Geometria analitica e algebra lineare 2008/09

Esercizi 24/03/2009

Esercizio 1. In ciascuno dei casi seguenti, determinare equazioni parametriche e cartesiane per un piano P in A_{ℝ}^{3} tale che:

1. P contenga i punti (1, 0, 0), (2, −1, −3) e (0, 2, 1).

2. P contenga (1, 1, 1) e la retta

r : \{ \begin{matrix}x = 1 + 2t \\ y = −1 + t \\ z = −t \end{matrix}

Esercizio 2. Sia A_{K}^{3} lo spazio affine tridimensionale su un campo K arbitrario. Siano

r : \{ \begin{matrix}x − 2y + z = π \\ 2x + y − 3z = 1 \end{matrix} s : \{ \begin{matrix}2x − y = 13 \\ x − 2y + z = −2 \end{matrix}

due rette in A_{K}^{3}. Determinare un’equazione cartesiana del piano parallelo ad r e s e passante per il punto Q = (1, 4, 3).

Esercizio 3. Determinare in A_{ℝ}^{3} un’equazione cartesiana del piano p contenente la retta comune ai piani

π_{1} : { x + y = 3, π_{2} : { 2y + 3z = 4

e parallelo al vettore (3, −1, 2).

Esercizio 4. Sia A_{K}^{3} lo spazio affine tridimensionale su un campo K arbitrario. Siano r e s due rette e Q un punto in A_{K}^{3}. Mostra che esiste sempre almeno un piano P parallelo ad entrambe le rette e passante per Q.

Nel caso K = ℝ, mostra che esiste un unico piano con queste proprietà se e solo se le due rette r e s non sono parallele.

Esercizio 5. Siano P_{1}, P_{2}, P_{3} e P′_{1}, P′_{2}, P′_{3} due terne di piani affini distinti in A_{ℝ}^{3}. Consideriamo le intersezioni Z = P_{1} ∩ P_{2} ∩ P_{3} e Z′ = P′_{1} ∩ P′_{2} ∩ P′_{3}. Dire se esiste una affinità f di A_{ℝ}^{3} tale che f(P_{1}) = P′_{1}, f(P_{2}) = P′_{2} e f(P_{3}) = P′_{3} in ciascuno dei casi seguenti.

1. Z e Z′ sono due punti.

2. Z e Z′ sono due rette.

3. Z e Z′ sono due insiemi vuoti.

Più precisamente: per ciascuno di questi casi, dimostrare che esiste sempre una affinità o descrivere un esempio in cui non esiste.

Esercizio 6. Siano r_{1}, r_{2} due rette affini in A_{ℝ}^{4}. Mostra che esiste un sottospazio affine di dimensione 3 che le contiene. Mostra che tale sottospazio è unico se e solo se le due rette non sono né parallele né incidenti (cioè sono sghembe).

Esercizio 7. Considera le due rette in A_{ℝ}^{4} seguenti, la prima dipendente da un parametro reale α:

r_{α} : \{ \begin{matrix}x_{1} = 2t \\ x_{2} = −t \\ x_{3} = αt \\ x_{4} = 1 + t \end{matrix} s : \{ \begin{matrix}x_{1} = 1 \\ x_{2} = t \\ x_{3} = 1 + t \\ x_{4} = 1 − t \end{matrix}

Sia S_{α} il più piccolo sottospazio affine di A_{ℝ}^{4} che contiene r_{α} e s.

1. Determinare la dimensione di S_{α} al variare di α.

2. Determinare equazioni parametriche di S_{α} al variare di α.

3. Determinare equazioni cartesiane di S_{0}.

4. Determinare equazioni cartesiane di S_{α} al variare di α.

Esercizio 8. Siano r_{1}, r_{2}, r_{3} tre rette affini in A_{ℝ}^{4}. In ciascuno dei casi seguenti, dire se esiste una retta affine s in A_{ℝ}^{4} che le interseca tutte e tre. Se esiste, determina le sue equazioni parametriche.

1. Le tre rette sono le seguenti:

r_{1} = \{ \begin{matrix}x_{1} = t \\ x_{2} = 1 \\ x_{3} = 0 \\ x_{4} = 0 \end{matrix} r_{2} = \{ \begin{matrix}x_{1} = 0 \\ x_{2} = t \\ x_{3} = 1 \\ x_{4} = 0 \end{matrix} r_{3} = \{ \begin{matrix}x_{1} = 0 \\ x_{2} = 0 \\ x_{3} = t \\ x_{4} = 1 \end{matrix}

2. Le tre rette sono le seguenti:

r_{1} : \{ \begin{matrix}x_{1} − x_{2} = 1 \\ x_{2} + x_{3} − x_{4} = 0 \\ x_{3} + x_{4} = −1 \end{matrix} , r_{2} = \{ \begin{matrix}x_{1} = 1 + t \\ x_{2} = 0 − 2t \\ x_{3} = −1 + t \\ x_{4} = −t \end{matrix} r_{3} = \{ \begin{matrix}x_{1} = t \\ x_{2} = 1 \\ x_{3} = 0 \\ x_{4} = 0 \end{matrix}

Esercizio 9. Sia f : V → W un’applicazione lineare fra spazi vettoriali V e W, entrambi definiti su un campo K. Sia w un punto arbitrario di W. Considera V e W con la loro struttura affine. Mostra che f^{−1}(w) è un sottospazio affine di V. Più in generale, se S è un sottospazio affine di W, mostra che f^{−1}(S) è un sottospazio affine di V.

Esercizio 10. Sia f : ℝ^{3} → ℝ^{2} una applicazione lineare. Sia r una retta affine di ℝ^{2} non passante per l’origine. Mostra che f^{−1}(r) è l’insieme vuoto o un piano affine di ℝ^{3}.