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\begin{document}

\frontmatter

\author{Bruno Martelli}
\address{Dipartimento di Matematica ``Tonelli'', Largo Pontecorvo 5, 56127 Pisa, Italy}
\email{martelli at dm dot unipi dot it}
\title{Lezioni di geometria iperbolica}
\dedicatory{Versione del 20 gennaio 2012}

\maketitle

\tableofcontents

\mainmatter

\chapter*{Introduzione}
Il testo \`e rilasciato con licenza \emph{Creative Commons-BY-SA}. Questa licenza permette di distribuire, modificare, creare opere derivate dall'originale, anche a scopi commerciali, a condizione che venga riconosciuta la paternit\`a dell'opera all'autore e che alla nuova opera vengano attribuite le stesse licenze dell'originale.

Le figure presenti sono tutte di pubblico dominio (sia quelle create da me che quelle scaricate da Wikipedia, che erano gi\`a in pubblico dominio), tranne le seguenti che sono in licenza CC-BY-SA e possono essere scaricate da Wikipedia: 
\begin{itemize}
\item Fig.~\ref{Stereographic:fig} (proiezione stereografica di un panorama parigino) nel Capitolo 1, creata da Alexandre Duret-Lutz,
\item Fig.~\ref{square_tiling:fig} (tassellazione del piano iperbolico) e Fig.~\ref{Horocycle_normals:fig} (orosfera) nel Capitolo 1, Fig.~\ref{pseudosphere:fig} (pseudosfera) nel Capitolo 2 e Fig.~\ref{triangular2:fig} (tassellazioni del piano iperbolico) nel Capitolo 3, create da Claudio Rocchini,
\item Fig.~\ref{icosaedro:fig}-destra (dodecaedro) nel Capitolo 3, creata da DTR.
\end{itemize}

\include{cap1}
\include{cap2}
\include{cap3}

\chapter{Teorema di rigidit\`a di Mostow}
Abbiamo definito nel Capitolo 2 lo spazio di Teichm\"uller $\Teich(\Sigma_g)$ di una superficie $\Sigma_g$ chiusa di genere $g\geqslant 2$ come lo spazio delle metriche iperboliche su $\Sigma_g$, viste a meno di isometrie isotope all'ident\`a; abbiamo quindi dimostrato che $\Teich(\Sigma_g)\isom \matR^{6g-6}$. 

La definizione di $\Teich(M)$ si applica ad ogni variet\`a differenziabile $M$: Lo scopo di questa sezione \`e mostrare che per ogni variet\`a iperbolica di dimensione $\geqslant 3$ lo spazio $\Teich(M)$ \`e un punto. Questo risultato molto forte, noto come \emph{teorema di rigidit\`a}, \`e stato dimostrato da Mostow nel 1968. Grazie a questo teorema, tutte le informazioni geometriche inerenti una variet\`a iperbolica $M$ di dimensione $\geqslant 3$ (volume, spettro delle geodetiche, etc.) dipendono in realt\`a soltanto dalla topologia di $M$. Nella versione pi\`u forte del teorema di Mostow, vedremo addirittura che dipendono solo dal gruppo fondamentale di $M$.

\section{Volumi di variet\`a iperboliche}

\subsection{Simplessi}
Ricordiamo che un \emph{simplesso} $\Delta$ in $\overline{\matH^n}$ \`e l'inviluppo convesso di $n+1$ punti $v_0,\ldots, v_n\in \overline{\matH^n}$. Il simplesso \`e:
\begin{itemize}
\item \emph{degenere} se gli $n+1$ punti sono contenuti nella chiusura di un iperpiano,
\item \emph{ideale} se gli $n+1$ punti sono tutti nel bordo $\partial \matH^n$,
\end{itemize}
Una \emph{$k$-faccia} di un simplesso non-degenere $\Delta$ \`e l'inviluppo convesso di $k+1$ vertici distinti di $\Delta$. Le $0$- e $1$-facce sono dette \emph{vertici} e \emph{spigoli}. Un vertice che giace in $\partial \matH^n$ \`e detto \emph{ideale}.

\begin{prop}
Un simplesso \`e degenere $\Leftrightarrow$ non ha parte interna $\Leftrightarrow$ ha volume nullo.
\end{prop}
\begin{proof}
Se un simplesso \`e degenere, allora non ha parte interna e non ha volume. D'altra parte, si pu\`o dimostrare per induzione sulla dimensione $n$ che se un simplesso non \`e degenere allora ha parte interna, e quindi volume positivo. Il passaggio induttivo funziona nel modo seguente: sia $v$ un vertice di $\Delta$ e $F$ la $(n-1)$-faccia opposta. Per ipotesi la faccia $F$ \`e contenuta in un unico iperpiano $H$ e ha parte interna. Poich\'e $v\not\in F$ segue facilmente che anche $\Delta$ ha parte interna.
\end{proof}

Notiamo che un simplesso \`e compatto se e solo se tutti i suoi vertici sono in $\matH^n$. Mostriamo che ogni simplesso ha volume finito: per quelli compatti \`e ovvio, per gli altri \`e conseguenza del fatto seguente.

\begin{prop} Sia $O$ una orosfera centrata in un punto $v\in \partial \matH^n$. Sia $D\subset O$ un insieme boreliano e $C$ il cono di $D$ su $v$, ovvero l'unione di tutte le semirette uscenti da $D$ dirette verso $v$ (si veda Fig.~\ref{volume:fig}). Vale la relazione seguente:
$$\Vol(C) = \frac {\Vol_O (D)}{n-1}$$
dove $\Vol_O$ indica il volume nella variet\`a $O$, isometrica a $\matR^{n-1}$.
\end{prop}
\begin{proof}
Consideriamo il modello del semispazio con $v$ all'infinito e $O$ ad altezza $h$ come in Fig.~\ref{volume:fig}-(sinistra). Otteniamo
$$\Vol(C) = \int_D dx \int_{h}^\infty \frac 1{t^{n}}dt = \frac 1{n-1}\int_D \frac{dx}{h^{n-1}} = \frac 1{n-1} \cdot \Vol_O(D).$$
\end{proof}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 12 cm] {volume.pdf} 
\nota{Nel modello del semispazio, un boreliano $D$ dentro ad una orosfera $O$ delimita una porzione di spazio $C$. In dimensione tre vale la formula $\Vol(C) = 2 \cdot \Area (D)$; in generale vale $\Vol(C) = (n-1)\cdot \Vol_O(D)$ dove $\Vol_O$ indica il volume nell'orosfera $O$, isometria ad $\matR^{n-1}$. Ne deduciamo che un simplesso $\Delta$ ha volume infinito: l'intersezione (in verde) di $\Delta$ con delle orosfere $O_i$ centrate nei vertici ideali $v_i$ ha infatti volume finito, e ci\`o che resta (in rosso) \`e compatto.}
\label{volume:fig}
\end{center}
\end{figure}
Applichiamo in particolare questa uguaglianza per ottenere in Fig.~\ref{volume:fig}-(destra) il risultato seguente. 
\begin{cor}
Un simplesso in $\overline{\matH^n}$ ha volume finito.
\end{cor}
%\begin{proof}
%Siano $v_0,\ldots, v_n$ i vertici del simplesso $\Delta$, dove supponiamo che solo i primi $k$ siano ideali, come in Fig.~\ref{volume:fig}-(destra). Sia $O_i$ una piccola orosfera centrata in $v_i$, bordo di una oropalla $B_i$ per ogni $i=1,\ldots,k$. Otteniamo
%$$\Vol(B_i\cap \Delta) = \frac{\Vol_{O_i}(O_i\cap \Delta)}{n-1}<\infty.$$
%Il volume di $O_i\cap \Delta$ in $O_i$ \`e effettivamente finito perch\'e $O_i\cap\Delta$ \`e compatto. D'altra parte anche
%$$\Delta \setminus (B_1\cup\ldots \cup B_k)$$
%\`e compatto e quindi $\Delta$ ha volume finito.
%\end{proof}
Definiamo $v_n$ come il sup dei volumi di tutti i simplessi in $\matH^n$:
$$v_n = \sup\big\{\Vol(\Delta)\ \big|\ \Delta \subset \overline{\matH^n}\big\}.$$
\`E abbastanza facile vedere che $v_n<+\infty$. Il risultato seguente \`e meno banale. Ricordiamo che nella Sezione \ref{simplessi:subsection} del Capitolo \ref{singolarita:chapter} abbiamo definito per ogni $t\in [-\infty, 0)$ un simplesso \emph{regolare} $\Delta(t) \subset \matH^n$, che \`e \emph{ideale} per $t=-\infty$.

\begin{teo} \label{max:teo}
Un simplesso $\Delta$ ha volume $v_n$ se e solo se $\Delta$ \`e ideale e regolare.
\end{teo}
I simplessi ideali regolari sono quindi i simplessi con volume massimo. In dimensione $n=2$ il teorema \`e semplice da dimostrare: l'area di un triangolo con angoli interni $\alpha,\beta,\gamma$ \`e $\pi-(\alpha+\beta+\gamma)$, ed \`e massima precisamente quando $\alpha=\beta=\gamma=0$, cio\`e quando il triangolo \`e ideale; d'altra parte, tutti i triangoli ideali sono isometrici e sono quindi regolari. In dimensione $n$ il simplesso di volume massimo \`e comunque chiaramente ideale:
\begin{prop}
Se $\Delta$ \`e un simplesso non ideale, esiste un simplesso ideale $\Delta' \supset \Delta$ con $\Vol(\Delta')>\Vol(\Delta)$.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $x\in \matH^n$ un punto qualsiasi contenuto in $\Delta$ ma distinto dai vertici $v_0,\ldots, v_n$. La semiretta $s_i$ uscente da $x$ e passante per $v_i$ tende ad un punto all'infinito $w_i\in\partial \matH^n$. Definiamo quindi $\Delta'$ come inviluppo convesso dei punti $w_0,\ldots, w_n$. Il simplesso $\Delta'$ contiene $\Delta$, perch\'e contiene $x$ e $w_i$, quindi contiene la semiretta $s_i$ ed in particolare $v_i$ per ogni $i$. Per ipotesi almeno uno dei vertici $v_i$ non \`e ideale, e quindi $w_i\not\in\Delta$: quindi $\Delta'$ contiene $\Delta$ strettamente e quindi ha volume maggiore.
\end{proof}
In dimensione $n\geqslant 3$ i simplessi ideali per\`o non sono tutti isometrici: abbiamo gi\`a visto ad esempio che per $n=3$ questi possono essere parametrizzati da un numero complesso $z$. Dimostreremo il Teorema \ref{max:teo} solo in dimensione $n=3$.

\subsection{Volumi di tetraedri ideali}
Esprimeremo il volume di un tetraedro ideale usando una particolare funzione.
\begin{defn}
La \emph{funzione di Lobachevsky} \`e la funzione
$$\Lambda(\theta) = -\int_0^\theta \log |2\sin t| dt.$$
\end{defn}
\appunto{Mettere grafico della funzione.}
La funzione $\log |2\sin t|$ vale $-\infty$ in $\pi\matZ$, ma \`e comunque integrabile. Quindi $\Lambda$ \`e ben definita su tutto $\matR$, \`e continua e le sue prime due derivate sono ovviamente
$$\Lambda'(\theta) = -\log |2\sin \theta |, \qquad \Lambda''(\theta) = -\cot \theta.$$
La funzione $\Lambda$ ha derivata $+\infty$ nei punti $\pi\matZ$. \`E inoltre una funzione dispari, perch\'e \`e integrale di una funzione pari.

\begin{prop} \label{Loba:prop}
La funzione $\Lambda$ \`e $\pi$-periodica. Vale $\Lambda (0) = \Lambda \left(\frac \pi 2 \right) = \Lambda (\pi) = 0$. La funzione $\Lambda$ \`e strettamente positiva in $\left(0,\frac \pi 2 \right)$, strettamente negativa in $\left(\frac \pi 2, \pi\right)$, ed ha massimo e minimo assoluti in $\frac 16 \pi$ e $\frac 56 \pi$.
Vale inoltre per ogni $m\in \matN$ l'uguaglianza
$$\Lambda(m\theta) = m \sum_{k=0}^{m-1} \Lambda\left(\theta + \frac{k\pi}m\right).$$
\end{prop}
\begin{proof}
Proviamo a dimostrare l'uguaglianza per $m=2$:
\begin{align*}
\frac{\Lambda(2\theta)}2 & = -\frac 12\int_0^{2\theta} \log |2\sin t|dt = - \int_0^\theta \log |2\sin 2t| dt \\
 & = - \int_0^\theta \log |2\sin t| dt - \int_0^\theta \log \left|2\sin \left(t+\frac \pi 2 \right) \right| dt \\
 & = \Lambda(\theta) - \int_{\frac \pi 2}^{\frac \pi 2 + \theta} \log |2 \sin t| dt \\
  & = \Lambda(\theta) + \Lambda\left(\theta + \frac \pi 2 \right) - \Lambda \left(\frac \pi 2 \right).
\end{align*}
Ponendo $\theta = \frac \pi 2$ si ottiene $\Lambda(\pi)=0$. Poich\'e la derivata $\Lambda'$ \`e $\pi$-periodica e $\Lambda(\pi)=0$, ne segue che anche $\Lambda$ \`e $\pi$-periodica. Poich\'e $\Lambda$ \`e $\pi$-periodica e dispari, vale $\Lambda \left(\frac \pi 2 \right) = 0$. Cos\`\i\ abbiamo anche dimostrato la formula per $m=2$. 

Per dimostrare la formula per $m$ generico usiamo una generalizzazione della formula di duplicazione del seno. Usando l'uguaglianza
$$z^m - 1 = \prod_{k=0}^{m-1} \left(z-e^{-\frac {2\pi ik}m}\right)$$
si deduce facilmente la formula
$$2\sin(mt) = \prod_{k=0}^{m-1} 2\sin \left(t+\frac{k\pi}m\right)$$
e quindi
\begin{align*}
\frac{\Lambda(m\theta)}m & = -\frac 1m \int_0^{m\theta} \log | 2\sin t| dt = - \int_0^\theta \log | 2 \sin (mt)| dt  \\
 & = - \sum_{k=0}^{m-1} \int_0^\theta \log \left|2 \sin \left( t + \frac {k \pi}m \right) \right| dt \\
 & = - \sum_{k=0}^{m-1} \left( \int_0^{\theta + \frac{k\pi}m} \log |2 \sin t| dt - \int_0^{\frac {k\pi}m} \log | 2\sin t | dt \right) \\
 & = - \sum_{k=0}^{m-1} \Lambda \left(\theta + \frac{k\pi}m \right) + C(m)
 \end{align*}
dove $C(m)$ \`e una costante che non dipende da $\theta$. Integrando entrambi i membri dell'equazione si ottiene
$$\frac 1m \int_0^\pi \Lambda(m\theta) = -\sum_{k=0}^{m-1}\int_0^\pi \Lambda\left(\theta + \frac{k\pi}m \right) + C(m)\pi.$$
Poich\'e $\Lambda$ \`e dispari e $\pi$-periodica, vale per\`o
$$\int_0^\pi \Lambda (m\theta) = 0$$
per ogni intero $m$. Quindi $C(m)=0$ e la formula nell'enunciato \`e dimostrata per ogni $m$. Notiamo infine che $\Lambda''(\theta) = -\cot \theta $ \`e strettamente negativa in $(0,\frac \pi 2)$ e strettamente positiva in $(\frac \pi 2, \pi)$, quindi $\Lambda$ \`e strettamente positiva in $(0, \frac \pi 2)$ e strettamente negativa in $(\frac \pi 2, \pi)$.
\end{proof}

Ricordiamo che un tetraedro ideale \`e determinato a meno di isometria dalla terna di numeri complessi
$$\left\{z, \frac{z-1}z, \frac 1{1-z} \right\}$$
i cui argomenti $\alpha, \beta, \gamma$ sono gli angoli diedrali come in Fig.~\ref{Loba:fig}; vale la relazione $\alpha+\beta+\gamma = \pi$. Quindi un tetraedro ideale \`e determinato a meno di isometria dalla terna di angoli $\{\alpha,\beta,\gamma\}$ con somma $\pi$. La terna che corrisponde al tetraedro ideale regolare \`e quella in cui gli angoli sono uguali, e cio\`e $\left\{\frac \pi 3, \frac \pi 3, \frac \pi 3\right\}$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10 cm] {Loba.pdf} 
\nota{Gli angoli diedrali $\alpha, \beta, \gamma$ di un tetraedro ideale. Spigoli opposti hanno angoli diedrali uguali, e inoltre $\alpha+\beta+\gamma = \pi$.}
\label{Loba:fig}
\end{center}
\end{figure}

\begin{teo} Sia $\Delta$ un tetraedro ideale con angoli diedrali $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$. Vale
$$\Vol(\Delta) = \Lambda(\alpha) + \Lambda(\beta) + \Lambda(\gamma).$$
\end{teo}
\begin{proof}
Rappresentiamo $\Delta$ nel modello del semispazio con un vertice $v_0$ all'infinito e gli altri tre $v_1,v_2,v_3$ in $\matC$. Sia $C$ la circonferenza che contiene i tre vertici $v_1$, $v_2$ e $v_3$. A meno di trasformazioni in $\PSLC$ possiamo supporre che $C$ abbia centro l'origine e raggio unitario. Il triangolo $T\subset\matC$ con vertici $v_1$, $v_2$ e $v_3$ ha angoli interni $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$. Supponiamo inizialmente che $0\in T$, cio\`e che $\alpha, \beta, \gamma \leqslant \frac \pi 2$. 

Decomponiamo $T$ in sei triangoli rettangoli come in Fig.~\ref{Loba:fig}, a coppie isometrici. Il tetraedro $\Delta$ si decompone in modo corrispondente in sei tetraedri, a coppie isometrici, ciascuno posizionato sopra ad uno dei sei triangoli nel semispazio. Mostriamo che il tetraedro $\Delta_\alpha$ corrispondente al triangolo colorato in giallo in Fig.~\ref{Loba:fig} ha volume $\frac{\Lambda(\alpha)}2$: sommando quindi i contributi dei sei tetraedri si ottiene il teorema.

Il tetraedro corrispondente al triangolo colorato \`e intersezione di quattro semispazi: tre semispazi verticali determinati dagli iperpiani $y=0$, $x=\cos\alpha$ e $y=x\tan\alpha$ ed il semispazio bordato dall'iperpiano iperbolico con bordo $C$, cio\`e la semisfera $z^2 = x^2+y^2$. Quindi

\begin{align*}
\Vol(\Delta_\alpha) & = \int_0^{\cos\alpha} dx \int_0^{x\tan \alpha} dy \int_{\sqrt{1-x^2-y^2}}^\infty \frac 1{z^3} dz \\
& = \int_0^{\cos\alpha} dx \int_0^{x\tan \alpha} dy \left[- \frac 1{2z^2} \right]_{\sqrt{1-x^2-y^2}}^\infty \\
& = \frac 12 \int_0^{\cos \alpha}dx \int_0^{x\tan\alpha}\frac 1{1-x^2-y^2}dy. 
\end{align*}
Per risolvere questo integrale usiamo la relazione
$$\frac 1{1-x^2-y^2} = \frac 1{2\sqrt{1-x^2}} \left(\frac 1{\sqrt{1-x^2}-y} + \frac 1{\sqrt{1-x^2}+y}\right)$$
e quindi
\begin{align*}
\Vol(\Delta_\alpha) & = \frac 14\int_0^{\cos\alpha} \!\!\!\!\!\! \frac {dx}{\sqrt{1-x^2}} 
\left(\left[-\log(\sqrt{1-x^2}-y)\right]_0^{x\tan \alpha} \!\!\!\!\! + \left[\log(\sqrt{1-x^2}+y)\right]_0^{x\tan\alpha}\right) \\
 & = \frac 14 \int_0^{\cos\alpha} \!\!\!\!\! \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}
 \left(-\log(\sqrt{1-x^2}-x\tan\alpha)+\log(\sqrt{1-x^2}+x\tan\alpha)\right).
 \end{align*}
Cambiando $x=\cos t$ e quindi $dx = -\sin t \, dt$ otteniamo 
\begin{align*} 
\Vol(\Delta_\alpha)  & = \frac 14 \int_{\frac\pi 2}^\alpha \frac{-\sin t}{\sin t} 
\left(-\log \frac{\sin t\cos\alpha - \cos t\sin \alpha}{\sin t \cos\alpha + \cos t \sin \alpha} \right) dt \\
 & = - \frac 14 \int_{\frac \pi 2}^\alpha \log \frac{\sin(t+\alpha)}{\sin(t-\alpha)}dt
 = - \frac 14 \int_{\frac \pi 2}^\alpha \log \frac{|2\sin(t+\alpha)|}{|2\sin(t-\alpha)|}dt \\
 & = \frac 14 \int_{2\alpha}^{\frac \pi 2+\alpha} \log | 2\sin t|dt - \frac 14 \int_0^{\frac \pi 2-\alpha} \log |2\sin t|dt \\
& = \frac 14\left(-\Lambda\left(\frac \pi 2 + \alpha \right) + \Lambda(2\alpha) + \Lambda\left(\frac \pi 2 - \alpha\right) \right) \\
& = \frac 14 \left(-\Lambda \left(\frac \pi 2 + \alpha \right) +2 \Lambda(\alpha) +2\Lambda\left(\frac \pi 2 + \alpha\right) - \Lambda\left(\frac \pi 2 + \alpha\right) \right) = \frac 12 \Lambda(\alpha)
\end{align*}
usando la Proposizione \ref{Loba:prop} nel penultimo passaggio.

Se $0\not \in T$ il triangolo $T$ pu\`o comunque essere decomposto in triangoli rettangoli, alcuni dei quali contribuiscono negativamente al volume e si ottiene la stessa formula.
\end{proof}
Otteniamo come corollario il Teorema \ref{max:teo} in dimensione $n=3$.
\begin{cor}
Un tetraedro ideale ha volume $v_3$ se e solo se \`e ideale e regolare.
\end{cor}
\begin{proof}
Consideriamo il triangolo $T = \{0\leqslant \alpha, \beta, \alpha+\beta \leqslant \pi\}$ e la funzione continua $f\colon T \to \matR$ seguente:
$$f\colon (\alpha, \beta) \longmapsto \Lambda(\alpha) + \Lambda(\beta) + \Lambda(\pi-\alpha-\beta).$$
Su $\partial T$ la funzione $f$ \`e nulla, mentre nei punti interni $f(\alpha,\beta)$ \`e strettamente positiva perch\'e coincide con il volume del tetraedro ideale con angoli diedrali $\alpha, \beta, \gamma = \pi-\alpha-\beta$. Quindi $f$ ha almeno un punto di massimo $(\alpha,\beta)$ all'interno di $T$. Inoltre $f$ \`e differenziabile all'interno di $T$, quindi sul punto di massimo deve annullarsi il gradiente:
$$
\nabla f = \begin{pmatrix}
\Lambda'(\alpha) - \Lambda'(\pi - \alpha-\beta) \\ \Lambda'(\beta) - \Lambda'(\pi-\alpha-\beta) 
\end{pmatrix}
 =
\begin{pmatrix}
-\log |2\sin \alpha| + \log |2\sin (\pi-\alpha-\beta)| \\ 
-\log |2\sin \beta| + \log |2\sin (\pi-\alpha-\beta) \big)
\end{pmatrix}
$$
e questo accade se e solo se $\sin\alpha = \sin (\pi-\alpha-\beta) = \sin \beta$, cio\`e se e solo se il tetraedro ha tutti gli angoli diedrali uguali a $\frac \pi 3$, cio\`e se e solo se \`e regolare.
\end{proof}

\subsection{Volume simpliciale}
Gromov ha introdotto negli anni 70 una misura di ``volume'' di una variet\`a chiusa $M$ che fa uso soltanto dell'omologia di $M$, e non fa uso di eventuali strutture riemanniane o perfino differenziabili su $M$. Vedremo poi che sorprendentemente questa nozione di volume coincide (a meno di un fattore) con quella riemanniana quando $M$ \`e iperbolica.

Sia $X$ uno spazio topologico e $A$ un anello. Ricordiamo che un \emph{$k$-simplesso singolare} \`e una mappa $\alpha\colon \Delta_k \to X$ continua dal simplesso standard $k$-dimensionale $\Delta_k$ in $X$. Una \emph{$k$-catena} \`e una combinazione lineare astratta 
$$\lambda_1\alpha_1+\ldots +\lambda_h\alpha_h$$
di $k$-simplessi singolari $\alpha_1,\ldots,\alpha_h$ a coefficienti $\lambda_1,\ldots,\lambda_h \in A$. L'insieme $C_k(X,A)$ delle $k$-catene \`e un $A$-modulo. \`E definita inoltre una mappa di bordo $\partial_k\colon C_k(X,A) \to C_{k-1}(X,A)$ lineare tale che $\partial_{k-1}\circ \partial_k=0$. I \emph{cicli} e i \emph{bordi} sono definiti rispettivamente come i sottomoduli 
$$Z_k(X,A) = \ker \partial_k, \quad  B_k(X,A) = \img \partial_{k+1}.$$
I bordi sono un sottomodulo dei cicli e si definisce infine il $k$-esimo \emph{gruppo di omologia} come il quoziente
$$H_k(X,A) = Z_k(X,A)/_{B_k(X,A)}.$$
Consideriamo ora il caso $A=\matR$. Possiamo definire la \emph{norma} di un ciclo $\alpha = \lambda_1\alpha_1+\ldots +\lambda_h\alpha_h$ nel modo seguente:
$$|\alpha| = |\lambda_1|+\ldots +|\lambda_h|.$$

\begin{defn} La \emph{norma} di una classe $a \in H_k(X,\matR)$ \`e il limite inferiore delle norme dei suoi rappresentanti: 
$$|a| = \inf \big\{|\alpha| \ \big|\ \alpha \in Z_k(X,\matR), [\alpha] = a \big\}.$$
\end{defn}

Ricordiamo che una \emph{seminorma} su uno spazio vettoriale reale $V$ \`e una mappa $|\cdot|\colon V \to \matR_{\geqslant 0}$ tale che
\begin{itemize}
\item $|\lambda v| = |\lambda||v|$ per ogni scalare $\lambda\in \matR$ e vettore $v\in V$,
\item $|v+w| \leqslant |v|+|w|$ per ogni coppia di vettori $v,w \in V$.
\end{itemize}
Una \emph{norma} \`e generalmente definita come una seminorma in cui l'unico vettore $v$ con $|v|=0$ \`e il vettore nullo. Il fatto seguente si dimostra immediatamente.

\begin{prop} La norma $|\cdot |$ appena definita induce una seminorma sullo spazio vettoriale $H_k(X,\matR)$.
\end{prop}

Sia adesso $M$ una variet\`a chiusa connessa orientata. Sappiamo in questo caso che $H_n(M,\matZ)\isom \matZ$ e l'orientazione di $M$ determina uno dei due generatori di $H_n(M,\matZ)$; questo generatore \`e detto \emph{classe fondamentale} ed \`e indicato con $[M]$. Inoltre $H_n(M,\matR)\isom \matR$ ed esiste una naturale inclusione (dovuta ad esempio al teorema dei coefficienti universali) 
$$\matZ \isom H_n(M,\matZ) \hookrightarrow H_n(M,\matR) \isom \matR$$
quindi la classe fondamentale $[M]$ \`e anche un elemento di $H_n(M,\matR)$ ed ha quindi una determinata norma. 
\begin{defn} Il \emph{volume simpliciale} $\|M\|\in\matR_{\geqslant 0}$ di una variet\`a chiusa orientata $M$ \`e la norma della sua classe fondamentale:
$$\|M\| = |[M]|$$
\end{defn}
Poich\'e $|[M]| = |-[M]|$ il volume simpliciale in realt\`a non dipende dall'orientazione di $M$. 
La definizione di $\|M\|$, relativamente semplice, porta subito a risultati non banali.

Ricordiamo che una mappa continua $f\colon X\to Y$ fra spazi topologici induce un omomorfismo $f_*\colon H_k(X,A)\to H_k(Y,A)$ fra i $k$-esimi gruppi di omologia. Una mappa continua $f\colon M \to N$ fra variet\`a chiuse e orientate induce quindi un omomorfismo $f_*\colon H_n(M,\matZ) \to H_n(N,\matZ)$ che manda necessariamente la classe fondamentale $[M]$ in un multiplo della classe fondamentale $[N]$. Il \emph{grado} di $f$ \`e definito proprio come questo multiplo, cio\`e come l'unico intero $\deg f$ per cui
$$f_*([M]) = \deg f \cdot [N].$$

\begin{prop} \label{grado:prop}
Sia $f\colon M\to N$ una mappa continua fra variet\`a chiuse orientate. Vale la disuguaglianza
$$\|M\| \geqslant |\deg f| \cdot \|N\|.$$
\end{prop}
\begin{proof}
Ogni descrizione di $[M]$ come ciclo $\lambda_1\alpha_1+\ldots \lambda_h\alpha_h$ induce una descrizione di $f_*([M]) = \deg f[M]$ come ciclo $\lambda_1f\circ\alpha_1+\ldots \lambda_hf\circ\alpha_h$, avente la stessa norma. 
\end{proof}

\begin{cor}
Se $M$ e $N$ sono due variet\`a chiuse orientabili omotopicamente equivalenti della stessa dimensione allora $\|M\|=\|N\|$.
\end{cor}
\begin{proof}
Una equivalenza omotopica \`e il dato di due mappe $f\colon M\to N$ e $g\colon N \to M$ le cui composizioni siano entrambe omotope all'identit\`a. In particolare sia $f$ che $g$ hanno grado $\pm 1$.
\end{proof}

\begin{cor}
Se $M$ ammette una mappa continua $f\colon M \to M$ con grado $\geqslant 2$ allora $\|M\| = 0$.
\end{cor}
\begin{cor}
Una sfera $S^n$ ha norma zero. Pi\`u in generale vale $\|M\times S^n\|=0$ per ogni $M$ e ogni $n\geqslant 1$.
\end{cor}
\begin{proof}
Una sfera $S^n$ ammette mappe in s\'e di grado arbitrariamente alto, e queste mappe si estendono banalmente a $M\times S^n$.
\end{proof}
Fra le superfici orientabili, la sfera $S^2$ ed il toro $S^1\times S^1$ hanno quindi entrambe volume simpliciale nullo. Vedremo successivamente che tutte le altre superfici chiuse orientabili hanno per\`o volume simpliciale positivo. Nel caso in cui la mappa continua sia un rivestimento, la disuguaglianza della Proposizione
\ref{grado:prop} diventa un'uguaglianza.

\begin{prop}
Se $f\colon M \to N$ \`e un rivestimento di grado $d$ allora
$$\|M\| = d \cdot \|N \|.$$
\end{prop}
\begin{proof}
Innanzitutto ricordiamo che il grado $d$ di un rivestimento $f$ coincide con il grado di $f$ come mappa definito sopra.
Sappiamo gi\`a che $\|M\|\geqslant d\cdot \|N\|$ perch\'e un ciclo in $M$ pu\`o essere trasportato in $N$
tramite $f$. Nei rivestimenti i cicli per\`o anche essere riportati indietro tramite $f$: sia $\alpha = \lambda_1\alpha_1+\ldots +\lambda_h\alpha_h$ un ciclo in $N$ che rappresenta $[N]$; ogni $\alpha_i$ \`e una mappa $\Delta_n\to N$. Poich\'e $\Delta_n$ \`e semplicemente connesso, la mappa $\alpha_i$ si solleva a $d$ mappe distinte $\alpha_i^1,\ldots, \alpha_i^d\colon \Delta_n\to N$ tali che $\alpha_i = f\circ\alpha_i^j$. Si vede facilmente che $\tilde\alpha = \sum_{ij} \lambda_i\alpha_i^j$ \`e un ciclo in $M$ e che $f_*(\tilde \alpha) = d\alpha$. Quindi $\|M\|\leqslant d\cdot \|N\|$.
\end{proof}

\subsection{Misure di Haar}
Introduciamo un importante nozione legata ai gruppi di Lie che ci sar\`a utile in seguito. Ricordiamo che una \emph{$\sigma$-algebra} $\mathcal F$ su un insieme $X$ \`e una collezione di sottoinsiemi di $X$ (che include $X$ stesso) chiusa rispetto all'unione numerabile e al passaggio al complementare; una \emph{misura} su $\mathcal F$ \`e quindi una funzione $\mu\colon \mathcal F \to [0,+\infty]$ che sia additiva su qualsiasi collezione numerabile di sottoinsiemi disgiunti. L'\emph{algebra di Borel} di uno spazio topologico $X$ \`e la pi\`u piccola $\sigma$-algebra che contiene gli aperti di $X$, ed una \emph{misura boreliana} su $X$ \`e una misura definita sull'algebra di Borel di $X$.

\begin{defn}
Sia $G$ un gruppo di Lie. Una \emph{misura di Haar invariante a sinistra} su $G$ \`e una misura boreliana $\mu$ su $G$ tale che
\begin{itemize}
\item $\mu(A) =\mu (gA)$ per ogni boreliano $A\subset G$ e per ogni $g\in G$,
\item $\mu(A)>0$ per ogni aperto $A$ non vuoto,
\item $\mu(A)<+\infty$ per ogni compatto $A$.
\end{itemize}
\end{defn}

\begin{teo} Un gruppo di Lie $G$ ha una misura di Haar invariante a sinistra e questa \`e unica a meno di riscalamento.
\end{teo}

Analogamente si definisce una misura di Haar invariante a destra ed anche questa \`e unica a meno di riscalamento. Non \`e detto per\`o che la misura invariante a destra sia anche invariante a sinistra: se accade questo fenomeno il gruppo di Lie $G$ \`e detto \emph{unimodulare}.

Sia $\mu$ una misura invariante a destra e $g\in G$ un elemento. \`E facile verificare che anche la misura $\mu^g(A) = \mu(g^{-1}A)$ \`e invariante a destra; per l'unicit\`a a meno di riscalamento deve esistere un numero reale positivo $\lambda_g$ tale che $\mu^g = \lambda_g\mu$. La mappa
$g \mapsto \lambda_g$ \`e un omomorfismo continuo da $G$ nel gruppo moltiplicativo $\matR_{>0}$, detta \emph{funzione modulare}. Il gruppo $G$ \`e quindi unimodulare se e solo se la funzione modulare \`e banale.

Ricordiamo che un gruppo $G$ non banale \`e \emph{semplice} se non ha sottogruppi normali oltre a $G$ e al sottogruppo banale. Nella teoria dei gruppi di Lie si aggiungono generalmente a questa definizione delle condizioni topologiche di connessione e algebriche di non-abelianit\`a:
\begin{defn} Un gruppo di Lie $G$ \`e \emph{semplice} se \`e connesso, non abeliano e non possiede sottogruppi normali connessi oltre a $G$ e al sottogruppo banale.
\end{defn}

\begin{prop}
Il gruppo di Lie $\Isomet^+(\matH^n)$ \`e semplice.
\end{prop}
\appunto{Mettere dimostrazione.}

\begin{prop}
I gruppi di Lie compatti, abeliani, discreti o semplici sono unimodulari.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $\lambda\colon G \to \matR_{>0}$ la funzione modulare di $G$. Se $G$ \`e compatto l'immagine di $G$ \`e un sottogruppo compatto di $\matR_{>0}$, e quindi \`e il sottogruppo banale $\{1\}$. Se $G$ \`e semplice, il sottogruppo normale $\ker \lambda$ \`e banale o \`e tutto $G$. Nel primo caso $G\isom\matR_{>0}$, che \`e escluso perch\'e abeliano, mentre nel secondo caso $\lambda$ \`e banale. Se $G$ \`e abeliano \`e ovvio che una misura invariante a sinistra lo sia anche a destra. Se $G$ \`e discreto ogni singoletto ha necessariamente la stessa misura, che \`e quindi invariante sia a sinistra che a destra.
\end{proof}
\begin{cor} I gruppi di isometrie $\Isomet (S^n)$ e $\Isomet (\matH^n)$ sono unimodulari.
\end{cor}
\begin{proof}
Il gruppo $\Isomet(S^n)$ \`e compatto. Il gruppo $\Isomet(\matH^n)$ contiene un sottogruppo semplice di indice due, quindi la funzione unimodulare ha immagine finita, quindi banale.
\end{proof}

\begin{example}
Il gruppo ${\rm Aff}(\matR)=\{x\mapsto ax+b\ |\ a\in\matR^*, b\in\matR\}$ delle trasformazioni affini di $\matR$ non \`e unimodulare.
\end{example}

\begin{oss} \label{Haar:oss}
Una misura di Haar per $\Iso(\matH^n)$ pu\`o essere costruita nel modo seguente. Sia $x\in \matH^n$ un punto fissato qualsiasi. Definiamo la misura di un boreliano $A\subset \Iso(\matH^n)$ come la misura dell'insieme $A(x) = \cup_{f\in A} f(x)$. Questa misura \`e invariante a sinistra, ed \`e quindi anche invariante a destra perch\'e $\Iso(\matH^n)$ \`e unimodulare: in particolare, non dipende dalla scelta del punto $x$.
\end{oss}

\subsection{Volume simpliciale e volume iperbolico}
Nelle prossime pagine dimostreremo il teorema seguente. 
\begin{teo} \label{Gromov:teo}
Sia $M$ una variet\`a iperbolica chiusa. Vale l'uguaglianza
$$\Vol(M) = v_n\|M\|.$$
\end{teo}
Il teorema \`e utile innanzitutto perch\'e ci fornisce i primi esempi di variet\`a con volume simpliciale strettamente positivo. Inoltre il teorema implica che il volume di una variet\`a iperbolica $M$ \`e un \emph{invariante topologico}, si tratta cio\`e di un numero che non dipende dalla particolare metrica iperbolica scelta per $M$. Se $M$ \`e una superficie questo fatto non sorprende, perch\'e per il Teorema di Gauss-Bonnet il volume di $M$ dipende effettivamente soltanto dalla caratteristica di Eulero $\chi(M)$ di $M$. Per le variet\`a iperboliche di dimensione $n\geqslant 3$, questo risultato \`e un primo passo verso il pi\`u forte Teorema di rigidit\`a di Mostow, che sostiene che $M$ ha al pi\`u un'unica metrica iperbolica (che dimostreremo nella prossima sezione).

Per quanto riguarda la dimostrazione, notiamo subito un fatto: entrambe le quantit\`a $\Vol(M)$ e $\|M\|$ vengono moltiplicate per $d$ se sostituiamo $M$ con un suo rivestimento $\widetilde M$ di grado $d$. In particolare, a meno di sostituire $M$ con il suo rivestimento orientante (di grado due), possiamo supporre da subito che $M$ sia orientata.

\subsection{Raddrizzamento dei cicli}
Per dimostrare il Teorema \ref{Gromov:teo} studiamo la classe fondamentale $[M]\in H_n(M,\matR)$ di una variet\`a iperbolica chiusa $M$. La classe $[M]$ \`e rappresentata da un ciclo
$$\alpha = \lambda_1\alpha_1+\ldots + \lambda_h\alpha_h$$
dove $\alpha_i$ \`e un simplesso singolare $\Delta_n \to M$. Mostriamo innanzitutto come il ciclo possa essere \emph{raddrizzato}. Il raddrizzamento \`e una operazione utile definita per ogni $k$-ciclo in $M$.

Definiamo innanzitutto il raddrizzamento di un $k$-simplesso singolare $\beta\colon \Delta_k \to \matH^n$ nel modo seguente: il raddrizzamento $\beta^{\rm r}\colon \Delta_k \to \matH^n$ di $\beta$ \`e la mappa che coincide con $\beta$ sui vertici di $\Delta_k$, e si estende per combinazione convessa a tutto $\Delta_k$. L'immagine di $\beta^{\rm r}$ \`e quindi il simplesso geodetico avente come vertici le immagini lungo $\beta$ dei vertici di $\Delta_k$.

Consideriamo adesso un simplesso singolare $\beta\colon\Delta_k\to M$ a valori in $M = \matH^n/_\Gamma$. Poich\'e $\Delta_k$ \`e semplicemente connesso, la mappa $\beta$ si solleva ad una mappa $\widetilde\beta\colon\Delta_k \to \matH^n$. 
\begin{defn}
Il \emph{raddrizzamento} di $\beta$ \`e il simplesso singolare $\beta^{\rm r} = p\circ (\widetilde \beta)^{\rm r}$ ottenuto sollevando, raddrizzando in $\matH^n$, e quindi riproiettando lungo $p\colon\matH^n \to M$. 
\end{defn}
La definizione \`e ben posta: il sollevamento $\widetilde \beta$ non \`e unico, ma due sollevamenti differiscono per una isometria di $\Gamma$ che commuta con l'operazione di raddrizzamento in $\matH^n$. Il raddrizzamento di $\beta$ \`e un nuovo $k$-simplesso singolare $\beta^{\rm r}\colon \Delta_k \to M$, la cui immagine \`e immagine di un simplesso geodetico in $\matH^n$. 
\appunto{figura?}

Indichiamo con $C_k(M,A)$ l'$A$-modulo delle $k$-catene in $M$. Il raddrizzamento si estende per linearit\`a ad un omomorfismo
$$r\colon C_k(M,A) \to C_k(M,A)$$
che commuta con l'operatore di bordo $\partial$. L'omomorfismo induce quindi un omomorfismo
$$r_*\colon H_k(M,A) \to H_k(M,A)$$
in omologia.
\begin{prop} La mappa $r_*$ \`e l'identit\`a.
\end{prop}
\begin{proof}
Possiamo definire una ``omotopia'' fra un simplesso singolare $\beta = \beta_0$ in $M$ ed il suo raddrizzato $\beta^{\rm r} = \beta_1$ usando la combinazione convessa: per ogni $t\in [0,1]$ definiamo il simplesso singolare $\tilde\beta^t\colon \Delta_k \to \matH^n$ come 
$$\widetilde\beta^t (x) = t \widetilde\beta(x) + (1-t) \widetilde\beta^{\rm r}(x)$$
dove $\widetilde\beta$ e $\widetilde\beta^{\rm r}$ sono due sollevamenti di $\beta$ e $\beta^{\rm r}$ aventi gli stessi vertici. Definiamo quindi in $M$ il simplesso singolare $\beta^t = p\circ \widetilde\beta^t$. Questa omotopia pu\`o essere usata per definire una omotopia di catene fra $r_*$ e l'identit\`a usando la stessa costruzione con cui si dimostra che mappe omotope fra spazi topologici inducono le stesse mappe in omologia.
\end{proof}

%Indichiamo d'ora in poi con $|\beta|$ l'immagine del simplesso singolare $\beta $. Sia $M = \matH^n/_\Gamma$ una variet\`a iperbolica chiusa orientata. Consideriamo un $n$-simplesso singolare gi\`a raddrizzato $\beta \colon \Delta_n \to M$, e sia $\widetilde \beta $ un suo sollevamento quasiasi ad $\matH^n$: quindi $|\widetilde\beta |$ \`e un simplesso geodetico in $\matH^n$. Ricordiamo che $\widetilde\beta $ \`e unico a meno di comporre con gli elementi di $\Gamma$, che preservano tutti l'orientazione di $\matH^n$. Notiamo anche che
%$$\beta  {\rm\ \mathaccent 18 e\ una\ immersione\ } \Longleftrightarrow \ \widetilde\beta  {\rm\ \mathaccent 18 e\ una\ immersione} \ \Longleftrightarrow\ |\widetilde \beta  | {\rm\ non \ \mathaccent 18 e\ degenere}.$$

%\begin{defn} Il simplesso singolare $\beta $ \`e \emph{degenere} se $|\widetilde \beta |$ \`e degenere. Se $\beta $ non \`e degenere allora \`e una immersione: il simplesso $\beta $ \`e quindi \emph{positivo} o \emph{negativo} a seconda che il differenziale $d\beta $ preservi o inverta l'orientazione.
%\end{defn}

%Lavoreremo d'ora in poi soltanto con simplessi e cicli gi\`a raddrizzati. Sia $\alpha = \lambda_1\alpha_1+\ldots + \lambda_k\alpha_k$ un ciclo raddrizzato che rappresenta un elemento $[\alpha] \in H_n(M,\matR)\Isom \matR$. Ogni $\alpha_i$ \`e quindi degenere, positivo o negativo. Indichiamo con $M_0\subset M$ l'unione delle immagini di tutti i simplessi degeneri $\alpha_i$ e del bordo $\partial\Delta_n$ tramite tutte le mappe $\alpha_j$. Il complementare $M\setminus M_0$ \`e un insieme aperto e denso, ed i suoi punti sono tutti valori regolari per le mappe $\alpha_i$. Ha quindi senso definire per ogni $x \in M\setminus M_0$ il numero reale
%$$i(x) = \sum_{i=1}^k \lambda_i\cdot  \#\alpha_i^{-1}(x) \cdot {\rm segno} (\alpha_i)$$
%in cui segno$(\alpha_i) = \pm 1$ a seconda che $\alpha_i$ sia positivo o negativo e $\#S$ indica la cardinalit\`a dell'insieme $S$.
%\begin{prop}
%Vale l'uguaglianza $[\alpha] = i(x)\in\matR$ per ogni $x\in M \setminus M_0$.
%\end{prop}
%\begin{proof}
%Usando l'omologia relativa, la mappa 
%$$H_n(M, \matZ) \to H_n(M,M\setminus \{x\}, \matZ) \Isom \matZ$$ 
%\`e un isomorfismo per ogni $x \in M$ che manda $[\alpha]$ in $i(x)$.
%\end{proof}
Possiamo dimostrare subito una disuguaglianza fra volume simpliciale e volume iperbolico.
\begin{prop} \label{Gromov:1:prop}
Sia $M$ una variet\`a iperbolica orientabile chiusa. Vale la disuguaglianza
$$\Vol(M) \leqslant v_n \|M\|.$$
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $\alpha = \lambda_1\alpha_1+\ldots+\lambda_k\alpha_k$ un ciclo che rappresenta la classe fondamentale $[M]$, che possiamo supporre gi\`a raddrizzato. Usando la coomologia di De Rham, 
possiamo integrare la forma volume $\omega$ di $M$ sulla classe fondamentale $\alpha$ e ottenere
$$\Vol (M) = \int_M \omega = \int_\alpha \omega = \lambda_1 \int_{\alpha_1}\omega + \ldots + \lambda_k \int_{\alpha_k}\omega.$$
L'integrale di $\omega$ su $\alpha_i$ \`e definito come l'integrale su $\Delta_n$ del pull-back della forma $\omega$ tramite la mappa $\alpha_i$ ed \`e pari (a meno di segno) al volume del simplesso iperbolico $\widetilde\alpha_i$ sollevato in $\matH^n$. Poich\'e questo volume \`e sempre minore di $v_n$ otteniamo
$$\Vol(M) < \big(|\lambda_1|+ \ldots +|\lambda_k|\big)v_n.$$
Poich\'e la disuguaglianza vale per tutti i cicli che rappresentano $[M]$ otteniamo $\Vol(M) \leqslant v_n \|M\|$.
\end{proof}

\subsection{Costruzione di cicli efficienti} \label{efficienti:subsection}
La dimostrazione della Proposizione \ref{Gromov:1:prop} mostra il fatto seguente: per ottenere la disuguaglianza opposta $\Vol (M) \geqslant v_n\|M\|$ dobbiamo costruire dei cicli $\alpha = \lambda_1\alpha_1+\ldots +\lambda_k\alpha_k$ ``efficienti'', in cui ciascun $\alpha_i$ abbia un volume molto vicino a quello massimale $v_n$ (che per\`o non pu\`o essere raggiunto), ed il segno di ciascun coefficiente $\lambda_i$ sia concorde con il segno di $\int_{\alpha_i}\omega$. Dedichiamo questa sezione alla costruzione di questi cicli efficienti. Innanzitutto individuiamo i simplessi con volume vicino a $v_n$.

\begin{prop} \label{volume:continuo:prop}
Sia $\Delta^i$ una successione di simplessi in $\matH^n$ i cui vertici tendono ai vertici di un simplesso ideale regolare in $\partial\matH^n$. Allora
$$\Vol(\Delta^i)\to v_n.$$
\end{prop}
\appunto{Da dimostrare}

Sia $t \in (-\infty, 0)$ un numero reale negativo fissato. Un \emph{$t$-simplesso} \`e un simplesso regolare di $\matH^n$ del tipo $\Delta(t)$ costruito nella Sezione \ref{simplessi:subsection} del Capitolo \ref{singolarita:chapter}, dotato di un ordinamento fissato $u_0,\ldots, u_n$ dei vertici. Per la Proposizione \ref{volume:continuo:prop} il volume di un $t$-simplesso tende a $v_n$ per $t\to-\infty$.

Un simplesso in $\matH^n$ con i vertici $u_0,\ldots, u_n$ ordinati ha una naturale parametrizzazione $\Delta_k \to \matH^n$ tramite combinazione convessa:
$$\sigma\colon (t_0,\ldots,t_n) \mapsto t_0u_0 + \ldots + t_nu_n$$
ed \`e quindi in modo naturale un simplesso singolare. Indichiamo con $S(t)$ l'insieme dei $t$-simplessi in $\matH^n$. Le isometrie di $\matH^n$ agiscono su $S(t)$.

\begin{prop}
L'azione di $\Iso(\matH^n)$ su $S(t)$ \`e libera e transitiva. 
\end{prop}
\begin{proof}
Un $t$-simplesso \`e costruito a partire da un baricentro $x\in\matH^n$ e da un simplesso regolare $\Delta_x\subset T_x $ centrato nell'origine, i cui vertici sono ordinati. Dati $x$, $x'$ e $\Delta_x$, $\Delta_{x'}$ esiste un unica isometria di $\matH^n$ che manda $x$ in $x'$ ed i vertici di $\Delta_x$ ordinatamente in quelli di $\Delta_{x'}$.
\end{proof}
\begin{cor}
La misura di Haar su $\Iso(\matH^n)$ definisce una misura su $S(t)$ invariante per l'azione di $\Iso(\matH^n)$.
\end{cor}
\begin{proof}
\`E sufficiente fissare un $t$-simplesso $\sigma_0$ e usare la bigezione tra $\Iso(\matH^n)$ e $S(t)$ data da $\varphi \mapsto \varphi(\sigma_0)$ per trasportare la misura di Haar su $S(t)$. Cambiando il $t$-simplesso $\sigma_0$ la bigezione cambia per moltiplicazione per un elemento di $\matH^n$, quindi la misura indotta non dipende dalla scelta di $\sigma_0$.
\end{proof}

Come $\Iso(\matH^n) = \Iso^+(\matH^n) \cup \Iso^-(\matH^n)$ \`e suddivisa fra isometrie che preservano e invertono l'orientazione, l'insieme $S(t) = S^+(t) \cup S^-(t)$ \`e suddiviso fra $t$-simplessi \emph{positivi} e \emph{negativi}, a seconda che il corrispondente simplesso singolare $\sigma\colon \Delta_n \to \matH^n$ preservi o inverta l'orientazione (equivalentemente, a seconda che l'ordine dei vertici sia compatibile con l'orientazione di $\matH^n$).

Costruiamo adesso un ciclo efficiente. Sia $x_0\in M$ un punto qualsiasi. Ricordiamo che $x_0$ induce una tassellazione di $\matH^n$ in domini di Dirichlet $D(x)$ al variare di $x \in p^{-1}(x_0)$. Il ciclo efficiente sar\`a una combinazione lineare di simplessi con vertici nell'insieme discreto $p^{-1}(x_0)$, proiettati in $M$ lungo $p$. Fissiamo una preimmagine $x \in p^{-1}(x_0)$.

Poniamo $M = \matH^n/_\Gamma$ e consideriamo l'insieme
$$\Omega = \Gamma^{n+1}/\Gamma$$
delle $(n+1)$-uple $(\gamma_0,\ldots, \gamma_n)$ viste a meno dell'azione diagonale di $\Gamma$:
$$\gamma \cdot (\gamma_0,\ldots, \gamma_n) = (\gamma \gamma_0,\ldots, \gamma \gamma_n).$$
Un elemento $\omega = (\gamma_0,\ldots, \gamma_n) \in \Omega$ determina un simplesso singolare $\widetilde\sigma_\omega$ in $\matH^n$ con vertici $\gamma_0(x), \ldots, \gamma_n(x)$ a meno di traslazioni per $\gamma\in\Gamma$.  Quindi $\omega$ determina univocamente un simplesso singolare $\sigma_\omega = p \circ \widetilde\sigma_\omega$ in $M$.

Il \emph{ciclo efficiente} $\alpha(t)$ \`e una combinazione lineare di simplessi di questo tipo:
$$\alpha(t) = \sum_{\omega \in \Omega} \lambda_\omega(t) \cdot \sigma_\omega$$
per degli opportuni coefficienti reali $\lambda_\omega(t)$ dipendenti da $t$ che adesso definiamo. Sia $\omega = (\gamma_0,\ldots, \gamma_n)$. Indichiamo con $\lambda_\omega(t)^+$ la ``quantit\`a'' di $t$-simplessi positivi i cui vertici ordinati sono contenuti rispettivamente nei domini $\gamma_0(D(x)), \ldots, \gamma_n(D(x))$. Per quantit\`a intendiamo (qui e dopo) non la cardinalit\`a, ma la \emph{misura} dell'insieme dei $t$-simplessi che soddisfano questa propriet\`a, usando la misura su $S(t)$ definita sopra. Definiamo analogamente $\lambda_\omega(t)^-$ ``contando'' i $t$-simplessi negativi e poniamo
$$\lambda_\omega(t) = \lambda_\omega(t)^+ - \lambda_\omega(t)^-.$$

\begin{prop} \label{ciclo:prop}
Il ciclo $\alpha(t)$ ha un numero finito di addendi ed \`e effettivamente un ciclo. Per $|t|$ sufficientemente grande il ciclo $\alpha(t)$ rappresenta un multiplo positivo di $[M]$ in $H_n(M,\matR)$.
\end{prop}
\begin{proof}
La combinazione lineare che definisce $\alpha(t)$ \`e la proiezione lungo $p$ di una combinazione lineare di simplessi con vertici nell'insieme discreto $p^{-1}(x_0)$. A meno dell'azione diagonale di $\Gamma$, possiamo supporre che tutti questi simplessi abbiano il loro primo vertice in $x$. 

Sia $d$ il diametro del dominio di Dirichlet $D(x)$ e $T$ il diametro di un $t$-simplesso. Se $x' \in p^{-1}(x_0)$ ha distanza maggiore di $2d+T$ da $x$, non esistono $t$-simplessi con vertici in $D(x)$ e $D(x')$. Quindi gli unici addendi con coefficiente non nullo sono quelli in cui tutti i vertici sono ad una distanza minore di $2d+T$ da $x$. Poich\'e $p^{-1}(x_0)$ \`e discreto contiene solo un numero finito di punti a distanza limitata da $x$ e quindi la somma \`e finita.

Mostriamo adesso che $\alpha(t)$ \`e un ciclo. Il bordo $\partial \alpha(t)$ \`e una combinazione lineare di $(n-1)$-simplessi con vertici nell'insieme discreto $p^{-1}(x_0)$. Consideriamo un generico $(n-1)$-simplesso con vertici in $\gamma_0(x), \ldots \gamma_{n-1}(x)$ e calcoliamo il suo coefficiente in $\partial \alpha(t)$: dobbiamo mostrare che \`e nullo. Per costruzione il coefficiente \`e il numero
$$\sum_{j=0}^n (-1)^{n-j} \sum_{\gamma\in\Gamma} \lambda_{(\gamma_0, \ldots, \gamma_{j-1}, \gamma, \gamma_j, \ldots, \gamma_{n-1})}(t).$$
Mostriamo che ciascun addendo della somma su $j$ \`e nullo. Per semplificare le notazioni scriviamo solo il caso $j=n$; l'addendo \`e per definizione pari a:
$$\sum_{\gamma\in\Gamma} \lambda_{(\gamma_0, \ldots, \gamma_{n-1}, \gamma)}(t)^+ - \sum_{\gamma\in\Gamma} \lambda_{(\gamma_0, \ldots, \gamma_{n-1}, \gamma)}(t)^-.$$
L'espressione di sinistra ``conta'' il numero $N_+$ di $t$-simplessi positivi aventi i primi $n$ vertici rispettivamente in $D(\gamma_0(x)), \ldots, D(\gamma_n(x))$, e l'ultimo vertice variabile. L'espressione di destra conta il numero $N_-$ di $t$-simplessi negativi aventi sempre i primi $n$ vertici in $D(\gamma_0(x)), \ldots, D(\gamma_n(x))$ e l'ultimo variabile.

Consideriamo l'involuzione $r\colon S(t) \to S(t)$ che specchia un simplesso rispetto alla prima faccia.  L'involuzione $r$ scambia $t$-simplessi positivi e negativi, e preserva la misura perch\'e \`e indotta da una riflessione in $\matH^n$. Quindi $N_+ = N_-$ e l'addendo $N_+-N_-$ \`e zero: abbiamo dimostrato che $\alpha(t)$ \`e un ciclo.

\appunto{Spiegare implicazione.}
Mostriamo che per $|t|$ sufficientemente grande il ciclo rappresenta un multiplo positivo di $[M]$. Sia $t$ tale che due vertici in un $t$-simplesso abbiano distanza maggiore di $2d$. Questa condizione implica il fatto seguente: se esiste un $t$-simplesso positivo con vertici in 
$D(\gamma_0(x)), \ldots, D(\gamma_n(x))$, allora il simplesso con vertici $\gamma_0(x),\ldots, \gamma_n(x)$ \`e anch'esso positivo. Ne segue quindi che per ogni $\omega\in\Omega$ almeno uno dei due valori $\lambda_\omega(t)^+$ e $\lambda_\omega(t)^-$ \`e nullo; quindi non ci sono cancellazioni e nell'espressione 
$$\alpha(t) = \sum_{\omega \in \Omega} \lambda_\omega(t) \cdot \sigma_\omega$$
esiste almeno un coefficiente $\lambda_\omega (t)$ diverso da zero. Questa semplice condizione \`e sufficiente per garantire che il ciclo $\alpha(t)$ sia un multiplo positivo di $[M]$: integrando la forma volume $\eta$ di $M$ su $\alpha(t)$ si ottiene infatti
$$\int_{\alpha(t)} \eta = \sum_{\omega\in\Omega} \lambda_\omega(t) \cdot \int_{\sigma_\omega}\eta.$$
Se $\lambda_\omega(t)> 0$, per quanto appena detto $\sigma_\omega$ \`e un simplesso positivo e quindi il prodotto $\lambda_\omega(t) \cdot\int_{\sigma_\omega} \eta$ \`e positivo. Se $\lambda_\omega(t)<0$ il simplesso $\sigma_\omega$ \`e negativo ed il prodotto \`e sempre positivo. Quindi l'integrale di $\eta$ su $\alpha(t)$ \`e positivo, e quindi $\alpha(t)$ \`e un multiplo positivo di $[M]$.
\end{proof}

Mostriamo che il ciclo $\alpha(t)$ \`e efficiente.

\begin{prop} \label{efficiente:prop}
Per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un $t_0<0$ tale che per ogni $t<t_0$ il ciclo $\alpha(t)$ \`e combinazione lineare di simplessi singolari $\sigma_\omega$ tutti di volume maggiore di $v_n-\varepsilon$. 
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $d$ il diametro del dominio di Dirichlet $D(x)$. Chiamiamo \emph{quasi $t$-simplesso} un simplesso i cui vertici sono a distanza minore di $d$ dai vertici di un $t$-simplesso. 
Notiamo che se $\lambda_\omega(t)\neq 0$ allora $\sigma_\omega$ \`e un quasi $t$-simplesso per costruzione, e quindi $\alpha(t)$ \`e combinazione lineare di quasi $t$-simplessi.

Mostriamo quindi che per ogni $\varepsilon$ esiste $t_0$ tale che per ogni $t<t_0$ ogni quasi $t$-simplesso ha volume maggiore di $v_n-\varepsilon$. Ragioniamo per assurdo: sia $\Delta^t$ una successione di quasi $t$-simplessi tutti di volume minore di $v_n-\varepsilon$ con $t\to-\infty$. Ciascun $\Delta^t$ ha i vertici $d$-vicini ad un $t$-simplesso $\Delta_*^t$. Spostiamo con una isometria ciascuna coppia $\Delta^t, \Delta^t_*$ in modo che i $t$-simplessi $\Delta_*^t$ abbiano tutti lo stesso baricentro. A questo punto i vertici di $\Delta^t$ tendono (come quelli di $\Delta^t_*$) ai vertici di un simplesso ideale regolare, e otteniamo un assurdo per la Proposizione \ref{volume:continuo:prop}.
\end{proof}


\subsection{Conclusione della dimostrazione e conseguenze}

Possiamo finalmente concludere la dimostrazione che $\Vol(M) = v_n\|M\|$ completando la disuguaglianza mancante.

\begin{prop}
Sia $M$ una variet\`a iperbolica orientabile chiusa. Vale la disuguaglianza
$$\Vol (M) \geqslant v_n\|M\|.$$
\end{prop}
\begin{proof}
Sappiamo che per $|t|$ sufficientemente grande il ciclo efficiente $\alpha(t)$ rappresenta un elemento positivo in $H_n(M,\matR) \Isom \matR$, quindi $[M] = k(t)\alpha(t)$ per qualche $k(t)>0$. Sia $\eta$ la forma volume su $M$ e scriviamo
$$\Vol(M) = \int_{[M]} \eta = k(t) \int_{\alpha(t)} \eta = k(t) \sum_{\omega\in\Omega} \lambda_\omega(t) \cdot \int_{\sigma_\omega} \eta.$$
Notiamo che i segni di $\lambda_\omega(t)$ e $\int_{\sigma_\omega} \eta$ sono sempre concordi. Per la Proposizione \ref{efficiente:prop}, per ogni $\varepsilon>0$ esiste $t_0<0$ tale che per ogni $t<t_0$ vale la disuguaglianza:
$$\Vol(M) \geqslant k(t) \sum_{\omega\in\Omega} |\lambda_\omega(t)|(v_n-\varepsilon).$$
Quindi
$$\Vol(M)\geqslant \|M\|(v_n-\varepsilon)$$
per ogni $\varepsilon >0$, da cui la tesi.
\end{proof}

Abbiamo finalmente dimostrato che $\Vol(M) = v_n \|M\|$ per ogni variet\`a iperbolica chiusa $M$. Possiamo subito ricavare delle conseguenze non banali.

\begin{cor}
Siano $M, N$ variet\`a iperboliche chiuse della stessa dimensione. Se esiste una mappa $f\colon M\to N$ di grado $d$ allora $\Vol(M)\geqslant d \cdot \Vol(N)$.
\end{cor}
\begin{cor}
Siano $\Sigma, \Sigma'$ superfici chiuse, entrambe con caratteristica di Eulero negativa. Se esiste una mappa $f\colon \Sigma \to \Sigma'$ di grado $d$ allora $\chi(\Sigma) \leqslant d\cdot \chi(\Sigma')$.
\end{cor}
\begin{cor} \label{stesso:volume:cor}
Due variet\`a iperboliche chiuse omotopicamente equivalenti hanno lo stesso volume.
\end{cor}

\section{Teorema di rigidit\`a di Mostow}
Esponiamo in questa sezione una dimostrazione del teorema seguente:

\begin{teo}[Rigidit\`a di Mostow]
Siano $M$ e $N$ due variet\`a iperboliche chiuse connesse orientabili di dimensione $n\geqslant 3$. Ogni isomorfismo $\pi_1(M) \stackrel \sim\to \pi_1(N)$ fra i gruppi fondamentali \`e indotto da un'unica isometria $M\stackrel \sim\to N$.
\end{teo}
Per stimare la potenza di questo risultato ricordiamo le implicazioni seguenti:
%$${\rm isometria\ } \Longrightarrow \ {\rm diffeomorfismo}\  \Longrightarrow {\rm\ omeomorfismo}\  \Longrightarrow \begin{array}{c} {\rm equivalenza} \\{\rm omotopica}\end{array}
%\Longrightarrow \begin{array}{c} {\rm isom.} \\{\rm sul\ } \pi_1 \end{array} $$
$${\rm isometria} \Longrightarrow {\rm diffeomorfismo}\Longrightarrow {\rm omeomorfismo} \Longrightarrow \!\!\!\begin{array}{c} {\rm equivalenza} \\{\rm omotopica}\end{array}
\!\!\Longrightarrow \!\!\!\begin{array}{c} {\rm isomorfismo} \\{\rm sul\ } \pi_1 \end{array} $$
Ciascuna di queste implicazioni ha una inversa solo in situazioni molto particolari. Nella discussione che segue forniamo dei controesempi per ciascuna implicazione inversa.

Ovviamente non \`e vero che due variet\`a riemanniane diffeomorfe sono isometriche. Se ci restringiamo alle variet\`a a curvatura costante, questo fatto non \`e vero per le superfici iperboliche: una superficie di genere $g\geqslant 2$ ammette una infinit\`a di metriche iperboliche non equivalenti, modellizzate dallo spazio di Teichm\"uller. Il teorema di rigidit\`a di Mostow vale infatti solo per variet\`a iperboliche di dimensione $n\geqslant 3$.

In dimensione 2 e 3 due variet\`a omeomorfe sono anche diffeomorfe grazie ad un teorema di Moise. Questo fatto non \`e per\`o vero in dimensione pi\`u alta. In particolare la dimensione 4 \`e quella in cui i concetti di omeomorfismo e diffeomorfismo sono pi\`u distanti: esistono molte 4-variet\`a chiuse che ammettono una infinit\`a di strutture diffeomorfe non equivalenti, ed \`e (per quanto ne sappiamo adesso) perfino possibile che \emph{qualsiasi} 4-variet\`a chiusa ammetta infinite strutture diffeomorfe non equivalenti.

Due variet\`a omotopicamente equivalenti non sono necessariamente omeomorfe: ad esempio, gli spazi lenticolari $L(7,1)$ e $L(7,2)$ sono 3-variet\`a chiuse (entrambe ellittiche) omotopicamente equivalenti ma non omeomorfe.

Un isomorfismo fra gruppi fondamentali non induce una equivalenza omotopica: le 4-variet\`a $S^4$, $\matCP^2$ e $S^2\times S^2$ sono tutte semplicemente connesse ma non sono omotopicamente equivalenti perch\'e il loro secondo gruppo di omologia \`e isomorfo rispettivamente a $\{e\}$, $\matZ$ e $\matZ^2$.

\subsection{Variet\`a asferiche}
Introduciamo le seguente definizione importante.
\begin{defn}
Una variet\`a connessa $M$ \`e \emph{asferica} se il suo rivestimento universale \`e contrattile.
\end{defn}
Ad esempio, le variet\`a piatte e iperboliche complete hanno rivestimento universale diffeomorfo a $\matR^n$ e quindi sono asferiche. Le variet\`a ellittiche invece hanno rivestimento universale $S^n$ e quindi non sono asferiche. La curvatura gioca un ruolo importante qui: citiamo per completezza un noto risultato.
\begin{teo}[Cartan-Hadamard] Una variet\`a riemanniana completa $M$ con curvature sezionali ovunque $\leqslant 0$ ha rivestimento universale diffeomorfo a $\matR^n$ ed \`e quindi asferica.
\end{teo}
\begin{proof}[Idea della dimostrazione]
Sia $x\in M$ un punto qualsiasi. Poich\'e $M$ \`e completa, la mappa esponenziale $\exp_x\colon T_x \to M$ \`e definita su tutto lo spazio tangente $T_x$. Il fatto che le curvature sezionali siano tutte negative garantisce che $\exp_x$ sia un diffeomorfismo locale, e quindi un rivestimento. 
\end{proof}

Per le variet\`a asferiche \`e possibile invertire l'ultima freccia nelle varie implicazioni mostrate nella sezione precedente. Si tratta in realt\`a di un fatto topologico molto generale che non vale soltanto per le variet\`a. Ricordiamo a questo scopo alcune definizioni basilari di topologia algebrica.

Un \emph{complesso di celle finito} di dimensione $k$ (brevemente, un $k$-complesso) \`e uno spazio topologico ottenuto iterativamente nel modo seguente: 
\begin{itemize}
\item un complesso $X^0$ di dimensione zero \`e un numero finito di punti, 
\item un complesso $X^k$ di dimensione $k$ \`e ottenuto da un complesso $X^{k-1}$ di dimensione $k-1$ attaccando un numero finito di $k$-celle, cio\`e di copie del $k$-disco $D^k$ lungo mappe continue $\varphi\colon \partial D^k \to X^{k-1}$.
\end{itemize}
In un complesso di celle $X$ costruito iterativamente in questo modo l'$i$-esimo sottoinsieme $X^i$ \`e un sottoinsieme chiuso detto \emph{$i$-scheletro}. Un complesso di celle finito $X$ \`e localmente contrattile ed ha quindi un rivestimento universale $\widetilde X$: se $\widetilde X$ \`e contrattile il complesso $X$ \`e detto \emph{asferico}.

\begin{prop} \label{omotopia:prop}
Siano $X$ e $Y$ due complessi cellulari finiti connessi con punti base $x_0\in X^0$ e $y_0 \in Y^0$ e $g\colon \pi_1(X,x_0) \to \pi_1(Y,y_0)$ un omomorfismo. Se $Y$ \`e asferico allora esiste una mappa continua $f\colon (X,x_0)\to (Y,y_0)$ che induce $g$, cio\`e tale che $f_* = g$. La mappa $f$ \`e unica a meno di omotopia.
\end{prop}
\begin{proof}
Costruiamo la mappa $f$ iterativamente sull'$i$-esimo scheletro di $X$. Sia $A$ un albero massimale contenuto nell'1-scheletro $X^1$: l'albero $A$ contiene $X^0$ ed in particolare il punto base $x_0$. Assegniamo un'orientazione arbitraria alle 1-celle $\lambda_1,\ldots, \lambda_k$ non contenute in $A$: ciascuna $\lambda_i$ definisce un elemento di $\pi_1(X,x_0)$, che indichiamo sempre con il simbolo $\lambda_i$. Costruiamo $f$ sull'1-scheletro nel modo seguente: poniamo $f(A) = y_0$, e mandiamo la 1-cella orientata $\lambda_i$ in un qualsiasi laccio di $Y$ che rappresenta l'elemento $\varphi(\lambda_i)$.
\appunto{figura?}

Estendiamo la definizione al 2-scheletro. Una 2-cella \`e definita da una mappa $\varphi\colon \partial D^2 \to X^1$. Dobbiamo mostrare che la mappa composta $f\circ\varphi \colon \partial D^2 \to Y$ si estende ad una mappa continua sull'intera cella $D^2$: in questo modo estendiamo $f$ su ogni 2-cella, e quindi sull'intero 2-scheletro $X^2$. Notiamo che la mappa $f\circ\varphi$ si estende se e solo se \`e omotopicamente equivalente ad una mappa costante.

Dobbiamo mostrare che $f\circ\varphi$ \`e omotopicamente equivalente ad una mappa costante. Per fare ci\`o possiamo modificare $\varphi$ con una omotopia in $X^1$ e supporre che attraversi $x_0$: in questo modo $\varphi$ definisce un elemento $[\varphi]\in \pi_1(X,x_0)$. Per costruzione di $f$ vale l'uguaglianza
$$[f\circ \varphi] = g\big([\varphi]\big) \in \pi_1(Y,y_0).$$
D'altra parte $[\varphi]\in\pi_1(X,x_0)$ \`e banale perch\'e $\varphi$ \`e la mappa di attaccamento di una 2-cella. Quindi $[f\circ \varphi] $ \`e banale perch\'e $g$ \`e un omomorfismo; ne segue che anche $f\circ\varphi$ \`e omotopicamente banale e siamo a posto. 

L'estensione di $f$ al 2-scheletro di $X$ non ha fatto uso del rivestimento universale di $Y$: ne facciamo uso adesso per estendere $f$ agli scheletri superiori. Procediamo per induzione: supponiamo di aver esteso $f$ all'$i$-scheletro $X^i$ con $i\geqslant 2$, ed estendiamo $f$ ad una $(i+1)$-cella definita da una mappa di incollamento $\varphi\colon \partial D^{i+1} \to X^i$. Come sopra, per dimostrare che l'estensione \`e possibile dobbiamo verificare che la composizione $f\circ \varphi\colon \partial D^{i+1} \to Y$ si estenda a $D^{i+1}$, e questo \`e equivalente a chiedere che la mappa $f\circ\varphi$ sia omotopa ad una costante. 

Poich\'e $i\geqslant 2$, il bordo $\partial D^{i+1}$ \`e semplicemente connesso e quindi la funzione $f\circ\varphi$ si solleva ad una funzione $\widetilde{f\circ\varphi}\colon \partial D^{i+1} \to \widetilde Y$ a valori nel rivestimento universale $\widetilde Y$. Poich\'e $\widetilde Y$ \`e contrattile, ogni funzione continua a valori in $\widetilde Y$ \`e omotopa ad una funzione costante. Quindi $\widetilde {f\circ\varphi}$ \`e omotopa ad una funzione costante, e quindi lo \`e anche la composizione $f\circ\varphi = p\circ \widetilde {f\circ \varphi}$ lungo il rivestimento $p\colon \widetilde Y \to Y$.

Abbiamo costruito la mappa $f\colon (X,x_0) \to (Y,y_0)$, mostriamo adesso che tale mappa \`e unica a meno di omotopia. Come sopra, dimostriamo questo fatto per induzione sull'$i$-esimo scheletro $X^i$, iniziando da $i=1$. Siano $f,f'\colon (X^1,x_0)\to (Y,y_0)$ due mappe omotope. Poich\'e l'albero massimale $A$ \`e contrattile, a meno di cambiare entrambe $f$ e $f'$ con una omotopia possiamo supporre che $f(A) = f'(A) = y_0$. Ora $f\circ \lambda_i$ e $f'\circ\lambda_i$ sono due lacci omotopi (perch\'e $f$ e $f'$ inducono la stessa mappa $g$ sui gruppi fondamentali) per ogni $i$, e quindi $f$ e $f'$ sono omotope su $X^1$.

Dimostriamo il passo induttivo: sappiamo che $f|_{X^{i-1}}$ e $f'|_{X^{i-1}}$ sono omotope e dobbiamo mostrare che lo sono anche $f|_{X^i}$ e $f'|_{X^i}$ per $i\geqslant 2$. Innanzitutto possiamo supporre che $f|_{X^{i}}$ e $f'|_{X^{i}}$ coincidano su $X^{i-1}$: l'omotopia che trasforma $f'|_{X^{i-1}}$ in $f|_{X^{i-1}}$ pu\`o essere facilmente estesa a tutto $f'|_{X^i}$ usando un collare del bordo di $D^i$ su ogni $i$-cella.

Consideriamo ora una $i$-cella, attaccata lungo una mappa $\varphi\colon \partial D^i \to X^{i-1}$. Sappiamo che $f\circ\varphi = f'\circ\varphi$ e dobbiamo dimostrare che esiste una omotopia fra $f|_{D^i}$ e $f'|_{D^i}$ relativa al bordo $\partial D^i$. L'omotopia esiste, perch\'e le due mappe possono essere incollate e formare un'unica mappa $F\colon S^i\to Y$, e abbiamo gi\`a visto (usando $\widetilde Y$) che una mappa di questo tipo con $i\geqslant 2$ \`e sempre omotopicamente banale e quindi si estende a $F\colon D^{i+1} \to Y$, che a sua volta fornisce una omotopia fra $f|_{D^i}$ e $f'|_{D^i}$. Abbiamo mostrato il passo induttivo e concluso la dimostrazione.
\end{proof}

\begin{cor}
Siano $M$ e $N$ variet\`a differenziabili chiuse, con $N$ asferica. Ogni omomorfismo $g\colon \pi_1(M) \to \pi_1(N)$ fra gruppi fondamentali \`e realizzato da una mappa continua $f\colon M\to N$.
\end{cor}
\begin{proof}
Per un risultato standard di topologia differenziale (dimostrato generalmente usando la teoria di Morse), una variet\`a differenziabile chiusa \`e realizzabile come un complesso finito, quindi si applica il risultato precedente.
\end{proof}

\begin{cor}
Siano $M$ e $N$ variet\`a differenziabili chiuse asferiche. Ogni isomorfismo $g\colon \pi_1(M) \to (N)$ \`e indotto da una equivalenza omotopica $f\colon M \to N$, unica a meno di omotopia.
\end{cor}
\begin{proof}
Gli omomorfismi $g$ e $g^{-1}$ sono indotti da due mappe continue $f\colon M \to N$ e $h\colon N \to M$, uniche a meno di omotopia. La mappa $h\circ f\colon M \to M$ induce l'identit\`a su $\pi_1(M)$ e quindi \`e omotopa all'identit\`a per la Proposizione \ref{omotopia:prop}, e lo stesso vale per $f\circ h$: abbiamo quindi un'equivalenza omotopica.
\end{proof}
\begin{cor}
Due variet\`a chiuse orientabili asferiche di dimensioni diverse non possono avere gruppi fondamentali isomorfi
\end{cor}
\begin{proof}
Due variet\`a asferiche con gruppi fondamentali isomorfi sono omotopicamente equivalenti, quindi hanno omologie isomorfe e quindi la stessa dimensione (pari al massimo $n$ per cui l'$n$-esimo gruppo di omologia $H_n$ \`e non banale per le variet\`a orientabili).
\end{proof}

Abbiamo fatto il primo passo nella dimostrazione del Teorema di Mostow: sappiamo che ogni isomorfismo fra gruppi fondamentali di variet\`a iperboliche chiuse \`e indotto da una equivalenza omotopica. Ci resta il passo pi\`u difficile: mostrare che ogni equivalenza omotopica \`e indotta da un'unica isometria.

\subsection{Quasi e pseudo-isometrie}
Sia $p\colon \widetilde X \to X$ un rivestimento universale di spazi topologici. Ricordiamo che la scelta di un punto base $\widetilde x_0\in \widetilde X$ induce un isomorfismo fra il gruppo fondamentale $\pi_1(X,x_0)$ ed il gruppo $\Aut(p)$ degli automorfismi del rivestimento, dove $x_0 = p(\widetilde x_0)$. Ricordiamo il seguente fatto di topologia.

\begin{prop} \label{universali:prop}
Sia $f\colon X \to Y$ una mappa continua fra spazi topologici connessi per archi, entrambi dotati di rivestimenti universali $\widetilde X$ e $\widetilde Y$. Sia $\widetilde x_0\in \widetilde X$ un punto base. Esiste un sollevamento $\widetilde f\colon \widetilde X \to \widetilde Y$ che faccia commutare il diagramma
$$
\xymatrix{ 
\widetilde X\ar@{.>}[r]^{\widetilde f} \ar[d]_p & \widetilde Y \ar[d]^p \\
X\ar[r]_f & Y
}
$$
tale che $\widetilde f \circ \gamma = f_*(\gamma) \circ \widetilde f$ per qualsiasi elemento $\gamma \in \pi_1(X,x_0)\Isom \Aut(p)$.
\end{prop}

Sia $f\colon M \to N$ una equivalenza omotopica fra due variet\`a iperboliche chiuse: nelle prossime sezioni dimostreremo che $f$ \`e omotopa ad una isometria. Il primo passo consiste nel sostituire $f$ con una funzione liscia: \`e un fatto generale in topologia differenziale che qualsiasi mappa continua fra due variet\`a differenziabili sia omotopa ad una funzione liscia.

L'omotopia liscia $f$ si solleva ad una mappa $\widetilde f\colon \matH^n \to \matH^n$ fra i rivestimenti universali di $M$ e $N$, che identifichiamo con $\matH^n$. Se $\widetilde f$ fosse una isometria potremmo concludere facilmente: purtroppo non \`e certo questo il caso, ma possiamo comunque dimostrare che $\widetilde f$ non si discosta molto da una isometria. Fissiamo questo concetto con una definizione.

\begin{defn} Una mappa $F\colon X \to Y$ fra spazi metrici \`e una \emph{quasi-isometria} se esistono due costanti $C_1>0$, $C_2\geqslant 0$ tali che
$$\frac 1 {C_1} d(x_1,x_2) - C_2 \leqslant d(F(x_1), F(x_2)) \leqslant C_1d(x_1,x_2) + C_2$$
per ogni $x_1,x_2 \in X$ e se $d(F(X),y)\leqslant C_2$ per ogni $y\in Y$.
\end{defn}
Una quasi-isometria \`e una isometria ``a meno di un errore''. Notiamo che $F$ non \`e necessariamente continua, n\'e iniettiva, n\'e suriettiva! Due spazi metrici $X, Y$ sono \emph{quasi-isometrici} se esiste una quasi-isometria $F\colon X \to Y$ (il che implica l'esistenza di una quasi-isometria $G\colon Y\to X$), e la quasi-isometria \`e una relazione di equivalenza fra spazi metrici.  Intuitivamente, studiare uno spazio metrico a meno di quasi-isometrie \`e come guardarlo da lontano, tralasciando ci\`o che accade localmente e privilegiandone le caratteristiche globali.
Nota che gli spazi metrici compatti sono tutti quasi-isometrici fra loro. Questa relazione di equivalenza fra spazi metrici \`e un ingrediente importante in \emph{teoria geometrica dei gruppi}: \`e infatti possibile associare ad un gruppo $G$ finitamente generato una metrica (tramite il suo \emph{grafo di Cayley}), che \`e determinata univocamente a meno di quasi-isometrie dalla struttura algebrica di $G$.

Vedremo che la mappa $\widetilde f$ \`e una quasi-isometria. In realt\`a $\widetilde f$ \`e anche continua e lipschitziana: useremo quindi nella dimostrazione del teorema di Mostow una nozione di ``quasi isometria'' meno naturale e pi\`u restrittiva di quella data che ci permetter\`a di semplificare alcuni passaggi (che potrebbero comunque essere dimostrati usando la nozione pi\`u naturale, ma con un po' di fatica in pi\`u). Questa \`e la nozione che useremo.

\begin{defn} Una mappa $F\colon X \to Y$ fra spazi metrici \`e una \emph{pseudo-isometria} se esistono due costanti positive $C_1, C_2>0$ tali che
$$\frac 1 {C_1} d(x_1,x_2) - C_2 \leqslant d(F(x_1), F(x_2)) \leqslant C_1d(x_1,x_2)$$
per ogni $x_1,x_2\in X$.
\end{defn}
In particolare una pseudo-isometria \`e $C_1$-lipschitziana e quindi continua. Sia $f\colon M \to N$ una funzione liscia fra variet\`a riemanniane della stessa definizione; la \emph{massima dilatazione} di $f$ in un punto $x\in M$ \`e il massimo rapporto $\frac{\|df_x(v)\|}{\|v\|}$ al variare di $v$ fra i vettori unitari di $T_x$. La massima dilatazione di $f$ \`e l'estremo superiore delle massime dilatazioni al variare di $x\in M$: se questa \`e minore di una costante $C$, allora la funzione $f$ \`e $C$-lipschitziana.

\begin{prop}
Sia $f\colon M\to N$ una omotopia liscia fra variet\`a iperboliche chiuse. Il sollevamento $\widetilde f\colon \widetilde M \to \widetilde N$ \`e una pseudo-isometria.
\end{prop}
\begin{proof}
Poich\'e $M$ \`e compatta, la funzione $f$ ha massima dilatazione $C$ finita. Poich\'e $\widetilde f$ \`e localmente come $f$, anche $\widetilde f$ ha massima dilatazione $C$ ed \`e quindi $C$-lipschitziana. Lo stesso ragionamento si applica all'inversa omotopica $g\colon N\to M$. Quindi esiste $C_1>0$ tale che
\begin{align*}
d\big(\widetilde f(x_1), \widetilde f(x_2)\big) & \leqslant C_1 \cdot d(x_1,x_2) \quad \forall x_1,x_2 \in \widetilde M, \\
d\big(\widetilde g(y_1), \widetilde g(y_2)\big) & \leqslant C_1 \cdot d(y_1,y_2) \quad \forall y_1,y_2 \in \widetilde N.
\end{align*}
Se $\widetilde f$ e $\widetilde g$ fossero l'una l'inversa dell'altra, otterremmo subito la disuguaglianza $d(\widetilde f(x_1), \widetilde f(x_2)) \geqslant \frac 1{C_1} d(x_1,x_2)$ e avremmo concluso. Il fatto che queste mappe siano solo inverse omotopiche produce un risultato simile, con un errore additivo $C_2$ in pi\`u. Vediamo i dettagli.

Scriviamo $M = \matH^n/_\Gamma$. Per la Proposizione \ref{universali:prop} abbiamo
$$\widetilde g \circ \widetilde f \circ \gamma = (g\circ f)_*(\gamma) \circ \widetilde g \circ \widetilde f = \gamma \circ \widetilde g \circ \widetilde f$$
per ogni $\gamma \in \Gamma$, in altre parole la mappa $\widetilde g \circ \widetilde f$ commuta con $\Gamma$. Sia $D$ un dominio di Dirichlet per $\Gamma$: poich\'e $D$ \`e compatto, il numero 
$$b=\max\big\{d(\widetilde g ( \widetilde f(x)),x)\ \big|\ x\in D \big\}$$
\`e finito. Poich\'e $\widetilde g\circ \widetilde f$ commuta con $\Gamma$ e i traslati di $D$ secondo $\Gamma$ coprono interamente $\matH^n$, otteniamo $d(\widetilde g(\widetilde f(x)),x)\leqslant b$ per ogni $x\in \matH^n$. Quindi 
$$d(x_1,x_2) - 2b \leqslant d\big( \widetilde g (\widetilde f(x_1)), \widetilde g (\widetilde f(x_2)) \big) \leqslant C_1 \cdot d\big(\widetilde f(x_1), \widetilde f(x_2)\big) $$
per ogni $x_1,x_2 \in \matH^n$. Quindi $\widetilde f$ \`e una pseudo-isometria con $C_2 = 2b/C_1$.
\end{proof}

\subsection{Estensione al bordo di una pseudo-isometria}
Dedichiamo questa sezione alla dimostrazione del fatto seguente.
\begin{teo} Una pseudo-isometria $F\colon \matH^n \to \matH^n$ si estende ad una funzione continua $F\colon \overline{\matH^n} \to \overline{\matH^n}$ la cui restrizione al bordo \`e una funzione iniettiva $\partial \matH^n \to \partial \matH^n$.
\end{teo}
Divideremo la dimostrazione in alcuni lemmi.
\begin{lemma}
Sia $r\subset \matH^n$ una retta e $\pi\colon \matH^n \to r$ la proiezione ortogonale su $r$. Sia $x\in\matH^n$ un punto a distanza $s>0$ da $r$ e $d$ la massima dilatazione di $\pi$ in $x$. Vale
$$d =\frac 1 {\cosh s}.$$
\end{lemma}
\begin{proof}
Rappresentiamo $\matH^n$ con il modello del semispazio, con $r$ e $x$ come in Fig.~\ref{cosh:fig}-(sinistra): la retta $r$ \`e l'asse positivo e $x$ \`e un punto qualsiasi. Sia $s$ la distanza tra $x$ e $\pi(x)$. Mostriamo che
$$\cosh s = \frac 1 {\cos \theta}.$$
Per dimostrare questa uguaglianza consideriamo $\matH^2$ come semispazio dentro $\matC$ e con $\pi(x) = i$. Consideriamo la geodetica $\gamma$ di velocit\`a unitaria mostrata in figura, parametrizzata in modo che $\gamma(0) = \pi(x)$ e $\gamma(s)=x$. Troviamo una parametrizzazione esplicita per $\gamma$.

Sappiamo che una geodetica verticale $\eta$ \`e parametrizzata come $\eta(t) = ie^t$. La trasformazione di M\"obius
$$z \mapsto \frac{z+1}{-z+1}$$
manda $0, \infty$ in $1, -1$ e quindi trasforma $\eta$ in $\gamma$. Otteniamo 
$$\gamma(t) = \frac{ie^{t}+1}{-ie^{t}+1}.$$
Quindi
$$ x = \frac{ie^{s}+1}{-ie^{s}+1}$$
da cui otteniamo
$$\cos\theta = \Im x = \Im \frac{(ie^s+1)^2}{e^{2s}+1} = 2\frac{2e^s}{e^{2s}+1} = \frac 2{e^s+e^{-s}} = \frac 1 {\cosh s}.$$

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 12 cm] {cosh.pdf} 
\nota{Il coseno iperbolico della distanza fra $x$ e $\pi(x)$ \`e l'inverso del coseno di $\theta$ (sinistra). Prendiamo la decomposizione ortogonale del tangente $T_x$ suggerita in figura (destra).}
\label{cosh:fig}
\end{center}
\end{figure}

A questo punto consideriamo il differenziale $d\pi_x\colon T_x \to T_{\pi(x)}$ ed identifichiamo entrambi gli spazi tangenti con $\matR^n$. Consideriamo la decomposizione ortogonale $T_x = U \oplus V$ suggerita in Fig.~\ref{cosh:fig}-(destra), dove $U$ \`e la retta vettoriale generata da $x$ e $V= U^\bot$. Vediamo che $V=\ker d\pi_x$ mentre il generatore $u$ di $U$ viene ruotato di un angolo $-\theta$ da $d\pi_x$. Rispetto alla metrica euclidea $\|d\pi_x(u)\|=\|u\|$, ma rispetto alla metrica iperbolica abbiamo
$$\frac{\|d\pi_x(u)\|}{\|u\|} = \frac {x_n}{\pi(x)_n} = \cos\theta = \frac 1{\cosh s}$$
dove $y_n$ indica l'ultima coordinata del vettore $y$, da cui la tesi.
\end{proof}

Indichiamo con $\overline{pq}$ il segmento che unisce due punti $p,q\in\matH^n$, e con $N_r(A)$ il luogo dei punti distanti al pi\`u $r$ dal sottoinsieme $A\subset \matH^n$.

\begin{lemma}
Sia $F\colon\matH^n\to\matH^n$ una pseudo-isometria. Esiste $R>0$ tale che 
$$F(\overline{pq}) \subset N_R\big(\overline{F(p)F(q)}\big)$$ 
per ogni $p,q\in\matH^n$. 
\end{lemma}
\begin{proof}
Fissiamo un raggio $R$ sufficientemente grande in modo da avere $\cosh R > C_1^2$. Sia $l$ una retta che contiene i punti $F(p)$ e $F(q)$. Mostriamo che la curva $F(\overline{pq})$ pu\`o uscire da $N_R(l)$, ma pu\`o farlo solo per un tempo limitato. Sia $\overline {rs} \subset \overline {pq}$ un sottosegmento massimale tale che la curva $F(\overline{rs})$ sia interamente disgiunta dalla parte interna di $N_R(l)$, come la curva blu in Fig.~\ref{Mostow:fig}-(sinistra).

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 12 cm] {Mostow.pdf} 
\nota{L'immagine di un segmento attraverso una pseudo-isometria $F$ non pu\`o discostarsi troppo da un segmento.}
\label{Mostow:fig}
\end{center}
\end{figure}

Mostriamo che la lunghezza $d(r,s)$ del segmento $\overline{rs}$ \`e limitata da una costante che dipende solo da $C_1$ e $C_2$. Il fatto che $F$ sia una pseudo-isometria implica che
\begin{equation}
\frac 1{C_1} d(r,s) - C_2 \leqslant d(F(r), F(s)). \label{Mostow1:eqn}
\end{equation}
Adesso stimiamo $d(F(r), F(s))$ usando la curva rossa mostrata in Fig.~\ref{Mostow:fig}-(sinistra).
Poich\'e $F$ \`e $C_1$-Lipschitz, la curva blu \`e lunga al pi\`u $C_1 d(r,s)$. La proiezione della curva blu sulla retta $l$ ha dilatazione al pi\`u $1/{\cosh R}$ per il Lemma precedente, quindi la porzione di curva rossa dentro $l$ \`e lunga al pi\`u $C_1d(r,s)/\cosh R$. Quindi 
\begin{equation}
d(F(r), F(s)) \leqslant C_1 \frac {d(r,s)}{\cosh R} + 2R. \label{Mostow2:eqn}
\end{equation}
Combinando (\ref{Mostow1:eqn}) e (\ref{Mostow2:eqn}) troviamo
$$\frac{1}{C_1}d(r,s) - C_2 \leqslant C_1\frac{d(r,s)}{\cosh R} + 2R$$
Poich\'e $\cosh R > C_1^2$ otteniamo $d(r,s) < M$ per una costante $M$ che dipende solo da $C_1$ e $C_2$. Abbiamo dimostrato che la curva $F(\overline {pq})$ esce da $N_R(l)$ solo in sottosegmenti di lunghezza $<M$. Poich\'e $F$ \`e $C_1$-Lipchitziana la curva $F(\overline{pq})$ non pu\`o allontanarsi da $N_r(l)$ pi\`u di una distanza $C_1M/2$. Quindi a meno di sostituire $R$ con $R+C_1M/2$ la curva $F(\overline{pq})$ giace tutta in $N_R(l)$.

Ci resta da mostrare che $F(\overline{pq})$ non esce dal sottoinsieme limitato $N_R(\overline{F(p)F(q)})$: la dimostrazione \`e analoga (ma pi\`u semplice) a quella gi\`a vista. Scegliamo un segmento massimale $\overline{rs}$ su cui la curva \`e fuori da $N_R(\overline{F(p)F(q)})$ come in Fig.~\ref{Mostow:fig}. Usando il percorso rosso otteniamo
$$d(F(r), F(s))\leqslant 2R$$
che combinato con la disuguaglianza (\ref{Mostow1:eqn}) implica
$$\frac 1{C_1} d(r,s) - C_2 \leqslant 2R.$$
Come prima, ne deduciamo che la curva $F(\overline{rs})$ si allontana di una distanza finita da $N_R(\overline{F(p)F(q)})$ e quindi (a meno di cambiare $R$ con un raggio pi\`u grande) abbiamo concluso.
\end{proof}

In tutti questi lemmi la costante $R$ dipende soltanto da $C_1$ e $C_2$.

\begin{lemma}
Sia $F\colon \matH^n \to \matH^n$ una pseudo-isometria. Esiste $R>0$ tale che per ogni $p\in\matH^n$ e ogni semiretta $l$ uscente da $p$ esiste un'unica semiretta $l'$ uscente da $F(p)$ tale che
$$F(l) \subset N_R(l').$$
\end{lemma}
\begin{proof}
Parametrizziamo la semiretta $l$ come geodetica $l\colon [0,+\infty) \to \matH^n$ con $f(0)=p$ e velocit\`a unitaria. Il fatto che $F$ sia una pseudo-isometria implica subito che 
$$\lim_{t\to\infty} d\big(F(p), F(l(t))\big) \to \infty.$$
Per $i$ sufficientemente grande consideriamo il segmento con estremi $F(p)$ e $F(l(i))$. Sia $v_i\in T_{F(p)}$ il vettore unitario tangente che punta verso $F(l(i))$. Mostriamo che la successione $\{v_i\}_{i\in\matN}$ \`e di Cauchy: sia $\alpha_{ij}$ l'angolo formato dai vettori $v_i$ e $v_j$, e sia $R>0$ la costante fornita dal lemma precedente. Dato $\varepsilon >0$, sia $M>0$ tale  
$d(F(p), F(l(i)) > R\varepsilon^{-1}$ per ogni $i>M$; mostriamo che $\alpha_{ij}<\varepsilon $ per ogni $i>j>M$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10 cm] {Mostow2.pdf} 
\nota{Tutto l'arco da $F(p)$ in $F(l(i))$ \`e contenuto in un $R$-intorno (disegnato in giallo) del segmento con estremi $F(p)$ e $F(l(i))$.}
\label{Mostow2:fig}
\end{center}
\end{figure}

Per il Lemma precedente il punto $F(l(j))$ \`e contenuto in un $R$-intorno del segmento $\overline{F(p)F(l(i))}$ come mostrato in Fig.~\ref{Mostow2:fig}. Il segmento rosso mostrato in figura \`e quindi pi\`u piccolo di $R$. D'altra parte il segmento $\overline{F(p)F(l(j))}$ \`e pi\`u lungo di $R\varepsilon^{-1}$: quindi $\alpha_{ij}<\varepsilon$.
\appunto{Scrivere da qualche parte Pitagora iperbolico e mettere bene le costanti qui.}

La successione di Cauchy $v_i$ nella sfera unitaria di $T_{F(p)}$ converge ad un vettore unitario $v'$. Definiamo quindi $l'$ come la semiretta uscente da $F(p)$ con tangente $v'$. \`E facile concludere che $F(l)\subset N_R(l')$ e che $l'$ \`e l'unica semiretta uscente da $F(p)$ con questa propriet\`a.
\end{proof}
Il lemma precedente associa ad ogni semiretta $l$ di $\matH^n$ un'altra semiretta $l'$. Possiamo quindi estendere la pseudo-isometria $F\colon \matH^n\to \matH^n$ al bordo $\partial\matH^n$ nel modo seguente: se $l$ punta verso un punto $x\in\partial \matH^n$, definiamo $F(x)$ come il punto $\partial \matH^n$ puntato da $l'$.

\begin{lemma}
L'estensione al bordo $F\colon \partial \matH^n \to \partial\matH^n$ \`e ben definita e iniettiva.
\end{lemma}
\begin{proof}
Siano $l_1, l_2$ due semirette distinte che puntano verso lo stesso punto $x\in\matH^n$: dobbiamo mostrare che $l_1',l_2'$ puntano verso lo stesso punto $F(x)$. Parametrizziamo tutte le semirette come geodetiche $[0,+\infty) \to \matH^n$ con velocit\`a unitaria. Esiste un $M>0$ tale che $d(l_1(t), l_2(t))<M$ per ogni $t$. Se per assurdo $l_1'$ e $l_2'$ puntassero verso punti diversi, otterremmo $d(l_1(t'), l_2(t')) \to \infty$ e quindi anche $d\big(F(l_1(t)), F(l_2(t))\big) \to +\infty$, contraddicendo il fatto che $F$ \`e una quasi-isometria.

Mostriamo analogamente che $F$ \`e iniettiva. Se $l_1$ e $l_2$ sono semirette che puntano verso punti distinti, allora $d(l_1(t), l_2(t)) \to \infty$ e quindi $d(l_1'(t), l_2'(t)) \to \infty$ perch\'e $F$ \`e una pseudo-isometria. Quindi $l_1'$ e $l_2'$ puntano verso punti distinti.
\end{proof}

I prossimi lemmi servono per dimostrare che l'estensione $F\colon \overline{\matH^n} \to \overline{\matH^n}$ \`e continua. Innanzitutto estendiamo alle rette ci\`o che abbiamo gi\`a dimostrato per le semirette.
\begin{lemma}
Sia $F\colon \matH^n \to \matH^n$ una pseudo-isometria. Esiste $R>0$ tale che per ogni retta $l$ esiste un'unica retta $l'$ tale che $F(l) \subset N_R(l')$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Parametrizziamo $l$ come $(-\infty,+\infty) \to \matH^n$. Sappiamo gi\`a (spezzando $l$ in due semirette) che $F(l(t))$ \`e una curva continua che tende a due punti distinti $x_\pm\in\partial\matH^n$ per $t\to\pm\infty$. Sappiamo anche che per ogni $t>0$ vale
$$F\big(l([-t,t])\big) \subset N_R\left(\overline{F(l(-t))F(l(t))}\right)$$
e mandando $t\to +\infty$ ne deduciamo che $F(l)\subset N_R(l')$ dove $l'$ \`e la retta con estremi $x_-$ e $x_+$.
\end{proof}

Il prossimo lemma asserisce che una pseudo-isometria non distorce troppo le relazioni fra rette e iperpiani ortogonali.

\begin{lemma}
Sia $F\colon\matH^n \to \matH^n$ una pseudo-isometria. Esiste $R>0$ tale che per ogni retta $l$ e ogni iperpiano $H$ ortogonale a $l$, la proiezione di $F(H)$ ortogonale su $l'$ ha come immagine un segmento di lunghezza minore di $R$.
\end{lemma}
\begin{proof}
La configurazione \`e descritta in Fig.~\ref{Mostow3:fig}. Assicurandosi sempre che la costante $R$ che si ottiene dipenda solo da $C_1$ e $C_2$, \`e sufficiente considerare al posto di $H$ una retta generica $s\subset H$ passante per il punto $p=l\cap H$. Per i lemmi precedenti l'immagine $F(s)$ \`e a distanza $R$-limitata dalla retta $s'$: \`e quindi sufficiente dimostrare che la proiezione di $s'$ su $l'$ abbia immagine limitata (da una costante che dipende solo da $C_1$ e $C_2$). Questa immagine \`e in generale un segmento, i cui estremi sono le immagini dei punti all'infinito di $s'$. \`E quindi sufficiente considerare l'immagine di un punto all'infinito di $s'$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 12 cm] {Mostow3.pdf} 
\nota{Siano $l$ una retta e $H$ un iperpiano ortogonali: la proiezione ortogonale di $H$ su $l$ ha come immagine ovviamente solo il punto $l\cap H$. Una pseudo-isometria distorce questa configurazione di poco: la proiezione dell'immagine $F(H)$ proiettata sulla retta $l'$ \`e un segmento limitato.}
\label{Mostow3:fig}
\end{center}
\end{figure}

Consideriamo quindi la Fig.~\ref{Mostow4:fig}, ed in particolare la proiezione $f$ di $F(s^\infty)$ su $l'$. In figura sono mostrate le rette $s_1$ e $s_2$, che hanno distanze $d=d_1 = d_2$ fissate ($\cosh d_i = \sqrt 2$) da $p$. L'immagine $F(p)$ \`e $C_1d$-vicina alle curve $F(s_i)$ che sono a loro volta $R$-vicine alle rette $s_i'$, quindi $F(p)$ \`e $(C_1d+R)$-vicina alle rette $s_i'$. Il punto $F(p)$ \`e $R$-vicino a $l'$; quindi se indichiamo con $q$ la proiezione di $F(p)$ su $l'$ otteniamo che $q$ \`e $(C_1d+2R)$-vicino ad entrambe $s_1'$ e $s_2'$. Questo fatto implica facilmente che $f$ \`e $(C_1d+2R)$-vicino al punto $q$, che non dipende da nessuna scelta: abbiamo concluso.
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width = 12 cm] {Mostow4.pdf} 
\nota{Le rette $l'$, $s_1'$ e $s_2'$ approssimano a meno di un errore additivo $R$ le immagini di $l$, $s_1$ e $s_2$. La proiezione $q$ di $F(p)$ su $l'$ \`e quindi vicina a $F(p)$, che \`e a sua volta vicino alle rette $s_i'$. Quindi la proiezione $f$ di $F(s^\infty)$ su $l'$ \`e vicina a $q$. }
\label{Mostow4:fig}
\end{center}
\end{figure}
\end{proof}

\begin{lemma}
L'estensione $F\colon \overline{\matH^n} \to \overline{\matH^n}$ \`e continua.
\end{lemma}
\begin{proof}
Consideriamo $x\in \partial \matH^n$ e la sua immagine $F(x) \in \partial \matH^n$. Sia $l$ una semiretta che punta su $x$: quindi $l'$ punta su $F(x)$. Un sistema di intorni per $F(x)$ \`e dato da tutti i semispazi ortogonali a $l'$ contenenti $F(x)$: fissiamo un tale semispazio $S$. 

Sia $R>0$ la costante fornita dal lemma precedente. Esiste un punto $p \in l$ per cui l'intera semiretta $\overline{px}$ \`e mandata tramite $F$ dentro $S$ a distanza almeno $R$ da $\partial S$. Per il lemma precedente, l'immagine di ogni iperpiano $H$ ortogonale ad un punto di $\overline{px}$ \`e quindi contenuta in $S$: quindi l'intero semispazio determinato da $\overline{px}$ \`e spedito dentro $S$ da $F$. Quindi $F$ \`e continua in ogni punto del bordo $x$ (e sappiamo gi\`a che lo \`e all'interno).
\end{proof}

Abbiamo finalmente dimostrato che ogni pseudo-isometria $F$ si estende con continuit\`a al bordo, e che la sua estensione al bordo \`e iniettiva.

\subsection{Conclusione della dimostrazione del Teorema di Mostow}
Nelle sezioni precedenti abbiamo raccolto quasi tutte le informazioni necessarie per concludere finalmente la dimostrazione del Teorema di rigidit\`a di Mostow. Mancano ancora alcuni fatti, tra cui il seguente.

\begin{lemma} \label{regolare:lemma}
Sia $f\colon M \to N$ una equivalenza omotopica liscia fra variet\`a iperboliche chiuse orientabili e $\widetilde f\colon \matH^n \to \matH^n$ un suo sollevamento. L'estensione di $\widetilde f$ su $\partial\matH^n$ manda i vertici di un simplesso ideale regolare nei vertici di un simplesso ideale regolare.
\end{lemma}
\begin{proof}
Ricordiamo innanzitutto che $\widetilde f$ \`e una pseudo-isometria e si estende quindi ad una funzione continua su tutto $\overline {\matH^n}$ che manda il bordo in s\'e. Supponiamo per assurdo che esistano dei vertici $w_0,\ldots, w_n$ di un simplesso ideale regolare (avente quindi volume massimo $v_n$) le cui immagini $\widetilde f(w_0),\ldots ,\widetilde f(w_n)$ determinano un simplesso ideale non regolare, avente quindi volume pi\`u piccolo di $v_n-2\varepsilon$ per qualche $\varepsilon >0$. Per continuit\`a esiste per ogni $i$ un intorno $U_i$ di $w_i$ in $\overline{\matH^n}$ tale che il volume del simplesso con vertici $\widetilde f(u_0), \ldots, \widetilde f(u_n)$ \`e minore di $v_n-\varepsilon$ per qualsiasi scelta dei vertici $u_i\in U_i$. 
\appunto{Motivare continuit\`a.}

Nella Sezione \ref{efficienti:subsection} abbiamo definito per ogni $t<0$ un ciclo efficiente
$$\alpha(t) = \sum_{\omega \in \Omega} \lambda_\omega(t) \cdot \sigma_\omega.$$
Ricordiamo come \`e definito $\alpha(t)$. Abbiamo $M = \matH^n/_\Gamma$ e prendiamo un punto $x_0\in M$, che induce un insieme discreto $p^{-1}(x_0)$ di punti ed una tassellazione di $\matH^n$ in domini di Dirichlet $D(x)$ al variare di $x\in p^{-1}(x_0)$. Fissiamo anche una preimmagine $x\in p^{-1}(x_0)$. Definiamo quindi $\Omega = \Gamma^{n+1}/\Gamma = \{(\gamma_0,\ldots, \gamma_n)\}$ e $\sigma_\omega$ \`e il simplesso singolare con vertici $\gamma_0(x), \ldots, \gamma_n(x)$ proiettato in $M$. Il coefficiente $\lambda_\omega(t)$ \`e la ``quantit\`a'' (con segno) di $t$-simplessi aventi vertici rispettivamente nei domini di Dirichlet $\gamma_0(D(x)), \ldots, \gamma_n(D(x))$. 

Abbiamo visto nella Proposizione \ref{efficiente:prop} che la successione di cicli $\alpha(t)$ \`e efficiente: sappiamo quindi che esiste un $t_0<0$ tale che per ogni $t<t_0$ ciascun simplesso singolare $\sigma_\omega$ ha volume maggiore di $v_n-\varepsilon$. Diciamo che $\sigma_\omega$ \`e \emph{cattivo} se il suo $i$-esimo vertice \`e contenuto in $U_i$, per ogni $i$. Mostriamo adesso che $\alpha(t)$ deve contenere una ``percentuale'' minima di simplessi cattivi.

Innanzitutto mostriamo che la norma 
$$\|\alpha(t)\| = \sum_{\omega\in\Omega} |\lambda_\omega(t)|$$
di $\alpha(t)$ \`e per $|t|$ sufficientemente grande un numero reale che non dipende da $t$. Sappiamo dalla dimostrazione della Proposizione \ref{ciclo:prop} che per $|t|$ abbastanza grande $\lambda_\omega$ \`e uguale a $\lambda_\omega^+$ oppure $-\lambda_\omega^-$ per ogni $\omega\in\Omega$. Rappresentiamo ogni $\gamma\in \Omega$ come $({\rm id},\gamma_1,\ldots,\gamma_n)$ e quindi ogni simplesso singolare $\sigma_\omega$ come il simplesso di vertici $x, \gamma_1(x), \ldots, \gamma_n(x)$ composto con la proiezione $p\colon \matH^n\to M$. Il numero $\|\alpha(t)\|$ \`e quindi semplicemente la ``quantit\`a'' di $t$-simplessi in $\matH^n$ aventi il primo vertice nel dominio $D(x)$ e gli altri vertici ovunque. Questi simplessi sono in naturale corrispondenza biunivoca con le isometrie che mandano $x$ in un punto qualsiasi di $D(x)$, la cui misura non dipende da $t$ (ed \`e pari proprio a $\Vol(D(x)) = \Vol(M)$ per l'Osservazione \ref{Haar:oss}).

Stimiamo adesso il contributo dei simplessi cattivi, cio\`e il numero reale
$$\|\beta(t)\| = \sum |\lambda_\omega (t)|$$
dove la somma \`e presa solo sui simplessi singolari cattivi $\omega$. Scegliamo $x \in p^{-1}(x_0)$ tale che $D(x)$ sia interamente contenuto nell'aperto $U_0$. Ragionando come sopra, vediamo che $\|\beta(t)\|$ \`e la ``quantit\`a'' di $t$-simplessi con vertici $w_0 \in D(x)$ e $w_i \in U_i$ per ogni $i>0$. \`E facile vedere che per $t$ abbastanza grande questa quantit\`a \`e maggiore di una costante che non dipende da $t$.

Abbiamo quindi mostrato che la ``percentuale'' $\|\beta(t)\| / \|\alpha(t)\|$ di simplessi cattivi \`e maggiore di una costante $C$ che non dipende da $t$. Da questo giungiamo facilmente ad un assurdo. Dato un simplesso singolare raddrizzato $\sigma$ in $M$, definiamo $f_*(\sigma)$ come il simplesso ottenuto raddrizzando $f\circ \sigma$. Ricordiamo che $[M] = k(t)\alpha(t)$ per un numero reale $\alpha(t)>0$ dipendente da $t$. La mappa $f_*\colon H_n(M,\matR) \to H_n(N,\matR)$ ha grado uno e manda il ciclo $k(t)\cdot \alpha(t)$ nel ciclo 
$$k(t)\cdot f_*(\alpha(t)) = k(t)\sum_{\omega\in\Omega} \lambda_\omega(t) \cdot f_*(\sigma_\omega)$$
che rappresenta $[N]$. Poich\'e $f$ \`e una equivalenza omotopica vale $\Vol(M) = \Vol(N)$ per il Corollario \ref{stesso:volume:cor}. Quindi se $\eta_M$ e $\eta_N$ sono le forme volume di $M$ e $N$ otteniamo $f^*\eta_N = \eta_M$ e quindi
$$\Vol(M) = \int_{k(t)\cdot \alpha(t)} \eta_M = \int_{k(t)\cdot f_*(\alpha(t))} \eta_N = \Vol(N).$$
Sappiamo per\`o che una percentuale $>C>0$ di simplessi $\sigma_\omega$ \`e cattiva, e l'immagine $f_*(\sigma_\omega)$ di un simplesso cattivo ha volume $<v_n-\varepsilon$. Quindi
$$\int_{k(t)\cdot f_*(\alpha(t))} < \|N\| \big((1-C)v_n + C(v_n-\varepsilon)\big) = \Vol(N) -C\|N\|\varepsilon$$
e quindi giungiamo finalmente ad un assurdo.
\end{proof}

Nei risultati seguenti usiamo per la prima volta l'ipotesi $n\geqslant 3$.
\begin{prop} \label{riflessione:prop}
Sia $\Delta\subset \matH^n$ un simplesso ideale regolare e $F$ una sua $(n-1)$-faccia. Se $n\geqslant 3$ gli unici simplessi ideali regolari in $\matH^n$ aventi $F$ come faccia sono $\Delta$ e $r(\Delta)$, dove $r$ \`e la riflessione lungo l'iperpiano contenente $F$.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $\Delta'$ un simplesso ideale regolare con faccia $F$. La faccia $F$ \`e un simplesso ideale di dimensione $n-1\geqslant 2$ e quindi ha un ben definito ``centro'' $O$ ottenuto (ad esempio) intersecando gli ``assi'' di $F$, ottenuti prendendo per ogni vertice $v$ l'unica retta passante per $v$ ortogonale alla faccia opposta. Il vertice di $\Delta'$ opposto a $F$ deve giacere sulla retta ortogonale ad $F$ nel punto $O$, quindi ci sono solo due possibilit\`a $\Delta'= \Delta$ oppure $\Delta' = r(\Delta)$.
\end{proof}

Dato un $n$-simplesso non degenere $\Delta \subset \matH^n$ definiamo l'insieme $R(\Delta)$ di $n$-simplessi come l'insieme di tutti i simplessi ottenuti iterativamente da $\Delta$ specchiando lungo le facce.\footnote{Formalmente, poniamo $R_0 = \{\Delta\}$ e definiamo $R_{i+1}$ come l'insieme di tutti i simplessi ottenuti specchiando i simplessi i $R_i$ lungo gli iperpiani che contengono le loro $(n-1)$-facce. Definiamo infine $R(\Delta)=\cup_{i=0}^\infty R_i$.} Se $\Delta$ \`e un simplesso regolare di dimensione 2 l'insieme $R(\Delta)$ \`e la tassellazione di Farey gi\`a considerata nella Fig.~\ref{tiling_Farey:fig} del Capitolo \ref{singolarita:chapter}. Anche se $\Delta$ \`e un simplesso regolare di dimensione 3 otteniamo una tassellazione di $\matH^3$. Se per\`o $\Delta$ \`e un simplesso regolare di dimensione $\geqslant 4$ non otteniamo pi\`u una tassellazione perch\'e i simplessi di $R(\Delta)$ si sovrappongono. In ogni caso otteniamo facilmente il fatto seguente.

\begin{prop}
Sia $\Delta$ un simplesso ideale regolare in $\matH^n$. L'unione dei vertici di tutti i simplessi in $R(\Delta)$ \`e un sottoinsieme denso di $\partial\matH^n$.
\end{prop}
\appunto{Da dimostrare}

Possiamo finalmente dimostrare il cuore del Teorema di Mostow.

\begin{cor}
Sia $f\colon M \to N$ una equivalenza omotopica liscia fra variet\`a iperboliche chiuse orientabili di dimensione $n\geqslant 3$. L'estensione $\widetilde f|_{\partial H^n}\colon \partial \matH^n \to \partial \matH^n$ \`e la traccia di una isometria $\psi\colon \matH^n \to \matH^n$.
\end{cor}
\begin{proof}
Siano $v_0,\ldots, v_n$ vertici di un simplesso ideale regolare $\Delta$: sappiamo che anche $\widetilde f(v_0), \ldots, \widetilde f(v_n)$ sono vertici di un simplesso ideale regolare. Sia $\psi$ l'unica isometria di $\matH^n$ tale che $\psi (v_i) = \widetilde f(v_i)$ per ogni $i$. 

Sia $\psi$ che $\widetilde f$ sono iniettive e mandano i vertici di un simplesso ideale regolare nei vertici di un simplesso ideale regolare. Sia $r$ la riflessione lungo la faccia opposta al vertice $v_0$: dalla Proposizione \ref{riflessione:prop} segue che i punti $\psi(p(v_0))$ e $\widetilde f(p(v_0))$ sono entrambi forzati ad essere l'unico vertice diverso da $\psi(v_0) = \widetilde f(v_0)$ che determina un simplesso ideale regolare con gli altri vertici $\widetilde f(v_1), \ldots, \widetilde f(v_n)$. Quindi $\psi$ e $\widetilde f$ coincidono su $p(v_0)$. 

Iterando questo argomento troviamo che $\psi$ e $\widetilde f$ coincidono su tutti i vertici di tutti i simplessi in $R(\Delta)$. Poich\'e questi vertici formano un denso, le due funzioni coincidono su tutto $\partial \matH^n$. 
\end{proof}

Possiamo finalmente dimostrare il Teorema di rigidit\`a di Mostow.
\begin{teo} Sia $f\colon M \to N$ una equivalenza omotopica fra variet\`a iperboliche orientabili chiuse. La mappa $f$ \`e omotopicamente equivalente ad una isometria.
\end{teo}
\begin{proof}
A meno di omotopia supponiamo che $f$ sia liscia. Poniamo $M = \matH^n/_\Gamma$ e $N = \matH^n/_\Lambda$. La scelta di un punto base fornisce una identificazione dei gruppi $\Gamma$ e $\Lambda$ con i gruppi fondamentali di $M$ e $N$ e quindi un isomorfismo $f_*\colon \Gamma \to \Lambda$. Scegliamo il sollevamento $\widetilde f\colon\matH^n\to\matH^n$ in modo che $\widetilde f \circ \gamma = f_*(\gamma) \circ \widetilde f$ per ogni $\gamma \in \Gamma$.

Sappiamo che esiste una isometria $\psi\colon\matH^n \to \matH^n$ che coincide con $\widetilde f$ sul bordo. Quindi sul bordo vale l'uguaglianza $\psi\circ\gamma = f_*(\gamma)\circ \psi$ per ogni $\gamma \in \Gamma$. Due isometrie che coincidono al bordo sono identiche su tutto $\matH^n$: quindi la stessa uguaglianza vale su tutto $\matH^n$ per ogni $\gamma\in\Gamma$. Quindi l'isometria $\psi$ scende ad una isometria 
$$\psi\colon M \to N.$$
Una omotopia fra $f$ e $\psi$ si costruisce semplicemente proiettando su $M$ la combinazione convessa di $\widetilde f$ e $\psi$ in $\matH^n$.

%Mostriamo infine che l'isometria $\psi$ \`e unica a meno di omotopia: l'omotopia $M\times [0,1] \to N$ fra due isometrie $\psi$ e $\varphi$ si solleva ad una omotopia $\matH^n \times [0,1] \to \matH^n$ sui rivestimenti universali, che sposta i punti 
\end{proof}

\subsection{Conseguenze del teorema}
La conseguenza pi\`u importante del teorema di rigidit\`a di Mostow \`e il fatto che l'intera geometria di una variet\`a iperbolica $M$ di dimensione $n\geqslant 3$ \`e un invariante topologico. In questo modo si estende (in modo pi\`u forte) ad alcune variet\`a di dimensione $n\geqslant 3$ la nozione di \emph{geometrizzazione} che per le superfici \`e fornita dal teorema di uniformizzazione di Riemann.

Oltre a questo fatto fondamentale il teorema di Mostow ha altre conseguenze importanti. Dati due gruppi $H< G$ ricordiamo la differenza fra \emph{normalizzatore} e \emph{normalizzato} di $H$ in $G$: il normalizzatore \`e il pi\`u grande sottogruppo $N<G$ contenente $H$ tale che $H\triangleleft N$, mentre il normalizzato \`e il pi\`u piccolo sottogruppo $K<G$ contenente $H$ tale che $K\triangleleft G$. Indichiamo con $N(H)$ il normalizzatore di $H$ in $G$. Il risultato seguente \`e un fatto molto generale che non dipende dal teorema di Mostow. 

\begin{prop}
Sia $M=\matH^n/_\Gamma$ una variet\`a iperbolica completa. Esiste un isomorfismo naturale 
$$\Iso(M) \Isom N(\Gamma)/_\Gamma.$$
\end{prop}
\begin{proof}
Ogni isometria $\varphi\colon M \to M$ si solleva ad una mappa $\widetilde \varphi$ che faccia commutare il diagramma
$$
\xymatrix{ 
\matH^n\ar@{.>}[r]^{\widetilde \varphi} \ar[d]_p & \matH^n \ar[d]^p \\
M\ar[r]_\varphi & M
}
$$
tale che per ogni $\gamma\in\Gamma$ le isometrie $\widetilde \varphi\circ\gamma$ e $\widetilde\varphi$ differiscano per un automorfismo del rivestimento, cio\`e per un elemento $\gamma'\in\Gamma$. In altre parole $\widetilde\varphi\circ\gamma\circ\widetilde\varphi^{-1}\in\Gamma$ per ogni $\gamma\in\Gamma$, cio\`e $\widetilde\varphi\in N(\Gamma)$. Il sollevamento $\widetilde\varphi$ \`e unico a meno di moltiplicazione (a sinistra o a destra) per elementi di $\Gamma$. Il sollevamento da $\varphi$ a $\widetilde \varphi$ definisce quindi un omomorfismo 
$$\Iso(M) \to N(\Gamma)/_\Gamma.$$
\`E immediato verificare la suriettivit\`a (un elemento di $N(\Gamma)$ determina una isometria) e l'iniettivit\`a (se $\widetilde\varphi$ \`e un elemento di $\Gamma$ allora $\varphi$ \`e l'identit\`a).
\end{proof}

Dato un gruppo $G$ indichiamo con $\Aut(G)$ il gruppo dei suoi automorfismi e con $\Int(G)\triangleleft \Aut(G)$ il sottogruppo normale formato dagli automorfismi interni. Definiamo quindi il quoziente
$$\Out(G) = \Aut(G)/_{\Int(G)}$$
degli automorfismi \emph{esterni}. Sia $X$ uno spazio topologico connesso per archi. Sappiamo bene che $\pi_1(X)$ dipende dalla scelta di un punto base, e che punti base diversi danno gruppi isomorfi ma in modo non canonico: l'isomorfismo fra $\pi_1(X,x_0)$ e $\pi_1(X,x_1)$ dipende dalla scelta di un arco che collega $x_0$ e $x_1$ e quindi \`e determinato solo a meno di un automorfismo interno. Nel gruppo $\Out(\pi_1(X))$ gli automorfismi interni per\`o non hanno pi\`u nessun effetto e quindi esiste un isomorfismo canonico tra $\Out(\pi_1(X,x_0))$ e $\Out(\pi_1(X,x_1))$.

Sia $\Omeo(X)$ il gruppo degli omeomorfismi di $X$ in s\'e. Un omeomorfismo sposta il punto base e quindi non \`e ben definita una mappa da $\Omeo (X)$ in $\pi_1(X)$. Per quanto abbiamo appena detto \`e per\`o ben definito un omomorfismo di gruppi
$$\Omeo (X) \to \Out(\pi_1(X)).$$
In generale questo omomorfismo non \`e n\'e iniettivo n\'e suriettivo. \`E facile vedere che due omeomorfismi omotopi inducono lo stesso automorfismo esterno. Useremo il seguente facile esercizio.
\begin{ex}
Sia $M=\matH^n/_\Gamma$ una variet\`a iperbolica chiusa. L'unica isometria di $\matH^n$ che commuta con tutti gli elementi di $\Gamma$ \`e l'identit\`a.
\end{ex}

\begin{prop} Se $M$ \`e una variet\`a iperbolica chiusa la mappa
$$\Iso(M) \to \Out(\pi_1(M))$$
\`e iniettiva.
\end{prop}
\begin{proof}
Poniamo $M=\matH^n/_\Gamma$ e identifichiamo $\Iso(M)$ con $N(\Gamma)/_\Gamma$ e $\Gamma$ con $\pi_1(M)$. Con queste identificazioni la mappa
$$N(\Gamma)/_\Gamma \to \Out(\Gamma)$$
\`e semplicemente l'azione di coniugio, che manda un elemento $\gamma \in N(\Gamma)$ nell'automorfismo $x \mapsto \gamma^{-1}x\gamma$ di $\Gamma$. L'automorfismo \`e banale (cio\`e \`e interno) se e solo se esiste $\eta \in\Gamma$ tale che $\gamma^{-1}x\gamma = \eta^{-1}x\eta$ per ogni $x\in\Gamma$, cio\`e tale che $\gamma\eta^{-1}$ commuta con tutti gli elementi di $\Gamma$. Dall'esercizio precedente segue che $\gamma = \eta\in\Gamma$ e quindi $\gamma$ \`e banale in $N(\Gamma)/_\Gamma$. La mappa \`e quindi iniettiva.
\end{proof}
\begin{cor}
Sia $M$ una variet\`a iperbolica chiusa. Il gruppo $\Iso(M)$ \`e finito. Due isometrie distinte non sono omotopicamente equivalenti.
\end{cor}
\begin{proof}
Due isometrie distinte hanno immagini in $\Out(\pi_1(M))$ distinte e quindi non sono omotopicamente equivalenti. Il gruppo $\Iso(M)$ \`e un gruppo di Lie compatto perch\'e $M$ \`e una variet\`a riemanniana compatta. Mostriamo che $\Iso(M)$ \`e discreto: per fare ci\`o \`e sufficiente mostrare che l'identit\`a \`e isolata. 

Per assurdo, sia $\varphi_i$ una successione di isometrie che converge all'identit\`a. Per ogni $\varepsilon>0$ esiste $i$ tale che l'isometria $\varphi_i$ sposta i punti meno di $\varepsilon$. Prendiamo $\varepsilon$ minore del raggio di iniettivit\`a di $M$: ogni coppia di punti $x$ e $\varphi_i(x)$ \`e collegata da un'unica geodetica $\gamma_x$ di lunghezza $d(x,\varphi_i(x))$. Le geodetiche $\gamma_x$ al variare di $x\in M$ possono essere usate per definire una combinazione convessa fra $\varphi_i$ e l'identit\`a e quindi mostrare che $\varphi_i$ \`e omotopa all'identit\`a. Le isometrie sono per\`o uniche a meno di omotopia: assurdo.
\end{proof}

Usiamo finalmente il Teorema di Mostow per dimostrare il risultato seguente.

\begin{teo} Sia $M$ una variet\`a iperbolica chiusa di dimensione $n\geqslant 3$. La mappa
$$\Iso (M) \to \Out(\pi_1(M))$$
\`e un'isomorfismo.
\end{teo}
\begin{proof}
Per il teorema di Mostow la mappa \`e suriettiva. Pi\`u precisamente, ogni elemento di $\Out(\pi_1(M))$ \`e realizzato da una equivalenza omotopica $f\colon M \to M$ perch\'e $M$ \`e asferica (per la Proposizione \ref{omotopia:prop}) e la mappa $f$ \`e a sua volta omotopa ad una isometria per il Teorema di Mostow.
\end{proof}
Notiamo che quest'ultimo risultato \`e falso in dimensione $n=2$. Per una superficie iperbolica chiusa $S$ il gruppo $\Out(\pi_1(S))$ \`e infinito, mentre il gruppo di isometrie $\Iso(S)$ \`e sempre finito per quanto abbiamo appena visto.

\end{document}
