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% Con due argomenti per ottenere l'opzione resize

\author{Esercizi 24/03/2009}
\title{Geometria analitica e algebra lineare 2008/09}
\date{}
\begin{document}
\maketitle

\begin{esercizio}
In ciascuno dei casi seguenti, determinare equazioni parametriche e cartesiane per un piano $P$ in $A_\matR^3$ tale che:
\begin{enumerate}
\item $P$ contenga i punti $(1, 0,0)$, $(2,-1,-3)$ e $(0,2,1)$.
\item $P$ contenga $(1, 1, 1)$ e la retta
$$r:\left\{\begin{array}{l}
x = 1+ 2t \\
y = -1 +t \\
z = -t
\end{array}\right.$$
\end{enumerate}
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Sia $A_K^3$ lo spazio affine tridimensionale su un campo $K$ arbitrario. Siano 
$$r:\left\{\begin{array}{l} 
x - 2y + z = \pi \\
2x + y - 3z = 1
\end{array} \right. \quad
s:\left\{\begin{array}{l}
2x - y = 13 \\
x-2y+z = -2
\end{array}\right.
$$
due rette in $A_K^3$.
Determinare un'equazione cartesiana del piano parallelo ad $r$ e $s$ e passante per il punto $Q = (1,4,3)$.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Determinare in $A_\matR^3$ un'equazione cartesiana del piano $p$ contenente la retta comune ai piani
$$\pi_1 : \big\{\ x+y = 3, \qquad \pi_2: \big\{\ 2y+3z=4$$
e parallelo al vettore $(3,-1,2)$.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Sia $A_K^3$ lo spazio affine tridimensionale su un campo $K$ arbitrario. Siano $r$ e $s$ due rette e $Q$ un punto in $A^3_K$. Mostra che esiste sempre almeno un piano $P$ parallelo ad entrambe le rette e passante per $Q$. 

Nel caso $K=\matR$, mostra che esiste un unico piano con queste propriet\`a se e solo se le due rette $r$ e $s$ non sono parallele.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Siano $P_1, P_2, P_3$ e $P_1',P_2', P_3'$ due terne di piani affini distinti in $A_\matR^3$. Consideriamo le intersezioni $Z = P_1\cap P_2 \cap P_3$ e $Z' = P_1'\cap P_2' \cap P_3'$. Dire se esiste una affinit\`a $f$ di $A_\matR^3$ tale che $f(P_1) = P_1'$, $f(P_2)=P_2'$ e $f(P_3)=P_3'$ in ciascuno dei casi seguenti.
\begin{enumerate}
\item $Z$ e $Z'$ sono due punti.
\item $Z$ e $Z'$ sono due rette.
\item $Z$ e $Z'$ sono due insiemi vuoti.
\end{enumerate}
Pi\`u precisamente: per ciascuno di questi casi, dimostrare che esiste sempre una affinit\`a o descrivere un esempio in cui non esiste.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Siano $r_1, r_2$ due rette affini in $A_\matR^4$. Mostra che esiste un sottospazio affine di dimensione 3 che le contiene. Mostra che tale sottospazio \`e unico se e solo se le due rette non sono n\'e parallele n\'e incidenti (cio\`e sono sghembe).
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Considera le due rette in $A_\matR^4$ seguenti, la prima dipendente da un parametro reale $\alpha$:
$$r_\alpha: \left\{\begin{array}{l}
x_1 = 2t \\
x_2 = -t \\
x_3 = \alpha t \\
x_4 = 1 + t
\end{array} \right. \quad
s: \left\{\begin{array}{l}
x_1 = 1 \\
x_2 = t \\
x_3 = 1+t \\
x_4 = 1 -t
\end{array}
\right.
$$
Sia $S_\alpha$ il pi\`u piccolo sottospazio affine di $A_\matR^4$ che contiene $r_\alpha$ e $s$.
\begin{enumerate}
\item Determinare la dimensione di $S_\alpha$ al variare di $\alpha$. 
\item Determinare equazioni parametriche di $S_\alpha$ al variare di $\alpha$.
\item Determinare equazioni cartesiane di $S_0$.
\item Determinare equazioni cartesiane di $S_\alpha$ al variare di $\alpha$.
\end{enumerate}
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Siano $r_1, r_2, r_3$ tre rette affini in $A_\matR^4$. In ciascuno dei casi seguenti, dire se esiste una retta affine $s$ in $A_\matR^4$ che le interseca tutte e tre. Se esiste, determina le sue equazioni parametriche.
\begin{enumerate} 
\item Le tre rette sono le seguenti:
$$
r_1 = \left\{\begin{array}{l}
x_1 = t \\
x_2 = 1 \\
x_3 = 0 \\
x_4 = 0
\end{array}\right.
r_2 = \left\{\begin{array}{l}
x_1 = 0 \\
x_2 = t \\
x_3 = 1 \\
x_4 = 0
\end{array}\right.
r_3 = \left\{\begin{array}{l}
x_1 = 0 \\
x_2 = 0 \\
x_3 = t \\
x_4 = 1
\end{array}\right.
$$
\item Le tre rette sono le seguenti:
$$r_1: \left\{\begin{array}{l}
x_1 - x_2 = 1 \\
x_2 + x_3 - x_4 = 0 \\
x_3 + x_4 = -1
\end{array}\right., \quad 
r_2 = \left\{\begin{array}{l}
x_1 = 1 + t \\ x_2 = 0 -2t \\ x_3 = -1+t \\ x_4 = -t
\end{array} \right.
\quad
r_3 = \left\{\begin{array}{l}
x_1 = t \\
x_2 = 1 \\
x_3 = 0 \\
x_4 = 0
\end{array}\right.
$$
\end{enumerate}
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Sia $f:V \to W$ un'applicazione lineare fra spazi vettoriali $V$ e $W$, entrambi definiti su un campo $K$. Sia $w$ un punto arbitrario di $W$. Considera $V$ e $W$ con la loro struttura affine. Mostra che $f^{-1}(w)$ \`e un sottospazio affine di $V$. Pi\`u in generale, se $S$ \`e un sottospazio affine di $W$, mostra che $f^{-1}(S)$ \`e un sottospazio affine di $V$.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Sia $f:\matR^3 \to \matR^2$ una applicazione lineare. Sia $r$ una retta affine di $\matR^2$ non passante per l'origine. Mostra che 
$f^{-1}(r)$ \`e l'insieme vuoto o un piano affine di $\matR^3$.
\end{esercizio}

\end{document}





