Corso di Geometria analitica e algebra lineare 8 luglio 2008

Esercizio 1. Nello spazio affine ℝ^{2} si considerino i seguenti sottoinsiemi: X_{1} := {(x, y) ∈ ℝ^{2}|x^{2}y − 2xy^{2} = 0}, X_{2} := {(x, y) ∈ ℝ^{2}|(x + y)(xy − x − y + 1) = 0}

X_{3} := {(x, y) ∈ ℝ^{2}|x^{2}y − xy = 0}, X_{4} := {(x, y) ∈ ℝ^{2}|x^{3} − y^{2}x = 0}.

(i) Dire per quali 1 ≤ i, j ≤ 4 esiste un’affinità f di ℝ^{2} tale che f(X_{i}) = X_{j}; (ii) dire per quali 1 ≤ i, j ≤ 4 esiste un’isometria f di ℝ^{2} tale che f(X_{i}) = X_{j}; (iii) scelto uno dei casi al punto (i) o (ii) in cui l’applicazione f esiste, dire se è unica

e darne un esempio esplicito.

Esercizio 2. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n su ℂ, sia f: V → V un endomorfismo e sia m_{f}(t) il polinomio minimo di f.

Si consideri il sottospazio vettoriale W ⊂ End(V) definito da

W := {g ∈ End(V) | gf = fg}.

(i) Per n = 3, determinare la dimensione di W nei seguenti casi:

a) m_{f}(t) = (t − 1)(t − 2)(t − 3);

b) m_{f}(t) = (t − 1)(t − 2);

a) m_{f}(t) = (t − 1)^{3}. (ii) In generale, dimostrare che dim W ≥ n.

Esercizio 3. Si considerino in ℝ^{3} due forme bilineari simmetriche, b_{1} di segnatura (3, 0, 0) e b_{2} di segnatura (2, 1, 0).

(i) Dimostrare che esiste un automorfismo f: ℝ^{3} → ℝ^{3}, diverso dall’identità, che è un’isometria sia per b_{1} che per b_{2} e tale che det(f) = 1;

(ii) dare un esempio di b_{1} e b_{2} tali che l’insieme degli automorfismi f al punto (i) sia infinito.