Polinomio minimo

Fatti salienti sul polinomio minimo:

• L’anello K[x] dei polinomi a coefficienti in un campo K è euclideo. In particolare, ogni ideale è principale e ogni elemento p ∈ K[x] si scrive in modo unico come prodotto

p = p_{1}^{i_{1}} ⋯ p_{k}^{i_{k}}

di polinomi irriducibili (ovvero polinomi che non sono prodotto di polinomi di grado minore). Il modo è unico a meno di permutare i fattori e di moltiplicare alcuni fattori per una costante non nulla.

• Data una matrice quadrata A a coefficienti in K, l’insieme dei polinomi p ∈ K[x] tali che p(A) = 0 è un ideale, che chiamiamo I(A). Ha quindi un generatore, unico a meno di moltiplicazione per costante. Per ottenere l’unicità chiediamo che sia monico: il polinomio risultante è il polinomio minimo di A, che chiamiamo m_{A}(x). Quindi

I(A) = {m_{A}(x) · q(x) | q(x) ∈ K[x]}.

• Per il teorema di Hamilton-Cayley, il polinomio caratteristico p_{A}(x) appartiene all’ideale I(A).

• Vale un risultato più forte: se

m_{A}(x) = p_{1}^{i_{1}} ⋯ p_{k}^{i_{k}}

è la decomposizione in fattori irriducibili di m_{A}, allora la decomposizione di p_{A} è del tipo

p_{A}(x) = p_{1}^{l_{1}} ⋯ p_{k}^{l_{k}}

con l_{j} ⩾ i_{j} per ogni j. In altre parole, il polinomio caratteristico ha gli stessi fattori irriducibili del polinomio minimo, con esponenti che possono essere uguali o superiori.

• La matrice A è triangolabile se e solo se p_{j} ha grado uno per ogni j.

• La matrice A è diagonalizzabile se e solo se p_{j} ha grado uno e l_{j} = 1 per ogni j. Più in generale, se A è triangolabile, i_{j} è la massima grandezza di un blocco di Jordan relativo all’autovalore che è radice di p_{j}.

• Il polinomio minimo, come il polinomio caratteristico, non dipende dal campo K fissato. La decomposizione in fattori primi di entrambi dipende però dal campo.

• Il polinomio minimo, come il polinomio caratteristico, non cambia per similitudine ed è quindi un invariante definito per ogni endomorfismo (non dipende dalla scelta di una base). Il polinomio minimo di un endomorfismo f può anche essere definito intrinsecamente allo stesso modo usando f al posto di A: è il generatore monico di I(f), l’ideale di tutti i polinomi che annullano f.

• Il polinomio minimo di un vettore è definito in modo analogo, prendendo

l’ideale

I = {p ∈ K[x] | p(f)(v) = 0}.

Il polinomio minimo è il minimo comune multiplo dei polinomi minimi dei vettori di una qualunque base.

Applicazioni ed esempi:

1. Se f è un endomorfismo su uno spazio vettoriale reale con polinomio caratteristico p(x) = (x − 1)^{2}(x + 1), allora il polinomio minimo può essere:

• m(x) = (x − 1)^{2}(x + 1), e l’endomorfismo non è diagonalizzabile,

• m(x) = (x − 1)(x + 1), e l’endomorfismo è diagonalizzabile.

Se il polinomio caratteristico è p(x) = (x − 1)^{2}(x^{2} + 1) ci sono due casi analoghi, ma in entrambi l’endomorfismo non viene diagonalizzabile.

2. Sia f un endomorfismo. Se esiste un polinomio q tale che

• q(f) = 0,

• nella decomposizione in fattori irriducibili di q, ogni fattore ha grado uno e compare con esponente uno (cioè q ha tutte le radici nel campo, ciascuna con molteplicità uno),

allora f è diagonalizzabile. Infatti q ∈ I(f) ed il polinomio minimo divide q, quindi anche la decomposizione del polinomio minimo soddisfa le stesse proprietà elencate.

3. Un endomorfismo f : V → V tale che f^{2} = f è diagonalizzabile. Infatti il polinomio p(x) = x^{2} − x = x(x − 1) annulla f, e si decompone con esponenti uno.

4. Un endomorfismo idempotente f : V → V su uno spazio vettoriale complesso (K = ℂ) è diagonalizzabile. Infatti per ipotesi f^{n} = f per qualche n. Quindi q(x) = x^{n} − x ∈ I(f). Ma x^{n} − x = x(x^{n−1} − 1) e x^{n−1} − 1 = (x−λ_{1}) ⋯ (x−λ_{n−1}) dove λ_{1}, …, λ_{n−1} sono le n−1 radici distinte dell’unità. Come sopra.

Dal fatto che il polinomio minimo è il minimo comune multiplo dei polinomi minimi dei vettori di una qualunque base, seguono facilmente i fatti seguenti:

1. Se f : V → V ha un sottospazio invariante W, il polinomio minimo di f|_{W} divide quello di f (analoga proprietà vale per il polinomio caratteristico).

2. Data una matrice a blocchi

M = ( \begin{matrix}A & 0 \\ 0 & C \end{matrix} )

vale m_{M} = m.c.m.(m_{A}, m_{C}).

Altri fatti:

• Se f : V → V è un endomorfismo con polinomio minimo m_{f} = p_{1}^{i_{1}} ⋯ p_{k}^{i_{k}}, vale la decomposizione in somma diretta

V = ker p_{1}^{i_{1}}(f) ⊕ ⋯ ⊕ ker p_{k}^{i_{k}}(f)

detta decomposizione primaria.

• Per ogni j, la successione d_{n} = dim ker p_{j}^{n} è strettamente crescente fino a n = i_{j} e quindi si stabilizza. Se si costruisce la decomposizione partendo dal polinomio caratteristico p_{f} invece che dal minimo m_{f}, si ottiene quindi la stessa cosa.

Applicazioni ed esempi:

1. Sia f : V → V un endomorfismo con decomposizione primaria

V = ker p_{1}^{i_{1}}(f) ⊕ ⋯ ⊕ ker p_{k}^{i_{k}}(f)

indotta dal polinomio minimo. Un sottospazio f-invariante W deve essere del tipo

W = W_{1} ⊕ ⋯ ⊕ W_{k}

dove W_{j} = W ∩ ker p_{j}^{i_{j}}. Infatti il polinomio minimo m_{f|_{W}} della restrizione f|_{W} deve dividere il polinomio minimo m_{f} di f, quindi è del tipo

m_{f|_{W}} = p_{1}^{n_{1}} ⋯ p_{k}^{n_{k}}

per qualche n_{j} ⩽ i_{j} che può essere anche nullo. Si ottiene una decomposizione primaria

W = ker p_{1}^{n_{1}}(f|_{W}) ⊕ ⋯ ⊕ ker p_{k}^{n_{k}}(f|_{W}).

La tesi segue dalla relazione

ker p_{j}^{n_{j}}(f|_{W}) = W ∩ ker p_{j}^{n_{j}}(f) ⊂ W ∩ ker p_{j}^{i_{j}}(f).