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\newtheorem{esercizio}{Esercizio}

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% \renewcommand{\appunto}[1]{}

% Con due argomenti per ottenere l'opzione resize

\author{Esercizi II}
\title{Geometria iperbolica}
\date{31 ottobre 2011}
\begin{document}
\maketitle

\begin{esercizio}
Sia $f\in\PSLR$ una isometria non banale del piano iperbolico $\matH^2$. Mostra che 
\begin{enumerate}
\item $f$ \`e ellittica se e solo se $|\tr f|\leqslant 2$,
\item $f$ \`e parabolica se e solo se $|\tr f|=2$,
\item $f$ \`e iperbolica se e solo se $|\tr f|>2$.
\end{enumerate}
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Siano $f, g$ due isometrie dello spazio iperbolico $\matH^3$ del tipo seguente: $f$ \`e una trasformazione parabolica con punto fisso $p\in\partial\matH^3$ e $g$ \`e una trasformazione iperbolica con punti fissi $p$ e $q$ in $\partial \matH^3$. Mostra che il sottogruppo di Isom$(\matH^3)$ generato da $f$ e $g$ non \`e un sottogruppo discreto di Isom$(\matH^3)$. Potete usare il modello del sottospazio e rappresentare il gruppo di Lie Isom$(\matH^3)$ come $\PSLC$.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Mostra che per ogni terna di angoli positivi $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ con $\alpha+\beta+\gamma<\pi$ esiste un triangolo in $\matH^2$ avente quegli angoli interni. Mostra che tale triangolo \`e unico a meno di isometrie (in particolare, le lunghezze dei suoi lati dipendono solo da $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$).
\end{esercizio}

\end{document}