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\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}

\begin{document}
\baselineskip 17pt

\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\large \bf Corso di Geometria analitica e algebra lineare}
\end{center}\bigskip

\begin{center} {\large \bf Secondo compitino, 17/04/2008}\end{center}
\vspace{2cm}


\noindent {\bf Esercizio 1.} Si considerino nel piano affine $\A^2_{\R}$  i punti $P_1=(3,-1)$, $Q_1=(-1,1)$,  $P_2=(1,0)$, $Q_2=(0,1)$, la retta $\mathscr{R}$ di equazione $x-1=0$ e, al variare di $t\in\R$, il fascio di rette parallele $\mathscr{S}_t$  di equazione $x-y-t=0$.


\begin{enumerate}
\item Determinare i valori del parametro $t\in\R$ per cui esiste un'affinit\`a $f\colon  \A^2_{\R}\to  \A^2_{\R}$ tale che $f(P_1)=P_2$, $f(Q_1)=Q_2$ e $f(\mathscr{R})=\mathscr{S}_t$;
\item Scelto uno dei valori di $t$  determinati precedentemente, scrivere esplicitamente $f$ e dire se  \`e unica.
\end{enumerate}
\vspace{1cm} 

\noindent{\bf Esercizio 2.} Sia $A\in M(2,\R)$ una matrice fissata. Consideriamo l'endomorfismo $f_A:M(2,\R)\to M(2,\R)$ dato da
$$f_A(X) = AX.$$
Indichiamo inoltre con $L_A:\R^2\to\R^2$ l'usuale endomorfismo
$$L_A(X)=AX.$$
\begin{enumerate}
\item Mostra che $\lambda$ \`e autovalore per $f_A$ se e solo se lo \`e per $L_A$;
\item Mostra che esiste una base di autovettori per $f_A$ se e solo se esiste una base di autovettori per $L_A$.
\end{enumerate}
\vspace{1cm} 

\noindent {\bf Esercizio 3.} Sia $f:\R^3\to\R^3$ endomorfismo e $W_1, W_2$ due sottospazi  di dimensione $2$ tali che $f(W_i)\subset W_i$ per ogni $i=1,2$. Supponiamo che $f|_{W_1}$ sia diagonalizzabile e $f|_{W_2}$ non lo sia.
\begin{enumerate}
\item Dire se $f$ \`e diagonalizzabile;
\item Dire se $f$ \`e triangolabile;
\item Il polinomio minimo di $f$ coincide necessariamente con il polinomio caratteristico? 
\end{enumerate}
\vspace{1cm} 



\begin{comment}
\noindent {\bf Esercizio 3.} Sia $g\colon \C^4\to\C^4$ un endomorfismo.
\begin{enumerate}
\item Dimostrare che esiste un sottospazio $W\subset \C^4$ di dimensione 2 tale che $g(W)\subseteq W$;
\item Dimostrare che se c'\`e un solo sottospazio $W$ di dimensione 2 tale che $g(W)\subseteq W$, allora  esiste $\lambda\in\C$ tale che  il polinomio minimo di $g$ \`e  $(t-\lambda)^4$.
\end{enumerate}
\end{comment}
\end{document}
