Geometria iperbolica

Esercizi II

31 ottobre 2011

Esercizio 1. Sia f ∈ ℙSL_{2}(ℝ) una isometria non banale del piano iperbolico ℍ^{2}. Mostra che

1. f è ellittica se e solo se |trf| ⩽ 2,

2. f è parabolica se e solo se |trf| = 2,

3. f è iperbolica se e solo se |trf| > 2.

Esercizio 2. Siano f, g due isometrie dello spazio iperbolico ℍ^{3} del tipo seguente: f è una trasformazione parabolica con punto fisso p ∈ ∂ℍ^{3} e g è una trasformazione iperbolica con punti fissi p e q in ∂ℍ^{3}. Mostra che il sottogruppo di Isom(ℍ^{3}) generato da f e g non è un sottogruppo discreto di Isom(ℍ^{3}). Potete usare il modello del sottospazio e rappresentare il gruppo di Lie Isom(ℍ^{3}) come ℙSL_{2}(ℂ).

Esercizio 3. Mostra che per ogni terna di angoli positivi α, β, γ con α+β+γ < π esiste un triangolo in ℍ^{2} avente quegli angoli interni. Mostra che tale triangolo è unico a meno di isometrie (in particolare, le lunghezze dei suoi lati dipendono solo da α, β e γ).