Corso di Geometria Superiore I 2007/2008
Programma indicativo:
Il programma seguente è verosimilmente troppo lungo e verrà potato.
- Elementi di geometria iperbolica:
- 2/10/07, ore 9-11. Introduzione elementare alla geometria
riemanniana (senza derivate covarianti e connessioni):
varietà differenziabile,
fibrato
tangente,
tensore
metrico,
varietà
riemanniana,
geodetica,
mappa
esponenziale,
teorema
di Hopf-Rinow,
curvatura
sezionale.
- 4/10/07, ora 18-19. Modelli dello
spazio
iperbolico n-dimensionale Hn: modello del
disco
di Poincaré e del
semispazio.
Inversione.
- 9/10/07, ore 9-11. Sottospazi dello spazio iperbolico.
Isometrie dello spazio iperbolico: ellittiche, paraboliche,
iperboliche.
- 11/10/07, ora 18-19. Isometrie del piano e dello spazio iperbolico:
gruppi PSL(2,R) e PSL(2,C).
- 16/10/07, ore 9-11.
Azioni
libere e propriamente discontinue. Varietà a curvatura costante e
loro
rivestimenti.
Superfici
di Riemann e loro rivestimenti. Equivalenza fra superfici di
Riemann e superfici a curvatura costante.
- 18/10/07, ora 18-19.
Spazio
di Teichmueller . Costruzione di
varietà iperboliche.
- 23/10/07, ore 9-11.
Raggio
di iniettività e geodetiche nelle varietà iperboliche compatte.
Costruzione dello spazio di Teichmueller tramite pantaloni geodetici.
- 3-varietà :
Gli studenti sono invitati a correggere gli eventuali errori presenti
sulle pagine mostrate (e in quelle correlate), oltre che ovviamente a
modificare e ad ampliare le informazioni presenti.
Bibliografia:
- Benedetti, Petronio, "Lectures on hyperbolic geometry"
- Matveev, Fomenko, "Algorithmic and computer methods for
3-manifolds"
- Scott, "The geometries of
three-manifolds", scaricabile da qui.
Lezioni:
-
Martedì ore 9-11 aula P
-
Giovedì ore 18-19 aula P
Il registro delle lezioni è consultabile qui.
Esercizi:
Esame:
Lo studente che intende sostenere l'esame dovrebbe svolgere a casa alcuni
degli esercizi elencati sopra (possibilmente almeno un 50%, ma consiglio
ovviamente di affrontarli tutti) e quindi preparare un seminario fra i seguenti:
-
Il gruppo degli automorfismi di una superficie e' generato da
Dehn twist (Fomenko-Matveev, capitolo 3)
-
Chirurgia lungo link e calcolo di Kirby (Fomenko-Matveev,
capitolo 9)
-
Approccio topologico (senza geometrie) alle varieta' di Seifert
(Fomenko-Matveev, capitolo 10)
-
Algoritmo di Haken per riconoscere il nodo banale
(Fomenko-Matveev, capitolo 12)
-
Dimostrazione del teorema di decomposizione lungo tori
(libro di
Hatcher, capitolo 1, sezione 2).
- Approccio topologico alle varieta' di Seifert (libro di Hatcher,
capitolo 2)
- Gruppi che agiscono su S^n in modo libero (articolo di Milnor
qui )
- Geometria di S^3 (Scott)
- Lemma di Margulis (Benedetti-Petronio, capitolo D)
- Il teorema di rigidita' di Mostow (Benedetti-Petronio, capitolo C)
- Teorema di Thurston del riempimento di Dehn iperbolico
(Benedetti-Petronio, Capitoli E.5 ed E.6)
- Argomento a scelta dello studente.
Se possibile, ogni studente dovrebbe preparare un seminario diverso.
Alcuni argomenti sono molto corposi, come ad esempio il teorema di Mostow:
in questo caso, allo studente e' richiesto solo che esponga il quadro
generale e una dimostrazione di un fatto importante a scelta. In
alternativa, un argomento corposo puo' essere preparato piu' nel dettaglio
da due studenti.
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