Corso di Geometria analitica e algebra lineare

Secondo compitino, 17/04/2008

Esercizio 1. Si considerino nel piano affine 𝔸_{ℝ}^{2} i punti P_{1} = (3, −1), Q_{1} = (−1, 1), P_{2} = (1, 0), Q_{2} = (0, 1), la retta ℛ di equazione x − 1 = 0 e, al variare di t ∈ ℝ, il fascio di rette parallele 𝒮_{t} di equazione x − y − t = 0.

(i) Determinare i valori del parametro t ∈ ℝ per cui esiste un’affinità f: 𝔸_{ℝ}^{2} → 𝔸_{ℝ}^{2} tale che f(P_{1}) = P_{2}, f(Q_{1}) = Q_{2} e f(ℛ) = 𝒮_{t};

(ii) Scelto uno dei valori di t determinati precedentemente, scrivere esplicitamente f e dire se è unica.

Esercizio 2. Sia A ∈ M(2, ℝ) una matrice fissata. Consideriamo l’endomorfismo f_{A} : M(2, ℝ) → M(2, ℝ) dato da

f_{A}(X) = AX.

Indichiamo inoltre con L_{A} : ℝ^{2} → ℝ^{2} l’usuale endomorfismo

L_{A}(X) = AX.

(i) Mostra che λ è autovalore per f_{A} se e solo se lo è per L_{A};

(ii) Mostra che esiste una base di autovettori per f_{A} se e solo se esiste una base di autovettori per L_{A}.

Esercizio 3. Sia f : ℝ^{3} → ℝ^{3} endomorfismo e W_{1}, W_{2} due sottospazi di dimensione 2 tali che f(W_{i}) ⊂ W_{i} per ogni i = 1, 2. Supponiamo che f|_{W_{1}} sia diagonalizzabile e f|_{W_{2}} non lo sia.

(i) Dire se f è diagonalizzabile; (ii) Dire se f è triangolabile; (iii) Il polinomio minimo di f coincide necessariamente con il polinomio caratteristico?