Geometria analitica e algebra lineare 2008/09

Esercizi 18/05/2009

Esercizio 1. Determinare equazioni cartesiane per il piano π_{λ} in ℙ^{3}(ℝ) contenente la retta r ed il punto P_{λ} seguenti:

r = {[t, t + u, u, t − u] | t, u ∈ ℝ}, P_{λ} = [1, λ, 0, 0].

Trovare un punto che non è contenuto in nessuno di questi piani π_{λ} al variare di λ ∈ ℝ. Posso trovare una retta che non è contenuta in nessun π_{λ}?

Esercizio 2. Siano r_{1}, r_{2} due rette disgiunte in ℙ^{3}(ℝ). Siano s_{1}, s_{2} altre due rette disgiunte. Mostrare che esiste una proiettività f di ℙ^{3} in sé tale che f(r_{1}) = s_{1} e f(r_{2}) = s_{2}. (Una proiettività è una corrispondenza biunivoca indotta da un isomorfismo di ℝ^{4} in sé.)

Mostrare lo stesso esercizio con due terne r_{1}, r_{2}, P e s_{1}, s_{2}, Q, con r_{i}, s_{j} rette, P e Q punti, e ogni terna è fatta da tre oggetti disgiunti.

Esercizio 3. Si considerino le rette seguenti di ℙ^{4}(ℝ):

r = {[t, −t, u, −u, 0] | t, u ∈ ℝ}, s_{λ} = {[t, u + λt, 0, (1 + λ)t − u, u] | t, u ∈ ℝ}

Sia L_{λ} = L(s_{λ}, r) il più piccolo sottospazio contenente r e s_{λ}.

1. Determinare la dimensione di L_{λ} al variare di λ ∈ ℝ.

2. Determinare equazioni cartesiane per lo spazio L_{0}.

3. Mostrare che le rette s_{λ} si intersecano tutte in un unico punto P. Determinare P.

4. Mostrare che le rette s_{λ} sono tutte contenute in un piano π. Determinare π.

5. Mostrare che esiste una retta L_{∞} tale che

⋃_{λ∈ℝ∪{∞}} L_{λ} = π.

Esercizio 4. Siano r, s, t tre rette in ℙ^{4}(ℝ), disgiunte a coppie. Dimostrare che esiste una retta u che le interseca tutte e tre. Mostrare che questa retta è unica se e solo se L(r, s, t) = ℙ^{4}(ℝ).