
\chapter{Diffeomorfismi di una superficie}

Introduciamo in questo capitolo alcune analogie fra $\matH^n$ e lo spazio di Teichm\"uller $\Teich(S_g)$ di $S_g$. Abbiamo gi\`a visto che $\matH^n$ ha una compattificazione $\overline{\matH^n}$: per il teorema di Brouwer ogni elemento $\varphi \in \Iso^+(\matH^n)$ ha un punto fisso nel disco chiuso $\overline{\matH^n}$ e l'isometria $\varphi$ \`e detta \emph{ellittica}, \emph{parabolica} o \emph{iperbolica} a seconda che il punto fisso sia all'interno di $\matH^n$ o che non ci siano punti fissi interni, ma ce ne siano rispettivamente uno o due nel bordo $\partial \matH^n$.

Analogamente abbiamo visto che il \emph{mapping class group} $\MCG(S_g)$ si $S_g$ agisce su $\Teich(S_g)$: vedremo in questo capitolo che anche $\Teich(S_g)$ ha una naturale compattificazione $\overline{\Teich(S_g)}$ ad un disco chiuso ed il teorema di Brouwer ci garantisce anche in questo caso che ogni elemento $\varphi\in\MCG(S_g)$ abbia un punto fisso in $\overline{\Teich(S_g)}$; anche in questo contesto ci sono tre casi, a seconda che il punto fisso sia interno, che sia un tipo particolare di punto fisso al bordo o che esistano due punti fissi pi\`u ``generici''. Per introdurre questa nuova tricotomia dobbiamo partire dalla compattificazione di $\Teich(S_g)$.

\section{Compattificazione dello spazio di Teichm\"uller}

\subsection{Il toro: curve semplici chiuse}

Sia $\calC$ l'insieme delle curve semplici chiuse omotopicamente non banali sul toro $T$, non orientate e viste a meno di isotopia. Ciascuna curva in $\calC$ determina un elemento non banale in $\pi_1(T)$ a meno di segno (perch\'e la curva non \`e orientata).

Possiamo quindi rappresentare ogni curva in $\calC$ come una coppia di interi coprimi $\pm(p,q)$ definita a meno di segno. Assegnando ad ogni curva il rapporto $\frac pq$ otteniamo una corrispondenza biunivoca
$$\calC \longleftrightarrow \matQ \cup \{\infty\}.$$


\subsection{Il toro: spazio di Teichm\"uller}
Il toro non ammette metriche piatte e non iperboliche: \`e per\`o possibile definire in modo analogo uno spazio di Teichm\"uller, si definisce in modo agevole la sua compattificazione ed \`e facile studiare il suo mapping class group. Il toro serve quindi da modello base per tutta la teoria, che si estende in modo pi\`u complicato alle superfici di genere superiore.

\begin{defn} Lo \emph{spazio di Teichm\"uller} $\Teich(T)$ del toro $T$ \`e l'insieme delle metriche piatte su $T$ a meno di isometria isotopa all'identit\`a e di riscalamento. 
\end{defn}
Ricordiamo che l'operazione di riscalamento di una metrica riemanniana consiste nel sostituire il tensore metrico $g$ con $\lambda g$ per qualche $\lambda>0$: in geometria iperbolica questa operazione cambia la curvatura se $\lambda \neq 1$ e quindi non \`e permessa, in geometria piatta invece la curvatura nulla resta invariata e questa operazione ha senso (in altre parole, le omotetie esistono solo nella geometria euclidea, e non nelle geometrie iperbolica e sferica). Nel riscalamento le lunghezze variano di un fattore $\sqrt\lambda$ e l'area del toro varia di un fattore $\lambda$: a meno di riscalamento si pu\`o quindi sempre chiedere che una metrica piatta sul toro abbia area unitaria.

Definiamo adesso una bigezione
$$\Teich(T) \longrightarrow H^2$$
fra $\Teich(T)$ ed il semipiano $H^2 = \big\{z\in\matC\ \big|\ \Im z>0\big\}$ nel modo seguente. Consideriamo il gruppo fondamentale $\pi_1(T) = \matZ \times \matZ$, generato da $m=(1,0)$ e $l=(0,1)$, corrispondenti alle curve \emph{meridiano} e \emph{longitudine} mostrate in Fig.~\ref{torus:fig}.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 7.5 cm] {800px-Toroidal_coord.png}
\nota{Meridiano (in rosso) e longitudine (in blu) sono due generatori di $\pi_1(T) = \matZ\times \matZ$.}
\label{torus:fig}
\end{center}
\end{figure}

Sia $h$ una metrica piatta su $T$. Come per le superfici iperboliche, la metrica determina un rivestimento universale $p\colon \matR^2 \to T$ ed il suo gruppo degli automorfismi \`e un gruppo $\Gamma < \Iso^+(\matR^2)$ discreto di isometrie di $\matR^2$ senza punti fissi naturalmente isomorfo a $\pi_1(T) = \matZ^2$, per cui $T=\matR^2/_\Gamma$. Le isometrie di $\matR^2$ che preservano l'orientazione e non hanno punti fissi sono precisamente le traslazioni: quindi $\Gamma$ \`e un gruppo discreto di traslazioni, e poich\'e le traslazioni di $\matR^2$ sono identificate canonicamente con $\matR^2$, il gruppo $\Gamma$ \`e un sottogruppo discreto di $\matR^2$ isomorfo a $\matZ^2$, generato da due elementi $a$ e $b$, corrispondenti agli elementi $m$ e $n$ di $\pi_1(T)$. Poich\'e $\Gamma$ \`e discreto, gli elementi $a$ e $b$ sono vettori indipendenti nello spazio vettoriale $\matR^2$.

Identifichiamo $\matR^2$ con $\matC$. A meno di coniugare $\Gamma$ con una isometria di $\matR^2$ possiamo supporre che $a$ sia un numero reale positivo e $b$ sia un elemento del semipiano superiore $H^2$. A meno di riscalare la metrica possiamo supporre che $a=1$. La mappa che associa il vettore $b\in H^2$ alla metrica iniziale $h$ \`e la nostra corrispondenza biunivoca fra $\Teich(T)$ e $H^2$.

\begin{prop} La mappa $\Teich(T) \to H^2$ appena definita \`e una biezione.
\end{prop}
\begin{proof}
La mappa inversa $H^2 \to \Teich(T)$ \`e definita nel modo seguente: per ogni $b\in H^2$ prendiamo il gruppo discreto $\Gamma$ di traslazioni generato da $1$ e $b$ ed assegniamo a $T$ la metrica iperbolica di $\matH^2/_\Gamma$.
\end{proof}

\subsection{Il toro: mapping class group}
Il mapping class group del toro pu\`o essere descritto facilmente. Un elemento $\varphi \in \MCG(S_g)$ agisce sull'omologia $H_1(S_g, \matZ)$.\footnote{L'elemento $\varphi$ \`e determinato solo a meno di omotopia, ma funzioni continue omotope inducono la stessa mappa in omologia: l'azione \`e quindi ben definita.} Otteniamo quindi un omomorfismo di gruppi
$$\MCG(S_g) \longrightarrow \Aut\big(H_1(S_g, \matZ)\big) = \Aut \big(\matZ^{2g}\big) = \GL(2g, \matZ).$$
Questo omomorfismo non \`e in generale n\'e iniettivo n\'e suriettivo: il suo nucleo \`e chiamato \emph{gruppo di Torelli}, e consiste nei diffeomorfismi di $S_g$ che non hanno nessun effetto in omologia. 

\begin{prop} Il gruppo di Torelli del toro $T$ \`e banale e $\MCG(T)$ agisce su $H_1(T) = \matZ^2$ come $\SL(2,\matZ)$.
\end{prop}
\begin{proof}
Consideriamo il meridiano $m$ e la longitudine $l$ di $T$. Sia $\varphi$ un diffeomorfismo del toro che agisce in modo banale su $H_1(T) = \pi_1(T) = \matZ^2$: dobbiamo mostrare che \`e isotopo all'identit\`a. Il diffeomorfismo $\varphi$ manda $m$ e $l$ rispettivamente su due curve semplici chiuse $m'$ e $l'$ che rappresentano gli stessi elementi di $m$ e $l$ in omotopia e continuano ad intersecarsi in modo minimale: le due configurazioni $(m,l)$ e $(m',l')$ sono entrambe minimali e quindi isotope, esiste cio\`e una isotopia ambiente che porta $m$ in $m'$ e $l$ in $l'$. Possiamo quindi supporre che $\varphi$ sia l'identit\`a su $m\cup l$ e concludere con il trucco di Alexander applicato al disco $T\setminus (l\cup m)$.

Mostriamo infine che l'immagine di $\MCG(T)$ in $\Aut\big(H_1(T,\matZ)\big) = \Aut(\matZ^2) = \GL(2,\matZ)$ \`e il sottogruppo di indice due $\SL(2,\matZ)$ formato dalle matrici $A$ con $\det A = 1$. Per definizione $\varphi\in \MCG(\Sigma)$ preserva l'orientazione e quindi agisce su $H_1(T,\matZ)$ con una matrice $A$ con $\det A = 1$. D'altro canto, ogni matrice $A\in\SL(2,\matZ)$ \`e realizzata in questo modo: la matrice $A$ agisce su $\matR^2$ preservando $\matZ^2$ e quindi agisce sul toro $T$ come un diffeomorfismo.
\end{proof}

Identifichiamo $\MCG(T)$ con $\SL(2,\matZ)$. L'azione di $\MCG(T)$ su $\calC$ si legge quindi come la naturale azione di $\SL(2,\matZ)$ su $\matQ\cup \{\infty\}$, in cui $A= \left(\begin {smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right)$ manda $\frac pq$ in $\frac{ap + bq} {cp + dq}$. L'azione di $A$ su $z = \frac pq \in \matQ \cup \{\infty\}$ \`e quindi una trasformazione di M\"obius
$$z \longmapsto \frac {az+b}{cz+d}.$$
L'azione di $\MCG(T)$ su $\Teich(S_g)$ si legge come la stessa trasformazione di M\"obius applicata al semipiano $H^2$, che rappresenta $\Teich(S_g)$.

\subsection{Il toro: compattificazione di $\Teich(T)$}
Avendo identificato $\Teich(T)$ con $H^2$, \`e naturale compattificare lo spazio di Teichm\"uller come abbiamo fatto con il piano iperbolico $H^2$, aggiungendo i punti all'infinito $\matR \cup \{\infty\}$. I punti all'infinito hanno una interpretazione geometrica: i punti razionali, come abbiamo gi\`a visto, rappresentano le curve in $\calC$. Che interpretazione dare ai punti irrazionali?

Identificando $T$ con $\matR^2/_{\matZ^2}$, possiamo associare ad ogni punto irrazionale $\alpha \in \matR \setminus \matQ$ una \emph{foliazione} di $T$ di pendenza $\alpha$, ovvero una partizione di $T$ lungo geodetiche (non pi\`u chiuse, ma geodetiche iniettive $\matR \to T$) che sono immagini di rette affini in $\matR^2$ di pendenza $\alpha$. Notiamo che ciascuna di queste geodetiche \`e densa in $T$. 
Queste foliazioni, come le curve chiuse e gli elementi di $\MCG(T)$, sono definite solo a meno di isotopia.\footnote{Una definizione pi\`u rigorosa e pi\`u generale di foliazione verr\`a data in seguito.}

\subsection{Il toro: tricotomia}
Il mapping class group $\MCG(T) = \SL(2,\matZ)$ agisce tramite omeomorfismi sulla compattificazione $\overline{\Teich(T)}$, omeomorfa al disco $D^2$. Possiamo quindi invocare il teorema di Brouwer: ogni elemento di $\MCG(T)$ ha almeno un punto fisso in $\overline{\Teich(S_g)}$. Con gli strumenti dell'algebra lineare \`e facile descrivere l'azione.

\begin{prop}
Sia $A \in \MCG(T) = \SL(2,\matZ)$. Ci sono tre possibilit\`a:
\begin{enumerate}
\item $|\tr A| < 2$ e la mappa $A$ ha un punto fisso in $\Teich(T)$ ed ha ordine finito,
\item $|\tr A| = 2$ e la mappa $A$ fissa un elemento di $\calC$,
\item $|\tr A| > 2$ e la mappa $A$ non ha punti fissi in $\Teich(T)\cup\calC$ ma fissa esattamente due foliazioni.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
Per la Proposizione \ref{PSLR:prop} del Capitolo \ref{spazio:chapter} la tricotomia corrisponde ai casi in cui $A$, vista come isometria di $\matH^2$ nel modello del semipiano, \`e ellittica, parabolica, o iperbolica. Dobbiamo solo notare che (1) il gruppo $\SL(2,\matZ)$ \`e discreto in $\Isom(\matH^2)$ e quindi ogni elemento ellittico ha ordine finito $\ldots$
\end{proof}
\appunto{Da completare}



 

