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\begin{document}
\baselineskip 17pt

\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\large \bf Corso di Geometria analitica e algebra lineare}
\end{center}

\begin{center} {\large \bf  8 luglio 2008}\end{center}
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\noindent {\bf Esercizio 1.} Nello spazio affine ${\R}^2$ si considerino i seguenti sottoinsiemi:
$$X_1:=\{(x,y)\in \R^2|x^2y-2xy^2=0\},\quad X_2:=\{(x,y)\in \R^2|(x+y)(xy-x-y+1)=0\}$$
$$X_3:=\{(x,y)\in \R^2|x^2y-xy=0\}, \quad X_4:=\{(x,y)\in \R^2|x^3-y^2x=0\}.$$
\begin{enumerate}
\item Dire per quali $1\le i,j\le 4$ esiste un'affinit\`a $f$ di $\R^2$ tale che $f(X_i)=X_j$; 
\item dire per quali $1\le i,j\le 4$ esiste un'isometria  $f$ di $\R^2$ tale che $f(X_i)=X_j$;
\item scelto uno dei casi al punto (i) o (ii)  in cui l'applicazione $f$ esiste, dire se \`e unica e darne un esempio esplicito. 
\end{enumerate}
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\noindent {\bf Esercizio 2.} Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$   su $\C$,  sia  $f\colon V\to V$ un endomorfismo e sia $m_f(t)$ il polinomio minimo di $f$.

Si consideri il sottospazio vettoriale  $W\subset  \End(V)$ definito da 
 $$W:=\{g \in\End(V)\ |\ gf=fg\}.$$ 
\begin{enumerate}
\item Per $n=3$, determinare la dimensione di $W$ nei seguenti casi:
\begin{itemize}
\item[a)] $m_f(t)=(t-1)(t-2)(t-3)$;
\item[b)] $m_f(t)=(t-1)(t-2)$;
\item[a)] $m_f(t)=(t-1)^3$.
\end{itemize}
\item In generale, dimostrare che $\dim W\ge n$.
\end{enumerate}
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\noindent {\bf Esercizio 3.} Si considerino in $\R^3$ due forme bilineari simmetriche, $b_1$ di segnatura $(3,0,0)$ e $b_2$ di segnatura $(2,1,0)$.
\begin{enumerate}
\item Dimostrare che esiste un automorfismo  $f\colon \R^3\to\R^3$, diverso dall'identit\`a,  che \`e un'isometria sia per $b_1$ che per $b_2$ e tale che $\det(f)=1$;
\item dare un esempio di $b_1$ e $b_2$ tali che l'insieme degli automorfismi $f$ al punto (i) sia infinito.
\end{enumerate}

\end{document}
