
\chapter{Variet\`a con singolarit\`a} 
\label{singolarita:chapter}

Introduciamo in questo capitolo due nozioni importanti che generalizzano le variet\`a iperboliche (piatte, ellittiche): 
\begin{itemize}
\item un \emph{orbifold} \`e un oggetto ottenuto quozientando una variet\`a iperbolica (piatta, ellittica) per un gruppo discreto di isometrie, eventualmente con punti fissi,
\item una \emph{variet\`a con singolarit\`a coniche} \`e una variet\`a iperbolica (piatta, ellittica) con un luogo singolare (una variet\`a di codimensione due) su cui il tensore metrico non \`e definito e la metrica forma un cono di angolo diverso da $2\pi$.
\end{itemize}

Le due nozioni coincidono per una variet\`a con singolarit\`a coniche con angoli che dividono $2\pi$.

\section{Orbifold} 

\subsection{Politopi}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 5 cm] {Uniform_tiling_532-t012.png} \quad
\includegraphics[width = 5 cm] {Truncated_octahedra.jpg}
\nota{Una tassellazione di $S^2$ in quadrati, esagoni e decagoni, e una tassellazione di $\matR^3$ in ottaedri troncati.}
\label{tiling:fig}
\end{center}
\end{figure}

Introduciamo gli oggetti seguenti.
\begin{defn}
Una \emph{tassellazione} di una variet\`a $M$ \`e una collezione di sottoinsiemi $\{D_i\}_{i\in I}$ di $M$, detti \emph{tasselli}, tale che $M=\cup_{i\in I} D_i$ e $\interior{D_i}\cap \interior{D_j} = \emptyset$ per ogni $i\neq j$.
\end{defn}

La definizione proposta \`e molto generica: negli esempi che considereremo $M$ sar\`a sempre una variet\`a ellittica, piatta o iperbolica ed i tasselli saranno sempre \emph{politopi}.
\begin{defn}
Un \emph{politopo} in $\matH^n$, $\matR^n$ oppure $S^n$ \`e l'intersezione di un numero finito di semispazi che sia compatta e con parte interna non vuota. 
\end{defn}

La definizione di politopo che abbiamo scelto \`e quella pi\`u restittiva; molti autori, a seconda del contesto, rilassano alcune delle richieste, ammettendo ad esempio in $\matH^n$ intersezioni non compatte (ma eventualmente di volume finito) e/o un numero infinito di semispazi (in quest'ultimo caso si richiede per lo meno la \emph{locale finitezza}, cio\`e che ogni compatto di $\matH^n$ intersechi al pi\`u un numero finito di iperpiani bordi di questi semispazi). 

\begin{prop}
Sia $P$ un politopo. Esiste un unico insieme minimale di semispazi $S_1,\ldots, S_k$ tale che $P = S_1\cap \ldots \cap S_k$.
\end{prop}
Sia $\{S_1,\ldots, S_k\}$ un insieme minimale di semispazi per $P$. L'intersezione fra $P$ e l'iperpiano $\partial S_i$ \`e una \emph{faccia} $(n-1)$-dimensionale di $P$; tale faccia \`e a sua volta un poliedro $(n-1)$-dimensionale dentro l'iperpiano $\partial S_i$, che pu\`o essere identificato con $\matH^{n-1}$ (o $\matR^{n-1}$, $S^{n-1}$). Il poliedro $P$ ha quindi $k$ facce $(n-1)$-dimensionali. Pi\`u in generale, una faccia $h$-dimensionale di $P$ \`e l'intersezione di $h-1$ facce $(n-1)$-dimensionali, quando \`e non vuota. Le facce di dimensione 0 e 1 si chiamano \emph{vertici} e \emph{spigoli}. Una faccia $h$-dimensionale \`e in modo naturale un poliedro $h$-dimensionale nell'unico spazio $h$-dimensionale che lo contiene.

\begin{prop}
Un politopo \`e l'inviluppo convesso dei suoi vertici.
\end{prop}

Il \emph{baricentro} di un politopo \`e definito in ogni geometria. Siano $p_1,\ldots, p_k$ punti in $\matH^n$, $\matR^n$ o $S^n$ e $t_1,\ldots, t_k\geqslant 0$ numeri reali con $t_1+\ldots + t_k=1$. La \emph{combinazione convessa}
$$p = t_1p_1+\ldots + t_kp_k$$ 
\`e il punto $p$ in $\matH^n$, $\matR^n$ o $S^n$ definito nel modo seguente. Per $\matH^n$ usiamo il modello dell'iperboloide $I^n \subset \matR^{n+1}$ e rappresentiamo $S^n$ come sempre dentro $\matR^{n+1}$. In tutti e tre i modelli i punti $p_i$ sono vettori di $\matR^{n+1}$ o $\matR^n$. La loro combinazione $v = t_1p_1+\ldots + t_kp_k$ \`e quindi un altro vettore di $\matR^{n+1}$ o $\matR^n$. Nel caso piatto si pone $p = v$. Nei casi iperbolico e ellittico si pone $p=\lambda v$, dove $\lambda>0$ \`e l'unico scalare per cui $\lambda v $ appartiene all'iperboloide $I^n$ o alla sfera $S^n$.

\begin{defn} Il \emph{baricentro} del politopo di vertici $v_1,\ldots, v_k$ \`e il punto 
$$\frac 1k v_1+ \ldots + \frac 1k v_k.$$
\end{defn}

La definizione di politopo si estende ad ogni variet\`a iperbolica (piatta, ellittica) per passaggio a rivestimento universale
\begin{defn}
Un \emph{politopo} in una variet\`a iperbolica (piatta, ellittica) completa \`e un sottoinsieme connesso e semplicemente connesso la cui controimmagine nel rivestimento universale $\matH^n$ ($\matR^n$, $S^n$) \`e unione disgiunta di politopi.
\end{defn}

\subsection{Tassellazioni}
Considereremo adesso le tassellazioni di variet\`a iperboliche (piatte, ellittiche) in cui tutti i tasselli siano politopi. Abbiamo gi\`a incontrato un esempio importante.
\begin{prop}
Una superficie chiusa iperbolica $\Sigma_g$ di genere $g\geqslant 2$ ha una tassellazione in esagoni retti.
\end{prop}
\begin{proof}
Abbiamo visto precedentemente che $\Sigma_g$ si decompone in pantaloni, e che ciascun pantalone si decompone in due esagoni retti.
\end{proof}
Si noti che nella definizione di tassellazione non \`e richiesto che l'intersezione di due politopi adiacenti sia una faccia per entrambi. Ad esempio, nella proposizione appena enunciata due esagoni adiacenti non si intersecano necessariamente in un lato o un vertice: possono intersecarsi anche in un segmento contenuto in un lato. Nelle due tassellazioni mostrate in Fig.~\ref{tiling:fig} invece l'intersezione di due politopi adiacenti \`e sempre una faccia di entrambi. 

%\begin{defn} Sia $T = \{D_i\}_{i\in I}$ una tassellazione di una variet\`a riemanniana $M$. Una \emph{isometria} di $T$ \`e una isometria $f$ di $M$ tale che $f(D) \in T$ per ogni $D\in T$.
%\end{defn}

%\begin{prop}
%Sia $T$ una tassellazione in politopi di una variet\`a iperbolica (piatta, ellittica) $M$. Il gruppo delle isometrie di $T$ \`e un sottogruppo discreto di $\Iso(M)$.
%\end{prop}
%\begin{proof}
%Ogni punto $x$ di $\matH^n$ ha un intorno aperto $U$ che interseca solo un numero finito di politopi $P_1,\ldots, P_k$. Per ogni $i,j$ esiste un numero finito di isometrie fra $P_i$ e $P_j$ e quindi esiste un numero finito di isometrie della tassellazione che spostano $P_1$ in uno dei $k$ politopi $P_i$. Quindi esiste un numero finito di isometrie che spostano $U$ in un aperto che interseca $U$.
%\end{proof}

%In particolare, una tassellazione di $\matH^n$ ha gruppo di isometrie discreto.

Un altro esempio di tassellazione \`e fornito dai \emph{gruppi triangolari}. Iniziamo con il seguente:
\begin{ex}
Dati tre numeri reali $0<\alpha, \beta, \gamma <\pi$ esiste un triangolo $\Delta$ con angoli interni $\alpha, \beta, \gamma$ dentro $\matH^2, \matR^2$ o $S^2$ a seconda che la somma $\alpha + \beta + \gamma$ sia minore, uguale o maggiore di $\pi$. Tale triangolo \`e unico a meno di isometrie in $\matH^2$ e $S^2$, e unico a meno di similitudine in $\matR^2$.
\end{ex}

Siano $a,b,c \geqslant 2$ tre numeri naturali, e sia $\Delta$ il triangolo (nella geometria opportuna) avente angoli interni $\frac \pi a, \frac \pi b, \frac \pi c$. Il triangolo $\Delta$ \`e contenuto in $\matH^2$, $\matR^2$, $S^2$ a seconda che la somma $\frac 1a+\frac 1b + \frac 1c$ sia minore, uguale o maggiore di uno. Specchiando iterativamente il triangolo $\Delta$ lungo i suoi lati si costruisce una tassellazione di $\matH^2$, $\matR^2$ o $S^2$. 

Le terne realizzabili in $S^2$ sono $(2,2,c)$, $(2,3,3)$, $(2,3,4)$ e $(2,3,5)$. Le tassellazioni prodotte dalle ultime tre sono mostrate in Fig.~\ref{triangular:fig} e sono strettamente collegate ai solidi platonici. Ricordiamo che il gruppo delle isometrie di un solido platonico \`e un sottogruppo finito e quindi discreto di $\Iso(S^2)$, e che due solidi duali identificano lo stesso gruppo. Otteniamo quindi tre gruppi discreti di isometrie: del tetraedro, del cubo (o ottaedro) e dell'icosaedro (o dodecaedro). Un dominio fondamentale per l'azione di questi gruppi \`e proprio uno qualsiasi dei triangoli delle tassellazioni (rispettivamente) di tipo $(2,3,3)$, $(2,3,4)$ e $(2,3,5)$. Ciascuno dei tre gruppi agisce in modo transitivo e libero sui triangoli della tassellazione: in particolare i tre gruppi hanno ordine $24$, $48$ e $120$, pari al numero di triangoli in ciascuna tassellazione. I gruppi sono isomorfi rispettivamente a $S_4$, $S_4\times \matZ_2$ e $A_5\times \matZ_2$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 3.5 cm] {240px-Tetrahedral_reflection_domains.png} \quad
\includegraphics[width = 3.5 cm] {240px-Octahedral_reflection_domains.png} \quad 
\includegraphics[width = 3.5 cm] {240px-Icosahedral_reflection_domains.png} 
\nota{Le tassellazioni $(2,3,3)$, $(2,3,4)$ e $(2,3,5)$ nella sfera.}
\label{triangular:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 3.5 cm] {200px-Tile_V46b.png} \quad
\includegraphics[width = 3.5 cm] {200px-Tile_V488_bicolor.png} \quad 
\includegraphics[width = 3.5 cm] {200px-Tile_36.png} 
\nota{Le tassellazioni $(2,3,6)$, $(2,4,4)$ e $(3,3,3)$ nel piano.}
\label{triangular2:fig}
\end{center}
\end{figure}

Le terne realizzabili nel piano euclideo $\matR^2$ sono $(2,3,6)$, $(2,4,4)$ e $(3,3,3)$ e producono le tassellazioni mostrate in Fig.~\ref{triangular2:fig}. Tutte le altre sono realizzabili nel piano iperbolico $\matH^2$: alcune sono mostrate in Fig.~\ref{triangular3:fig}. Vediamo ora che anche i triangoli di queste tassellazioni sono domini di gruppi discreti di isometrie.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 3.5 cm] {240px-Order-3_heptakis_heptagonal_tiling.png} \quad
\includegraphics[width = 3.5 cm] {240px-Order-4_bisected_pentagonal_tiling.png} \quad 
\includegraphics[width = 3.5 cm] {240px-Uniform_dual_tiling_433-t012.png} 
\nota{Le tassellazioni $(2,3,7)$, $(2,4,5)$ e $(3,3,4)$ nel piano iperbolico.}
\label{triangular3:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{defn}
Il \emph{gruppo triangolare} $T(a,b,c)$ \`e il gruppo di isometrie di $\matH^2$, $\matR^2$ o $S^2$ generato dalle riflessioni lungo i tre lati di $\Delta$.
\end{defn}

\begin{prop} Il gruppo $T(a,b,c)$ \`e un gruppo discreto di isometrie di $\matH^2$, $\matR^2$ o $S^2$, ed il triangolo $\Delta$ \`e un dominio fondamentale per $T(a,b,c)$. Il gruppo ha la presentazione seguente:
$$\langle x, y,z\ |\ x^2, y^2, z^2, (xy)^c, (yz)^a, (zx)^b \rangle.$$
\end{prop}

La proposizione enunciata \`e un caso particolare di un fatto pi\`u generale. Ricordiamo che una faccia $F$ di codimensione 2 in un politopo $P$ in $\matH^n$, $\matR^n$ o $S^n$ \`e intersezione di esattamente due facce $F_1, F_2$ di codimensione 1. L'\emph{angolo diedrale} in $F$ \`e definito intersecando $P$ con un 2-piano $\pi$ ortogonale a $F$ e misurando l'angolo che formano i due segmenti $F_1\cap \pi$ e $F_2\cap \pi$.

\begin{teo} Sia $P$ un politopo in $\matH^2$, $\matR^2$ o $S^2$. Siano $F_1,\ldots, F_k$ le facce di codimensione 1 in $P$. Supponiamo che ogni faccia di codimensione due $F_i\cap F_j$ abbia un angolo diedrale $\alpha_{ij} = \frac{\pi}{a_{ij}}$ che divide $\pi$. Allora il gruppo di isometrie generato dalle riflessioni lungo le facce $F_i$ \`e discreto ed ha $P$ come dominio fondamentale. Inoltre una sua presentazione \`e la seguente:
$$\langle F_1,\ldots, F_k \ |\ F_1^2, \ldots, F_k^2, (F_iF_j)^{a_{ij}}\rangle$$
con una relazione del tipo $(F_iF_j)^{a_{ij}}$ per ogni faccia $F_i\cap F_j$ di codimensione 2.
\end{teo}

\subsection{Lemma di Selberg}
Come abbiamo visto, costruire gruppi discreti di $\Iso(\matH^n)$ \`e relativamente facile; d'altra parte, costruire esplicitamente gruppi discreti senza punti fissi \`e pi\`u difficile: in tutti gli esempi mostrati i gruppi contenevano molte riflessioni, rotazioni e altre mappe con punti fissi. Si possono per\`o sempre eliminare tutti questi elementi scegliendo un opportuno sottogruppo, grazie al seguente risultato algebrico.

\begin{lemma}[Lemma di Selberg] Sia $G$ un sottogruppo finitamente generato di $\GL(n,\matC)$. Esiste un sottogruppo normale $H\triangleleft G$ di indice finito che non contiene elementi di ordine finito.
\end{lemma}

\begin{cor} Sia $G$ un sottogruppo discreto finitamente generato di isometrie di $\matH^n$. Esiste un sottogruppo normale $H\triangleleft G$ di indice finito che contiene solo trasformazioni paraboliche e iperboliche.
\end{cor}
\begin{proof}
Il gruppo $\Iso(\matH^n)$ \`e isomorfo a $O(n,1)_*$ ed \`e quindi un sottogruppo di $\GL(n+1,\matC)$, per cui possiamo applicare il lemma di Selberg a $G$. Otteniamo un sottogruppo $H\triangleleft G$ di indice finito che non contiene elementi di ordine finito. Gli elementi ellittici $f$ in un gruppo discreto $G$ hanno tutti ordine finito: se cos\`\i\ non fosse, il gruppo $G$ conterrebbe una successione infinita di elementi
$f, f^2, f^3, \ldots$ che fissano tutti lo stesso punto $p$, contraddicendo il fatto che $G$ \`e discreto (e quindi agisce in modo propriamente discontinuo). Quindi $H$ non contiene elementi ellittici.
\end{proof}

\subsection{Orbifold}
\`E comunque utile dare un nome ai quozienti di $\matH^n$ per un qualsiasi gruppo discreto, anche nel caso in cui questo contenga degli elementi ellittici. Questi quozienti non sono variet\`a: sono oggetti pi\`u generali, detti \emph{orbifold}, che hanno un comportamento simile alle variet\`a da molti punti di vista. Se una variet\`a \`e definita con un atlante di aperti in $\matR^n$, un orbifold \`e definito con un atlante di aperti in $\matR^n$ quozientati per gruppi finiti. Pi\`u precisamente, la definizione \`e la seguente.

\begin{defn} Un \emph{orbifold} $n$-dimensionale \`e uno spazio topologico di Hausdorff ricoperto da una collezione di aperti $\{U_i\}_{i\in I}$ chiusa per intersezione finita, dotata della struttura seguente. Per ogni $i\in I$ \`e definito: 
\begin{enumerate}
\item un sottogruppo finito $\Gamma_i<O(n)$ e un aperto $V_i \subset \matR^n$ che sia $\Gamma_i$-invariante,
\item una mappa continua $\varphi_i\colon V_i \to U_i$ detta \emph{carta}, invariante per $\Gamma_i$ e che induca un omeomorfismo fra $V_i/_{\Gamma_i}$ e $U_i$.
\end{enumerate}
Le carte devono soddisfare la condizione seguente di compatibilit\`a:
\begin{itemize}
\item per ogni inclusione $U_i\subset U_j$ c'\`e un omomorfismo iniettivo $f_{ij}\colon \Gamma_i \hookrightarrow \Gamma_j$ ed un diffeomorfismo $\psi_{ij}$ fra $V_i$ e un aperto contenuto in $V_j$ che sia equivariante per $\Gamma_i$ e compatibile con le carte, cio\`e $\varphi_j \circ \psi_{ij} = \varphi_i$.
\end{itemize}
\end{defn}

\appunto{Fare figura per $\psi_{ij}$ definita solo a meno di composizione: usare punto conico fra due specchi.}
Le mappe $\psi_{ij}$ e $f_{ij}$ vanno pensate come definite solo a meno dell'azione di $\Gamma_j$.\footnote{L'azione \`e per composizione su $\psi_{ij}$ e come coniugio su $f_{ij}$.} In particolare, se $U_i\subset U_j \subset U_k$ allora si verifica che le uguaglianze $\psi_{ik} = \psi_{ij}\circ \psi_{jk}$ e $f_{ik} = f_{jk}\circ f_{ij}$ sono vere solo a meno di queste azioni. Come per le variet\`a differenziabili, due strutture di questo tipo definiscono lo stesso oggetto se la loro unione \`e compatibile.\footnote{Si chiede cio\`e che l'unione dei due ricoprimenti aperti sia contenuta in un ricoprimento pi\`u grande chiuso rispetto all'intersezione, e che ci sia una struttura su questo ricoprimento grande che si restringa a quelle date sui due sotto-ricoprimenti. La chiusura rispetto all'intersezione, che normalmente non \`e richiesta nella definizione di variet\`a, rende pi\`u semplice la definizione di orbifold ma lievemente pi\`u complessa la definizione di strutture compatibili.}

In ogni punto $x$ di un orbifold \`e definito il \emph{gruppo di isotropia} $\Gamma_x$ come lo stabilizzatore di $x$ rispetto all'azione di $\Gamma_i$ in una qualsiasi carta $U_i$ contenente $x$. Per definizione $\Gamma_x$ \`e un sottogruppo finito di $O(n)$.\footnote{Nella definizione di orbifold, la scelta di $O(n)$ al posto del pi\`u generale $\GL(n,\matR^n)$ in realt\`a non \`e restrittiva, perch\'e ogni sottogruppo finito di $\GL(n,\matR^n)$ \`e coniugato ad un sottogruppo di $O(n)$.}

\begin{example} Una variet\`a differenziabile \`e un orbifold in cui i gruppi di isotropia sono tutti banali. Una variet\`a differenziabile con bordo pu\`o essere interpretata come un orbifold i cui punti al bordo hanno una struttura locale del tipo $\matR^n/\Gamma$ dove $\Gamma \Isom \matZ_2$ \`e un gruppo generato da una riflessione. Il bordo va interpretato qui come uno ``specchio''.
\end{example}

I punti con gruppo di isotropia banale sono detti \emph{regolari}, mentre gli altri sono \emph{singolari}.
\begin{prop}
I punti regolari in un orbifold formano un aperto denso.
\end{prop}
\begin{proof}
Un punto singolare \`e localmente un luogo di punti fissi per un gruppo di isometrie vettoriali di $\matR^n$, ed \`e quindi un chiuso contenuto in un iperpiano, con parte interna vuota.
\end{proof}

Molte nozioni definite per le variet\`a si estendono naturalmente agli orbifold.

\begin{defn} \label{continua:orbifold:defn}
Una \emph{mappa continua} da uno spazio topologico $X$ in un orbifold $M$ \`e definita come una mappa continua $\alpha\colon X\to M$ assieme ad un esplicito sollevamento continuo su $V_i$ per tutte le carte $V_i \to V_i/_{\Gamma_i}$, in modo che questi sollevamenti siano compatibili.\footnote{Se $U_i\subset U_j$, i due sollevamenti $\alpha_i$ e $\alpha_j$ in $V_i$ e $V_j$ devono essere tali che $\alpha_i = \alpha_j\circ \psi_{ij}$ tramite una mappa di transizione $\psi_{ij}$: scriviamo ``una'' perch\'e ricordiamo che $\psi_{ij}$ \`e definita solo a meno di post-composizione con $\Gamma_j$.} Due mappe i cui sollevamenti su $V_i$ cambiano solo per una azione dei gruppi $\Gamma_i$ sono considerate equivalenti.
\end{defn}

\begin{defn}
Se $x_0\in M$ \`e un punto base qualsiasi, \`e possibile definire il \emph{gruppo fondamentale} $\pi_1(M,x_0)$ nel modo usuale, usando le nozioni di laccio e omotopia in $M$, che sono ben definite in quando mappe da $[0,1]$ o $[0,1]^2$ in $M$.
\end{defn}

\appunto{Vedere se la definizione di rivestimento pu\`o essere migliorata}
\begin{defn}
Un \emph{rivestimento} $p\colon M \to N$ fra orbifold \`e una mappa continua tale che ogni punto $x\in N$ abbia un intorno $U$ del tipo $V/_\Gamma$ per qualche $V\subset \matR^n$, la cui controimmagine $p^{-1}(U)$ sia un unione disgiunta di pezzi del tipo $V/_{\Gamma_i}$ per dei sottogruppi $\Gamma_i\subset \Gamma$.\footnote{Si intende che $U$ \`e isomorfa a $V/_\Gamma$, che $p^{-1}(U) = \cup_i U_i$ con $U_i$ isomorfa a $V/_{\Gamma_i}$, e che tutti gli isomorfismi commutino con la proiezione $p$.}
\end{defn}

Un orbifold \`e \emph{buono} se ha un rivestimento finito che \`e una variet\`a. Un rivestimento $p\colon M \to N$ \`e \emph{universale} se gode della seguente propriet\`a universale: per ogni altro rivestimento $p'\colon M'\to N$ esiste un rivestimento $q\colon M\to M'$ tale che $p=q\circ p'$

\begin{teo} Un orbifold ha un rivestimento universale, unico a meno di isomorfismi. Il rivestimento universale \`e una variet\`a se e solo se l'orbifold \`e buono.
\end{teo}

Come per gli usuali spazi topologici, il gruppo degli automorfismi del rivestimento universale \`e isomorfo al gruppo fondamentale dell'orbifold.

\begin{defn} La definizione di spazio tangente ad una variet\`a come classe di curve differenziabili passanti per un punto si estende facilmente agli orbifold.\footnote{La definizione tramite derivazione per\`o si estende meno facilmente.} Ricordiamo dalla Definizione \ref{continua:orbifold:defn} che una curva differenziabile passante per $x$ \`e una curva differenziabile in $V_x$, vista a meno dell'azione di $\Gamma_x$. Quindi lo spazio tangente $T_x$ non \`e altro che $\matR^n/_{\Gamma_x}$. Lo spazio tangente \`e quindi anch'esso un orbifold.
\end{defn}

Un orbifold \`e \emph{orientato} se $\Gamma_i < SO(n)$ per ogni $i$ e i diffeomorfismi $\psi_{ij}$ preservano tutti l'orientazione di $\matR^n$. In un orbifold orientabile le riflessioni non sono ammesse in $\Gamma_i$ e quindi l'insieme singolare ha codimensione almeno 2.

\subsection{Orbifold riemanniano}
Un \emph{orbifold riemanniano} \`e un orbifold in cui \`e definito un prodotto scalare definito positivo in ogni spazio tangente. Quando lo spazio tangente \`e un quoziente $\matR^n/_\Gamma$, si intende che il prodotto scalare \`e definito su $\matR^n$ ed \`e invariante per l'azione di $\Gamma$. Il prodotto scalare deve ovviamente variare in modo liscio su tutte le carte $V_i$. In un orbifold riemanniano sono definiti molti dei concetti presenti in una variet\`a riemanniana: \`e definita una lunghezza per le curve e quindi una distanza fra punti, una nozione di geodetica (una curva i cui sollevamenti nei $V_i$ sono geodetiche) e di forma volume (l'aperto denso dei punti regolari \`e una usuale variet\`a riemanniana).

\begin{prop}
Se $M$ \`e una variet\`a riemanniana e $\Gamma<\Iso(M)$ un sottogruppo discreto, il quoziente $M/_\Gamma$ ha una naturale struttura di orbifold. La proiezione $p\colon M \to M/_\Gamma$ \`e un rivestimento di orbifold.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $x\in M/_\Gamma$ un punto e $\tilde x\in M$ una sua controimmagine. Poich\'e $\Gamma$ agisce in modo propriamente discontinuo, lo stabilizzatore $\Gamma_{\tilde x}$ di $\tilde x$ \`e finito ed esiste un $r>0$ tale che $\exp_{\tilde x}(B_r(0)) = B_r(\tilde x)$ e $g(B_r(\tilde x))$ interseca $B_r(\tilde x)$ se e solo se $g\in\Gamma_{\tilde x}$. La palla $B_r(\tilde x)$ \`e inoltre chiaramente $\Gamma_x$-invariante. 

Definiamo quindi una struttura di orbifold su $M/_\Gamma$ prendendo per ogni $x$ l'aperto $U_x = B_r(\tilde x)/_{\Gamma_x}$ con carta da $V_x = B_r(\tilde x)$ e gruppo finito $\Gamma_x$ per un $\tilde x \in p^{-1}(x)$ qualsiasi. Estendiamo il ricoprimento $\{U_x\}$ cos\`i ottenuto prendendo tutte le intersezioni non vuote. La proiezione \`e un rivestimento per costruzione.
\end{proof}

Pi\`u in generale, se $\Gamma < \Gamma'$ sono gruppi discreti di isometrie per una variet\`a riemanniana $M$ allora $M/_{\Gamma} \to M/_{\Gamma'}$ \`e un rivestimento. In particolare, il reticolo dei sottogruppi discreti di $\Iso(M)$ definisce un reticolo di rivestimenti fra orbifold. Un \emph{orbifold iperbolico} (\emph{piatto}, \emph{ellittico}) \`e il quoziente di $\matH^n$ ($\matR^n$, $S^n$) per un gruppo discreto $\Gamma$ di isometrie. 

Il gruppo triangolare $T(a,b,c)$ definisce un orbifold (iperbolico, piatto o ellittico a seconda della terna $a,b,c$) che \`e topologicamente un triangolo $\Delta$: i punti interni hanno isotropia banale, quelli sui lati hanno una isotropia $\matZ_2$ generata da una riflessione, quelli sui 3 vertici hanno isotropia $\matZ_{2a}, \matZ_{2b}, \matZ_{2c}$ generata da rotazioni. Per il Lemma di Selberg, tutti questi orbifold sono buoni, sono cio\`e rivestiti da una opportuna superficie (iperbolica, piatta o ellittica), che eredita una tassellazione in triangoli isometrici a $\Delta$.

Il sottogruppo $T(a,b,c)^+$ delle trasformazioni che preservano l'orientazione in $T(a,b,c)$ \`e un gruppo di indice due. Questo sottogruppo genera un orbifold $\Delta^+$ ed un rivestimento $\Delta^+ \to \Delta$ di grado due. La tassellazione di $\Delta^+$ in un triangolo si solleva ad una tassellazione con due triangoli per $\Delta^+$. Il sottogruppo $T(a,b,c)^+$ non contiene riflessioni (perch\'e invertono l'orientazione). Quindi l'orbifold $\Delta^+$ non ha punti a specchio, e i gruppi di isotropia sono tutti gruppi finiti di rotazioni. Essendo di indice due, l'orbifold $\Delta^+$ ha una tassellazione con due triangoli $\Delta$: l'orbifold \`e topologicamente una sfera, in cui tutti i punti hanno isotropia banale tranne tre punti, che hanno isotropia $\matZ_a, \matZ_b, \matZ_c$ generata da rotazioni di angolo $\frac {2\pi}{a}, \frac {2\pi}b, \frac {2\pi}c$. I tre punti hanno localmente una metrica singolare con angolo conico  $\frac {2\pi}{a}, \frac {2\pi}b, \frac {2\pi}c$ pi\`u piccolo di $2\pi$.
\appunto{Fare figura con sfera e tre angoli conici.}

\subsection{Politopi ideali}
La nozione di insieme convesso \`e definita su tutto il disco chiuso $\overline {\matH^n}$. Infatti per ogni coppia di punti $x,y\in \overline{\matH^n}$ \`e ben definito il ``segmento'' con estremi $x$ e $y$ in $\overline{\matH^n}$: il segmento \`e l'usuale segmento finito se $x$ e $y$ sono interni, una semiretta uscente da $x$ con direzione $y$ se $x$ \`e interno e $y$ sul bordo, e la retta con estremi $x$ e $y$ se i punti sono entrambi sul bordo. Avendo definito un segmento per ogni coppia di punti, un \emph{insieme convesso} in $\overline{\matH^n}$ \`e un insieme $S$ in cui se $x,y\in S$ allora l'intero segmento definito da $x,y$ \`e contenuto in $S$. L'\emph{inviluppo convesso} di un insieme \`e quindi come sempre il pi\`u piccolo convesso che contiene l'insieme, ottenuto intersecando tutti i convessi che lo contengono.

\begin{defn} Un \emph{politopo ideale} \`e l'inviluppo convesso di un numero finito di punti nel bordo $\partial \matH^n$.
\end{defn}

Abbiamo gi\`a visto in particolare un triangolo ideale nel capitolo precedente. Come vedremo, in molti contesti i politopi ideali sono pi\`u trattabili di quelli usuali. Ad esempio, \`e facile definire una particolare tassellazione in triangoli ideali, detta \emph{tassellazione di Farey}. La tassellazione \`e costruita nel modo seguente. Si considera $\matH^2$ con il modello del semipiano. Per ogni coppia di numeri razionali $\frac pq, \frac rs$ (con frazioni ridotte ai minimi termini) tali che $ps-qr = \pm 1$ si disegna la geodetica con punti all'infinito $\frac pq$ e $\frac rs$. Si ottiene una tassellazione in triangoli ideali, che nel modello del disco \`e mostrata in Fig.~\ref{tiling_Farey:fig}.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 5 cm] {240px-H2checkers_iii.png}
\nota{La tassellazione di Farey di $\matH^2$ in triangoli ideali.}
\label{tiling_Farey:fig}
\end{center}
\end{figure}

Ricordiamo che $\Iso(\matH^2)= \PGLR$ dove le matrici con determinante negativo rappresentano antitrasformazioni di M\"obius.

\begin{prop} Il sottogruppo di $\Iso(\matH^2) = \PGLR $ che preserva la tassellazione di Farey \`e $\PGLZ$ ed il sottogruppo di indice due formato dalle isometrie che preservano l'orientazione \`e $\PSLZ$. Gli orbifold $\matH^2/_{\PGLZ}$ e $\matH^2/_{\PSLZ}$ hanno area $\frac\pi 6$ e $\frac \pi 3$ e sono mostrati in Fig.~\ref{orbifold_Farey:fig}.
\end{prop}
\begin{proof}
Una isometria $\varphi\in \PGLZ$ \`e una trasformazione o anti-trasformazione del tipo
$$z\mapsto \frac{az+b}{cz+d} \quad {\rm oppure} \quad z\mapsto \frac{a\bar z+b}{c\bar z+d}$$
a seconda del segno del determinante $ad-bc = \pm 1$. Siano $\frac pq$ e $\frac rs$ due punti all'infinito collegati da una geodetica della tassellazione, cio\`e tali che $\det \matr prqs = \pm 1$. Le immagini $\frac {p'}{q'} = \varphi (\frac pq)$ e $\frac {r'}{s'} = \varphi (\frac rs)$ sono determinate dal prodotto di matrici $\matr {p'}{r'}{q'}{s'} = \matr abcd \matr prqs$. Dal Teorema di Binet segue che $\det \matr {p'}{r'}{q'}{s'}  = \pm 1$ e quindi anche le immagini $\frac {p'}{q'}$ e $\frac{r'}{s'}$ sono collegate da uno spigolo della tassellazione. Abbiamo mostrato che $\PGLZ$ preserva la tassellazione di Farey.

D'altra parte, \`e facile vedere che con questo tipo di trasformazioni si possono mandare i tre punti $0=\frac 01$, $\infty = \frac 10$ e $1 = \frac 11$, vertici di un triangolo della tassellazione, in una qualsiasi terna di vertici di un altro triangolo. Quindi ogni isometria che preservi la tassellazione \`e un elemento di $\matP{\rm SL}_2(\matZ)$.

Le isometrie della tassellazione agiscono in modo transitivo sui triangoli ideali. Lo stabilizzatore di un triangolo ideale \`e il gruppo $S_3$ delle sue isometrie, determinate dalle permutazioni dei suoi tre vertici. Si ottiene quindi un dominio quozientando un triangolo ideale per le sue $6$ isometrie. Il risultato ha quindi area $\frac \pi 6$ ed \`e l'orbifold mostrato in Fig.~\ref{orbifold_Farey:fig}-(sinistra). L'orbifold di destra \`e ottenuto specchiando quello di sinistra.
\end{proof}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10 cm] {orbifold_Farey.pdf}
\nota{L'orbifold $\matH^2/_{\PGLZ}$ mostrato a sinistra ha tre specchi, di cui due infiniti che tendono ad una cuspide. Questi formano con il terzo specchio dei vertici di angolo $\frac \pi 2$ e $\frac \pi 3$. L'orbifold ha area $\frac \pi6$. Il sottogruppo $\PSLZ<\PGLZ$ di indice due formato soltanto da trasformazioni che preservano l'orientazione produce l'orbifold $\matH^2/_{\PSLZ}$ mostrato a destra di area $\frac \pi 3$, ottenuto incollando lungo gli specchi due copie di quello a sinistra. Ha una cuspide e due punti con isotropia rotatoria $\matZ_2$ e $\matZ_3$.}
\label{orbifold_Farey:fig}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Solidi platonici} \label{platonici:subsection}
Ogni solido platonico $S$ ha una famiglia di rappresentazioni in $\matH^3$, $\matR^3$ e $S^3$ con angolo diedrale variabile. Per costruire questa famiglia \`e sufficiente prendere un punto $x$ qualsiasi di $\matH^3$, $\matR^3$ o $S^3$, rappresentare $S$ dentro lo spazio tangente $T_x$ centrato nell'origine e tale che i suoi vertici $v_1,\ldots, v_k \in T_x$ abbiano norma uno, e quindi definire le geodetiche $\gamma_1,\ldots, \gamma_k$ uscenti da $x$ con velocit\`a $v_1,\ldots, v_k$. Fissato un tempo $t$ \`e quindi possibile prendere l'inviluppo convesso dei punti $\gamma_1(t),\ldots, \gamma_k(t)$ e ottenere un poliedro regolare in $\matH^3$, $\matR^3$ o $S^3$, con le stesse simmetrie di $S$ e avente baricentro in $x$. Indichiamo con $S(t)$ il solido cos\`\i\ ottenuto, con la convenzione seguente: per $t<0$ questo \`e il solido ottenuto a tempo $|t|$ in $\matH^3$, con $t=0$ \`e il solido usuale in $\matR^3$ (che \`e unico a meno di similitudini), e con $t>0$ questo \`e il solido ottenuto in $S^3$. Il solido $S(t)$ \`e definito per ogni $t\in[-\infty, \frac \pi2]$: per $t=-\infty$ intendiamo il solido iperbolico ideale, inviluppo convesso dei vertici all'infinito delle semirette $\gamma_i$, mentre per $t= \frac\pi 2$ l'inviluppo convesso dei punti $S(t)$ coincide con la semisfera in $S^n$ centrata in $x$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 4 cm] {240px-IcosahedreHyperbolique1.png} \qquad
\includegraphics[width = 3.5 cm] {245px-Dodecahedron.jpg}
\nota{Un icosaedro regolare iperbolico e un dodecaedro regolare euclideo.}
\label{icosaedro:fig}
\end{center}
\end{figure}

\appunto{Dove ho definito l'angolo diedrale?}
Ricordiamo che le simmetrie di un solido platonico $S$ agiscono transitivamente su vertici, spigoli e facce. In particolare tutti gli spigoli di $S(t)$ hanno lo stesso angolo diedrale $\theta(t)$. Per costruzione $\theta$ \`e una funzione continua strettamente decrescente.

\begin{prop} Sia $n\in\{3,4,5\}$ il numero di spigoli distinti incidenti in un vertice di $S$. Vale
$$\theta \left(\left[-\infty, \frac \pi 2\right]\right) = \left[\frac{n-2}n \pi, \pi\right].$$
\end{prop}
\begin{proof}
Intersecando il poliedro ideale $S(-\infty)$ in $\matH^3$ con una piccola orosfera $O$ centrata in un suo vertice $v$ otteniamo un poligono $P$ dentro il piano euclideo $O$, univocamente determinato a meno di similitudini (variando $O$ la metrica euclidea cambia per riscalamento). Poich\'e esistono simmetrie del solido platonico $S$ che fissano un vertice e ruotano gli spigoli su di lui incidenti, il poligono euclideo $P$ \`e regolare. Quindi ha angoli interni $\frac{n-2}n\pi$. 

L'angolo diedrale di uno spigolo $e$ di $S(-\infty)$ incidente su $v$ \`e misurato intersecando $e$ con un piano iperbolico $P$ ortogonale ad $e$ in un qualsiasi punto $p = P\cap e$. Poich\'e l'orosfera $O$ passante per $p$ \`e tangente a $P$, si ottiene lo stesso angolo $\theta(-\infty) = \frac{n-2}n\pi$. D'altra parte $S(\frac \pi 2)$ \`e una semisfera in cui tutti gli angoli diedrali sono $\pi$, quindi $\theta(\frac \pi 2) = \pi$.
\end{proof}

Identificando opportunamente le facce di un solido platonico con il giusto angolo diedrale \`e possibile costruire alcune variet\`a iperboliche (piatte, ellittiche) particolari. 

\begin{example}
Identificando le facce opposte di un cubo euclideo si ottiene il toro euclideo $S^1\times S^1\times S^1$. 
\end{example}

\begin{example}
Le facce opposte di un dodecaedro regolare sono due pentagoni, come si vede in Fig.~\ref{icosaedro:fig}-(destra). Questi possono essere identificati essenzialmente in tre modi: tramite una rotazione (oraria o antioraria) di angolo $\frac {\pi}5$, $\frac{3\pi}5$ oppure $\pi$. Se identifichiamo tutte le facce opposte con una rotazione antioraria di angolo $\frac {\pi}5$ otteniamo una 3-variet\`a chiusa importante, nota come \emph{sfera di Poincar\'e}. L'orbita di uno spigolo in questa identificazione \`e formata da 3 spigoli. L'angolo diedrale del dodecaedro piatto \`e approssimativamente $116^\circ$. \`E quindi possibile utilizzare un dodecaedro sferico con angolo diedrale $\theta = \frac{2\pi}3$ per questa identificazione e costruire una struttura di variet\`a ellittica sulla sfera di Poincar\'e. Analogamente con la rotazione di angolo $\pi$ l'orbita di uno spigolo \`e formata da due soli spigoli ed il dodecaedro sferico con angolo $\pi$ (che \`e una semisfera) pu\`o essere usato per dare una struttura ellittica alla variet\`a risultante, che \`e semplicemente lo spazio proiettivo $\matRP^3$ ottenuto usualmente quozientando il bordo della semisfera tramite mappa antipodale.

Analogamente, se identifichiamo tutte le facce opposte con una rotazione antioraria di angolo $\frac {3\pi}5$ otteniamo un'altra 3-variet\`a chiusa, nota come \emph{spazio di Seifert-Weber}. In questo caso l'orbita di uno spigolo consta di 5 spigoli, ed usando un dodecaedro iperbolico con angolo diedrale pari a $\frac{2\pi}5$ si ottiene una struttura iperbolica sullo spazio di Seifert-Weber.

Sollevando i dodecaedri nei due esempi al loro rivestimento universale, otteniamo una tassellazione in dodecaedri regolari di $S^3$ e $\matH^3$. La tassellazione di $S^3$ consta di 120 tetraedri, pari al numero di elementi del gruppo fondamentale della sfera di Poincar\'e. L'importanza della sfera di Poincar\'e sta nel fatto che \`e l'unica 3-variet\`a chiusa con gruppo fondamentale finito che sia anche una \emph{sfera di omologia}, cio\`e che abbia la stessa omologia di $S^3$. In particolare, il suo gruppo fondamentale ha abelianizzato banale.
\end{example}
\appunto{Parlare qui della congettura di Poincar\'e?}

\subsection{Simplessi} \label{simplessi:subsection}
La costruzione appena descritta per i solidi platonici si applica ai politopi regolari di ogni dimensione: ci occuperemo in particolare dei \emph{simplessi regolari}. In ogni dimensione $n$ \`e possibile prendere un punto qualsiasi di $\matH^n$, $\matR^n$ o $S^n$ e dei vettori unitari $v_0, \ldots, v_n \in T_x$ che siano vertici di un simplesso regolare in $T_x \Isom \matR^n$ e definire per ogni $t\in \left[-\infty, \frac \pi 2\right]$ il \emph{simplesso regolare} $\Delta(t)$. Il punto $x$ \`e il baricentro del simplesso. Per $t=-\infty$ otteniamo un simplesso regolare \emph{ideale} in $\matH^n$. 

\subsection{Dominio di Dirichlet}
Abbiamo costruito alcune 3-variet\`a iperboliche identificando a coppie le facce di un politopo in $\matH^n$. Mostriamo adesso che qualsiasi 3-variet\`a iperbolica chiusa pu\`o essere costruita in questo modo.

Sia $M = \matH^n/_\Gamma$ una variet\`a iperbolica chiusa e $x_0\in M$ un punto. La controimmagine $p^{-1}(x_0)$ rispetto al rivestimento universale $p\colon \matH^n \to M$ \`e un insieme discreto di punti in $\matH^n$, su cui $\Gamma$ agisce in modo libero e transitivo. Per ogni punto $x\in p^{-1}(x_0)$ definiamo il \emph{dominio di Dirichlet} come l'insieme
$$D(x) = \big\{ y \in \matH^n\ \big|\ d(y,x)\leqslant d(y,x')\ \forall x' \in p^{-1}(x_0)\big\}.$$
\begin{prop}
Il dominio di Dirichlet $D(x)$ \`e un politopo, ed \`e un dominio fondamentale per l'azione di $\Gamma$. I domini $D(x)$ al variare di $x\in p^{-1}(x_0)$ formano una tassellazione invariante per $\Gamma$.
\end{prop}
\begin{proof}
Per definizione $D(x)$ \`e l'intersezione al variare di $x'\in p^{-1}(x_0)$ di tutti i semispazi
$$S_{x'} = \big\{y \in \matH^n\ \big| \ d(y,x) \leqslant d(y,x') \big\}.$$
L'insieme $p^{-1}(x_0)$ \`e discreto, quindi interseca ogni insieme limitato di $\matH^n$ in un numero finito di punti. Questo fatto implica che l'intersezione fra semispazi sia localmente finita. Quindi la parte interna di $D(x)$ \`e l'intersezione dei semispazi aperti
$$\dot S_{x'} = \big\{y \in \matH^n\ \big| \ d(y,x) < d(y,x') \big\}.$$
I punti interni di $D(x)$ sono quindi precisamente i punti che sono strettamente pi\`u vicini a $x$ che agli altri punti di $p^{-1}(x_0)$. Segue dalle definizioni che 
$$D(\gamma (x)) = \gamma(D(x))$$ 
per ogni $\gamma \in \Gamma$ e $x\in p^{-1}(x_0)$ e che i domini $D(x)$ tassellano lo spazio. In particolare ciascun $D(x)$ \`e un dominio fondamentale per $\Gamma$.

\appunto{Dimostrare bene che compatto implica limitato.}
Se $M$ \`e compatta allora $D(x)$ \`e limitato. Poich\'e l'intersezione \`e localmente finita, \`e anche globalmente finita, quindi $D(x)$ \`e un politopo.
\end{proof}

\subsection{Tetraedri ideali}
I tetraedri ideali giocano un ruolo fondamentale nella costruzione di 3-variet\`a iperboliche. Vediamo innanzitutto che esiste un metodo geometrico semplice per associare un tetraedro ideale ad ogni numero complesso $z$ con $\Im z >0$. 

Un tetraedro ideale \`e l'inviluppo convesso di quattro punti $v_1, v_2, v_3, v_4$ in $\partial \matH^3$. Il tetraedro \`e \emph{degenere} se i quattro punti sono complanari. Supponiamo che il tetraedro non sia degenere. Ricordiamo che $\Iso^+(\matH^3) = \PSLC$ e che quindi esiste un'unica isometria che preserva l'orientazione di $\matH^3$ e manda $v_1, v_2, v_3$ rispettivamente in $0, 1, \infty \in \partial \matH^3 = \matC \cup \{\infty\}$ usando il modello del semispazio. Il quarto punto \`e un numero complesso $z$, e a meno di specchiare lungo il piano passante per $0,1,\infty$ possiamo supporre che $\Im z >0$.\footnote{Il numero complesso $z$ \`e il \emph{birapporto} dei quattro punti $v_1, v_2, v_3, v_4$ usato in geometria proiettiva.}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 7cm] {tetrahedron.pdf} 
\nota{Un tetraedro ideale con un tre vertici in $0,1,\infty$ nel modello del semispazio \`e determinato dalla posizione $z$ del quarto vertice nel bordo $\matC\cup\{\infty\}$. Una piccola orosfera centrata nel vertice ideale interseca il tetraedro in un triangolo euclideo univocamente determinato a meno di similitudine.}
\label{tetrahedron:fig}
\end{center}
\end{figure}

Ricordiamo che una orosfera centrata nel punto all'infinito \`e nel modello del semispazio un piano orizzontale che possiamo identificare con $\matC$. Intersecando il tetraedro con una orosfera possiamo ottenere un triangolo come in Fig.~\ref{tetrahedron:fig}, di vertici $0,1,z$. Il triangolo \`e univocamente determinato a meno di similitudini, e quindi sono univocamente determinati i rapporti
$$z, \frac{z-1}z, \frac 1 {1-z}$$
fra i due lati del triangolo uscenti da un vertice, visti come numeri complessi. L'argomento di ciascun numero \`e l'angolo interno, ed il modulo \`e il rapporto fra le lunghezze dei due segmenti adiacenti. Assegniamo i tre numeri complessi agli angoli del triangolo come in Fig.~\ref{tetraedro2:fig}. Notiamo adesso che il tetraedro ideale ha sempre delle simmetrie non banali.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 12.5 cm] {tetraedro2.pdf} 
\nota{Per ogni vertice ideale c'\`e un triangolo euclideo definito a meno di similitudini; si pu\`o associare in modo univoco ad ogni angolo un numero complesso la cui fase \`e l'angolo e il cui modulo \`e il rapporto fra le lunghezze dei lati adiacenti (sinistra). Ogni coppia di spigoli opposti ha un asse che \`e un asse di simmetria per il tetraedro ideale (centro). Il tetraedro a meno di isometria \`e identificato associando un numero complesso ad ogni spigolo come mostrato in figura (destra). La fase di questo numero complesso \`e l'angolo diedrale dello spigolo. }
\label{tetraedro2:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{prop}
Per ogni coppia di lati opposti di un tetraedro ideale non degenere $T$ esiste un'asse $r$ di simmetria ortogonale ad entrambi come in Fig.~\ref{tetraedro2:fig}-(centro) tale che $T$ sia simmetrico rispetto ad una rotazione di $\pi$ intorno a $r$.
\end{prop}
\begin{proof}
Poich\'e $T$ \`e non degenere i due lati $e$ ed $e'$ sono due rette di $\matH^3$ ultraparallele. Quindi esiste un'unica retta $r$ di $\matH^3$ ortogonale ad $e$ e $e'$. Una rotazione di $\pi$ intorno a $r$ scambia i vertici di $e$ e di $e'$ e preserva l'insieme dei 4 vertici, quindi preserva $T$.
\end{proof}
Le simmetrie del tetraedro quindi agiscono in modo transitivo sui vertici. Ne segue che ogni vertice ha una sezione triangolare simile a quella mostrata in Fig.~\ref{tetraedro2:fig}-(sinistra), e che tutte le sezioni possono essere riassunte assegnando i numeri complessi direttamente agli spigoli del tetraedro come in Fig.~\ref{tetraedro2:fig}-(destra). Questo sistema di numeri complessi identifica completamente il tetraedro ideale a meno di isometrie di $\matH^3$.

\subsection{Triangolazioni ideali ed equazioni di completezza}
Siano $\Delta_1,\ldots, \Delta_k$ alcuni tetraedri iperbolici ideali non degeneri. Come abbiamo visto, ogni spigolo di ciascun $\Delta_i$ ha un ben definito numero complesso con parte immaginaria positiva. Tentiamo adesso di costruire una 3-variet\`a iperbolica incollando fra loro questi tetraedri. Scegliamo quindi ad esempio di incollare una faccia $f_i$ di $\Delta_i$ con una faccia $f_j$ di $\Delta_j$. Quante possibilit\`a abbiamo? La risposta \`e semplice.
\begin{prop} Dati due triangoli ideali $\Delta$ e $\Delta'$, ogni corrispondenza biunivoca fra i vertici ideali di $\Delta$ e quelli di $\Delta'$ \`e realizzata da un'unica isometria $\Delta\Isom \Delta'$.
\end{prop}

\begin{proof}
Innanzitutto abbiamo gi\`a notato che i triangoli ideali sono tutti isometrici, perch\'e $\Iso(\matH^2)$ agisce transitivamente sulle terne ordinate di punti in $\partial\matH^2$. Quindi esiste almeno una isometria $\Delta\Isom \Delta'$ che realizza la corrispondenza biunivoca data fra i vertici. D'altra parte questa isometria \`e unica: ogni lato $l$ di un triangolo ideale ha un intrinseco ``punto medio'', definito come l'unico punto $p\in l$ per cui esiste una geodetica ortogonale a $l$ che unisce $p$ e il vertice ideale opposto del triangolo. Una isometria del triangolo ideale in s\'e che fissa i vertici ideali deve anche fissare ciascuno dei tre punti medi, e quindi fissa tutto.
\end{proof}

Quindi esiste un'unica isometria che incolli le due facce $f_i$ e $f_j$ dopo aver scelto arbitrariamente come identificare le due terne di vertici ideali. Possiamo quindi scegliere una arbitraria identificazione a coppie delle $4k$ facce dei $k$ tetraedri ideali, e l'incollamento produrr\`a uno spazio topologico che ha una struttura di variet\`a iperbolica nel complementare degli spigoli. Per semplificare la discussione, incolliamo le facce usando soltanto mappe che invertono l'orientazione, cos\`\i\ siamo sicuri di ottenere una variet\`a iperbolica orientata. 

Tentiamo adesso di estendere la struttura iperbolica agli spigoli. Se riusciamo ad incollare tutti i tetraedri adiacenti ad uno spigolo $e$ dentro $\matH^3$ come mostrato in Fig.~\ref{tetrahedron3:fig} siamo a posto. Siano $z_1,\ldots, z_h$ i numeri complessi associati agli spigoli degli $h$ tetraedri incidenti su $e$. Come mostrato in figura, se $z_1\cdots z_h = 1$ tutti i tetraedri possono essere incollati contemporaneamente in $\matH^3$ e quindi una struttura iperbolica si estende anche allo spigolo $e$. Notiamo che l'equazione $z_1\cdots z_h = 1$ in realt\`a non \`e sufficiente: vogliamo anche che la somma degli argomenti dei $z_i$ sia $2\pi$ e non un arbitrario multiplo di $2\pi$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10 cm] {tetrahedron3.pdf} 
\nota{Se riusciamo ad attaccare tutti i tetraedri incidenti su uno spigolo $e$ dentro $\matH^3$ come mostrato a sinistra, la struttura iperbolica \`e definita anche sullo spigolo $e$. Siano $z_1,\ldots, z_h$ i numeri complessi associati agli spigoli degli $h$ tetraedri incidenti (in figura $h=5$). La condizione perch\'e l'incollamento possa essere fatto come in figura \`e che $z_1\cdots z_h$ sia uguale a uno (destra).}
\label{tetrahedron3:fig}
\end{center}
\end{figure}

Possiamo quindi scegliere arbitrariamente uno spigolo per ogni simplesso $\Delta_i$ e associare a questo spigolo la variabile $z_i$; gli altri spigoli di $\Delta_i$ avranno automaticamente associata una delle variabili $z_i$, $\frac{z_i-1}{z_i}$ oppure $\frac 1{1-z_i}$. Come abbiamo visto, per ciascun spigolo $e$ otteniamo una equazione del tipo $z_1\cdots z_h = 1$ (cui va aggiunta la condizione che la somma degli argomenti sia $2\pi$). Abbiamo quindi ottenuto un sistema di equazioni, dette \emph{equazioni di compatibilit\`a}, con una variabile per ogni tetraedro e una equazione per ogni spigolo che risulta dopo l'incollamento. Dalla discussione discende il fatto seguente.

\begin{prop} Ogni soluzione delle equazioni di compatibilit\`a identifica una struttura iperbolica sulla variet\`a $M$ ottenuta incollando i tetraedri ideali.
\end{prop}

La struttura iperbolica per\`o non \`e necessariamente completa. Notiamo infatti che la variet\`a che otteniamo non \`e compatta, perch\'e i tetraedri ideali non lo sono. Lo studio del completamento di questa variet\`a \`e un aspetto cruciale della geometria iperbolica in dimensione 3 e sar\`a oggetto del prossimo capitolo.

\section{Completamenti metrici e variet\`a con singolarit\`a coniche}
\appunto{Da fare: parlare qui di variet\`a con singolarit\`a coniche e Dehn filling.}
