una \emph{connessione} $\nabla$ detta \emph{connessione di Levi-Civita}. Questa definisce a sua volta un tensore detto \emph{tensore di Riemann} che codifica la curvatura di $M$ nel modo pi\`u ampio. 

Non introduciamo questi concetti perch\'e sono troppo raffinati per gli spazi che incontreremo: in geometria iperbolica infatti le variet\`a avranno tutte ``curvatura costante'' ed il tensore di Riemann non \`e necessario. Ci baster\`a introdurre in modo geometrico la nozione di \emph{curvatura sezionale}.

Se $M$ ha dimensione 2, cio\`e \`e una superficie, le nozioni di curvatura si semplificano e si riducono tutte ad un unico concetto chiamato \emph{curvatura gaussiana}. Se $M$ \`e contenuta in $\matR^3$ la curvatura gaussiana \`e definita come il prodotto delle due curvature principali. Se $M$ \`e astratta per\`o non esiste nessuna nozione di curvatura principale e si prende quindi un'altra strada. Esistono vari modi equivalenti di definire la curvatura gaussiana di una superficie astratta, scegliamo uno dei pi\`u geometrici. 

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 6 cm] {Gaussian_curvature.PNG}
\nota{Tre superfici nello spazio (iperboloide ad una falda, cilindro, sfera) con curvatura gaussiana rispettivamente negativa, nulla e positiva in ogni punto. Mentre la sfera ha curvatura positiva costante, l'iperboloide ad una falda ha curvatura negativa variabile. Come vedremo, non \`e possibile costruire una superficie in $\matR^3$ completa con curvatura negativa costante.}
\label{Gaussian:fig}
\end{center}
\end{figure}

Abbiamo visto nella sezione precedente che in una variet\`a riemanniana $(M,g)$, per ogni punto $p\in M$ esiste un $\epsilon >0$ tale che la palla $B_p(\epsilon)$ centrata in $p$ di raggio $\epsilon$ sia effettivamente diffeomorfa alla palla usuale in $\matR^n$. 

Il volume di questa palla $B_p(\epsilon)$ non \`e per\`o necessariamente uguale al volume di una palla euclidea: pu\`o essere pi\`u grande o pi\`u piccolo, e questa discrepanza \`e una misura della curvatura della variet\`a.

\begin{defn} \label{gauss:defn}
Sia $(M, g)$ una superficie. La \emph{curvatura gaussiana} in un punto $p$ \`e definita come
$$K = \lim_{\epsilon \to 0} \left( \big( \pi \epsilon^2 - \Vol (B_p(\epsilon))\big) \cdot \frac {12}{\pi \epsilon^4}\right). $$
\end{defn}
In altre parole, vale la formula
$$\Vol(B_p(\epsilon)) = \pi\epsilon^2 - \frac{\pi \epsilon^4}{12}K + o(\epsilon^4).$$

Il coefficiente $\pi/12$ normalizza $K$ in modo che la curvatura di una sfera di raggio $R$ sia $1/R^2$.
Notiamo in particolare che $K$ \`e positivo (negativo) se $B_p(\epsilon)$ ha area pi\`u piccola (pi\`u grande) di quella usuale euclidea.

Se $(M,g)$ ha dimensione $n\geqslant 3$ \`e ancora possibile definire una curvatura valutando la differenza fra $\Vol(B_p(\epsilon))$ e il volume di una palla euclidea $n$-dimensionale come per la curvatura gaussiana. Si ottiene un valore numerico detto \emph{curvatura scalare}. La curvatura scalare in una variet\`a di dimensione $n\geqslant 3$ \`e per\`o una descrizione molto scarna della curvatura in un punto, e si preferisce quindi generalmente utilizzare una definizione di curvatura che fornisca molte pi\`u informazioni. La curvatura di $(M,g)$ \`e generalmente modellizzata da uno dei seguenti due oggetti: il \emph{tensore di Riemann} oppure la \emph{curvatura sezionale}. Questi due oggetti sono abbastanza diversi ma contengono la stessa quantit\`a di informazioni. Introduciamo qui la curvatura sezionale.

\begin{defn}
Sia $(M,g)$ una variet\`a riemanniana. Sia $p \in M$ un punto e $W \subset T_pM$ un piano vettoriale. Per il Teorema \ref{exp:teo} esiste un aperto $U_p \subset T_pM$ contenente l'origine su cui $\exp_p$ \`e un diffeomorfismo sull'immagine. In particolare $S = \exp_p(U_p \cap W)$ \`e una piccola superficie liscia in $M$ passante per $p$. Come sottovariet\`a liscia $S$ ha una struttura riemanniana indotta da $g$.

La \emph{curvatura sezionale} di $(M,g)$ lungo $(p,W)$ \`e definita come la curvatura gaussiana di $S$ nel punto $p$.
\end{defn}

La curvatura sezionale \`e quindi un numero associato ad ogni punto $p\in M$ e ad ogni piano $W \subset T_pM$.

\begin{defn}
Una variet\`a riemanniana $(M,g)$ ha \emph{curvatura sezionale costante} $K$ se la curvatura sezionale associata ad ogni punto $p\in M$ e qualsiasi piano $W\subset T_pM$ \`e sempre pari a $K$.
\end{defn}

\begin{oss}
In una variet\`a riemanniana $(M,g)$ \`e possibile \emph{riscalare} la metrica di un fattore $\lambda >0$ sostituendo $g$ con il tensore $\lambda g$. In ogni punto il prodotto scalare \`e riscalato di $\lambda$. Le lunghezze delle curve vengono riscalate di $\sqrt \lambda$ ed i volumi vengono riscalati di $\lambda^{\frac n2}$. La curvatura sezionale viene riscalata di $1/\lambda$. 
\end{oss}

Riscalando la metrica \`e quindi possibile trasformare uno spazio a curvatura sezionale costante $K$ in uno spazio a curvatura sezionale costante $-1$, $0$ oppure $1$.

\begin{example}
Lo spazio euclideo $\matR^n$ ha curvatura costante zero. Una sfera di raggio $R$ ha curvatura costante $1/R^2$.
\end{example}

\subsection{Isometrie}

Ogni categoria che si rispetti ha i suoi isomorfismi. Gli isomorfismi delle variet\`a riemanniane si chiamano \emph{isometrie}.

\begin{defn}
Un diffeomorfismo $f\colon M\to N$ fra due variet\`a riemanniane $(M,g)$ e $(N,h)$ \`e una \emph{isometria} se preserva il prodotto scalare. Deve cio\`e valere
$$\langle v,w \rangle = \langle df_p(v), df_p(w) \rangle$$
per ogni $p\in M$ e per ogni coppia di vettori $v,w \in T_pM$. I simboli $\langle,\rangle$ indicano i prodotti scalari in $T_x$ e $T_{f(x)}$.
\end{defn}

Le isometrie sono estremamente rigide. Sono infatti determinate dal comportamento puntuale al primo ordine. In altre parole, due isometrie che coincidono al primo ordine in un punto coincidono ovunque:

\begin{teo} \label{isom:teo}
Siano $f,g$ due isometrie fra variet\`a riemanniane $M$ e $N$ connesse. Se esiste un punto $p\in M$ tale che  $f(p) = g(p)$ e $df_p = dg_p$, allora $f  =g$.
\end{teo}
\begin{proof}
Mostriamo che l'insieme $S\subset M$ dei punti $p$ tali che $f(p) = g(p)$ e $df_p = dg_p$ \`e aperto e chiuso. 

I luoghi di coincidenza fra funzioni continue sono generalmente chiusi, e lo si verifica facilmente anche in questo contesto (basta usare una carta). Per dimostrare che $S$ \`e aperto si usa la mappa esponenziale. Sia $p\in S$. Per il Teorema \ref{exp:teo} esiste un intorno aperto $U_p \subset T_pM$ dell'origine su cui la mappa esponenziale \`e un diffeomorfismo sull'immagine. Mostriamo che l'aperto $\exp_p(U_p)$ \`e interamente contenuto in $S$.

Sia $v\in U_p$ un vettore. Per definizione di mappa esponenziale, questo determina una geodetica $\gamma$ in $M$ tale che $\gamma(0) = p$, $\gamma'(0) = v $ e $\gamma(1) = \exp(v)$. Le isometrie $f$ e $g$ hanno lo stesso differenziale in $p$ e quindi mandano $v$ nello stesso vettore $w = df_p(v) = dg_p(v) \in T_{f(p)}N$. Le isometrie preservano tutta la struttura riemanniana, ed in particolare mandano geodetiche in geodetiche. Quindi $f\circ \gamma$ e $g\circ \gamma$ sono entrambe geodetiche uscenti da $f(p)$ con la stessa velocit\`a iniziale $w$. Per il Teorema \ref{geod:teo} le geodetiche coincidono. Quindi
$f(\exp_p(v)) = g(\exp_p(v)) = \exp_{f(p)}(w)$. Il vettore $v$ \`e un qualsiasi vettore in $U_p$ e quindi $f$ e $g$ coincidono su tutto l'aperto immagine $\exp_p(U_p)$. Poich\'e coincidono su un aperto, coincidono anche i loro differenziali in tutti i punti dell'aperto. Quindi $\exp_p(U_p)\subset S$.
\end{proof}

Le isometrie $f\colon M \to M$ di una variet\`a $M$ in s\'e formano un gruppo che indichiamo con il simbolo $\Iso (M)$.

\subsection{Variet\`a riemanniane con bordo}
Molte nozioni geometriche della geometria riemanniana si estendono facilmente a variet\`a con bordo: un tensore metrico su $M$ \`e come sempre un prodotto scalare definito positivo su ogni (semi-)spazio $T_x$ che vari in modo liscio rispetto al punto $x\in M$. Il bordo $\partial M$ di una variet\`a riemanniana $M$ \`e in modo naturale una variet\`a riemanniana (senza bordo). 

La mappa esponenziale ed il raggio di iniettivit\`a $\inj_x M$ di un punto di bordo $x\in \partial M$ sono definiti in modo analogo a quanto visto nella Sezione \ref{esponenziale:subsection}, tenendo conto che lo spazio tangente $T_x$ \`e in realt\`a solo un semispazio.

