Geometria proiettiva – A.A. 2009/2010 Secondo compitino – 18 dicembre 2009

COGNOME E NOME:

MATRICOLA:

Esercizio 1 Considerate la quadrica affine Q_{λ} in ℝ^{3} seguente

Q_{λ} = {x^{2} + 4xy + y^{2} + 6xz + z^{2} + 3x + λy + 2z + 5 = 0}

dipendente da un parametro reale λ ∈ ℝ.

(1) Per quali valori λ la quadrica è a centro?

(2) Per i valori λ in cui esiste, determinare un centro di Q_{λ}.

(3) Per i valori λ in cui la quadrica è a centro, determinare il tipo affine di Q_{λ}.

COGNOME E NOME:

MATRICOLA:

Esercizio 2 Determinare le equazioni cartesiane della retta r in ℙ^{3}(ℝ) passante per i punti

P = [0, 1, 0, 1], Q = [1, 0, 1, 0].

Sia inoltre s la retta passante per i punti

R = [1, 1, 0, 0], S = [1, −1, 1, 0].

Determinare se esiste una proiettività f tale che f(r) = s e f(s) = r. Se esiste, scrivere esplicitamente una matrice 4 × 4 che la determina.

COGNOME E NOME:

MATRICOLA:

Esercizio 3 Siano r e s due rette distinte nel piano proiettivo reale ℙ^{2}(ℝ).

(1) Gli spazi topologici r e r ∪ s sono omeomorfi?

(2) Quante sono le componenti connesse di ℙ^{2}(ℝ) \ (r ∪ s)? Si chiede ovviamente di motivare le risposte.