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% Con due argomenti per ottenere l'opzione resize

\author{Esercizi 18/05/2009}
\title{Geometria analitica e algebra lineare 2008/09}
\date{}
\begin{document}
\maketitle

\begin{esercizio}
Determinare equazioni cartesiane per il piano $\pi_\lambda$ in
$\matP^3(\matR)$ contenente la retta $r$ ed il punto $P_\lambda$ seguenti:
$$r = \big\{[t,t+u, u, t-u]\ \big|\ t,u\in\matR \big\}, \quad P_\lambda = [1,\lambda,0,0].$$
Trovare un punto che non \`e contenuto in nessuno di questi piani
$\pi_\lambda$ al variare di $\lambda\in\matR$. Posso trovare una retta che non \`e contenuta in nessun
$\pi_\lambda$?
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Siano $r_1, r_2$ due rette disgiunte in $\matP^3(\matR)$. Siano $s_1,
s_2$ altre due rette disgiunte. Mostrare che esiste una proiettivit\`a
$f$ di $\matP^3$ in s\'e tale che $f(r_1) = s_1$ e $f(r_2)=s_2$. (Una
proiettivit\`a \`e una corrispondenza biunivoca indotta da un
isomorfismo di $\matR^4$ in s\'e.) 

Mostrare lo stesso esercizio con due terne $r_1, r_2, P$ e $s_1, s_2,
Q$, con $r_i$, $s_j$ rette, $P$ e $Q$ punti, e ogni terna \`e fatta da
tre oggetti disgiunti.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Si considerino le rette seguenti di $\matP^4(\matR)$:
$$r = \big\{[t,-t,u,-u,0]\ \big|\ t,u\in\matR\}, \quad s_\lambda = \big\{[t,u+\lambda
  t,0,(1+\lambda)t-u,u]\ \big|\ t,u\in\matR\big\}$$
Sia $L_\lambda = L(s_\lambda,r)$ il pi\`u piccolo sottospazio contenente $r$ e
$s_\lambda$. 
\begin{enumerate}
\item Determinare la dimensione di $L_\lambda$ al variare di $\lambda\in\matR$.
\item Determinare equazioni cartesiane per lo spazio $L_0$. 
\item Mostrare che le rette $s_\lambda$ si intersecano tutte in un unico
  punto $P$. Determinare $P$.
\item Mostrare che le rette $s_\lambda$ sono tutte contenute in un
  piano $\pi$. Determinare $\pi$.
\item Mostrare che esiste una retta $L_\infty$ tale che 
$$\bigcup_{\lambda\in\matR\cup\{\infty\}} L_\lambda = \pi.$$
\end{enumerate}

\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Siano $r, s, t$ tre rette in $\matP^4(\matR)$, disgiunte a
coppie. Dimostrare che esiste una retta $u$ che le interseca tutte e
tre. Mostrare che questa retta \`e unica se e solo se $L(r,s,t) = \matP^4(\matR)$.
\end{esercizio}

\end{document}





