
\chapter{Lo spazio iperbolico} \label{spazio:chapter}

\section{Richiami di geometria riemanniana}

\subsection{Variet\`a differenziabili}
Una \emph{variet\`a topologica} di dimensione $n$ \`e uno spazio topologico $M$ di Hausdorff e paracompatto localmente omeomorfo ad $\matR^n$. In altre parole, esiste un ricoprimento $\{U_i\}$ di $M$ fatto di aperti $U_i$ omeomorfi ad aperti $V_i$ di $\matR^n$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 7 cm] {300px-Alexander_horned_sphere.png}
\nota{La \emph{sfera cornuta di Alexander} \`e un sottoinsieme di $\matR^3$ omeomorfo alla sfera $S^2$. Divide lo spazio $\matR^3$ in due componenti connesse, nessuna delle quali \`e omeomorfa ad un disco aperto. \`E stato costruito da Alexander come controesempio ad una naturale generalizzazione del teorema della curva di Jordan in dimensione 3. La naturale generalizzazione sarebbe la seguente: \`e vero che ogni sfera in $\matR^3$ \`e il bordo di una palla? Se la sfera \`e intesa solo come sottovariet\`a topologica, la risposta \`e negativa e la sfera di Alexander \`e un controesempio. Se invece la sfera \`e intesa come sottovariet\`a differenziabile la risposta \`e positiva, come dimostrato dallo stesso Alexander.}
\label{Alexander:fig}
\end{center}
\end{figure}

Le variet\`a topologiche sono oggetti molto difficili da trattare. La loro definizione \`e troppo generale e non permette di definire e dimostrare quasi nulla. Anche la stessa nozione di dimensione \`e non banale: per dimostrare che un aperto di $\matR^k$ non \`e omeomorfo ad un aperto di $\matR^h$ per $k$ e $h$ differenti infatti abbiamo bisogno di strumenti raffinati come l'omologia. Definire e trattare sottospazi topologici in una variet\`a topologica \`e difficile: ad esempio, la \emph{sfera di Alexander} mostrata in Fig.~\ref{Alexander:fig} \`e un sottospazio di $\matR^3$ topologicamente omeomorfo ad una sfera. \`E un oggetto molto complicato che ha molti punti che non sono ``lisci'' e non possono essere ``allisciati'' in nessun modo.

Per definire oggetti pi\`u trattabili e ``lisci'' si fa generalmente ricorso ai potenti strumenti del calcolo infinitesimale in pi\`u variabili. A questo scopo si definiscono le nozioni di \emph{carta} e \emph{atlante}.

\begin{defn} Sia $M$ una variet\`a topologica.
Una \emph{carta} \`e un fissato omeomorfismo $\varphi\colon U_i \to V_i$ fra un aperto $U_i$ di $M$ ed un aperto $V_i$ di $\matR^n$. Un \emph{atlante} \`e un insieme di carte $\{(U_i, \varphi_i)\}$ tale che gli aperti $U_i$ ricoprono $M$. Un \emph{atlante differenziabile} \`e un atlante in cui le \emph{funzioni di transizione} $\varphi_{ji} = \varphi_j\circ \varphi_i^{-1}$, ove definite, sono lisce.\footnote{Se $U_i\cap U_j \neq \emptyset $ allora la funzione di transizione $\varphi_{ji}$ \`e l'omeomorfismo fra gli aperti $\varphi_i({U_i\cap U_j})$ e $\varphi_j({U_i\cap U_j})$ di $\matR^n$ definito come $\varphi_{ji} = \varphi_j|_{U_i\cap U_j} \circ (\varphi_i|_{U_i \cap U_j})^{-1}$. Questa mappa deve essere liscia (cio\`e $C^\infty$): questa richiesta ha senso perch\'e dominio e codominio sono aperti di $\matR^n$.}
\end{defn}

\begin{defn}
Una \emph{variet\`a differenziabile} \`e una variet\`a topologica dotata di un atlante differenziabile. 
\end{defn}

\begin{oss}
Molti atlanti diversi su $M$ definiscono in realt\`a lo stesso oggetto. \`E possibile dare una definizione che non dipenda dalla particolare scelta dell'atlante. Si definiscono due atlanti \emph{compatibili} se la loro unione \`e anch'essa un atlante differenziabile. La struttura differenziale di $M$ \`e quindi identificata dall'atlante compatibile \emph{massimale}, cio\`e quello che contiene tutti gli atlanti compatibili. 
\end{oss}

Abbiamo definito gli oggetti, passiamo come sempre a definire degli opportuni morfismi fra gli oggetti.

\begin{defn}
Una funzione $f\colon M \to N$ fra variet\`a differenziabili \`e \emph{liscia} se lo \`e localmente letta tramite le carte.\footnote{Per ogni $p \in M$ devono esistere due carte $(U_i, \varphi_i)$ di $M$ e $(U_j', \varphi_j')$ di $N$ contenenti rispettivamente $p$ e $f(p)$ tali che la composizione $\varphi_j'\circ f \circ \varphi_i^{-1}$ sia una funzione liscia da $\varphi_i(U_i)$ in $\varphi_j(U_j')$. Le variet\`a $M$ e $N$ possono avere dimensioni differenti.}
\end{defn}

Un \emph{diffeomorfismo} \`e una funzione liscia $f\colon M \to N$ che ammette una inversa $g\colon N\to M$ liscia.

Una \emph{curva} in $M$ \`e una funzione liscia $\gamma \colon I \to M$ definita su un intervallo $I$ della retta reale (l'intervallo $I$ pu\`o coincidere con $\matR$, essere aperto, chiuso, etc.).

\begin{defn} Una variet\`a differenziale \`e \emph{orientata} se \`e dotata di un atlante in cui tutte le funzioni di transizione preservano l'orientazione di $\matR^n$, cio\`e se il determinante del loro differenziale in ogni punto \`e positivo.
\end{defn}

Non tutte le variet\`a possono essere orientate. 

\subsection{Spazio tangente}
Sia $M$ una variet\`a differenziabile di dimensione $n$. \`E possibile definire per ogni punto $p\in M$ uno spazio vettoriale $n$-dimensionale $T_pM$ detto \emph{spazio tangente}. 

Lo spazio $T_p$ pu\`o essere definito brevemente come l'insieme delle curve $\gamma\colon ]-a,a[ \to M$ tali che $f(0) = p$ con $a>0$ qualsiasi, viste a meno di una relazione di equivalenza. La relazione \`e la seguente: si identificano due curve che, lette in una carta $(U_i,\varphi_i)$, abbiano la stessa tangente nel punto $\varphi_i(p)$. La definizione non dipende dalla carta scelta.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 6 cm] {Tangentialvektor.pdf}
\nota{Lo spazio tangente in $p$ pu\`o essere definito come l'insieme delle curve $\gamma$ con $\gamma(0)=p$ viste a meno di una relazione di equivalenza, che identifica due curve che hanno (in qualche carta) la stessa tangente in $p$. Questa condizione \`e vera in una carta se e solo se \`e vera in tutte le carte.}
\label{Tangentialvektor:fig}
\end{center}
\end{figure}


Una carta identifica $T_pM$ con lo spazio tangente al punto $\varphi_i(p)$ nell'aperto $V_i = \varphi_i(U_i)$, cio\`e con $\matR^n$ stesso. Due carte diverse $\varphi_i$ e $\varphi_j$ danno due identificazioni differenti, ma la relazione fra queste \`e un isomorfismo di spazi vettoriali, dato dal differenziale (invertibile) di $\varphi_{ji}$. La struttura di spazio vettoriale su $T_p$ \`e quindi ben definita.

Ogni mappa liscia $f\colon M \to N$ fra variet\`a differenziabili induce in ogni punto $p\in M$ una mappa lineare $df_p\colon T_pM \to T_{f(p)} N$ fra spazi tangenti nel modo seguente: la curva $\gamma$ viene mandata nella curva $f\circ\gamma$.

\begin{defn} Una mappa $f\colon M \to N$ \`e un \emph{diffeomorfismo locale} in un punto $p \in M$ se esistono due aperti $U\subset M$ e $V\subset N$  contenenti rispettivamente $p$ e $f(p)$ tale che $f|_U\colon U \to V$ sia un diffeomorfismo.
\end{defn}

Il teorema di invertibilit\`a locale per aperti di $\matR^n$ implica facilmente il risultato seguente, che mostra l'importanza degli spazi tangenti.

\begin{teo}
Sia $f\colon M \to N$ una mappa liscia fra variet\`a della stessa dimensione. La mappa \`e un diffeomorfismo locale in $p\in M$ se e solo se il differenziale $df_p\colon T_pM \to T_{f(p)}N$ \`e invertibile.
\end{teo}

Nell'enunciato, una condizione puntuale (differenziabile invertibile in un punto) implica una condizione locale (diffeomorfismo). Vedremo pi\`u avanti che in geometria riemanniana una condizione puntuale pu\`o anche implicare una condizione globale.

Se $\gamma\colon I \to M$ \`e una curva, la sua \emph{velocit\`a} $\gamma'(t)$ in $t\in I$ \`e il vettore tangente $\gamma'(t) = d\gamma_t(1)$. Qui per 1 intendiamo il vettore 1 nello spazio tangente $\matR$ a $p$ in $I$. Notiamo che la velocit\`a \`e un vettore ma non un numero: il modulo di un vettore tangente non \`e definito in una variet\`a differenziabile (perch\'e lo spazio tangente \`e solo uno spazio vettoriale reale, non ha una norma). 

\subsection{Fibrato tangente}
L'unione degli spazi tangenti $T_p$ al variare di $p\in M$ \`e essa stessa in modo naturale una variet\`a differenziabile di dimensione doppia $2n$, detta \emph{fibrato tangente}. Questa variet\`a \`e indicata con il simbolo $TM$. Un atlante per $M$ induce infatti un atlante per $TM$. Come abbiamo visto, una carta $(U_i, \varphi_i)$ per $M$ identifica $\cup_{p\in U_i} T_p$ con l'aperto $\varphi(U_i) \times \matR^n$ di $\matR^{2n}$. Si pu\`o quindi dare una topologia a $TM$ in modo che $\cup_{p\in U_i} T_p$ siano aperti e queste identificazioni siano carte. Le funzioni di transizione sono automaticamente differenziabili.

Ogni mappa liscia $f\colon M \to N$ fra variet\`a differenziabili induce in ogni punto $p\in M$ una mappa lineare $df_p\colon T_pM \to T_{f(p)} N$ fra spazi tangenti (e quindi globalmente una mappa differenziabile $f_*\colon TM\to TN$ fra fibrati tangenti).

\begin{oss}
Sia $M$ una variet\`a differenziabile di dimensione $n$. Una \emph{sottovariet\`a differenziabile} di dimensione $k$ in $M$ \`e un sottoinsieme connesso $N$ che pu\`o essere definito localmente come luogo di zeri di funzioni a valori in $\matR^{n-k}$ con differenziale ovunque surgettivo.\footnote{Oppure possono essere definite localmente come immagini di funzioni con dominio un aperto di $\matR^k$ e differenziale ovunque iniettivo. Le due definizioni sono equivalenti e (per fortuna) sono entrambe molto semplici.} Teoremi di topologia differenziale garantiscono che un tale sottoinsieme abbia una naturale struttura di variet\`a differenziabile (di dimensione pi\`u bassa). Per ogni $p \in N$ lo spazio tangente $T_p N$ \`e in modo naturale un sottospazio di $T_p M$ e l'intero fibrato $TN$ \`e una sottovariet\`a di $TM$.
\end{oss}

\subsection{Tensore metrico}
In una variet\`a differenziabile \`e definito uno spazio tangente in ogni punto. Non sono per\`o definite le nozioni di distanza fra punti, di volume, di angolo fra vettori, di lunghezza di un vettore. Ad esempio la velocit\`a di una curva \`e un vettore tangente il cui modulo non \`e per\`o definito. Per ottenere queste (ed altre) nozioni geometriche \`e sufficiente introdurre un solo oggetto, il tensore metrico.

Un \emph{tensore metrico} per $M$ \`e il dato di un prodotto scalare su ogni spazio tangente $T_p$ di $M$, che vari in modo liscio al variare di $p$ in $M$.\footnote{Su ogni carta il prodotto scalare \`e esprimibile come una matrice i cui coefficienti devono variare in modo liscio con il punto.}

\begin{defn}
Una \emph{variet\`a riemanniana} \`e una variet\`a differenziabile dotata di un tensore metrico che sia definito positivo su ogni spazio tangente. Generalmente si indica come coppia $(M,g)$, dove $M$ \`e la vairet\`a e $g$ il tensore.
\end{defn}

Consideriamo subito due esempi fondamentali.

\begin{example}
Lo \emph{spazio euclideo} \`e la variet\`a $\matR^n$ dotata del tensore metrico euclideo $g(x,y) = \sum_{i=1}^n x_iy_i$ su ogni spazio tangente $T_p = \matR^n$.
\end{example}

\begin{example}
Ogni sottovariet\`a differenziabile $N$ di una variet\`a riemanniana $M$ \`e essa stessa riemanniana: \`e sufficiente restringere il tensore metrico di $M$ su $N$.

In particolare, la \emph{sfera} 
$$S^n = \big\{x\in \matR^{n+1}\ \big| \ \|x\| = 1 \big\}$$
\`e una sottovariet\`a di $\matR^{n+1}$ e in quanto tale ha una struttura di variet\`a riemanniana.
\end{example}

Il tensore metrico $g$ definisce in particolare una norma per ogni vettore tangente, ed un angolo fra vettori tangenti nello stesso punto. La velocit\`a $\gamma'(t)$ di una curva ha quindi un modulo $|\gamma'(t)|\geqslant 0$ ben definito, e due curve che si incontrano in un punto con velocit\`a non nulle formano un angolo ben definito. La lunghezza di una curva $\gamma\colon I\to M$ pu\`o essere definita come

$$L(\gamma) = \int_I |\gamma'(t)| dt$$
e pu\`o essere finita o infinita.
\subsection{Quello che un tensore metrico pu\`o fare per voi.}
Sia $(M,g)$ una variet\`a riemanniana connessa. Le curve possono essere usate per definire una \emph{distanza} su $M$. 

Una curva $\gamma\colon [a,b] \to M$ \emph{parte} in $\gamma(a)$ e \emph{arriva} in $\gamma(b)$. Una curva che collega due punti $p,q \in M$ \`e una qualsasi curva che parta in $p$ e arrivi in $q$.
\begin{defn}
La distanza $d(p,q)$ fra due punti $p$ e $q$ \`e definita come
$$d(p,q) = \inf_\gamma L(\gamma)$$
al variare fra le curve $\gamma$ che collegano $p$ e $q$.
\end{defn}
La variet\`a $M$ dotata della distanza $d$ \`e uno spazio metrico (che induce su $M$ la stessa topologia di $M$). 

\begin{defn}
Una \emph{geodetica} \`e una curva $\gamma\colon I \to M$ con velocit\`a costante (in modulo) che realizza localmente le distanze.\footnote{Il modulo $k = |\gamma'(t)|$ non deve dipendere da $t$, e per ogni $t_0 \in I$ deve esistere $\epsilon >0$ tale che $d(\gamma(t),\gamma(t')) = L(\gamma|_{[t,t']}) = k|t-t'|$ per ogni $t,t' \in [t-\epsilon, t+\epsilon]$.}
\end{defn}

Nota che con questa definizione la curva costante $\gamma(t) = p_0$ \`e una geodetica avente velocit\`a costante zero. Chiameremo queste geodetiche \emph{banali}.
Una curva che realizza localmente le distanze pu\`o non realizzarle globalmente.

\begin{example}
Le geodetiche non banali nello spazio euclideo $\matR^n$ sono rette affini percorse a velocit\`a costante. 

Le geodetiche non banali nella sfera $S^n$ sono archi di cerchi massimi, percorsi a velocit\`a costante.
\end{example}

Se la variet\`a differenziabile $M$ \`e orientata, il tensore metrico induce anche una \emph{forma volume}. 

Brevemente, il modo migliore di definire una nozione di volume in una variet\`a $M$ consiste nel definire una opportuna $n$-\emph{forma differenziale}, dove $n$ \`e la dimensione di $M$. Formalmente, una $n$-forma differenziale $\omega$ \`e il dato in ogni spazio tangente $T_p$ di una forma multilineare alternante 
$$\omega_p: \underbrace{T_p \times \ldots \times T_p}_n \to \matR.$$
L'aggettivo \emph{alternante} indica che se vengono scambiati due vettori nel dominio il risultato cambia di segno. A meno di riscalamento esiste un solo $\omega_p$ che soddisfa questo criterio (identificando $T_p$ con $\matR^n$, questo non \`e altro che il determinante). La forma $\omega_p$ ovviamente deve cambiare in modo liscio con $p$. 

Le $n$-forme sono utili perch\'e possono essere integrate: in altre parole ha senso la scrittura
$$\int_D \omega$$
su un qualsiasi aperto $D$. Una \emph{forma volume} in una variet\`a orientata \`e una forma $\omega$ tale che $\omega_p(v_1,\ldots, v_n)> 0$ su ogni base positiva $v_1,\ldots, v_n$ di $T_p$ e per ogni $p\in M$.\footnote{L'orientazione su $M$ divide le basi per $T_p$ in positive e negative, per ogni punto $p \in M$.}

Il tensore metrico definisce una forma volume nel modo seguente: basta imporre che $\omega_p(e_1,\ldots, e_n)=1$ per ogni base ortonormale positiva $e_1,\ldots, e_n$. Con questa definizione, ogni aperto $D$ di $M$ ha un ben definito \emph{volume} 
$$\Vol(D) = \int_D \omega$$
che \`e un numero reale positivo oppure infinito. Se $D$ \`e relativamente compatto il volume \`e necessariamente finito. In particolare, una variet\`a riemanniana compatta $M$ ha un volume $\Vol (M)$ finito.

\subsection{Mappa esponenziale} \label{esponenziale:subsection}
Sia $(M,g)$ una variet\`a riemanniana. Una geodetica $\gamma:I \to M$ \`e \emph{massimale} se non pu\`o essere estesa ad una geodetica con dominio $J$ strettamente pi\`u grande di $I$. Le geodetiche massimali sono determinate da condizioni al primo ordine:

\begin{teo}  \label{geod:teo}
Siano $p\in M$ un punto e $v\in T_pM$ un vettore tangente. Esiste un unica geodetica massimale $\gamma: I \to M$ tale che $\gamma(0) = p$ e $\gamma'(0) = v$. L'intervallo $I$ \`e un aperto contenente $0$.
\end{teo}

Questo importante risultato ha numerose applicazioni. Ad esempio, permette di definire il concetto seguente.

\begin{defn}
Sia $p \in M$ un punto. La \emph{mappa esponenziale} in $p$ \`e la mappa
$$\exp_p\colon U_p \to M$$
definita su un sottoinsieme $U_p\subset T_p$ contenente l'origine nel modo seguente.

Un vettore $v\in T_p$ determina una geodetica massimale $\gamma_v\colon I_v \to M$ tale che $\gamma_v(0) = p$ e $\gamma_v'(0) = v$. Sia $U$ l'insieme dei vettori $v$ per cui $1 \in I_v$. Per questi vettori $v$ definiamo $\exp_p(v) = \gamma_v(1)$.
\end{defn}

\begin{teo} \label{exp:teo}
L'insieme $U_p$ \`e un aperto contenente l'origine. Il differenziale della mappa esponenziale $\exp_p$ nell'origine \`e l'identit\`a e quindi $\exp_p$ \`e un diffeomorfismo locale nell'origine.
\end{teo}

In questo modo un aperto dello spazio tangente $T_p$ pu\`o essere usato come carta locale intorno a $p$. Recuperiamo quindi l'idea intuitiva che lo spazio tangente approssimi localmente la variet\`a al primo ordine. 

\subsection{Raggio di iniettivit\`a}
Il massimo raggio su cui la mappa esponenziale sia un diffeomorfismo \`e chiamato \emph{raggio di iniettivit\`a}.

\begin{defn} 
Il \emph{raggio di iniettivit\`a} $\inj_pM$ di $M$ in un punto $p$ \`e definito nel modo seguente:
$$\inj_pM = \sup\big\{r>0 \ \big|\ \exp_p|_{B_0(r)} \ {\rm \mathaccent 18 e\ un\ diffeomorfismo\ sull'immagine} \big\}.$$
\end{defn}

Qui $B_0(r)$ \`e la palla aperta di centro $0$ e raggio $r$ nello spazio tangente $T_p$. Il raggio di iniettivit\`a \`e sempre positivo per il Teorema \ref{exp:teo}. Per ogni $r$ minore del raggio di iniettivit\`a la mappa esponenziale trasforma la palla di raggio $r$ in $T_p$ nella palla di raggio $r$ in $M$. Vale cio\`e l'uguaglianza

$$\exp_p(B_0(r)) = B_p(r)$$
e la palla $B_p(r)$ \`e effettivamente diffeomorfa ad una palla aperta in $\matR^n$. Per $r$ grande questo fatto ovviamente pu\`o non essere vero: se $M$ \`e compatta ad esempio esiste un $R>0$ tale che $B_p(R) = M$.

Il raggio di iniettivit\`a $\inj (M)$ di una variet\`a riemanniana $M$ \`e 
$$\inj (M) = \inf_{x\in M} \inj_x M.$$
Il fatto seguente si dimostra facilmente.
\begin{prop} \label{iniettivita:prop}
Una variet\`a riemanniana compatta ha raggio di iniettivit\`a positivo.
\end{prop}
Notiamo infine il fatto seguente.
\begin{prop}
Sia $M$ una variet\`a riemanniana. Una curva chiusa di lunghezza minore di $2\cdot \inj (M)$ \`e omotopicamente banale.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $x$ un punto qualsiasi attraversato dalla curva. Poich\`e la curva \`e pi\`u corta di $2\cdot\inj (M)$ non riesce ad uscire dalla palla $B_x(r)$ per qualche $r<\inj (M)\leqslant \inj_x M$, e questa palla \`e effettivamente diffeomorfa ad una palla in $\matR^n$. Quindi la curva \`e contenuta in un sottoinsieme contrattile di $M$ ed \`e omotopicamente banale.
\end{proof}

\subsection{Completezza}
Una variet\`a riemanniana $(M,g)$ \`e anche uno spazio metrico, che pu\`o essere completo oppure no. Ad esempio, una variet\`a riemanniana compatta \`e sempre completa. D'altra parte, rimuovendo un punto da una variet\`a riemanniana qualsiasi si ottiene sempre uno spazio non completo. Su $\matR^n$ \`e possibile assegnare strutture riemanniane complete (ad esempio quella euclidea) e non complete (il disco aperto in $\matR^n$ \`e diffeomorfo a $\matR^n$ ma la sua metrica indotta non \`e completa).

La completezza di una variet\`a riemanniana pu\`o essere espressa in vari modi equivalenti:

\begin{teo}[Hopf-Rinow] Sia $(M,g)$ variet\`a riemanniana connessa. Le condizioni seguenti sono equivalenti:
\begin{enumerate}
\item $M$ \`e completa,
\item un sottoinsieme di $M$ \`e compatto se e solo se \`e chiuso e limitato,
\item ogni geodetica \`e estendibile su tutto $\matR$.
\end{enumerate}
\end{teo}
In particolare, l'ultima condizione \`e equivalente al fatto che la mappa esponenziale sia definita su tutto lo spazio tangente $T_p$, per ogni $p$ (e non solo su un suo aperto proprio).

\subsection{Curvatura} \label{curvatura:subsection}

La \emph{curvatura} di una variet\`a riemanniana $(M,g)$ \`e un oggetto complicato, generalmente definito a partire da una \emph{connessione} $\nabla$ detta \emph{connessione di Levi-Civita}. Questa definisce a sua volta un tensore detto \emph{tensore di Riemann} che codifica la curvatura di $M$ nel modo pi\`u ampio. 

Non introduciamo questi concetti perch\'e sono troppo raffinati per gli spazi che incontreremo: in geometria iperbolica infatti le variet\`a avranno tutte ``curvatura costante'' ed il tensore di Riemann non \`e necessario. Ci baster\`a introdurre in modo geometrico la nozione di \emph{curvatura sezionale}.

Se $M$ ha dimensione 2, cio\`e \`e una superficie, le nozioni di curvatura si semplificano e si riducono tutte ad un unico concetto chiamato \emph{curvatura gaussiana}. Se $M$ \`e contenuta in $\matR^3$ la curvatura gaussiana \`e definita come il prodotto delle due curvature principali. Se $M$ \`e astratta per\`o non esiste nessuna nozione di curvatura principale e si prende quindi un'altra strada. Esistono vari modi equivalenti di definire la curvatura gaussiana di una superficie astratta, scegliamo uno dei pi\`u geometrici. 

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 6 cm] {Gaussian_curvature.PNG}
\nota{Tre superfici nello spazio (iperboloide ad una falda, cilindro, sfera) con curvatura gaussiana rispettivamente negativa, nulla e positiva in ogni punto. Mentre la sfera ha curvatura positiva costante, l'iperboloide ad una falda ha curvatura negativa variabile. Come vedremo, non \`e possibile costruire una superficie in $\matR^3$ completa con curvatura negativa costante.}
\label{Gaussian:fig}
\end{center}
\end{figure}

Abbiamo visto nella sezione precedente che in una variet\`a riemanniana $(M,g)$, per ogni punto $p\in M$ esiste un $\epsilon >0$ tale che la palla $B_p(\epsilon)$ centrata in $p$ di raggio $\epsilon$ sia effettivamente diffeomorfa alla palla usuale in $\matR^n$. 

Il volume di questa palla $B_p(\epsilon)$ non \`e per\`o necessariamente uguale al volume di una palla euclidea: pu\`o essere pi\`u grande o pi\`u piccolo, e questa discrepanza \`e una misura della curvatura della variet\`a.

\begin{defn} \label{gauss:defn}
Sia $(M, g)$ una superficie. La \emph{curvatura gaussiana} in un punto $p$ \`e definita come
$$K = \lim_{\epsilon \to 0} \left( \big( \pi \epsilon^2 - \Vol (B_p(\epsilon))\big) \cdot \frac {12}{\pi \epsilon^4}\right). $$
\end{defn}
In altre parole, vale la formula
$$\Vol(B_p(\epsilon)) = \pi\epsilon^2 - \frac{\pi \epsilon^4}{12}K + o(\epsilon^4).$$

Notiamo in particolare che $K$ \`e positivo (negativo) se $B_p(\epsilon)$ ha area pi\`u piccola (pi\`u grande) di quella usuale euclidea.

Se $(M,g)$ ha dimensione $n\geqslant 3$ \`e ancora possibile definire una curvatura valutando la differenza fra $\Vol(B_p(\epsilon))$ e il volume di una palla euclidea $n$-dimensionale come per la curvatura gaussiana. Si ottiene un valore numerico detto \emph{curvatura scalare}. La curvatura scalare in una variet\`a di dimensione $n\geqslant 3$ \`e per\`o una descrizione molto scarna della curvatura in un punto, e si preferisce quindi generalmente utilizzare una definizione di curvatura che fornisca molte pi\`u informazioni. La curvatura di $(M,g)$ \`e generalmente modellizzata da uno dei seguenti due oggetti: il \emph{tensore di Riemann} oppure la \emph{curvatura sezionale}. Questi due oggetti sono abbastanza diversi ma contengono la stessa quantit\`a di informazioni. Introduciamo qui la curvatura sezionale.

\begin{defn}
Sia $(M,g)$ una variet\`a riemanniana. Sia $p \in M$ un punto e $W \subset T_pM$ un piano vettoriale. Per il Teorema \ref{exp:teo} esiste un aperto $U_p \subset T_pM$ contenente l'origine su cui $\exp_p$ \`e un diffeomorfismo sull'immagine. In particolare $S = \exp_p(U_p \cap W)$ \`e una piccola superficie liscia in $M$ passante per $p$. Come sottovariet\`a liscia $S$ ha una struttura riemanniana indotta da $g$.

La \emph{curvatura sezionale} di $(M,g)$ lungo $(p,W)$ \`e definita come la curvatura gaussiana di $S$ nel punto $p$.
\end{defn}

La curvatura sezionale \`e quindi un numero associato ad ogni punto $p\in M$ e ad ogni piano $W \subset T_pM$.

\begin{defn}
Una variet\`a riemanniana $(M,g)$ ha \emph{curvatura sezionale costante} $K$ se la curvatura sezionale associata ad ogni punto $p\in M$ e qualsiasi piano $W\subset T_pM$ \`e sempre pari a $K$.
\end{defn}

\begin{oss}
In una variet\`a riemanniana $(M,g)$ \`e possibile \emph{riscalare} la metrica di un fattore $\lambda >0$ sostituendo $g$ con il tensore $\lambda g$. In ogni punto il prodotto scalare \`e riscalato di $\lambda$. Le lunghezze delle curve vengono riscalate di $\sqrt \lambda$ ed i volumi vengono riscalati di $\lambda^{\frac n2}$. La curvatura sezionale viene riscalata di $1/\lambda$. 
\end{oss}

Riscalando la metrica \`e quindi possibile trasformare uno spazio a curvatura sezionale costante $K$ in uno spazio a curvatura sezionale costante $-1$, $0$ oppure $1$.

\begin{example}
Lo spazio euclideo $\matR^n$ ha curvatura costante zero. Una sfera di raggio $R$ ha curvatura costante $1/R^2$.
\end{example}

\subsection{Isometrie}

Ogni categoria che si rispetti ha i suoi isomorfismi. Gli isomorfismi delle variet\`a riemanniane si chiamano \emph{isometrie}.

\begin{defn}
Un diffeomorfismo $f\colon M\to N$ fra due variet\`a riemanniane $(M,g)$ e $(N,h)$ \`e una \emph{isometria} se preserva il prodotto scalare. Deve cio\`e valere
$$\langle v,w \rangle = \langle df_p(v), df_p(w) \rangle$$
per ogni $p\in M$ e per ogni coppia di vettori $v,w \in T_pM$. I simboli $\langle,\rangle$ indicano i prodotti scalari in $T_x$ e $T_{f(x)}$.
\end{defn}

Le isometrie sono estremamente rigide. Sono infatti determinate dal comportamento puntuale al primo ordine. In altre parole, due isometrie che coincidono al primo ordine in un punto coincidono ovunque:

\begin{teo} \label{isom:teo}
Siano $f,g$ due isometrie fra variet\`a riemanniane $M$ e $N$ connesse. Se esiste un punto $p\in M$ tale che  $f(p) = g(p)$ e $df_p = dg_p$, allora $f  =g$.
\end{teo}
\begin{proof}
Mostriamo che l'insieme $S\subset M$ dei punti $p$ tali che $f(p) = g(p)$ e $df_p = dg_p$ \`e aperto e chiuso. 

I luoghi di coincidenza fra funzioni continue sono generalmente chiusi, e lo si verifica facilmente anche in questo contesto (basta usare una carta). Per dimostrare che $S$ \`e aperto si usa la mappa esponenziale. Sia $p\in S$. Per il Teorema \ref{exp:teo} esiste un intorno aperto $U_p \subset T_pM$ dell'origine su cui la mappa esponenziale \`e un diffeomorfismo sull'immagine. Mostriamo che l'aperto $\exp(U_p)$ \`e interamente contenuto in $S$.

Sia $v\in U_p$ un vettore. Per definizione di mappa esponenziale, questo determina una geodetica $\gamma$ in $M$ tale che $\gamma(0) = p$, $\gamma'(0) = v $ e $\gamma(1) = \exp(v)$. Le isometrie $f$ e $g$ hanno lo stesso differenziale in $p$ e quindi mandano $v$ nello stesso vettore $w = df_p(v) = dg_p(v) \in T_{f(p)}N$. Le isometrie preservano tutta la struttura riemanniana, ed in particolare mandano geodetiche in geodetiche. Quindi $f\circ \gamma$ e $g\circ \gamma$ sono entrambe geodetiche uscenti da $f(p)$ con la stessa velocit\`a iniziale $w$. Per il Teorema \ref{geod:teo} le geodetiche coincidono. Quindi
$f(\exp(1)) = g(\exp(1))$. Il vettore $v$ \`e un qualsiasi vettore in $U_p$ e quindi $f$ e $g$ coincidono su tutto l'aperto immagine $\exp(U_p)$.
\end{proof}

Le isometrie $f\colon M \to M$ di una variet\`a $M$ in s\'e formano un gruppo che indichiamo con il simbolo $\Iso (M)$.

\section{I modelli dello spazio iperbolico}

In ogni dimensione $n\geqslant 2$ esiste un unica variet\`a riemanniana completa, semplicemente connessa, e con curvatura sezionale costante $1$, 0 oppure $-1$ a meno di isometrie. Queste tre variet\`a sono estremamente importanti in geometria riemanniana perch\'e sono il modello fondamentale con cui costruire e studiare le variet\`a a curvatura costante non semplicemente connesse. 

Le tre variet\`a sono rispettivamente la \emph{sfera} $S^n$, lo \emph{spazio euclideo} $\matR^n$ e lo \emph{spazio iperbolico} $\matH^n$. Come vedremo, ogni variet\`a completa a curvatura costante ha uno di questi tre spazi come rivestimento universale.

A differenza di $S^n$ e $\matR^n$, lo spazio iperbolico $\matH^n$ pu\`o essere definito in vari modi equivalenti, nessuno dei quali \`e prevalente in letteratura. Ciascuno di questi modi equivalenti \`e un \emph{modello} per $\matH^n$.

\subsection{Iperboloide}
La sfera $S^n$ \`e il luogo dei punti di norma 1 in $\matR^{n+1}$, considerato con l'usuale prodotto scalare (e quindi norma) euclideo. Analogamente, possiamo definire $\matH^n$ come il luogo dei punti di norma -1 in $\matR^{n+1}$, dotato dell'usuale prodotto scalare \emph{lorentziano}. Questo luogo dei punti ha in realt\`a due componenti connesse e ne sceglieremo una.

\begin{defn} Consideriamo $\matR^{n+1}$ dotato del prodotto scalare lorentziano standard di segnatura $(n,1)$:
$$\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_iy_i - x_{n+1}y_{n+1}.$$
Un vettore $x \in \matR^{n+1}$ \`e di tipo \emph{tempo}, \emph{luce} o \emph{spazio} a seconda che $\langle x, x \rangle$ sia negativo, nullo o positivo.

Il \emph{modello dell'iperboloide} $I^n$ \`e definito nel modo seguente:
$$I^n = \big\{x \in \matR^{n+1}\ \big| \ \langle x, x \rangle = -1, \ x_n > 0 \big\}.$$
\end{defn}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 6 cm] {640px-Hyperboloid2.png}
\nota{L'iperboloide a due falde definito dall'equazione $\langle x, x \rangle = -1$. Il modello $I^n$ \`e la componente connessa superiore.}
\label{Hyperboloid2:fig}
\end{center}
\end{figure}

L'insieme dei punti $x$ con $\langle x,x \rangle = -1$ \`e un \emph{iperboloide a due falde}, e l'insieme $I^n$ \`e la componente connessa (falda) con $x_{n+1}>0$. Mostriamo innanzitutto un fatto generale.

\begin{prop}
Sia $\langle, \rangle$ un prodotto scalare qualsiasi su $\matR^n$. La funzione
$$f(x) = \langle x,x\rangle$$
\`e liscia in ogni punto e ha differenziale 
$$df_x(y) = 2\langle x,y\rangle.$$
\end{prop}
\begin{proof}
Vale
$$\langle x+y, x+y\rangle = \langle x,x\rangle + 2 \langle x,y \rangle + \langle y, y \rangle.$$
La componente $\langle x,y\rangle $ \`e lineare in $y$ e si verifica facilmente che $\langle y,y\rangle \in o(\|y\|)$, dove $\|y\|$ \`e l'usuale norma euclidea.
\end{proof}
\begin{cor}
L'iperboloide $I^n$ \`e una variet\`a riemanniana.
\end{cor}
\begin{proof}
La funzione $f(x) = \langle x,x\rangle$ ha differenziale $2\langle x,y \rangle$. Poich\'e $I^n$ \`e il luogo dei punti in cui $\langle x,x\rangle = -1$, per ogni $x\in I^n$ il differenziale $y\mapsto 2\langle x,y\rangle $ \`e surgettivo. Segue che il luogo degli zeri di $f(x) + 1$ \`e una sottovariet\`a differenziabile di $\matR^{n+1}$ di codimensione uno.

Lo spazio tangente $T_xI^n$ in $x$ a $I^n$ \`e precisamente il nucleo del differenziale, e cio\`e l'iperpiano
$$T_x = \big\{ y \ \big| \ \langle x, y \rangle = 0 \big\} = x^\bot$$
ortogonale a $x$ secondo il prodotto scalare lorentziano. Poich\'e $x$ \`e di tipo tempo, la restrizione del prodotto scalare a $x^\bot$ ha segnatura $(n,0)$. Quindi il prodotto scalare ristretto al tangente di $I^n$ \`e definito positivo e $I^n$ ha quindi una struttura di variet\`a riemanniana.
\end{proof}

L'iperboloide $I^n$ \`e uno dei modelli per lo spazio iperbolico $\matH^n$. Vedremo successivamente che \`e effettivamente semplicemente connesso, completo, e che ha curvatura costante $-1$.

\subsection{Isometrie dell'iperboloide}
Le isometrie di $I^n$ sono classificate agevolmente con gli strumenti dell'algebra lineare.

\begin{defn} Sia $V$ uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare $\langle, \rangle$. Una \emph{isometria} di $V$ \`e un isomorfismo $f\colon V\to V$ tale che $\langle v,w\rangle = \langle f(v),  f(w) \rangle$ per ogni coppia $v,w \in V$. Le isometrie formano un gruppo detto \emph{gruppo ortogonale} che indichiamo con $O(V, \langle,\rangle)$.

Se $V = \matR^n$ con il prodotto scalare standard di segnatura $(k, n-k)$:
$$\langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^k x_iy_i - \sum_{j=k+1}^n x_jy_j$$
allora indichiamo il gruppo ortogonale direttamente con il simbolo $O(k, n-k)$. Identificando gli endomorfismi di $\matR^n$ con le matrici $n\times n$, questo gruppo pu\`o essere visto come un gruppo moltiplicativo di matrici, sottogruppo di $\GL(n,\matR)$.
\end{defn}

In particolare $O(n,1)$ \`e il gruppo delle isometrie di $\matR^{n+1}$ con il prodotto scalare lorentziano che stiamo considerando. Una isometria preserva il prodotto scalare, e quindi manda l'iperboloide a due falde definito dalla condizione $\langle x, x\rangle = -1$ in s\'e stesso. Indichiamo con $O_*(n,1)$ il sottogruppo di indice due in $O(n,1)$ formato da quelle isometrie che preservano (non scambiano) le due falde dell'iperboloide. In altre parole, \`e il sottogruppo delle matrici $A\in O(n,1)$ tali che $A_{n+1, n+1}>0$. Il gruppo $O_*(n,1)$ agisce quindi su $I^n$.

Indichiamo sempre con $\Iso (M)$ il gruppo di isometrie di una variet\`a riemanniana $M$. 

\begin{prop} \label{isom:prop}
Vale l'uguaglianza
$$\Iso (I^n) = O_*(n,1).$$
\end{prop}
\begin{proof}
Una isometria $A\in O_*(n,1)$ preserva il prodotto scalare lorentziano e in particolare preserva il prodotto scalare riemanniano (definito positivo) sugli spazi tangenti a $I^n$. Quindi \`e una isometria della variet\`a riemanniana $I^n$.

D'altra parte, sia $f$ una isometria di $I^n$. Dobbiamo mostrare che $f \in O_*(n,1)$. Consideriamo il punto $P = (0, \ldots, 0,1)\in I^n$. Abbiamo $f(P) = Q$ per qualche $Q \in I^n$. Con facili argomenti di algebra lineare si mostra che esiste una isometria $A \in O_*(n,1)$ tale che $A(Q) = P$. A meno di comporre $f$ con $A$ possiamo quindi supporre che $f$ fissi il punto $P$.

Il piano tangente $T_P$ a $P$ \`e l'iperpiano orizzontale $x_{n+1} = 0$. Il differenziale $df_P$ \`e quindi rappresentabile come una matrice ortogonale $B \in O(n)$. Sia $B'$ la matrice a blocchi
$$B' = \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
Questa matrice \`e un elemento di $O_*(n,1)$. Definisce quindi una isometria di $I^n$ che coincide con $f$ fino al primo ordine in $P$. Per il Teorema \ref{isom:teo} le due isometrie $f$ e $B'$ di $I^n$ coincidono su tutta la variet\`a $I^n$, in altre parole $f=B'$.
\end{proof}

Mostriamo per completezza due risultati analoghi per $S^n$ e $\matR^n$:
\begin{prop} \label{isom2:prop}
Valgono le uguaglianze
\begin{align*}
\Iso(S^n) & = O(n+1), \\
\Iso(\matR^n) & = \big\{x \mapsto Ax+b\ \big| \ A\in O(n), b \in \matR^n\big\}.
\end{align*}
\end{prop}
\begin{proof}
Le dimostrazioni sono analoghe alla proposizione precedente. I gruppi a destra delle uguaglianze sono chiaramente isometrie. Per mostrare che non ci sono altre isometrie oltre a queste, si mostra che una qualsiasi isometria deve coincidere al primo ordine in un (qualsiasi) punto con una di queste.
\end{proof}

Abbiamo anche dimostrato il fatto seguente. Un \emph{sistema di riferimento} in un punto $p$ di una variet\`a riemanniana \`e il dato di una base ortonormale in $T_p$.

\begin{cor} \label{riferimento:cor}
Sia $M= S^n$, $\matR^n$, oppure $I^n$. Dati due punti $p,q \in M$ e due sistemi di riferimento in $p$ e $q$, esiste un'unica isometria che trasforma il primo sistema di riferimento nel secondo.
\end{cor}
Ovviamente il sistema di riferimento viene trasformato tramite il differenziale dell'isometria. Il corollario dice che gli spazi $S^n$, $\matR^n$ e $I^n$ hanno il ``massimo numero'' di isometrie possibili.

\subsection{Sottospazi}
Ciascuno dei tre spazi $S^n$, $\matR^n$ e $\matH^n$ contiene degli opportuni \emph{sottospazi} di dimensione $k$. 

\begin{defn}
Un \emph{sottospazio} $k$-dimensionale di $\matR^n$, $S^n$, $I^n$ \`e rispettivamente:
\begin{itemize}
\item un sottospazio affine $k$-dimensionale di $\matR^n$,
\item l'intersezione di un $(k+1)$-sottospazio vettoriale di $\matR^{n+1}$ con $S^n$,
\item l'intersezione di un $(k+1)$-sottospazio vettoriale di $\matR^{n+1}$ con $I^n$, quando non \`e vuota.
\end{itemize}
\end{defn}
A proposito dell'intersezione non vuota, \`e facile verificare che le condizioni seguenti sono equivalenti per un $(k+1)$-sottospazio vettoriale $W\subset\matR^{n+1}$:
\begin{enumerate}
\item $W\cap I^n \neq \emptyset$,
\item $W$ contiene dei vettori di tipo tempo,
\item la segnatura di $\langle,\rangle$ ristretta a $W$ \`e $(k,1)$.
\end{enumerate}

Un $k$-sottospazio in $\matR^n, S^n, \matH^n$ \`e a sua volta isometrico a $\matR^k, S^k, \matH^k$. 
La intersezione non vuota di due sottospazi \`e sempre un sottospazio. Una isometria di $\matR^n, S^n, \matH^n$ manda $k$-sottospazi in $k$-sottospazi grazie alle Proposizioni \ref{isom:prop} e \ref{isom2:prop}. 

\begin{prop}
Dato un $k$-sottospazio $S$ in $S^n$, $\matR^n$ o $\matH^n$ ed un punto $p\in S$, esiste un unico \emph{sottospazio ortogonale} $S^\bot$ di dimensione $n-k$ passante per $p$.
\end{prop}
\begin{proof}
L'enunciato per $S^n$ e $\matR^n$ \`e facile. Per $I^n$ basta spostare il punto $p$ in $(0,\ldots,0,1)$ tramite una isometria. A questo punto i sottospazi passanti per $p$ sono in naturale corrispondenza biunivoca con i sottospazi vettoriali di $\{x_{n+1}=0\}$.
\end{proof}

Rette e geodetiche sono in realt\`a la stessa cosa. Ricordiamo le funzioni trigonometriche iperboliche:
$$\sinh (t) = \frac{e^t-e^{-t}}2, \quad \cosh (t) = \frac{e^t+e^{-t}}2.$$

\begin{prop} Le geodetiche complete non banali in $S^n$, $\matR^n$ e $\matH^n$ sono precisamente le rette, percorse a velocit\`a costante. Concretamente, sia $p\in M$ un punto e $v\in T_pM$ un vettore di norma unitaria. La geodetica $\gamma$ che parte in $p$ con velocit\`a $v$ \`e la seguente:
\begin{itemize}
\item $\gamma(t) = \cos (t) \cdot p + \sin (t) \cdot v$ se $M=S^n$,
\item $\gamma(t) = p + tv$ se $M=\matR^n$,
\item $\gamma(t) = \cosh (t) \cdot p + \sinh (t) \cdot v$ se $M=I^n$.
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{proof}
La dimostrazione per $\matR^n$ \`e banale. Per $M=S^n$ o $I^n$ sia $W\subset \matR^{n+1}$ generato da $p$ e $v$. Sia $f\in O(n)$ o $f\in O_*(n,1)$ l'isometria di $\matR^{n+1}$ tale che $f|_W = \id$ e $f|_{W^\bot} = -\id$. Questa induce una isometria di $S^n$ o $I^n$ che fissa $p$ e $v$. In particolare deve fissare l'unica geodetica $\gamma$ che parte da $p$ con velocit\`a $v$. Quindi $\gamma$ \`e contenuta in $W\cap I^n$. 

L' intersezione $W\cap I^n$ \`e una circonferenza (se $M=S^n$) o una iperbole (se $M=I^n$), che $\gamma$ percorre a velocit\`a costante unitaria: quindi $\gamma$ \`e come nell'enunciato. La velocit\`a \`e infatti 
$$\gamma'(t) = \cosh'(t)\cdot p + \sinh'(t)\cdot v = \sinh(t)\cdot p + \cosh(t) \cdot v$$
che ha norma quadra $\sinh^2(t) - \cosh^2(t) = 1$.
\end{proof}

\begin{cor}
Gli spazi $S^n$, $\matR^n$ e $\matH^n$ sono completi.
\end{cor}
\begin{proof}
La proposizione precedente mostra che tutte le geodetiche sono definite su tutto $\matR$, e quindi lo spazio \`e completo per il teorema di Hopf-Rinow.
\end{proof}

Infine, \`e facile mostrare che per due punti distinti in $\matH^n$ passa una sola retta.
\begin{oss}
Il V postulato di Euclide ovviamente vale solo in $\matR^2$: data una retta $r$ e un punto $P$ non contenuto in $r$, esiste una sola retta per $P$ disgiunta da $r$ (in $\matR^2$), non ne esiste nessuna (in $S^2$) o ne esistono infinite (in $\matH^2$).
\end{oss}
\subsection{Riflessioni}

Dimostriamo in questa sezione un importante teorema di algebra lineare. Per fare ci\`o introduciamo le riflessioni parallele a vettori non isotropi. 

Sia $V$ uno spazio vettoriale reale dotato di prodotto scalare $\langle, \rangle$ non degenere di segnatura $(k,n-k)$. Sia $v\in V$ un vettore non isotropo. Otteniamo una decomposizione ortogonale $V = \Span(v) \oplus v^\bot$. Ogni vettore $w \in V$ si decompone in modo unico come $w=w_1+w_2$ con $w_1\in \Span(v)$ e $w_2 \in v^\bot$.

\begin{defn}
La \emph{riflessione} parallela a $v$ (e ortogonale all'iperpiano $v^\bot$) \`e l'isomorfismo lineare $R_v\colon w_1+w_2 \mapsto - w_1 + w_2$ scritto in componenti rispetto alla decomposizione $V = \Span(v) \oplus v^\bot$.
\end{defn}

Una riflessione \`e una isometria rispetto al prodotto scalare di $V$. Le riflessioni parallele ai vari vettori sono sufficienti a generare tutte le isometrie dello spazio:

\begin{prop} \label{riflessioni:vettoriale:prop}
Sia $V$ dotato di prodotto scalare $\langle,\rangle$ non degenere. Il gruppo ortogonale $O(V,\langle, \rangle)$ \`e generato da riflessioni.
\end{prop}
\begin{proof}
Mostriamo che una generica isometria $f\in O(V,\langle,\rangle)$ \`e generata da riflessioni, per induzione sulla dimensione di $V$. Sia $v\in V$ un vettore non isotropo. Supponiamo anche che il vettore $w = f(v)-v$ non sia isotropo (altrimenti basta sostituire $f$ con $-f$). Consideriamo la riflessione $R_w$ parallela a $w$. Mostriamo che $f(v) = R_w(v)$: possiamo decomporre $v$ come
$$v = \frac {f(v)+v}2 - \frac {f(v)-v}2.$$
Il secondo addendo sta in $\Span (w)$ ed il primo sta in $w^\bot$ perch\'e
$$\langle f(v)+v, f(v)-v \rangle = \langle f(v), f(v) \rangle - \langle v,v\rangle = 0$$
perch\'e $f$ \`e una isometria. Quindi effettivamente 
$$R_w(v) = \frac{f(v)+v}2 + \frac{f(v)-v}2 = f(v).$$
La composizione $R_w^{-1}\circ f$ \`e una isometria che fissa il vettore non isotropo $v$. Quindi fissa lo spazio ortogonale $v^\bot$. Concludiamo per induzione sullo spazio $v^\bot$ di dimensione inferiore.
\end{proof}

Un sottospazio di codimensione 1 in $S^n$, $\matR^n$ o $\matH^n$ \`e detto \emph{iperpiano}. Una riflessione lungo un iperpiano \`e una ben definita isometria di $\matR^n$, $S^n$ e $\matH^n$ grazie a quanto abbiamo visto fino ad ora.\footnote{Se l'iperpiano \`e in $S^n$ o $I^n$, questo \`e per definizione intersezione di $S^n$ o $I^n$ con un iperpiano di $\matR^{n+1}$ dotato di prodotto scalare con segnatura $(n+1,0)$ o $(n,1)$. Una riflessione lungo questo iperpiano di $\matR^{n+1}$ \`e un elemento di $O(n)$ oppure $O_*(n,1)$ e quindi induce una isometria su $S^n$ o $I^n$.}

\begin{prop} \label{riflessioni:prop}
I gruppi di isometrie $\Iso(\matR^n)$, $\Iso(S^n)$ e $\Iso(\matH^n)$ sono generati da riflessioni lungo iperpiani.
\end{prop}
\begin{proof}
Una isometria di $\matR^n$ \`e del tipo $x\mapsto Ax +b$ con $A\in O(n)$ e $b\in \matR^n$. La componente rotatoria $A\in O(n)$ \`e generata da riflessioni per la Proposizione \ref{riflessioni:vettoriale:prop}. Una traslazione $x\mapsto x+b$ \`e anch'essa facilmente ottenibile come composizione di due riflessioni.

Le isometrie di $S^n$ sono $O(n+1)$ e sono generate da riflessioni lungo iperpiani per la Proposizione \ref{riflessioni:vettoriale:prop}.

Le isometrie di $\matH^n$ sono $O_*(n,1)$ Ogni elemento $f \in O_*(n,1)$ \`e composizione di riflessioni $f=R_1\circ \cdots \circ R_k$ per la Proposizione \ref{riflessioni:vettoriale:prop}. Affinch\'e una riflessione $R=R_i$ sia un elemento di $O_*(n,1)$ \`e per\`o necessario che non permuti le due falde dell'iperboloide, cio\`e che $R$ intersechi $I^n$, cio\`e che $v = R^\bot$ sia di tipo spazio. 

Supponiamo che $v$ sia invece di tipo tempo. Possiamo completare $v$ a base ortogonale $v=v_1, \ldots, v_n$ di $\matR^{n+1}$. I vettori successivi $v_2,\ldots, v_{n+1}$ sono necessariamente di tipo spazio. Sia $r_j$ la riflessione parallela al vettore $v_j$. Abbiamo $R=r_1$ e $r_1\circ \ldots \circ r_{n+1} = - \id$. Possiamo quindi sostituire $R = R_i$ con $-r_{n+1}\circ \cdots \circ r_2$. Alla fine otteniamo a meno di segno una composizione di riflessioni $f = \pm R_1 \circ \cdots \circ R_n$ tutte appartenenti a $O_*(n,1)$. Il segno $\pm 1$ \`e necessariamente positivo poich\'e anche $f$ appartiene a $O_*(n,1)$.
\end{proof}

\subsection{Mappe conformi e inversioni lungo sfere}
Per introdurre due nuovi modelli avremo bisogno di un paio di nozioni geometriche importanti.

Una mappa $f\colon M\to N$ fra variet\`a riemanniane \`e una \emph{mappa conforme} se per ogni $p\in M$ esiste un $\lambda_p >0$ tale che 
$$\langle df_p(v), df_p(w) \rangle = \lambda_p\langle v, w \rangle$$
per ogni $v,w \in T_pM$. Una mappa conforme non preserva le lunghezze dei vettori tangenti ma preserva tutti gli angoli fra questi.
\begin{oss}
\`E possibile dimostrare che un diffeomorfismo $f\colon M\to N$ fra variet\`a riemanniane \`e conforme se e solo se preserva tutti gli angoli in ogni punto. Per questo una mappa conforme \`e spesso definita in modo equivalente come un diffeomorfismo che preserva gli angoli.
\end{oss}

Abbiamo definito precedentemente i $k$-sottospazi in $S^n$, $\matR^n$ e $\matH^n$, passiamo a definire le $k$-sfere. Una \emph{ipersfera} (o \emph{$(n-1)$-sfera}) in $S^n$, $\matR^n$ o $\matH^n$ \`e il bordo $\partial B_p(r)$ di una palla centrata in un punto avente raggio $r$ minore del raggio di iniettivit\`a $\inj_p$ in $p$ (questa nozione \`e valida in ogni variet\`a riemanniana). Notiamo che il raggio di iniettivit\`a in un punto di $S^n$ \`e $\pi$, quindi abbiamo $r<\pi$, mentre il raggio di iniettivit\`a di un punto in $\matR^n$ e $\matH^n$ \`e infinito.

\begin{defn} Una \emph{$k$-sfera} in $S^n$, $\matR^n$ o $\matH^n$ \`e l'intersezione fra una ipersfera e un $(k+1)$-piano passante per il suo centro.
\end{defn}

La \emph{proiezione stereografica} della sfera $S^n$ meno un punto $\infty$ sull'iperpiano tangente al punto opposto \`e la mappa definita come illustrato in Figura \ref{Stereographic_3D:fig}. Si veda ad esempio la Figura \ref{Stereographic:fig}.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 6 cm] {Stereographic_projection_in_3D.png}
\nota{La proiezione stereografica della sfera meno un punto su un piano tangente.}
\label{Stereographic_3D:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 8 cm] {500px-Stereographic_projection_of_Paris.jpg}
\nota{La proiezione stereografica \`e una mappa conforme. La foto mostra la proiezione stereografica planare della vista (sferica) che si ottiene in un punto a Parigi. Le linee rette sono trasformate in cerchi, ma gli angoli fra questi sono preservati. Figura creata da Alexandre Duret-Lutz.}
\label{Stereographic:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{prop}
La proiezione stereografica
\begin{enumerate}
\item \`e una mappa conforme,
\item trasforma le $k$-sfere di $S^n$ in $k$-sfere e $k$-piani di $\matR^n$. 
\end{enumerate}
\end{prop}
Tramite proiezione stereografica possiamo scrivere $S^n = \matR^n \cup \{\infty\}$ e definire alcune semplici mappe conformi da $S^n$ in s\'e:
\begin{oss}
Traslazioni e omotetie sono mappe conformi di $\matR^n$. Si estendono a mappe conformi di $S^n$ ponendo $\infty$ come punto fisso.
\end{oss}

Un'altra mappa conforme \`e la seguente.

\begin{defn}
Sia $S=S(x_0,r)$ la sfera in $\matR^n$ di centro $x_0$ e raggio $r$. Consideriamo $S^n = \matR^n \cup \{\infty\}$. L'\emph{inversione} lungo $S$ \`e la mappa $i\colon S^n\to S^n$ definita nel modo seguente:
$$i(x) = x_0 + r^2 \frac {x-x_0}{\|x-x_0\|}$$
ed estesa a tutta la sfera ponendo $f(x_0) = \infty$ e $f(\infty) = x_0$.
\end{defn}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 4 cm] {Inversion_illustration1.png}
\includegraphics[width = 4 cm] {Inversion_illustration2.png}
\includegraphics[width = 4 cm] {Inversion_illustration3.png}
\nota{L'inversione lungo una sfera di centro $O$ e raggio $r$ sposta $P$ in $P'$ in modo che $OP \times OP' = r^2$ (sinistra) e trasforma una $k$-sfera $S$ in un $k$-piano se $O\in S$ (centro) e in una $k$-sfera se $O\not\in S$ (destra). Visto in $S^n$, l'iperpiano verde centrale \`e anch'esso una sfera (aggiungendo $\infty$): vista come trasformazione da $S^n$ in s\'e l'inversione manda $k$-sfere in $k$-sfere.}
\label{Inversion_illustration1:fig}
\end{center}
\end{figure}

Una descrizione geometrica dell'inversione \`e fornita in Fig.~\ref{Inversion_illustration1:fig}. 

\begin{prop} \label{inversione:prop}
Valgono i fatti seguenti.
\begin{enumerate}
\item L'inversione $i\colon S^n\to S^n$ \`e una mappa liscia e conforme.
\item L'inversione manda $k$-sfere in $k$-sfere.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
A meno di comporre con traslazioni e omotetie (che sono lisce, conformi e preservano $k$-sfere e $k$-piani di $\matR^n$) possiamo supporre $x_0=0$ e $r=2$. La mappa letta su $\matR^n$ \`e quindi $i(x) = x/\|x\|^2$. Letta su $S^n$ \`e semplicemente una riflessione rispetto all'equatore orizzontale. \end{proof}

Possiamo interpretare la riflessione rispetto ad un iperpiano affine in $\matR^n$ come una inversione lungo una sfera contenente l'infinito.

\subsection{Il disco di Poincar\'e}
Introduciamo due modelli di $\matH^n$ (il \emph{disco} e il \emph{semispazio}) pi\`u semplici da visualizzare dell'iperboloide, soprattutto nelle dimensioni $n=2$ e 3 che ci interesseranno particolarmente in seguito.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 5 cm] {bigezione.pdf}
\nota{La proiezione su $P=(0,\ldots,0,-1)$ induce una bigezione fra $I^n$ e $D^n$.}
\label{bigezione:fig}
\end{center}
\end{figure}

Il primo modello conforme per $\matH^n$ \`e il \emph{disco di Poincar\'e}
$$D^n = \big\{x\in \matR^n\ \big| \ \|x\|<1 \big\}.$$
Il tensore metrico su $D^n$ ovviamente non \`e quello euclideo indotto da $\matR^n$, ma \`e quello indotto da un particolare diffeomorfismo fra $I^n$ e $D^n$ che costruiamo ora. Possiamo identificare $\matR^n$ con l'iperpiano orizzontale $x_{n+1}=0$ in $\matR^{n+1}$ e notare che la proiezione sul punto $P=(0,\ldots,0,-1)$ descritta in Fig.~\ref{bigezione:fig} induce una bigezione fra $I^n$ ed il disco orizzontale $D^n\subset \matR^n$. 
La proiezione $p$ ha la forma seguente:
$$p(x_1,\ldots,x_{n+1}) = \frac {(x_1,\ldots, x_n)}{x_{n+1} +1}$$
dove l'ultima coordinata nulla per $p(x)$ \`e stata omessa. Poich\'e $D^n$ \`e un sottoinsieme di $\matR^n$, lo spazio tangente in ogni punto di $D^n$ \`e naturalmente identificato con $\matR^n$.

\begin{prop}
Il tensore metrico su $D^n$ indotto dalla proiezione $p$ \`e il seguente:
$$g_x = \left( \frac 2 {1-\|x\|^2}\right)^2 \cdot g^E$$
dove $g^E(v,w)=\sum_{i=1}^n v_iw_i$ \`e l'usuale tensore metrico euclideo su $D^n \subset \matR^n$.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $x=(x_1,\ldots, x_n) \in D^n$. La mappa inversa $p^{-1}$ alla proiezione \`e la seguente:
$$p^{-1}(x) = \left( \frac{2x_1}{1-\|x\|^2}, \ldots, \frac{2x_n}{1-\|x\|^2}, \frac{1+\|x\|^2}{1-\|x\|^2}\right).$$
Le rotazioni orizzontali $O(n)$ sono isometrie per $I^n$ e la $g_x$ nell'enunciato \`e invariante per l'azione di $O(n)$. Possiamo quindi restringerci al caso $x = (x_1,0,\ldots, 0)$. Quindi 
$$p^{-1}(x) = \left(\frac{2x_1}{1-x_1^2}, 0, \ldots, 0, \frac{1+x_1^2}{1-x_1^2}\right).$$

Il piano tangente $T_x$ \`e come sempre identificato con $\matR^n$. \`E facile calcolare le immagini della base canonica di $\matR^n$ tramite il differenziale:
\begin{align*}
dp^{-1}_x & \colon e_1 \mapsto \frac 2{(1-x_1^2)^2}\left(1+x_1^2,0,\ldots,0, 2x_1\right), \\
dp^{-1}_x & \colon e_i \mapsto \frac{2}{1-x_1^2} e_i \quad \forall i = 2,\ldots, n.
\end{align*}
Le immagini sono vettori ortogonali rispetto al prodotto scalare lorentziano aventi tutti norma $\frac 2{1-x_1^2}$, quindi $g_x$ \`e $\frac 4{(1-x_1^2)^2}$ volte il prodotto scalare euclideo.
\end{proof}

Vediamo a questo punto come descrivere i $k$-sottospazi nel modello del disco.

\begin{prop}
I $k$-sottospazi in $D^n$ sono tutte e sole le intersezioni di $D^n$ con $k$-sfere e $k$-piani di $\matR^n$ ortogonali a $\partial D^n$.
\end{prop}
\begin{proof}
Poich\'e ogni $k$-sottospazio \`e intersezione di iperpiani, \`e facile ricondursi al caso $k=n-1$. Un iperpiano in $I^n$ \`e $I^n\cap v^\bot$ per qualche vettore $v$ di tipo spazio. Se $v$ \`e orizzontale (cio\`e la sua ultima coordinata \`e nulla) allora $v^\bot$ \`e verticale e viene proiettato su un iperpiano di $D^n$ passante per il centro. Consideriamo quindi il caso in cui $v$ non sia orizzontale: a meno di isometrie orizzontali in $O(n)$ e di riscalamenti per $v$ \`e sufficiente considerare il caso $v=(\alpha,0,\ldots, 0, 1)$ con $\alpha>1$. L'iperpiano \`e quindi
$$\big\{x_1^2 +\ldots + x_n^2 - x_{n+1}^2 = -1 \big\} \cap \big\{x_{n+1} = \alpha x_1 \big\}.$$
D'altra parte la sfera in $\matR^n$ di centro $(\alpha,0,\ldots,0)$ e raggio $\alpha^2 -1$ \`e ortogonale a $\partial D^n$ ed \`e l'insieme dei punti
$$\left\{(y_1-\alpha)^2 +y_2^2 + \ldots + y_n^2 = \alpha^2 - 1\right\} =
\left\{y_1^2 + \ldots + y_n^2 - 2\alpha y_1 = -1 \right\}$$
cio\`e gli $y$ tali che $||y||^2 = -1 + \frac{2y_1}{\alpha}$. Se $y = p(x)$ valgono le relazioni
$$y_1 = \frac {x_1}{x_{n+1}+1}, \quad \|y\|^2 = \frac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}+1}$$
che trasformano quest'ultima relazione in $x_{n+1}=\alpha x_1$.
\end{proof}

Infine, vediamo come leggere in $D^n$ una riflessione rispetto ad un iperpiano.

\begin{prop}
Sia $S = D^n \cap S'$ un iperpiano, ottenuto a partire da un iperpiano o una ipersfera $S'$ ortogonale a $\partial D^n$. La riflessione rispetto a $S$ \`e la normale riflessione euclidea (se $S'$ \`e un piano) o un'inversione (se $S'$ \`e una sfera).
\end{prop}
\begin{proof}
Mostriamo che la riflessione o inversione rispetto a $S$ preserva il tensore metrico su $D^n$ e quindi \`e una isometria. Poich\'e la riflessione \`e l'unica isometria non banale che preserva un iperpiano abbiamo concluso.

Se $S'$ \`e un piano allora contiene l'origine e la riflessione \`e una isometria per $D^n$. Consideriamo il caso in cui $S'$ sia una ipersfera. Innanzitutto, poich\'e $S'$ \`e ortogonale a $\partial D^n$, l'inversione manda effettivamente il disco $D^n$ in se stesso. A meno di rotazioni possiamo supporre che $S'$ abbia centro $x_0 = (\alpha,0,\ldots,0)$ con $\alpha>1$ e raggio al quadrato $r^2 = \alpha^2 -1$. L'inversione ha quindi la forma seguente:

$$i(x) = x_0 + \frac {x-x_0}{\|x-x_0\|^2}r^2 = (\alpha,0,\ldots,0) + \lambda(x_1-\alpha,x_2, \ldots, x_n)$$
con $x=(x_1,\ldots,x_n)$ e 
$$\lambda = \frac{r^2}{\|x-x_0\|^2} = \frac {\alpha^2-1}{(x_1-\alpha)^2 + x_2^2 + \ldots +x_n^2}  
= \frac{\alpha^2-1}{\|x\|^2 - 2x_1\alpha + \alpha^2}.$$
Sappiamo gi\`a che le inversioni sono conformi, quindi il differenziale di $i$ in $x$ \`e una costante positiva per una isometria. Si verifica facilmente che la costante positiva \`e proprio $\lambda$. Notiamo inoltre che
\begin{align*}
\|i(x)\|^2 & = \|(\alpha (1-\lambda) + \lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n)\|^2 \\
& = \lambda^2 \|x\|^2 + \alpha^2(1-\lambda)^2 + 2 \alpha(1-\lambda)\lambda x_1 \\
& = (\lambda -1)\lambda \big(\|x\|^2 -2x_1\alpha + \alpha^2 \big) + \lambda \|x\|^2 + (1-\lambda)\alpha^2 \\
& = (\lambda - 1)\lambda \frac{\alpha^2-1}\lambda + \lambda\|x\|^2 + (1-\lambda)\alpha^2 \\
& = 1-\lambda + \lambda\|x\|^2
\end{align*}
e quindi $1-\|i(x)\|^2 = \lambda(1-\|x\|^2)$ che implica
$$\left(\frac 2{1-\|x\|^2}\right)^2 = \lambda\left(\frac 2{1-\|i(x)\|^2}\right)^2\lambda.$$
Quindi $i$ preserva il tensore metrico.
\end{proof}

\subsection{Il modello del semispazio}
Il disco di Poincar\'e $D^n$ \`e un modello \emph{conforme} dello spazio iperbolico: il tensore metrico differisce da quello euclideo soltanto per uno scalare (che dipende dal punto $x$). Le distanze in $D^n$ sono ben diverse da quelle euclidee, ma gli angoli fra curve e sottospazi sono invece gli stessi. Ad esempio, \`e possibile tracciare tre rette nel piano iperbolico come in Fig.~\ref{Triangolo_iperbolico:fig}: gli angoli interni sono quelli formati dalle tangenti nei punti di intersezione. Si verifica in particolare facilmente che la somma $\alpha+\beta+\gamma$ \`e sempre minore di $\pi$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 4 cm] {Triangolo_iperbolico.pdf}
\nota{Tre rette che determinano un triangolo nel disco di Poincar\'e. Gli angoli interni $\alpha, \beta$ e $\gamma$ sono quelli euclidei.}
\label{Triangolo_iperbolico:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 5 cm] {square_tiling_nitido.pdf}
\nota{Una \emph{tassellazione} di $S^2$, $\matR^2$ o $\matH^2$ \`e una suddivizione del piano in poligoni. Lla tassellazione di $\matH^2$ mostrata in figura \`e ottenuta disegnando infinite rette nel piano. I triangoli sono rettangoli e isosceli, e sono tutti isometrici fra loro.}
\label{square_tiling:fig}
\end{center}
\end{figure}

Introduciamo un altro modello conforme. Il \emph{modello del semispazio} \`e l'insieme
$$H^n = \big\{(x_1,\ldots,x_n)\in \matR^n \ \big|\ x_n>0\big\}.$$
Il modello $H^n$ \`e ottenuto dal disco $D^n$ tramite una inversione in $\matR^n$ di centro $(0,\ldots,0,-1)$ e di raggio $\sqrt 2$ come mostrato in Fig.~\ref{inversion:fig}. Ricordiamo che le inversioni sono mappe conformi che mandano $k$-sfere e $k$-piani in $k$-sfere e $k$-piani. Ne segue che anche $H^n$ \`e un modello conforme dello spazio iperbolico, e che i $k$-sottospazi in $H^n$ sono ottenuti (come per $D^n$) intersecando $k$-piani e $k$-sfere di $\matR^n$ ortogonali al bordo $\partial H^n$ come in Fig.~\ref{semispazio:fig}. Il bordo $\partial H^n$ \`e l'iperpiano orizzontale $\{x_n=0\}$, a cui aggiungiamo un punto all'infinito $\infty$, cos\`i da avere una corrispondenza biunivoca fra $\partial H^n$ e $\partial D^n$ tramite l'inversione.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 5 cm] {inversion.pdf}
\nota{L'inversione lungo la sfera di centro $(0,\ldots,0,-1)$ e raggio $\sqrt 2$ trasforma il disco di Poincar\'e nel semispazio.}
\label{inversion:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10 cm] {semispazio.pdf}
\nota{Rette e piani in $\matH^3$ visualizzate con il modello del semispazio.}
\label{semispazio:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{prop}
Le traslazioni orizzontali $x \mapsto x+ b$ con $b=(b_1,\ldots,b_{n-1},0)$ e le omotetie $x \mapsto \lambda x$ con $\lambda >0$ sono isometrie di $\matH^n$.
\end{prop}
\begin{proof}
Ogni traslazione si ottiene come composizione di due inversioni lungo iperpiani verticali ortogonali a $b$. Ogni omotetia si ottiene come composizione di due inversioni lungo ipersfere opportune centrate nell'origine.
\end{proof}

Il tensore metrico su $H^n$ ha una forma molto semplice. 

\begin{prop}
Il tensore metrico su $H^n$ \`e il seguente:
$$g_x = \frac 1 {x_n^2} \cdot g^E$$
dove $x=(x_1,\ldots,x_n)$ e $g^E$ \`e l'usuale tensore metrico euclideo su $H^n \subset \matR^n$.
\end{prop}
\begin{proof}
L'inversione $i\colon D^n\to H^n$ sposta l'origine $O$ nel punto $P=(0,\ldots,0,1)$. Una inversione \`e una mappa conforme e quindi il differenziale in un punto $x$ \`e $\lambda$ volte una isometria di $\matR^n$, con scalare $\lambda$ dipendente da $x$. In $x=O$ lo scalare $\lambda$ \`e  $2$. Indicando con $g^{H^n}$ e $g^{D^n}$ i tensori di $H^n$ e $D^n$ e $g^E$ il tensore euclideo, otteniamo
$$g_P^{H^n} = \frac 12 g_O^{D^n} \frac 12 = \frac 44 g^E = g^E.$$
Tramite una traslazione orizzontale possiamo spostare $P$ in un qualsiasi altro punto ad altezza $x_n = 1$. Tutti i punti ad altezza $x_n = 1$ hanno quindi tensore metrico $g^E$. D'altra parte, la omotetia $x\mapsto \lambda x$ \`e una isometria di $H^n$ che trasforma un punto ad altezza $1$ in un punto ad altezza $\lambda$. Poich\'e il differenziale dell'omotetia \`e $\lambda\cdot \id$, il tensore metrico nei punti ad altezza $\lambda$ \`e $\frac 1{\lambda^2}$.
\end{proof}

Anche le geodetiche verticali hanno una forma particolarmente semplice.
\begin{prop} \label{verticale:prop}
Una geodetica verticale in $H^n$ a velocit\`a unitaria \`e parametrizzata nel modo seguente:
$$\gamma(t) = (x_1,\ldots,x_{n-1},e^t).$$
\end{prop}
\begin{proof}
Mostriamo che la velocit\`a ha sempre norma uno. Ricordiamo che un vettore $v$ dello spazio tangente nel punto $(x_1,\ldots,x_n)$ ha norma $\frac{|v|^E}{x_n}$ dove $|v|^E$ indica la norma euclidea. La velocit\`a al tempo $t$ \`e $\gamma'(t) = (0,\ldots, 0,e^t)$ che ha norma
$$|\gamma'(t)| = \frac {e^t}{e^t} = 1.$$
\end{proof}
Possiamo facilmente dedurre una formula per le geodetiche in $D^n$ passanti per l'origine. Ricordiamo la tangente iperbolica:
$$\tanh (t) = \frac {\sinh (t)}{\cosh (t)} = \frac{e^{2t} -1}{e^{2t}+1}.$$
\begin{prop}
Una geodetica in $D^n$ per l'origine con velocit\`a unitaria e direzione $x \in S^{n-1}$ \`e parametrizzata nel modo seguente:
$$\gamma(t) = \frac{e^{\|x\|}-1}{e^{\|x\|}+1}\cdot x = \left(\tanh \tfrac {\|x\|}2\right)\cdot x.$$
\end{prop}
\begin{proof}
Si pu\`o supporre $x=(0,\ldots,0,1)$ e ottenere questa parametrizzazione da quella per una retta verticale in $\matH^n$ tramite inversione.
\end{proof}

Otteniamo in particolare:
\begin{cor} \label{exp:cor}
La mappa esponenziale $\exp_0\colon T_0 \to D^n$ nell'origine $0$ di $D^n$ \`e il diffeomorfismo:
$$\exp_0(x) = \frac{e^{\|x\|}-1}{e^{\|x\|}+1}\cdot \frac{x}{\|x\|} = \left(\tanh\tfrac{\|x\|}2 \right)\cdot \frac x{\|x\|}$$
Le mappe esponenziali sono quindi tutte isomorfismi ed il raggio di iniettivit\`a in ogni punto di $\matH^n$ \`e infinito.
\end{cor}

\begin{cor} \label{sfere:cor}
Nei modelli conformi del disco e del semispazio le $k$-sfere sono precisamente le usuali $k$-sfere euclidee (ma con centro e raggio generalmente differente).
\end{cor}
\begin{proof}
Nel modello del disco, la sfera di centro 0 e raggio $r$ \`e l'usuale sfera di centro 0 e raggio $\ln\frac{1+r}{1-r}$. La generica sfera di centro $p$ e raggio $r$ \`e ottenuta da questa tramite isometria. Le isometrie di $\matH^n$ sono composizioni di riflessioni per la Proposizione \ref{riflessioni:prop}, che nel modello del disco sono inversioni lungo piani e sfere, e quindi mandano sfere e piani in sfere e piani per la Proposizione \ref{inversione:prop}. Idem per il modello del semispazio che \`e collegato al disco tramite inversione.
\end{proof}

\section{Compattificazione e isometrie dello spazio iperbolico}
\subsection{Punti all'infinito dello spazio iperbolico}
In questa sezione compattifichiamo lo spazio iperbolico $\matH^n$ aggiungendo i suoi ``punti all'infinito''. Per definire i punti all'infinito abbiamo bisogno della nozione seguente. 
\begin{defn}
Una \emph{semiretta geodetica} in $\matH^n$ \`e una geodetica $\gamma\colon [0,+\infty) \to M$ con velocit\`a costante pari a uno. 
\end{defn}
\begin{defn} L'insieme $\partial \matH^n$ dei \emph{punti all'infinito} di $\matH^n$ \`e definito come l'insieme delle semirette geodetiche quozientato per la seguente relazione di equivalenza:
$$\gamma_1 \sim \gamma_2 \ \Longleftrightarrow \sup\big\{\gamma_1(t), \gamma_2(t) \big\} < + \infty.$$
\end{defn}

Possiamo aggiungere a $\matH^n$ i suoi punti all'infinito e definire quindi 
$$\overline {\matH^n} = \matH^n \cup \partial \matH^n.$$

\begin{prop} \label{bordo:prop}
Usando il modello del disco $D^n$, otteniamo una naturale corrispondenza biunivoca fra $\partial D^n$ e $\partial \matH^n$ e quindi fra il disco chiuso $\overline{D^n}$ e $\overline{\matH^n}$.
\end{prop}
\begin{proof}
Una semiretta geodetica $\gamma$ in $D^n$ \`e un arco di circonferenza ortogonale a $\partial D^n$ e quindi $\lim_{t\to\infty}\gamma(t)$ \`e un punto in $\partial D^n$. Ci resta da dimostrare che due semirette geodetiche tendono allo stesso punto se e solo se stanno nella stessa classe di equivalenza.

Supponiamo che due semirette $\gamma_1$, $\gamma_2$ determinino lo stesso punto in $\partial D^n$. Possiamo usare il modello del semispazio e porre questo punto all'infinito: quindi $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono due semirette geodetiche verticali che puntano verso l'alto:
\begin{align*}
\gamma_1(t) & = (x_1,\ldots,x_{n-1},x_ne^t), \\
\gamma_2(t) & = (y_1,\ldots,y_{n-1},y_ne^t), 
\end{align*}
Supponiamo che $x_n<y_n$: posso sostituire $\gamma_1$ con la geodetica $\tilde\gamma_1(t) = \gamma_1(t+\ln \frac{y_n}{x_n})$ che parte alla stessa altezza di $\gamma_2$ ed \`e chiaramente equivalente a $\gamma_1$ visto che $d(\tilde\gamma_1(t),\gamma_1(t))=\ln \frac{y_n}{x_n}$ per ogni $t$. Si veda Fig.~\ref{verticali:fig}.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 5 cm] {verticali.pdf}
\nota{Due rette verticali in $\matH^n$ a distanza \emph{euclidea} $d$. La lunghezza \emph{iperbolica} del segmento orizzontale che le collega ad altezza $x_n$ \`e $\frac d{x_n}$ e quindi tende a zero per $x_n\to\infty$ (sinistra). Usando come parametro di altezza la (pi\`u intrinseca) lunghezza d'arco delle geodetiche invece di $x_n$, si vede che le due geodetiche $\gamma_1$ e $\gamma_2$ in realt\`a si avvicinano molto pi\`u velocemente, in modo esponenziale. Infatti il segmento orizzontale che collega $\gamma_1(t)$ e $\gamma_2(t)$ ha lunghezza $de^{-t}$ (destra). Ne deduciamo che $d(\gamma_1(t), \gamma_2(t))\leqslant de^{-t}$.}
\label{verticali:fig}
\end{center}
\end{figure}

Posso quindi supporre che $x_n=y_n$. Sia $d$ la distanza fra $(x_1,\ldots,x_{n-1})$ e $(y_1,\ldots,y_{n-1})$ in $\matR^{n-1}$. Il segmento orizzontale che collega $\gamma_1(t)$ e $\gamma_2(t)$ ha lunghezza euclidea $d$ ma ha lunghezza iperbolica $\frac d{x_ne^t}\to 0$ per $t\to\infty$. Quindi $\gamma_1\sim\gamma_2$.

D'altra parte se $\gamma_1$ e $\gamma_2$ puntano verso punti diversi di $\partial \matH^n$ \`e facile vedere che non sono equivalenti. Possiamo supporre che $\gamma_1$ sia verticale verso l'alto e $\gamma_2$ punti verso un punto qualsiasi di $\{x_n=0\}$. Per ogni $M>0$ esiste un $t_0>0$ tale che $\gamma_1(t)$ viva definitivamente in $x_{n+1}>M$ e $\gamma_2(t)$ viva definitivamente in $x_n<\frac 1M$. La distanza fra $\gamma_1(t)$ e $\gamma_2(t)$ \`e quindi definitivamente maggiore di $\ln{M^2}$ per ogni $M$, cio\`e diverge.
\end{proof}

Possiamo munire $\overline{\matH^n}$ della topologia di $\overline{D^n}$: in questo modo abbiamo \emph{compattificato} lo spazio iperbolico aggiungendo i suoi punti all'infinito. La parte interna di $\overline{\matH^n}$ \`e $\matH^n$. I punti all'infinito formano una sfera $\partial \matH^n$.

Nota che mentre $\matH^n$ \`e una variet\`a riemanniana completa (e quindi uno spazio metrico), la sua compattificazione $\overline{\matH^n}$ \`e solo uno spazio topologico: non \`e definita una distanza fra un punto di $\partial \matH^n$ ed un punto in $\matH^n$, n\'e fra due punti distinti di $\partial \matH^n$.

La topologia su $\overline {\matH^n}$ pu\`o essere in realt\`a definita senza fare uso del modello $D^n$. La definizione intrinseca \`e la seguente: oltre agli aperti di $\matH^n$, aggiungiamo  per ogni $p\in\partial \matH^n$ un sistema di intorni aperti di $p$ in $\overline{\matH^n}$ nel modo seguente. 

Sia $\gamma$ una geodetica che rappresenta $p$ e sia $V$ un intorno aperto del vettore $\gamma'(0)$ nella sfera unitaria di $T_{\gamma(0)}$. Sia infine $r>0$. Definiamo l'insieme
\begin{align*}
U(\gamma, V, r) & = \left\{\alpha(t)\ \big|\ \alpha(0) = \gamma(0), \ \alpha'(0) \in V, \ t>r \right\} \\
& \bigcup \left\{[\alpha] \ \big|\ \alpha(0) = \gamma(0), \ \alpha'(0) \in V \right\}
\end{align*}
dove $\alpha$ indica sempre una semiretta in $\matH^n$. Si veda ad esempio Fig.~\ref{intorno:fig}. Definiamo un sistema di intorni per $p$ prendendo gli aperti $U(\gamma, V, r)$ al variare di $\gamma$, $V$ e $r$. Si ottiene cos\`\i\ per $\overline{\matH^n}$ la stessa topologia indotta da $\overline{D^n}$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 5 cm] {intorno.pdf}
\nota{Un intono $U(\gamma, V, r)$ del punto $p\in\partial\matH^n$ (in giallo).}
\label{intorno:fig}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Isometrie ellittiche, paraboliche e iperboliche}
Ogni isometria di $\matH^n$ si estende al bordo.

\begin{prop}
Ogni isometria $\varphi \colon \matH^n \to \matH^n$ si estende ad un unico omeomorfismo $\varphi:\overline{\matH^n} \to \overline{\matH^n}$. Una isometria $\varphi$ \`e determinata dalla sua traccia $\varphi|_{\partial \matH^n}$ al bordo.
\end{prop}
\begin{proof}
L'estensione di $\varphi$ al bordo \`e definita in modo naturale: un punto al bordo \`e una classe $[\gamma]$ di semirette geodetiche e nell'estensione poniamo $\varphi ([\gamma]) = [\varphi(\gamma)]$. L'estensione \`e banalmente un omeomorfismo per le riflessioni lungo sottospazi, e quindi lo \`e per ogni isometria.
\end{proof}

\begin{prop}
Sia $\varphi$ una isometria di $\matH^n$. Vale uno (ed uno solo) dei fatti seguenti.
\begin{enumerate}
\item $\varphi$ ha almeno un punto fisso in $\matH^n$, 
\item $\varphi$ non ha punti fissi in $\matH^n$ e ne ha esattamente uno in $\partial \matH^n$,
\item $\varphi$ non ha punti fissi in $\matH^n$ e ne ha esattamente due in $\partial \matH^n$.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
L'estensione $\varphi:\overline{\matH^n} \to \overline{\matH^n}$ \`e una mappa continua. Poich\'e $\overline{\matH^n}$ \`e omeomorfo al disco chiuso, il teorema di punto fisso di Brouwer garantisce l'esistenza di un punto fisso per $\varphi$. 

Ci resta solo da mostrare che se non ci sono punti fissi in $\matH^n$ allora i punti fissi al bordo sono al massimo due. Supponiamo per assurdo che siano almeno tre $P_1$, $P_2$, $P_3$. Una isometria che fissa due punti al bordo fissa anche l'unica geodetica che collega i due punti. Quindi $\varphi$ fissa la geodetica $\gamma$ che collega $P_1$ e $P_2$. D'altra parte \`e facile vedere che fra le infinite geodetiche che puntano su $P_3$ ce n'\`e una sola $\eta$ ortogonale a $\gamma$. L'isometria fissa $P_3$ e quindi deve fissare anche $\eta$. In particolare fissa il punto di intersezione $\gamma\cap\eta$: assurdo.
\end{proof}
Le isometrie di tipo (1), (2) e (3) sono dette rispettivamente \emph{ellittiche}, \emph{paraboliche} e \emph{iperboliche}.

\subsection{Sottospazi incidenti, paralleli e ultraparalleli}
Ogni $k$-sottospazio $S\subset \matH^n$ ha una chiusura topologica $\overline S \subset \overline{\matH^n}$ nello spazio iperbolico compattificato. Nei due modelli conformi, la traccia al bordo $\partial S = \overline S\cap \partial\matH^n$ \`e una $(k-1)$-sfera (oppure un $(k-1)$-piano pi\`u il punto all'infinito nel modello del semispazio).

La \emph{distanza} $d(A,B)$ fra due sottoinsiemi $A,B$ di uno spazio metrico \`e definita come 
$$d(A,B) = \inf_{x\in A, y\in B} \big\{d(x,y)\big\}.$$

\begin{prop}
Siano $S$ e $S'$ due sottospazi di $\matH^n$ di dimensioni arbitrarie. Vale uno (ed uno solo) dei fatti seguenti.
\begin{enumerate}
\item $S\cap S' \neq \emptyset$,
\item $S\cap S' = \emptyset$ e $\overline S \cap \overline {S'}$ \`e un punto in $\partial \matH^n$; inoltre $d(S,S')=0$ e non esiste nessuna geodetica ortogonale a $S$ e $S'$,
\item $\overline S\cap \overline{S'} = \emptyset$; inoltre $d=d(S,S')>0$ ed esiste un'unica geodetica $\gamma$ ortogonale a $S$ e $S'$: il segmento di $\gamma$ tra $S$ e $S'$ \`e l'unico arco fra i due sottospazi lungo esattamente $d$.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
Dobbiamo innanzitutto mostrare che i tre casi esauriscono tutte le possibilit\`a, cio\`e che se $\partial S \cap \partial S'$ contiene almeno due punti allora $S\cap S'$ non \`e vuoto. Se $\partial S\cap \partial S'$ contiene due punti allora sia $S$ che $S'$ contiene l'intera geodetica che collega questi due punti, e quindi $S\cap S' \neq \emptyset$.

Nel caso (2) i sottospazi $S$ e $S'$ contengono due rette $r\subset S$ e $r'\subset S'$ che puntano verso lo stesso punto all'infinito. Usando il modello del semispazio e ponendo questo punto all'infinito i sottospazi $S$ e $S'$ diventano due sottospazi verticali. Come abbiamo visto nella dimostrazione della Proposizione \ref{bordo:prop} due rette verticali qualsiasi contenute in $S$ e $S'$ si avvicinano definitivamente e quindi $d(S,S')=0$. Inoltre \`e chiaro che non esiste nessuna geodetica ortogonale a due sottospazi verticali.

Consideriamo il caso (3). Siano $x_i \in S$ e $x'_i \in S'$ due successioni di punti tali che $d(x_i,x_i')\to d$. Poich\'e $\overline{\matH^n}$ \`e compatto possiamo supporre che entrambe convergano $x_i\to x$ e $x_i'\to x'$ a qualche punto $x,x' \in \overline{\matH^n}$. Vale $x\in \overline S$ e $x'\in \overline {S'}$. Per ipotesi $x\neq x'$ e questo fatto implica che $d>0$ e $x,x' \in \matH^n$: se uno dei due punti limite $x, x'$ fosse all'infinito la distanza $d(x_i,x_i')$ tenderebbe anch'essa a infinito.

Sia $\gamma$ la retta geodetica passante per i punti $x$ e $x'$. Il segmento fra $x$ e $x'$ \`e lungo $d(x,x') = d$. La retta deve essere ortogonale a $S$ e $S'$: se formasse con $S$ un angolo in $x$ minore di $\frac\pi 2$ potremmo cambiare localmente la curva intorno a $x$ e trasformarla in una curva (non geodetica) che collega $S$ e $S'$ con lunghezza minore di $d$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 4 cm] {unica_geodetica.pdf}
\nota{I due sottospazi sono porzioni di sfere curvate in modo opposto rispetto all'origine.}
\label{unica_geodetica:fig}
\end{center}
\end{figure}

Infine, mostriamo che $\gamma$ \`e l'unica retta ortogonale a $S$ e $S'$. Usiamo il modello del disco, prendiamo un qualsiasi punto di $\gamma$ tra $x$ e $x'$ e lo spostiamo sull'origine come in Fig.~\ref{unica_geodetica:fig}. Le rette ortogonali a $\gamma$ passanti per $x$ e $x'$ sono archi di circonferenze che si incurvano in direzioni opposte ed \`e chiaro che non c'\`e nessuna geodetica che possa essere ortogonale ad entrambe.
\end{proof}

Due sottospazi di tipo (1), (2) o (3) sono detti rispettivamente \emph{incidenti}, \emph{asintoticamente paralleli} e \emph{ultra-paralleli}.

\subsection{Isometrie di $\matH^2$ e $\matH^3$}
Se $M$ \`e una variet\`a riemanniana orientabile, indichiamo con $\Iso^+(M)$ il gruppo di isometrie di $M$ che ne preservano l'orientazione. I gruppi $\Iso^+(\matH^2)$ e $\Iso^+(\matH^3)$ possono essere descritti in modo conveniente come opportuni gruppi di matrici $2\times 2$.

Ricordiamo che la \emph{sfera di Riemann} $S=\matC \cup \{\infty\}$ \`e un oggetto centrale in analisi complessa e in geometria proiettiva. In analisi complessa un \emph{automorfismo} della sfera di Riemann \`e un \emph{biolomorfismo} di $S$, cio\`e una funzione meromorfa su $S$ che induce una corrispondenza biunivoca da $S$ in s\'e. Teoremi di analisi complessa garantiscono che gli automorfismi di $S$ sono esattamente le \emph{trasformazioni di M\"obius}
$$z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}$$
dove $a,b,c,d$ sono numeri complessi tali che $ad-bc \neq 0$. Una trasformazione di M\"obius \`e quindi determinata da una matrice invertibile $\matr abcd $ 
 e due trasformazioni si compongono come la moltiplicazione fra matrici. Inoltre \`e facile verificare che due matrici $A$ e $B$ determinano la stessa trasformazione se e solo se $B=\lambda A$ per qualche $\lambda \in \matC^*$. Il gruppo delle trasformazioni di M\"obius \`e quindi naturalmente isomorfo a
$$ \PGLC = \PSLC = \GLC/_{\{ \lambda I\}} = \SLC/_{\pm I}.$$
Generalmente il simbolo $\matP$ davanti ad un insieme di matrici (o altri oggetti) indica che si quozienta l'insieme per la relazione $A \sim \lambda A$ per ogni $\lambda \neq 0$. Ricordiamo inoltre che $\GL_n(K)$ \`e il gruppo moltiplicativo delle matrici $n\times n$ a valori nel campo $K$ e $\SL_n(K)$ \`e il sottogruppo formato dalle matrici a determinante uno.

In geometria proiettiva la sfera di Riemann \`e la retta proiettiva complessa $\matCP^1 = \matC \cup \{\infty\}$ e i suoi automorfismi sono le sue \emph{proiettivit\`a}
$$[z,w] \mapsto [az+bw, cz+dw]$$
dove (come sopra) $ad-bc\neq 0$. Anche in questo contesto le proiettivit\`a sono esattamente le trasformazioni di M\"obius ed il gruppo delle proiettivit\`a di $\matCP^1$ \`e sempre $\PSLC$. Ricordiamo che una proiettivit\`a di $\matCP^n$ \`e determinata dal suo comportamento su $n+2$ punti in posizione generale. Per $n=1$ otteniamo quindi:
\begin{prop}
Date due terne $\{P_1,P_2,P_3\}$ e $\{Q_1, Q_2, Q_3\}$ di punti distinti in $\matCP^1$ esiste un'unica trasformazione di M\"obius $\varphi$ tale che $\varphi(P_i) = Q_i$ per ogni $i$.
\end{prop}

Le trasformazioni di M\"obius in cui $a,b,c,d$ sono numeri reali con determinante positivo $ad-bc>0$ formano un sottogruppo indicato con $\PSLR$:
$$\PSLR = \SLR/_{\pm I}.$$
\`E facile vedere che queste sono esattamente le trasformazioni di M\"obius che preservano la retta reale estesa $\matR\cup \{\infty\}$ e che non scambiano le due componenti connesse di $(\matC\cup \infty) \setminus (\matR \cup \infty)$. 

\begin{prop}
Date due terne $\{P_1,P_2,P_3\}$ e $\{Q_1, Q_2, Q_3\}$ di punti distinti in $\matR \cup \{\infty\}$ con la stessa orientazione ciclica esiste un'unica trasformazione di M\"obius $\varphi\in \PSLR$ tale che $\varphi(P_i) = Q_i$ per ogni $i$.
\end{prop}
\begin{proof}
Esiste un'unica trasformazione di M\"obius $\varphi\in \PSLC$ tale che $\varphi(P_i)=Q_i$. Poich\'e le trasformazioni di M\"obius mandano circonferenze di $\matC$ (incluse le rette con il punto $\infty$) in s\'e, la trasformazione $\varphi$ preserva l'unica circonferenza $\matR \cup \{\infty\}$ passante per i tre punti. Il fatto che i punti abbiano la stessa orientazione ciclica garantisce che $\varphi$ mantenga l'orientazione di $\matR\cup \{\infty\}$ e quindi non scambi le due componenti connesse di $(\matC\cup \infty) \setminus (\matR \cup \infty)$.
\end{proof}

Identifichiamo $\matR^2$ con $\matC$ e vediamo il piano iperbolico $\matH^2$ come
$$\matH^2 = \{z\in \matC\ |\ \Im z>0\}.$$
Il gruppo $\PSLR$ agisce quindi sul piano iperbolico $\matH^2$.
\begin{prop} Con il modello del semipiano $\Iso^+(\matH^2) = \PSLR$.
\end{prop}
\begin{proof}
Il gruppo $\PSLR$ \`e generato dalle seguenti trasformazioni:
\begin{enumerate}
\item le traslazioni $z \mapsto z+b$ con $b\in \matR$, corrispondenti alle matrici $\matr 1b01$,
\item le omotetie $z \mapsto \lambda z$ con $\lambda \in \matR^*$, corrispondenti alle matrici $\matradegua {\sqrt\lambda} 0 0 {\frac 1{\sqrt\lambda}}$,
\item l'inversione $z \mapsto -\frac 1z$ corrispondente alla matrice $\matr 0{-1}10$.
\end{enumerate}
Mostriamo che queste trasformazioni generano $\PSLR$. Sia $\varphi\in\PSLR$. I tre punti $\varphi(0), \varphi(1), \varphi(\infty)$ sono tre punti di $\matR\cup\{\infty\}$ coorientati con la terna $0$,$1$, $\infty$. Se $\varphi(\infty)\neq \infty$, con una traslazione si pu\`o spostare $\varphi(\infty)$ in $0$ e quindi con una inversione in $\infty$. Con una traslazione successiva si pu\`o spostare $\varphi(0)$ in $0$ tenendo fisso $\infty$. Infine, con una omotetia teniamo fissi $0$ e $\infty$ e spostiamo $\varphi(1)$ in $1$. L'unica trasformazione che fissa i tre punti 0, 1 e $\infty$ \`e l'identit\`a e quindi siamo a posto.

D'altra parte traslazioni, omotetie e l'inversione sono chiaramente isometrie di $\matH^2$ (l'inversione \`e una inversione rispetto alla circonferenza $|z|=1$). Quindi $\PSLR \subset \Iso^+(\matH^2)$.

Infine, anche una isometria $\varphi \in \Iso^+(\matH^2)$ \`e determinata dall'immagine di 3 punti nel bordo $\matR\cup\{\infty\} = \partial \matH^2$. Supponiamo infatti che $\varphi$ fissi 3 punti $P, Q, R$ del bordo. Allora preserva la geodetica $\gamma$ che unisce $P$ e $Q$. Abbiamo gi\`a visto che preserva anche l'unica geodetica $\eta$ uscente da $R$ ortogonale a $\gamma$, e quindi il punto $\eta\cap \gamma$. La restrizione di $\varphi$ alla retta $\gamma$ \`e una isometria che preserva l'orientazione e fissa un punto $\gamma\cap\eta$: quindi $\varphi$ fissa tutti i punti della retta $\gamma$. Analogamente fissa tutti i punti della retta $\eta$. Quindi il differenziale $d_{\gamma\cap\eta}\varphi$ \`e l'identit\`a, e segue che $\varphi$ \`e globalmente l'identit\`a per il Teorema \ref{isom:teo}.
\end{proof}

Le isometrie che preservano l'orientazione di $\matH^3$ sono descritte invece dall'intero gruppo delle trasformazioni di M\"obius nel modo seguente. Identifichiamo 
$$\matR^3 = \matC \times \matR = \{(z,t)\ |\ z\in\matC, t\in\matR\}.$$
Identifichiamo anche il piano ad altezza $t=0$ con $\matC$. Ogni isometria di $\matH^3$ si estende al bordo 
$$\partial\matH^3 = \matC \cup\{\infty\}.$$
La proposizione seguente dice che la traccia al bordo di ogni isometria \`e un elemento di $\PSLC$ e che la traccia induce una bigezione fra $\Iso^+(\matH^3)$ e $\PSLC$.
\begin{prop} Con il modello del semispazio $\Iso^+(\matH^3) = \PSLC$.
\end{prop}
\begin{proof}
La dimostrazione \`e simile a quella precedente. In modo analogo di dimostra che $\PSLC$ \`e generato dalle seguenti trasformazioni:
\begin{enumerate}
\item le traslazioni $z \mapsto z+b$ con $b\in \matC$, corrispondenti alle matrici $\matr 1b01$,
\item le omotetie $z \mapsto \lambda z$ con $\lambda \in \matC^*$, corrispondenti alle matrici $\matradegua {\sqrt\lambda} 0 0 {\frac 1{\sqrt\lambda}}$,
\item l'inversione $z \mapsto -\frac 1z$ corrispondente alla matrice $\matr 0{-1}10$.
\end{enumerate}
Ciascuna di queste trasformazioni \`e la traccia di una isometria di $\matH^3$:
\begin{enumerate}
\item le traslazioni orizzontali $(z,t) \mapsto (z+b,t)$,
\item Se $\lambda = \rho e^{i\theta}$, la composizione di una omotetia $(z,t)\mapsto \rho(z,t)$ e di una rotazione $(z,t)\mapsto(e^{i\theta}z, t)$,
\item l'inversione rispetto alla sfera $|z|^2 + t^2 = 1$.
\end{enumerate}
Infine, si mostra come sopra che ogni isometria \`e un elemento di $\PSLC$, perch\'e una isometria di $\matH^3$ che fissa tre punti al bordo $P, Q, R$ e preserva l'orientazione di $\matH^3$ \`e l'identit\`a. Come sopra mostriamo infatti che l'isometria deve fissare puntualmente due geodetiche $\gamma$ e $\eta$; il differenziale in $\gamma\cap \eta$ \`e quindi l'identit\`a se ristretto al piano $\pi$ tangente a $\gamma$ e $\eta$. Sulla retta ortogonale al piano $\pi$ il differenziale pu\`o essere solo $+1$ o $-1$, ed \`e $+1$ perch\'e preserva l'orientazione. Quindi il differenziale \`e l'identit\`a su tutto lo spazio tangente $T_{\gamma\cap\eta}$ e concludiamo come sopra.
\end{proof}

Le isometrie che invertono l'orientazione di $\matH^2$ e $\matH^3$ possono essere descritte analogamente come antitrasformazioni di M\"obius:
$$z \mapsto \frac{a\bar z +b}{c\bar z + d}.$$
Per $\matH^2$ si considerano soltanto antitrasformazioni con coefficienti reali e determinante $ad-bc < 0$ negativo. Si possono identificare i gruppi
$$\Iso(\matH^2) = \PGLR$$
con la convenzione che le matrici a determinante negativo agiscono come antitrasformazioni di M\"obius.

\subsection{Orosfere} \label{orosfere:subsection}
Mostreremo fra poco un modo agevole con cui descrivere ogni isometria ellittica, parabolica o iperbolica. Per studiare le isometrie paraboliche \`e opportuno introdurre la nozione di \emph{orosfera}.

\begin{defn} Sia $p$ un punto di $\partial\matH^n$. Una \emph{orosfera} centrata in $p$ \`e una ipersuperficie connessa ortogonale a tutte le rette geodetiche uscenti da $p$.
\end{defn}

Le orosfere possono essere visualizzate in modo semplice usando il modello del semispazio e ponendo $p$ all'infinito. Le rette geodetiche uscenti da $p$ sono tutte e sole le rette verticali e le orosfere centrate in $p$ sono quindi tutti e soli gli iperpiani orizzontali $\{x_n = k\}$ al variare di $k\in\matR_{>0}$. 

\begin{oss}
Poich\'e il tensore metrico $g = \frac 1{x_n^2}g^E$ \`e costante su ogni iperpiano orizzontale, ogni orosfera \`e \emph{isometrica} a $\matR^n$ e quindi \emph{piatta} (cio\`e con curvatura sezionale nulla). Questo fatto \`e abbastanza sorprendente e peculiare della geometria iperbolica: lo spazio iperbolico $\matH^n$ contiene ipersuperfici isometriche a $\matH^{n-1}$ (gli iperpiani), $\matR^{n-1}$ (le orosfere) e $S^{n-1}$ (le sfere).
\end{oss}

Le orosfere centrate in un punto $p\neq \infty$ di $\partial \matH^n$ o in un punto qualsiasi $p$ di $\partial D^n$ nel modello del disco sono tutte e sole le ipersfere tangenti al punto. Le orosfere in $\matH^2$ sono circonferenze e vengono quindi chiamate \emph{orocicli}; un orociclo \`e mostrato in Fig.~\ref{Horocycle_normals:fig}.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 5 cm] {Horocycle_normals.pdf}
\nota{Una orosfera in $\matH^2$ centrata in $p\in\partial\matH^2$ \`e una circonferenza tangente a $p$. L'orosfera \`e per definizione ortogonale a tutte le (infinite) geodetiche uscenti da $p$.}
\label{Horocycle_normals:fig}
\end{center}
\end{figure}

Torniamo alle isometrie di $\matH^n$. Nel modello del semispazio indichiamo un punto come coppia $(x,t)$ dove $x=(x_1,\ldots,x_{n-1})$ e $t=x_{n+1}$.
\begin{prop}
Sia $\varphi$ una isometria di $\matH^n$:
\begin{enumerate}
\item se $\varphi$ \`e ellittica con punto fisso nell'origine di $D^n$ allora
$$\varphi(x) = Ax$$
 per una matrice $A\in O(n)$; 
\item se $\varphi$ \`e parabolica con punto fisso $\infty$ nel semispazio $H^n$ allora
$$\varphi (x,t) = (Ax+b, t)$$ 
per una matrice $A\in O(n)$ ed un vettore $b$;
\item se $\varphi$ \`e iperbolica con punti fissi $0$ e $\infty$ allora 
$$\varphi (x,t) = \lambda(Ax,t)$$
per una matrice $A\in O(n)$ ed uno scalare $\lambda\neq 0$.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
In (1) la mappa $x\mapsto Ax$ \`e una isometria perch\'e il tensore metrico ha simmetria sferica. Variando $A\in O(n)$ si ottengono tutte le possibili isometrie dello spazio tangente in $0$, e quindi tutte le possibili isometrie di $\matH^n$ che fissano $0$ per il Teorema \ref{isom:teo}. 

Per (2) dimostriamo innanzitutto che $\varphi$ preserva ciascuna orosfera centrata in $\infty$. L'immagine dell'orosfera $O_0$ ad altezza $t=t_0$ \`e necessariamente un'orosfera $O_1$ ad una qualche altezza $t=t_1$. Supponiamo per assurdo che $t_1\neq t_0$: a meno di cambiare $\varphi$ con la sua inversa possiamo supporre $t_1<t_0$. La restrizione 
$$\varphi|_{O_0}\colon O_0 \to O_1$$
\`e una isometria. Poich\'e le metriche di $O_0$ e $O_1$ sono rispettivamente $\frac 1{t_0^2}$ e $\frac 1{t_1^2}$ volte quella euclidea, letta con la metrica euclidea la restrizione $\varphi|_{O_0}$ \`e una contrazione. Possiamo identificare $O_0$ e $O_1$ facendo coincidere $(x,t_0)$ con $(x,t_1)$ e usare il Teorema delle contrazioni per concludere che esiste un $x\in\matR^{n-1}$ tale che $\varphi(x,t_0) = \varphi(x,t_1)$. La geodetica verticale passante per questi due punti \`e quindi preservata, e quindi \`e preservato anche l'altro suo punto all'infinito $(x,0)$: assurdo perch\'e $\varphi$ \`e parabolica (e non iperbolica).

Sappiamo che $\varphi$ preserva ogni orosfera $O$ centrata in $\infty$. Poich\'e $\varphi$ preserva le geodetiche verticali, agisce su ogni orosfera allo stesso modo. Deve preservare la metrica di $O$, che \`e euclidea. Quindi \`e del tipo $x\mapsto Ax+b$. 

Infine, in (3) notiamo come in (1) che le isometrie del tipo $\lambda(Ax,t)$ sono trasformazioni aventi $0$ e $\infty$ come punto fisso, e che variando $A$ e $\lambda$ si ottengono tutte le possibilit\`a. Infatti tali trasformazioni preservano la geodetica che unisce $0$ e $\infty$ e quindi mandano il punto $(0,1)$ in un punto $(0,\lambda)$. Il differenziale di $\varphi$ in $(0,1)$ \`e necessariamente del tipo $\matr A 0 0 \lambda$ per una matrice $A\in O(n)$, lo stesso differenziale di $x\mapsto \lambda\left(\frac A\lambda,t\right)$.
\end{proof}

Lo \emph{spostamento minimo} $d(\varphi)$ di una isometria $\varphi$ di $\matH^n$ \`e 
$$d(\varphi) = \inf_{x\in\matH^n} d\big(x,\varphi(x)\big).$$
I punti che \emph{realizzano} questo spostamento minimo sono gli $x$ tali che $d(x,\varphi(x)) = d(\varphi)$.
\begin{cor} \label{spostamento:cor}
Valgono i fatti seguenti:
\begin{enumerate}
\item una trasformazione ellittica ha spostamento minimo $d=0$ realizzato in almeno un punto,
\item una trasformazione parabolica con punto fisso $p\in \partial\matH^n$ ha spostamento minimo $d=0$ realizzato in nessun punto e fissa ogni orosfera centrata in $p$; 
\item una trasformazione iperbolica con punti fissi $p,q\in\partial\matH^n$ ha spostamento minimo positivo $d>0$ realizzato in tutti e soli i punti della geodetica con estremi in $p$ e $q$.
\end{enumerate}
\end{cor}
\begin{proof}
In (2) \`e chiaro che $(x,t)\mapsto (Ax+b,t)$ fissa l'orosfera ad altezza $t$. Poich\'e la metrica sull'orosfera ad altezza $t$ \`e $\frac 1{t^2}$ volte quella euclidea, se $t\to\infty$ i punti si spostano sempre meno, e lo spostamento tende a zero.

In (3) valutiamo la mappa $(x,t)\mapsto \lambda(Ax,t)$ e quindi la distanza fra $(x,t)$ e $(\lambda Ax, \lambda t)$. Se $x=0$ la distanza \`e $d=\ln \lambda$, se $x\neq 0$ \`e strettamente maggiore, come si vede facilmente integrando lungo un segmento euclideo che collega i due punti. 
\end{proof}

\subsection{Area e curvatura}
Possiamo finalmente verificare che $\matH^n$ ha curvatura sezionale costante $-1$. Che lo spazio iperbolico abbia curvatura costante non dovrebbe sorprendere: questo fatto \`e conseguenza dell'eccezionale quantit\`a di simmetrie (cio\`e isometrie) di $\matH^n$. Per calcolare la curvatura dobbiamo stimare la differenza fra l'area di un disco iperbolico e di un disco euclideo aventi lo stesso raggio $r$.

\begin{prop}
Il disco di raggio $r$ in $\matH^2$ ha area 
$$A(r) = \pi \left(e^{\frac r2} -e ^{-\frac r2}\right)^2 =  4\pi \sinh^2 {\tfrac r2} = 2\pi (\cosh r -1).$$
\end{prop}
\begin{proof}
In generale, sia $U\subset \matR^n$ un aperto dotato di un arbitrario tensore metrico $g$, che possiamo interpretare come una matrice quadrata $g_x$ dipendente da $x\in U$. Ricordiamo che $g$ induce una forma di volume in $U$, ed il volume di un dominio $D\subset U$ \`e
$$\Vol (D) = \int_D \sqrt{\det g} \cdot dx_1\cdots dx_n.$$
Sia quindi $D(r)$ il disco in $\matH^2$ di centro $0$ e di raggio iperbolico $r$. Il raggio euclideo \`e quindi $\tanh \frac r2$ per il Corollario \ref{exp:cor}. Otteniamo quindi
\begin{align*}
A(r) & = \Vol(D(r)) = \int_{D(r)} \sqrt g \cdot dxdy = \int_{D(r)} \left(\frac 2{1-x^2-y^2}\right)^2dxdy \\
 & = \int_0^{2\pi} \int_0^{\tanh\frac r2} \left(\frac {2}{1-\rho^2}\right)^2 \rho \cdot d\rho d\theta = 2\pi\left[ \frac 2{1-\rho^2}\right]_0^{\tanh \frac r2} \\
 & = 4\pi \left(\frac 1{1-{\tanh^2 \frac r2}} - 1 \right) = 4\pi \sinh^2 \tfrac r2.
 \end{align*}
\end{proof}

\begin{cor}
Lo spazio iperbolico $\matH^n$ ha curvatura sezionale costante $-1$.
\end{cor}
\begin{proof}
Sia $p\in \matH^n$ un punto e $W\subset T_p$ un piano vettoriale. L'immagine $\exp_p(W)$ tramite mappa esponenziale \`e il piano iperbolico passante per $p$ tangente a $W$, isometrico a $\matH^2$. Il disco di raggio $r$ ha area
$$A(r) = 2\pi(\cosh r - 1) = 2\pi \left(\frac {r^2}{2!} + \frac {r^4}{4!} + o(r^4)\right) = \pi r^2 + \frac{\pi r^4}{12} + o(r^4)$$
e quindi $K=-1$ secondo la Definizione \ref{gauss:defn}.
\end{proof}



