CORSO DI TOPOLOGIA 2007

BRUNO MARTELLI

Si consiglia di svolgere gli esercizi nel momento in cui si presentano durante la lettura. Le parti (di teoria o esercizi) contrassegnate con (⋆) sono invece facoltative (se di teoria) o più impegnative (se esercizi).

1. Topologia generale

1.1. Spazio topologico. Uno spazio topologico è una coppia (X, T ) in cui X è un insieme e T una collezione di sottoinsiemi di X, detti aperti, tali che:

• i sottoinsiemi ∅ e X sono aperti;

• l’unione di una quantità arbitraria di insiemi aperti è un insieme aperto;

• l’intersezione di un insieme finito di aperti è un insieme aperto. Una collezione T che soddisfa queste ipotesi è una topologia su X. Quando non è strettamente necessario, omettiamo T e chiamiamo più brevemente lo spazio topologico X invece di (X, T ).

Esempio 1.1. Sia X un insieme.

• {∅, X} è una topologia su X, detta banale;

• P (X), dove P (X) è l’insieme delle parti di X, è una topologia su X, detta discreta;

• {A ⊂ X | X \ A è un insieme finito } è una topologia su X, detta cofinita.

Siano T e T′ due topologie su un insieme fissato X. Diciamo che T è più fine di T′ se T ⊃ T′, cioè se ogni aperto di T′ è anche un aperto di T . Le topologie discreta e banale sono rispettivamente la più fine e la meno fine di tutte.

Definizione 1.2. Sia (X, T ) uno spazio topologico.

• Un insieme U contenente un punto x ∈ X, tale che esiste un aperto A con x ∈ A ⊂ U è detto intorno di x.

• Un sistema di intorni per x ∈ X è un insieme {U_{i}}_{i∈I} di intorni^{1} di x tale che ogni aperto U contenente x esiste i ∈ I tale che U_{i} ⊂ U.

• Un ricoprimento di X è un insieme di sottoinsiemi di X, la cui unione è X. Un ricoprimento aperto è un ricoprimento fatto da aperti.

• Una base per la topologia T è un insieme di aperti {B_{i}}_{i∈I} tale che ogni aperto di T è unione di alcuni di questi.

1Qui e altrove, I è un insieme di indici. Può essere infinito, anche non numerabile.

Una base è necessariamente un ricoprimento aperto {B_{i}}_{i∈I} tale che:

(1)  ∀x ∈ B_{i} ∩ B_{j} ∃k ∈ I tale che x ∈ B_{k} ⊂ B_{i} ∩ B_{j}, ∀i, j ∈ I.

D’altra parte, un ricoprimento di questo tipo determina un’unica topologia:

Proposizione 1.3. Un ricoprimento {B_{i}} che soddisfa la (1) è base di un’unica topologia, definita nel modo seguente: un insieme A è aperto se e solo se è unione di elementi della base.

La proposizione seguente fornisce un criterio utile per dimostrare che un sottoinsieme è aperto.

Proposizione 1.4. Sia X spazio topologico. Un sottoinsieme A ⊂ X è aperto se e solo se ogni x ∈ A ha un intorno aperto U(x) contenuto in A.

Dim. Se A è aperto, A è un intorno per ogni x. D’altra parte, se ogni x ha un intorno U(x) aperto contenuto in A, l’insieme A = ∪_{x∈A}U(x) è unione di aperti ed è quindi aperto. □

Una funzione f : X → Y fra due spazi topologici è continua se la controimmagine f^{−1}(U) di ogni aperto U di Y è un aperto di X. Una funzione biunivoca e continua, con inversa anch’essa continua, è un omeomorfismo.

Esercizio 1.5. La composizione g ∘ f : X → Z di due funzioni continue f : X → Y e g : Y → Z è continua.

Definizione 1.6. Sia X uno spazio topologico ed A ⊂ X un suo sottoinsieme. • A è chiuso se il complementare X \ A è aperto.

• La chiusura Ā di A è l’intersezione di tutti i chiusi che contengono A.

• La parte interna Ȧ di A è l’unione di tutti gli aperti contenuti in A.

• A è denso in X se Ā = X.

• La frontiera ∂A di A è ∂A = Ā \ Ȧ.

• A è discreto se ogni x ∈ X ha un intorno U(x) con U(x) \ {x} disgiunto da A.

Esercizio 1.7. Sia X spazio topologico e A ⊂ X un sottoinsieme. Allora Ā è chiuso e Ȧ è aperto. Inoltre:

¯Ā = Ā,  ˙  ˙A = Ȧ.

Esercizio 1.8. Un sottospazio A ⊂ X discreto è chiuso.

Esercizio 1.9. Sia f : X → Y funzione fra spazi topologici.

• f è continua se e solo se f^{−1}(A) è chiuso in X per ogni chiuso A in Y.

• Se f è costante allora è continua.

• Se X ha topologia banale e Y discreta, allora f è continua solo se è costante.

• Se X ha topologia discreta, allora f è continua.

1.2. Costruzione di spazi topologici. Analogamente a quanto accade per i gruppi, gli anelli e gli spazi vettoriali, esistono alcune operazioni “universali” che permettono di costruire dei nuovi spazi topologici a partire da alcuni spazi dati. È spesso conveniente tenere a mente diverse definizioni di questi spazi: sia quelle più teoriche mediante proprietà universali, che altre più concrete.

1.2.1. Sottospazio. Un qualsiasi sottoinsieme Y ⊂ X di uno spazio topologico (X, T ) può essere dotato di una topologia, detta indotta, definita da una delle seguenti richieste equivalenti:

(1) la topologia meno fine fra tutte quelle che rendono la mappa inclusione i : Y ↪ X continua;

(2) un sottoinsieme A ⊂ Y è aperto se e solo se esiste un aperto A′ di X tale che A = A′ ∩ X.

(3) un sottoinsieme A ⊂ Y è chiuso se e solo se esiste un chiuso A′ di X tale che A = A′ ∩ X.

(4) la topologia su X che soddisfa la seguente proprietà universale: una funzione f : Z → Y definita su uno spazio topologico Z è continua se e solo se lo è la composizione i ∘ f : Z → X.

Assegneremo sempre ad un sottospazio la topologia indotta, anche senza menzionarla.

Proposizione 1.10. La restrizione di una funzione continua ad un sottospazio è continua.

Dim. Sia f : X → Y funzione continua e A ⊂ X sottospazio. Dato un aperto U di Y, dobbiamo mostrare che (f|_{A})^{−1}(U) è aperto in A. Sappiamo che f^{−1}(U) è aperto in X. Quindi f^{−1}(U) ∩ A è aperto in A. D’altra parte

f^{−1}(U) ∩ A = (f|_{A})^{−1}(U)

e quindi f|_{A} è continua. □

Esercizio 1.11. Sia X spazio topologico e B ⊂ A ⊂ X sottospazi.

• Se A è chiuso, B è chiuso in A se e solo se lo è in X.

• Se A è aperto, B è aperto in A se e solo se lo è in X.

• Descrivere esempi in cui B è chiuso o aperto in A e non in X.

Il risultato seguente è molto utile per costruire funzioni continue come “incollamento” di funzioni continue definite su sottospazi.

Proposizione 1.12. Siano X e Y spazi topologici. Siano A e B chiusi di X con X = A ∪ B. Siano f : A → Y e g : B → Y due funzioni continue coincidenti su A ∩ B. Allora la funzione h : X → Y definita da:

h(x) = \{ \begin{matrix}f(x) & se x ∈ A \\ g(x) & se x ∈ B \end{matrix}

è ben definita e continua.

Dim. La funzione h è ben definita perché le funzioni f e g coincidono sui punti di A ∩ B. Per dimostrare che h è continua usiamo l’Esercizio 1.9, e mostriamo che h^{−1}(C) è un chiuso in X per ogni chiuso C in Y.

Abbiamo h^{−1}(C) = f^{−1}(C)∪g^{−1}(C). Poiché f e g sono continue, f^{−1}(C) e g^{−1}(C) sono chiusi rispettivamente in A e in B, e quindi lo sono in X per l’Esercizio 1.11. La loro unione h^{−1}(C) è quindi un chiuso in X. □

Esercizio 1.13. Se un sottoinsieme A ⊂ X è discreto, la sua topologia indotta è discreta. Il viceversa non è vero: il sottoinsieme

A = \{\frac{1}{n} | n ∈ ℕ_{>0}\}

di ℝ ha la topologia discreta, ma non è un sottoinsieme discreto di ℝ!

1.2.2. Prodotto. Dati due spazi topologici X e Y, il prodotto cartesiano X × Y può essere dotato di una topologia, detta prodotto, definita da una delle seguenti richieste equivalenti:

(1) la topologia meno fine fra tutte quelle che rendono le proiezioni sui due fattori continue;

(2) la topologia definita dalla base seguente:

{U × V | U aperto di X, V aperto di Y }

(3) un sottoinsieme A ⊂ X × Y è aperto se e solo se A = ∪_{i∈I}(U_{i} × V_{i}), dove U_{i} e V_{i} sono aperti risp. in X e Y.

(4) la topologia che soddisfa la seguente proprietà universale: una funzione f : Z → X × Y definita su uno spazio topologico Z è continua se e solo se lo sono entrambe le composizioni

π_{X} ∘ f : Z → X, π_{Y} ∘ f : Z → Y

con le proiezioni π_{X} : X × Y → X e π_{Y} : X × Y → Y.

Esercizio 1.14. Se f : X → Y e g : W → Z sono funzioni continue fra spazi topologici, allora la funzione

(f × g) : X × W → Y × Z
(x, w) ↦ (f(x), g(w))

è continua.

1.2.3. Quoziente. Dato uno spazio topologico X ed una relazione di equivalenza ∼ in X, l’insieme quoziente X/_{∼} può essere dotato di una topologia, definita da una delle seguenti richieste equivalenti:

(1) la topologia più fine fra tutte quelle che rendono la proiezione π : X → X/_{∼} continua; (2) un sottoinsieme A ⊂ X/_{∼} è aperto se e solo se la sua controimmagine π^{−1}(A)

è aperta;

(3) la topologia che soddisfa la seguente proprietà universale: una funzione f : X/_{∼} → Z a valori in uno spazio topologico Z è continua se e solo se lo è la composizione f ∘ π : X → Z con la proiezione.

Il risultato seguente è un po’ tecnico, ma utile per dimostrare che il quoziente di uno spazio topologico è omeomorfo ad un altro spazio.

Proposizione 1.15. Sia π : X → X/_{∼} un quoziente di uno spazio topologico X. Sia Y spazio topologico, e f : X/_{∼} → Y una biezione. Se F = f ∘ π è continua, ed è anche aperta o chiusa, allora f è un omeomorfismo.

\xymatrix{X \ar[dr]_{π} \ar[rr]^{F} &  & Y \\  & X/_{∼} \ar@{.>}[ur]_{f}}

1.3. Assiomi di separazione. Per dimostrare alcuni teoremi generali è necessario supporre che gli spazi topologici soddisfino qualche assioma. Tra quelli più usati troviamo i seguenti.

Definizione 1.16. Sia X uno spazio topologico.

• X è T_{0} se per ogni x, y ∈ X esiste un aperto che contiene x e non y, oppure viceversa. In altre parole, la topologia distingue i punti.

• X è T_{1} se per ogni x, y ∈ X esiste un aperto che contiene x e non y, e viceversa. In altre parole, per ogni x l’insieme {x} è chiuso.

• X è T_{2} o di Hausdorff se per ogni x, y ∈ X esistono due aperti U e V disgiunti che contengono risp. x e y.

Proposizione 1.17. Un sottospazio di uno spazio di Hausdorff è di Hausdorff. Il prodotto di due spazi di Hausdorff è di Hausdorff.

1.4. Compattezza. Un sottoricoprimento di un ricoprimento {A_{i}} di uno spazio X è una collezione di alcuni dei sottoinsiemi A_{i}, la cui unione è sempre X.

Definizione 1.18. Uno spazio topologico X è compatto se ogni ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito.

Diciamo che un sottoinsieme A di uno spazio topologico X è compatto se lo è con la topologia indotta.

Teorema 1.19. Sia X uno spazio topologico.

• Se X è compatto e A ⊂ X è chiuso, allora A è compatto.

• Se X è di Hausdorff e A ⊂ X è compatto, allora A è chiuso.

Teorema 1.20. Siano X e Y spazi topologici.

• Se f : X → Y è continua e X è compatto, allora f(X) è compatto.

• Ne segue che il quoziente di uno spazio compatto è compatto.

• Il prodotto X × Y è compatto se e solo se lo sono entrambi X e Y.

Esercizio 1.21. Un sottoinsieme discreto di uno spazio compatto è finito.

1.5. Connessione.

Definizione 1.22. Uno spazio topologico X è connesso se non è l’unione disgiunta di due aperti non vuoti.

Diciamo che un sottoinsieme A di uno spazio topologico X è connesso se lo è con la topologia indotta.

Proposizione 1.23. Sia X uno spazio topologico. L’unione di due sottoinsiemi connessi non disgiunti è un sottoinsieme connesso.

Dim. ^{2} Siano U e V connessi con U ∩ V ≠ ∅. Sia x ∈ U ∩ V. Supponiamo che U ∪V = A∪B dove A e B sono aperti disgiunti di U ∪V. Allora A∩U e B ∩U sono aperti disgiunti di U, che ricoprono U. Poiché U è connesso, abbiamo A ∩ U = ∅ e B = U, o viceversa. Lo stesso vale per V, e segue facilmente che A = ∅ e B = U ∪V, o viceversa. □

Teorema 1.24. Siano X e Y spazi topologici.

• Se f : X → Y è continua e X è connesso, allora f(X) è connesso.

• Ne segue che il quoziente di uno spazio connesso è connesso.

• Il prodotto X × Y è connesso se e solo se lo sono entrambi X e Y.

1.6. Componenti connesse. Dato uno spazio topologico X, definiamo una relazione ∼ su X nel modo seguente: x ∼ y se e solo se esiste un sottoinsieme connesso A ⊂ X che contiene entrambi x e y.

Proposizione 1.25. La ∼ è una relazione di equivalenza.

Dim. Le proprietà riflessiva e simmetrica sono facili. La transitiva è più delicata: se x ∼ y e y ∼ z, esistono due connessi A ⊃ {x, y} e B ⊃ {y, z}. Poiché y ∈ A ∩ B, la Proposizione 1.23 implica che A ∪ B è connesso: quindi da A ∪ B ⊃ {x, y, z} segue che x ∼ z. □

La relazione d’equivalenza induce su X una partizione in sottoinsiemi, detti componenti connesse di X.

Proposizione 1.26. Un sottoinsieme di X è una componente connessa se e solo se è un connesso contenuto in nessun connesso strettamente più grande.

Ogni componente connessa di X è chiusa.

2Questa dimostrazione apparentemente innocua contiene alcune insidie tipiche della topologia indotta: è importante ad ogni passo tenere a mente che gli aperti di U non sono necessariamente aperti in U ∪ V, né tanto meno in X.

Dim. La prima parte è un utile esercizio. Dimostriamo la seconda: sia x un punto esterno ad una componente connessa C. Mostriamo che esiste un intorno aperto U(x) di x disgiunto da C: ne segue che C è chiuso.

Per il primo punto, il sottospazio C ∪{x} non è connesso. Quindi C ∪{x} è unione di due aperti disgiunti. Poiché C è connesso, è facile vedere che gli aperti devono essere necessariamente C e {x}. Che {x} sia aperto dentro C ∪ {x}, vuol dire^{3} che c’è un aperto U(x) di X contenente x e disgiunto da C. □

2. Spazi metrici

2.1. Definizione. Uno spazio metrico è una coppia (X, d) dove X è un insieme e d una distanza su X, ovvero di una funzione d : X × X → ℝ tale che:

• d(x, y) ⩾ 0 ∀x, y ∈ X, con d(x, y) = 0 se e solo se x = y;

• d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X;
• d(x, z) ⩽ d(x, y) + d(y, z) ∀x, y, z ∈ X (disuguaglianza triangolare).

Dato x ∈ X e r > 0, chiamiamo la palla di raggio r intorno a x il sottoinsieme di X seguente:

B_{r}(x) = {y ∈ X | d(x, y) < r}

Proposizione 2.1. L’insieme di tutte le palle

{B_{r}(x) | r > 0, x ∈ X}

è un ricoprimento di X che soddisfa la (1).

Dim. Sono chiaramente un ricoprimento, perché x ∈ B_{r}(x) per un qualsiasi r. Dati B_{r}(x) e B_{r′}(x′) con y ∈ B_{r}(x) ∩ B_{r′}(x′), abbiamo B_{ϵ}(y) ⊂ B_{r}(x) ∩ B_{r′}(x′) per ϵ sufficientemente piccolo, grazie alla disuguaglianza triangolare: basta prendere ϵ ⩽ min (r − d(y, x), r′ − d(y, x′)). □

Uno spazio metrico è quindi in particolare anche uno spazio topologico: una base per la topologia è data dall’insieme di tutte le palle.

Proposizione 2.2. Uno spazio metrico è di Hausdorff.

Dim. Dati x, y ∈ X, le due palle B_{ϵ}(x) e B_{ϵ}(y) sono disgiunte per un qualsiasi ϵ < d(x, y)/2, sempre per la disuguaglianza triangolare. □

Il diametro di uno spazio metrico (X, d) è

diam(X) = sup {d(x, y) | x, y ∈ X}.

Uno spazio metrico è limitato se ha diametro finito.

3Anche in questa dimostrazione si deve stare attenti a come la definizione di “aperto” dipenda dallo spazio in cui è considerato.

2.2. Spazio euclideo. Lo spazio euclideo ℝ^{n}, dotato della distanza euclidea

d(x, y) = \sqrt{∑_{i=1}^{n}(x_{i} − y_{i})^{2}}

è uno spazio metrico. Teorema 2.3. Il segmento [0, 1] è connesso e compatto. Teorema 2.4. Un sottoinsieme X di ℝ^{n} è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Tra i sottoinsiemi notevoli di ℝ^{n}, che ereditano la topologia del sottospazio, troviamo:

D^{n} = {x ∈ ℝ^{n} | |x| ⩽ 1},
B^{n} = {x ∈ ℝ^{n} | |x| < 1},
S^{n−1} = {x ∈ ℝ^{n} | |x| = 1}.

detti rispettivamente il disco, la palla, e la sfera. Esercizio 2.5. La palla B^{n} e ℝ^{n} sono omeomorfi, tramite la mappa

ψ : B^{n} → ℝ^{n}
x ↦ tan(|x|π/2)x

Proposizione 2.6. Gli spazi D^{n}, B^{n} e S^{n−1} sono connessi. Il disco e la sfera sono compatti.

Lo spazio ℂ^{n} eredita la topologia di ℝ^{2n}. Gli spazi proiettivi reale ℝℙ^{n} e complesso ℂℙ^{n} sono definiti come

ℝℙ^{n} = (ℝ^{n+1} \ {0})/_{∼}, ℂℙ^{n} = (ℂ^{n+1} \ {0})/_{∼}

dove v ∼ v′ se e solo se v = λv′ per qualche scalare λ. Sono dotati della topologia quoziente. Teorema 2.7. Gli spazi ℝℙ^{n} e ℂℙ^{n} sono compatti e connessi per ogni n ⩾ 1.

3. Archi

Un arco o cammino in uno spazio topologico X è una funzione continua α : [0, 1] → X. Diciamo che l’arco collega i punti α(0) e α(1), detti rispettivamente di partenza e di arrivo per α.

3.1. Connessione per archi. Uno spazio X è connesso per archi se per ogni coppia di punti in X esiste un arco che li collega. In altre parole, per ogni x, y ∈ X esiste un arco α : [0, 1] → X tale che α(0) = x e α(1) = y.

Proposizione 3.1. Ogni spazio topologico connesso per archi è connesso. Il sottospazio Z ⊂ ℝ^{2} definito da

Z = {(0, y)||y| ⩽ 1} ∪ {(x, sin 1/x)|0 < x ⩽ 1}

è connesso ma non connesso per archi.

Dim. Se X è connesso per archi, per ogni x, y in X esiste un arco α : [0, 1] → X con α(0) = x e α(1) = y. L’intervallo [0, 1] è connesso, e quindi la sua immagine α([0, 1]) è un connesso che contiene x e y: segue che x ∼ y. Quindi X ha una sola componente connessa, cioè è connesso.

Consideriamo ora il sottospazio Z di ℝ^{2} dato. Il sottospazio Z∩{x > 0} è connesso per archi perché è l’immagine della funzione continua f : (0, 1] → ℝ^{2}, f(x) = sin(1/x) definita sul connesso per archi (0, 1]. Anche Z ∩{x = 0} è connesso per archi. Quindi Z ha una o due componenti connesse. Il connesso Z ∩ {x > 0} non è chiuso in Z: quindi non può essere una componente connessa per la Proposizione 1.26. Segue che Z è connesso.

D’altra parte, non è troppo difficile verificare che non esiste una funzione continua f : [0, 1] → Z con f(0) = (0, 0) e f(1) = (1/π, 0). Quindi Z non è connesso per archi. □

3.2. Operazioni con gli archi. Sia X uno spazio topologico. L’inverso di un arco α è l’arco α′(t) definito da α′(t) = α(1 − t). Quando questo non crea confusione con l’inversa di una funzione, l’inverso di un arco viene indicato con α^{−1}.

Siano α e β due archi in X con α(1) = β(0). Il concatenamento α ∗ β di α e β è l’arco

(α ∗ β)(t) = \{ \begin{matrix}α(2t) & se t ⩽ 1/2, \\ β(2t − 1) & se t ⩾ 1/2, \end{matrix}

che è in effetti continuo per la Proposizione 1.12.

Esercizio 3.2. Abbiamo (α ∗ β)^{−1} = β^{−1} ∗ α^{−1}.

3.3. Componenti connesse per archi. Analogamente a quanto fatto sopra nella Sezione 1.5, possiamo definire una relazione ∼ su uno spazio topologico X nel modo seguente: x ∼ y se e solo se esiste un cammino che collega x e y.

Proposizione 3.3. La ∼ è una relazione di equivalenza.

Dim. x ∼ x: la funzione costante α(t) = x ∀t ∈ [0, 1] è continua, ed è quindi un cammino che collega x a se stesso.

x ∼ y ⇒ y ∼ x: se esiste un cammino α che collega x e y, il cammino inverso α^{−1} collega y e x.

x ∼ y, y ∼ z ⇒ x ∼ z: esistono due cammini α e β con α(0) = x, α(1) = β(0) = y e β(1) = z. Il concatenamento α ∗ β collega x a z. □

La relazione d’equivalenza induce quindi su X una partizione in sottoinsiemi, detti componenti connesse per archi di X. A differenza delle componenti connesse, le componenti connesse per archi non sono necessariamente chiuse.

Proposizione 3.4. Un aperto di ℝ^{n} è connesso se e solo se è connesso per archi.

Dim. Sia X un aperto di ℝ^{n}. Mostriamo che ogni componente connessa per archi C di X è aperta. Prendiamo x ∈ C. Poiché X è aperto, esiste r tale che B_{r}(x) ⊂ X. Tutti i punti di B_{r}(x) sono collegabili a x tramite archi: quindi B_{r}(x) ⊂ C. Quindi C è aperto per la Proposizione 1.4.

Se X è connesso, non può essere unione di aperti disgiunti non vuoti. Quindi può avere una sola componente connessa per archi: in altre parole, è connesso per archi. □

4. Categorie e funtori

Gli spazi topologici e le mappe continue sono oggetti molto complessi e difficili da studiare in modo diretto. Anche domande molto semplici, quali se ℝ^{n} e ℝ^{m} siano omeomorfi, risultano praticamente impossibili usando soltanto le definizioni.

Per questo si cerca di semplificare il problema “proiettando” (con una inevitabile perdita di informazioni) il “mondo” degli spazi topologici e delle mappe continue su un altro mondo più facile da studiare, come quello degli insiemi o dei gruppi. In matematica, i “mondi” e le loro “proiezioni” sono concetti definiti rigorosamente, chiamati “categorie” e “funtori”.

4.1. Categoria. Una categoria^{4} consiste di:

• una classe, i cui elementi sono insiemi (eventualmente dotati di strutture) chiamati oggetti;

• per ogni coppia ordinata (A, B) di oggetti, un insieme Hom(A, B) di funzioni

da A a B chiamati morfismi. Nella definizione si chiede che:

(1) Hom(A, A) contenga la funzione identità id_{A}, per ogni oggetto A;

(2) se f ∈ Hom(A, B) e g ∈ Hom(B, C) allora g ∘ f ∈ Hom(A, C). Tra gli esempi più comuni di categorie troviamo:

• gli insiemi e le mappe fra questi;

• i gruppi e i loro omomorfismi;

• gli spazi vettoriali e le applicazioni lineari;

• gli spazi topologici e le funzioni continue.

4La definizione presente qui è un po’ semplificata (e meno generale) rispetto a quella usuale.

4.2. Funtore. Un funtore è una mappa F : C → D fra due categorie, che associa: • ad ogni oggetto X di C un oggetto F (X) di D;

• ad ogni morfismo f : X → Y un morfismo F (f) : F (X) → F (Y); in modo tale che:

(1) F (id_{X}) = id_{F (X)} per ogni oggetto X in C;

(2) F (g ∘ f) = F (g) ∘ F (f) per ogni coppia di morfismi f : X → Y e g : Y → Z. Per semplicità il morfismo F (f) associato ad f è spesso indicato con f_{∗}.

Osservazione 4.1. Normalmente un funtore definito in questo modo è detto covariante, mentre un funtore controvariante associa ad un morfismo f : X → Y un morfismo F (f) : F (Y) → F (X). In questo corso vedremo solo funtori covarianti^{5}.

4.3. Componenti connesse. Costruiamo adesso un funtore dalla categoria degli spazi topologici in quella degli insiemi.

Dato uno spazio topologico X, indichiamo con CC(X) l’insieme delle sue componenti connesse. Una funzione continua f : X → Y fra spazi topologici induce una f_{∗} : CC(X) → CC(Y) nel modo seguente: se C è una componente connessa di X, la sua immagine f(C) ⊂ Y è connessa (per il Teorema 1.24) ed è quindi interamente contenuta in una componente connessa C′ di Y. Definiamo f_{∗}(C) = C′.

Esercizio 4.2. La mappa CC è un funtore dalla categoria degli spazi topologici in quella degli insiemi.

Questo funtore un po’ “rozzo” perde molte informazioni sugli spazi topologici, perché praticamente sostituisce ogni componente connessa con un punto. Nella prossima sezione definiremo un funtore molto più raffinato, che associa ad ogni spazio topologico un gruppo. Il funtore CC ha comunque delle proprietà che permettono già di rispondere ad alcune domande.

Proposizione 4.3. Se f è suriettiva anche f_{∗} lo è.

Dim. Sia f : X → Y e C una componente connessa di Y. Poiché f è suriettiva, esiste x ∈ X con f(x) ∈ C e quindi indicando con C_{x} la componente connessa di X contenente x, abbiamo f(C_{x}) ⊂ C, ovvero f_{∗}(C_{x}) = C. □

Corollario 4.4. Sia f : X → Y una funzione continua suriettiva fra spazi topologici. Lo spazio Y non può avere più componenti connesse di X.

Dim. Se f è suriettiva anche f_{∗} : CC(X) → CC(Y) lo è e quindi CC(Y) non può avere cardinalità superiore a CC(X). □

Esercizio 4.5. Mostrare con esempi semplici che f iniettiva non implica in generale che f_{∗} sia iniettiva.

5Un esempio di funtore controvariante è quello che associa ad ogni spazio vettoriale V su un campo fissato il suo spazio duale V^{∗}, e ad ogni f : V → W l’applicazione trasposta f^{∗} : W^{∗} → V^{∗}, definita come f^{∗}(g) = g ∘ f.

4.4. Prodotto. Ci sono alcune costruzioni che si presentano in modo simile nelle varie categorie. Tra queste, i prodotti e i quozienti, che vengono fatti (quando possibile!) per spazi topologici, gruppi, spazi vettoriali, insiemi, etc. Diamo una definizione di prodotto valida in una generica categoria.

Sia C una categoria. Siano X e Y due oggetti di C. Un oggetto W e due morfismi π_{X} : W → X e π_{Y} : W → Y sono un prodotto di X e Y se soddisfano la seguente proprietà universale: dato un oggetto Z e due morfismi f : Z → X e g : Z → Y, esiste un unico morfismo h : Z → W tale che il seguente diagramma commuti:

[figure: Z; g; f; ∃! h; W; π_{X}; π_{Y}; X; Y]

I prodotti esistono nelle categorie degli insiemi, dei gruppi, degli anelli, degli spazi vettoriali e degli spazi topologici. Non esistono ad esempio nella categoria dei campi.

Vedremo nella Sezione 10 una costruzione, chiamata prodotto amalgamato, che è in un certo senso “duale” a quella di prodotto descritta qui.

5. Omotopia

5.1. Definizione. Siano X e Y due spazi topologici. Una omotopia fra due funzioni continue f : X → Y e g : X → Y è una funzione continua

F : X × [0, 1] → Y

tale che F (x, 0) = f(x) e F (x, 1) = g(x) per ogni x ∈ X. Diciamo che l’omotopia F collega le funzioni f e g. Due funzioni f e g sono quindi omotope se c’è una omotopia che le collega.

Proposizione 5.1. L’omotopia è una relazione d’equivalenza nell’insieme delle funzioni continue da X in Y.

Dim. f ∼ f: la funzione F (x, t) = f(x) è continua (perché se U è aperto in Y, allora F^{−1}(U) = f^{−1}(U) × [0, 1] è aperto in X × [0, 1]) e collega f a se stessa.

f ∼ g ⇒ g ∼ f: se F (x, t) collega f e g, la funzione G(x, t) = F (x, 1 − t) è continua (perché è composizione di F e di j : X × [0, 1] → X × [0, 1] data da j(x, t) = j(x, 1 − t), che è continua) e collega g e f.

f ∼ g, g ∼ h ⇒ f ∼ h: se F e G collegano risp. f a g e g a h, la funzione

H(x, t) = \{ \begin{matrix}F (x, 2t) & per t ⩽ 1/2, \\ G(x, 2t − 1) & per t ⩾ 1/2; \end{matrix}

è ben definita e continua per la Proposizione 1.12, e collega f a h. □

Proposizione 5.2. Se f ∼ f′ : X → Y e g ∼ g′ : Y → Z, allora

g ∘ f ∼ g′ ∘ f′ : X → Z.

Dim. Siano F : X × [0, 1] → Y e G : Y × [0, 1] → Z omotopie che legano risp. f a f′ e g a g′. La mappa seguente

\begin{aligned}H : & X × [0, 1] & → & Z, \\ & (x, t) & ↦ & G(F (x, t), t). \end{aligned}

lega g ∘ f a g′ ∘ f′, poiché

\begin{aligned}G(F (x, 0), 0) & = & G(f(x), 0) & = & g(f(x)), \\ G(F (x, 1), 1) & = & G(f′(x), 1) & = & g′(f′(x)). \end{aligned}

ed è continua, perché è composizione di G e della funzione X × [0, 1] → Y × [0, 1] data da (x, t) ↦ (F (x, t), t), che è continua perché lo è ciascuna delle sue due componenti. □

L’affermazione seguente dice che il funtore CC definito nella Sezione 4 non “vede” l’omotopia, cioè non distingue mappe omotope.

Proposizione 5.3. Se f ∼ f′ : X → Y sono omotope allora inducono la stessa funzione f_{∗} = f′_{∗} : CC(X) → CC(Y).

Dim. Sia F l’omotopia che collega f e f′. Sia C ∈ CC(X) una componente connessa di X. Preso x_{0} ∈ X, le immagini f(x_{0}) e f′(x_{0}) sono collegate dall’arco t ↦ F (x_{0}, t), e quindi appartengono alla stessa componente connessa di Y. Quindi f_{∗}(C) = f′_{∗}(C). □

Proposizione 5.4. Due funzioni f, g : X → C da uno spazio topologico X in un convesso C ⊂ ℝ^{n} sono sempre omotope.

Dim. L’omotopia F : X × [0, 1] → C è definita semplicemente come combinazione convessa delle funzioni f e g:

F (x, t) = t · f(x) + (1 − t) · g(x).

Il fatto che C sia convesso garantisce che la F abbia sempre valori in C. □

5.2. Spazi omotopicamente equivalenti.

Definizione 5.5. Due spazi X e Y sono omotopicamente equivalenti se esistono due funzioni continue f : X → Y e g : Y → X tali che g ∘ f ∼ id_{X} e f ∘ g ∼ id_{Y}.

Proposizione 5.6. L’equivalenza omotopica è una relazione di equivalenza nella classe degli spazi topologici.

Dim. Le proprietà riflessiva e simmetrica sono ovvie. Dimostriamo la transitiva: abbiamo

\xymatrix{X \ar[r]_{f} & Y \ar[l]_{g} \ar[r]_{f′} & Z \ar[l]_{g′}}

e usando la Proposizione 5.2 vediamo che

g ∘ g′ ∘ f′ ∘ f = g ∘ (g′ ∘ f′) ∘ f ∼ g ∘ f ∼ id_{X}

e analogamente che f′ ∘ f ∘ g ∘ g′ ∼ id_{Z}. □

Uno spazio topologico X è contrattile se è omotopicamente equivalente ad un punto^{6}.

Proposizione 5.7. Un convesso C in ℝ^{n} è contrattile.

Dim. Sia P il punto. Definiamo f : C → P come l’unica funzione possibile, e g : P → C come una funzione qualsiasi. Quindi f ∘ g : P → P è l’identità, e g ∘ f : C → C è omotopa all’identità per la Proposizione 5.4. □

Corollario 5.8. Gli spazi ℝ^{n}, D^{n} e B^{n} sono contrattili, per ogni n.

Abbiamo già visto che il funtore CC non distingue mappe omotope. Ne segue che non distingue spazi omotopicamente equivalenti:

Proposizione 5.9. Se X e Y sono omotopicamente equivalenti allora CC(X) e CC(Y) hanno la stessa cardinalità.

Dim. Per ipotesi esistono f : X → Y e g : Y → X tali che g ∘ f ∼ id_{X} e f ∘ g ∼ id_{Y}. La Proposizione 5.3 quindi implica che le funzioni f_{∗} : CC(X) → CC(Y) e g_{∗} : CC(Y) → CC(X) sono una inversa dell’altra. □

6. Gruppo fondamentale

6.1. Spazi puntati e lacci. Uno spazio topologico puntato è una coppia (X, x_{0}) dove X è uno spazio topologico e x_{0} è un punto di X, detto punto base.

Per definizione, un morfismo

f : (X, x_{0}) → (Y, y_{0})

fra spazi puntati è una funzione continua f : X → Y tale che f(x_{0}) = y_{0}.

Esercizio 6.1. Gli spazi topologici puntati assieme ai loro morfismi formano una categoria.

6Si intende ovviamente uno spazio topologico formato da un punto solo.

Un laccio in (X, x_{0}) è un arco che parte e arriva in x_{0}. Ricordiamo che l’inverso α^{−1} di un arco t ↦ α(t) è l’arco t ↦ α(1−t). L’inverso di un laccio in (X, x_{0}) è quindi anch’esso un laccio. Inoltre due lacci α e β un (X, x_{0}) sono sempre concatenabili, ed il risultato α ∗ β è un altro laccio in (X, x_{0}).

Sia Ω_{1}(X, x_{0}) l’insieme dei lacci in X, dotato dell’operazione binaria ∗. Vorremmo che questo insieme fosse un gruppo: purtroppo nessuno degli assiomi necessari è verificato! Risolviamo subito questo problema quozientando l’insieme Ω_{1}(X, x_{0}) tramite un’opportuna definizione di omotopia.

6.2. Omotopia fra archi ad estremi fissati. Siano α, β : [0, 1] → X due archi a valori in uno spazio topologico X, coincidenti agli estremi: cioè con α(0) = β(0) e α(1) = β(1). Una omotopia con estremi fissati tra α e β è una omotopia tra α e β

F : [0, 1] × [0, 1] → X

in cui gli estremi sono fissati ad ogni tempo t. Devono cioè valere le relazioni • F (s, 0) = α(s) e F (s, 1) = β(s) per ogni s ∈ [0, 1],

• F (0, t) = α(0) = β(0) e F (1, t) = α(1) = β(1) per ogni t ∈ [0, 1]. Ad esempio, se α e β sono lacci in (X, x_{0}), ogni arco intermedio s ↦ F (s, t) deve

essere anch’esso un laccio in (X, x_{0}), per ogni t.

Tutte le omotopie che considereremo fra archi saranno ad estremi fissati: per questo motivo, spesso le chiameremo semplicemente omotopie. Due archi α e β aventi gli stessi estremi sono omotopi (ad estremi fissati) se esiste una tale omotopia.

I due esercizi seguenti, e le loro dimostrazioni, sono analoghi alle Proposizioni 5.1 e 5.2.

Esercizio 6.2. Sia X uno spazio topologico e x_{0}, x_{1} due punti fissati. La relazione di omotopia a estremi fissati ∼ è una relazione di equivalenza nell’insieme di tutti gli archi che partono in x_{0} e arrivano in x_{1}.

Esercizio 6.3. Se α ∼ α′ sono archi omotopi (a estremi fissati) in X, e g : X → Y è una funzione continua fra gli spazi topologici X e Y, allora g ∘ α ∼ g ∘ α′ sono archi omotopi (a estremi fissati).

La relazione di omotopia fra archi è inoltre preservata dall’operazione di concatenamento:

Proposizione 6.4. Se α ∼ α′ e β ∼ β′ sono archi in X con α(1) = β(0), allora α ∗ β ∼ α′ ∗ β′.

Dim. Siano A : [0, 1] × [0, 1] → X e B : [0, 1] × [0, 1] → X omotopie che collegano rispettivamente α a α′ e β a β′. L’omotopia seguente collega α ∗ β a α′ ∗ β′:

\begin{aligned}C : & [0, 1] × [0, 1] & → & X \\ & (s, t) & ↦ & \{ \begin{matrix}A(2s, t) & per s ⩽ 1/2, \\ B(2s − 1, t) & per s ⩾ 1/2. \end{matrix} \end{aligned}

□

Le relazioni seguenti saranno utili alla costruzione del gruppo fondamentale.

Proposizione 6.5. Siano α, β e γ archi in X con α(1) = β(0) e β(1) = γ(0). Sia inoltre σ l’arco costante σ(s) = α(1) ∀s. Valgono le relazioni seguenti:

• (α ∗ β) ∗ γ ∼ α ∗ (β ∗ γ);

• α ∗ σ ∼ α e σ ∗ β ∼ β;
• β ∗ β^{−1} ∼ σ.

Dim. Abbiamo:

(α ∗ β) ∗ γ : [0, 1] → X
s ↦ \{ \begin{matrix}α(4s) & per s ⩽ 1/4, \\ β(4s − 1) & per 1/4 ⩽ s ⩽ 1/2, \\ γ(2s − 1) & per s ⩾ 1/2. \end{matrix}

α ∗ (β ∗ γ) : [0, 1] → X
s ↦ \{ \begin{matrix}α(2s) & per s ⩽ 1/2, \\ β(4s − 2) & per 1/2 ⩽ s ⩽ 3/4, \\ γ(4s − 3) & per s ⩾ 3/4. \end{matrix}

Una omotopia fra (α ∗ β) ∗ γ e α ∗ (β ∗ γ) è data da:

F : [0, 1] × [0, 1] → X

(s, t)  ↦ \{ \begin{matrix}α (\frac{4s}{2−t}) & per t ⩽ 2 − 4s, \\ β(4s − 2 + t) & per 2 − 4s ⩽ t ⩽ 3 − 4s, \\ γ (\frac{4s−4}{t+1} + 1) & per t ⩾ 3 − 4s. \end{matrix}

Si veda Fig. 1.

Un’omotopia tra α ∗ σ e α è data da:

\begin{matrix}F : [0, 1] × [0, 1] & → & X \\ (s, t) & ↦ & \{ \begin{matrix}α (\frac{2s}{2−t}) & per t ⩽ 2 − 2s, \\ α(1) & per t ⩾ 2 − 2s. \end{matrix} \end{matrix}

Si veda Fig. 2-(sinistra). Si costruisce analogamente un’omotopia fra σ ∗ β e β. Infine, una omotopia tra β ∗ β^{−1} e σ è data da:

F : [0, 1] × [0, 1] → X
(s, t) ↦ \{ \begin{matrix}β(2s) & per s ⩽ \frac{1−t}{2}, \\ β(1 − t) & per \frac{1−t}{2} ⩽ s ⩽ \frac{1+t}{2}, \\ β(2 − 2s) & per s ⩾ \frac{1+t}{2}. \end{matrix}

Si veda Fig. 2-(destra).

Notiamo la differenza fra le prime due omotopie, in cui le varie α, β, γ vengono solo riscalate al variare di t (cioè viene cambiata la velocità di percorrenza del laccio), e

CORSO DI TOPOLOGIA 2007 17

Figure 1: Costruzione dell’omotopia fra (α ∗ β) ∗ γ e α ∗ (β ∗ γ). Figure 2: Costruzione dell’omotopia fra α e α ∗ σ (sinistra) e fra β ∗ β^{−1} e σ (destra).

l’ultima, in cui le velcità di α e α^{−1} rimangono alterate, ma la curva viene “troncata” progressivamente, al variare di t. □ 6.3. Gruppo fondamentale.

Definizione 6.6. Il gruppo fondamentale π_{1}(X, x_{0}) di uno spazio topologico è il quoziente

Ω_{1}(X, x_{0})/_{∼}

dell’insieme dei lacci Ω_{1}(X, x_{0}) tramite la relazione ∼ d’omotopia (a estremi fissati).

Come mostra il teorema seguente, l’insieme π_{1}(X, x_{0}) risulta appunto essere un gruppo. L’operazione ∗ è quella data dal concatenamento in Ω_{1}(X, x_{0}), che è ben definita anche in π_{1}(X, x_{0}) grazie alla Proposizione 6.4.

L’elemento di π_{1}(X, x_{0}) rappresentato da un laccio α è indicato con [α].

Teorema 6.7. (π_{1}(X, x_{0}), ∗) è un gruppo.

Dim. Definiamo come elemento neutro la classe del laccio costante. Questo è effettivamente un elemento neutro grazie alla Proposizione 6.5. Per la stessa proposizione, l’operazione è associativa, ed ogni elemento [α] ha un inverso, dato da [α^{−1}]. □

6.4. Il gruppo fondamentale è un funtore. Una mappa continua f : (X, x_{0}) → (Y, y_{0}) induce^{7} una mappa f_{∗} : Ω_{1}(X, x_{0}) → Ω_{1}(Y, y_{0}), che associa ad un laccio α : [0, 1] → X il laccio f ∘ α : [0, 1] → Y.

Proposizione 6.8. La mappa f_{∗} è ben definita al quoziente f_{∗} : π_{1}(X, x_{0}) → π_{1}(Y, y_{0}) ed è un omomorfismo.

Dim. Se α ∼ α′ sono lacci omotopi, allora f ∘ α ∼ f ∘ α′ per l’Esercizio 6.3. Quindi f_{∗} è ben definita. Abbiamo

f ∘ (α ∗ β) = (f ∘ α) ∗ (f ∘ β)

per ogni α, β ∈ Ω_{1}(X, x_{0}): quindi f_{∗} è un omomorfismo. □

Quindi π_{1} è un funtore dalla categoria degli spazi puntati (con mappe continue) alla categoria dei gruppi (con omomorfismi): le due proprietà necessarie sono dimostrate facilmente.

6.5. Dipendenza del punto base. In molte situazioni, se lo spazio X è connesso per archi il punto base x_{0} può essere ignorato, in virtù del risultato seguente:

Proposizione 6.9. Se X è connesso per archi, π_{1}(X, x_{0}) e π_{1}(X, x′_{0}) sono isomorfi per ogni x_{0} e x′_{0} in X.

Dim. Sia λ : [0, 1] → X un arco che collega x_{0} e x′_{0}. Definiamo una funzione

ψ : Ω_{1}(X, x_{0}) → Ω_{1}(X, x′_{0})

nel modo seguente: se α ∈ Ω_{1}(X, x_{0}), allora ψ(α) è il laccio definito come

ψ(α) = λ^{−1} ∗ (α ∗ λ).

7Ricordiamo che f(x_{0}) = y_{0} per definizione.

Si veda la Fig. 3. Se α′ è un laccio in (X, x_{0}) omotopo ad α, per la Proposizione 6.4 otteniamo

ψ(α′) = λ^{−1} ∗ (α′ ∗ λ) ∼ λ^{−1} ∗ (α ∗ λ) = ψ(α).

La mappa ψ passa quindi al quoziente, e induce una

ψ : π_{1}(X, x_{0}) → π_{1}(X, x′_{0}).

Mostriamo che ψ è un omomorfismo. Infatti:

ψ(α) ∗ ψ(β) = (λ^{−1} ∗ (α ∗ λ)) ∗ (λ^{−1} ∗ (β ∗ λ)) ∼ ((λ^{−1} ∗ α) ∗ (λ ∗ λ^{−1})) ∗ (β ∗ λ)

∼ (λ^{−1} ∗ α) ∗ (β ∗ λ) ∼ λ^{−1} ∗ ((α ∗ β) ∗ λ) = ψ(α ∗ β)

per la Proposizione 6.5. Infine, ψ è un isomorfismo, poiché ha un’inversa ϕ : π_{1}(X, x′_{0}) → π_{1}(X, x_{0}) costruita allo stesso modo come:

ϕ(α) = λ ∗ (α ∗ λ^{−1}).

Questa è effettivamente l’inversa di ψ, poiché

ϕ(ψ(α)) = λ ∗ (λ^{−1} ∗ (α ∗ λ)) ∗ λ^{−1} ∼ (λ ∗ λ^{−1}) ∗ (α ∗ (λ ∗ λ^{−1})) ∼ α.
□

Figure 3: Il laccio ϕ(α). È importante notare che l’isomorfismo tra π_{1}(X, x_{0}) e π_{1}(X, x′_{0}) non è canonico perché dipende dalla scelta dell’arco λ che collega i punti base. Per questo motivo, l’isomorfismo è a volte indicato con ψ_{λ}.

D’ora in poi, se X è connesso per archi indichiamo con π_{1}(X) il gruppo π_{1}(X, x_{0}), visto che non dipende (a meno di isomorfismi) dalla scelta di x_{0} ∈ X. Dobbiamo però ricordarci che senza fissare dei punti base non è possibile interpretare un elemento di π_{1}(X) come una classe di lacci in X, né associare ad una mappa f : X → Y un omomorfismo f_{∗} : π_{1}(X) → π_{1}(Y).

Uno spazio topologico X connesso per archi e avente π_{1}(X) banale si dice semplicemente connesso.

Esercizio 6.10. Un punto è semplicemente connesso.

6.6. Omotopia. Abbiamo visto nella Sezione 5 che il funtore CC non distingue mappe omotope. Non lo fa neanche il funtore π_{1}. Per poter asserire con precisione questo fatto dobbiamo tenere conto dei punti base.

Lemma 6.11. Siano f ∼ g : X → Y due mappe omotope fra spazi topologici. Sia x_{0} ∈ X qualsiasi. Esiste un isomorfismo

ψ : π_{1}(Y, f(x_{0})) → π_{1}(Y, g(x_{0}))

che fa commutare il diagramma

\xymatrix{ & π_{1}(Y, f(x_{0})) \ar@{.>}[dd]_{∃ψ} \\ π_{1}(X, x_{0}) \ar[ur]^{f_{∗}} \ar[dr]_{g_{∗}} \\  & π_{1}(Y, g(x_{0}))}

Dim. Sia

F : X × [0, 1] → Y

l’omotopia che collega f a g. Consideriamo l’arco λ(t) = (x_{0}, t) in X × [0, 1]. La composizione F ∘ λ collega i punti base f(x_{0}) e g(x_{0}). Come mostrato nella Proposizione 6.9, associando ad un laccio β in (Y, f(x_{0})) il laccio

(F ∘ λ)^{−1} ∗ (β ∗ (F ∘ λ))

in (Y, g(x_{0})), otteniamo un isomorfismo ψ : π_{1}(Y, f(x_{0})) → π_{1}(Y, g(x_{0})). Mostriamo che g_{∗} = ψ ∘ f_{∗}. Sia α un laccio in (X, x_{0}): dobbiamo far vedere che

g ∘ α ∼ (F ∘ λ)^{−1} ∗ ((f ∘ α) ∗ (F ∘ λ)).

Per fare ciò, definiamo gli archi in X × [0, 1]:

α_{0} : t ↦ (α(t), 0), α_{1} : t ↦ (α(t), 1)

e notiamo che

(F ∘ λ)^{−1} ∗ ((f ∘ α) ∗ (F ∘ λ)) = F ∘ (λ^{−1} ∗ (α_{0} ∗ λ)),
g ∘ α = F ∘ α_{1}.

Si vede facilmente che i lacci α_{1} e λ^{−1} ∗ (α_{0} ∗ λ) in (X × [0, 1], (x_{0}, 1)) sono omotopi, si veda la Fig. 4. Segue quindi la tesi. □

Corollario 6.12. Una equivalenza omotopica f : X → Y fra spazi topologici induce un isomorfismo f_{∗} : π_{1}(X, x_{0}) → π_{1}(Y, f(x_{0})), per ogni x_{0}.

Figure 4: Descrizione dell’motopia fra α_{1} e λ^{−1} ∗(α_{0} ∗λ) in (X ×[0, 1], (x_{0}, 1)).

Dim. Per ipotesi esiste g : Y → X con g ∘ f ∼ id_{X} e f ∘ g ∼ id_{Y}. Applicando la Proposizione precedente a g ∘ f : X → X e id_{X} otteniamo che

(g ∘ f)_{∗} = ψ ∘ (id_{X})_{∗} = ψ : π_{1}(X, x_{0}) → π_{1}(X, g(f(x_{0})))

per un isomorfismo ψ. Quindi (g ∘ f)_{∗} = g_{∗} ∘ f_{∗} è un isomorfismo, e ne segue che f_{∗} è iniettiva. Procedendo analogamente con f ∘ g troviamo che f_{∗} è suriettiva. □

Corollario 6.13. Due spazi connessi per archi omotopicamente equivalenti hanno gruppi fondamentali isomorfi.

Corollario 6.14. Uno spazio contrattile è semplicemente connesso.

Corollario 6.15. Un convesso in ℝ^{n} è semplicemente connesso. Gli spazi ℝ^{n}, B^{n} e D^{n} sono semplicemente connessi, per ogni n.

6.7. Prodotti. Il prodotto di due spazi puntati (X, x_{0}) e (Y, y_{0}) è lo spazio puntato (X × Y, (x_{0}, y_{0})).

Esercizio 6.16. Il prodotto così definito è un prodotto nella categoria degli spazi puntati.

Il risultato seguente dice che il funtore π_{1} trasforma prodotti in prodotti.

Proposizione 6.17. Le proiezioni inducono un isomorfismo

π_{1}(X × Y, (x_{0}, y_{0})) ≅ π_{1}(X, x_{0}) × π_{1}(Y, y_{0}).

Dim. Le proiezioni p^{X} : X × Y → X e p^{Y} : X × Y → Y inducono un omomorfismo

ψ : π_{1}(X × Y, (x_{0}, y_{0})) → π_{1}(X, x_{0}) × π_{1}(Y, y_{0})

dato da ψ(α) = (p_{∗}^{X}(α), p_{∗}^{Y} (α)). L’omomorfismo inverso ϕ si ottiene tramite la proprietà universale: due lacci α e β rispettivamente in (X, x_{0}) e (Y, y_{0}) inducono il laccio

ϕ(α, β) : t ↦ (α(t), β(t))

in (X × Y, (x_{0}, y_{0})). Se α′ e β′ sono lacci omotopi a α e β, collegati da rispettive omotopie G e H, le una omotopia tra ψ(α, β) e ψ(α′, β′) è definita da

(t, s) ↦ (G(t, s), H(t, s)).

La funzione ϕ quindi passa al quoziente, ed è facile verificare che è l’inversa di ψ. □

7. Rivestimenti

7.1. Definizione. Sia p : X̃ → X una funzione continua fra spazi topologici. Un aperto U ⊂ X è uniformemente rivestito se la controimmagine p^{−1}(U) è unione disgiunta^{8} di aperti

p^{−1}(U) = ⊔_{i∈I}U_{i}

tali che p|_{U_{i}} : U_{i} → U è un omeomorfismo per ogni i ∈ I. L’insieme I è un insieme qualunque di indici, e può avere cardinalità arbitraria.

Definizione 7.1. Una funzione p : X̃ → X continua fra spazi di Hausdorff e connessi per archi è un rivestimento se ogni x ∈ X ha un intorno aperto U(x) uniformemente rivestito.

Esercizio 7.2. Sia p : X̃ → X una funzione continua fra spazi di Hausdorff connessi per archi.

• p è un rivestimento se e solo se esiste un ricoprimento di X fatto da aperti uniformemente rivestiti;

• p è un rivestimento se e solo se esiste una base di X fatta da aperti uniformemente rivestiti.

Esercizio 7.3. Le funzioni seguenti sono rivestimenti (dove ℂ^{∗} = ℂ \ {0} e S^{1} è considerato dentro ℂ).

(1) p : ℝ → S^{1}, p(x) = e^{ix};

(2) p : S^{1} → S^{1}, p(z) = z^{n}, per ogni intero n ⩾ 1;

(3) (⋆)^{9} p : ℂ^{∗} → ℂ^{∗}, p(z) = z^{n}, per ogni intero n ⩾ 1.

7.2. Omeomorfismi locali e fibre. Esiste una nozione simile (ma non equivalente!) a quella di rivestimento, che è spesso più facile da verificare.

Definizione 7.4. Una funzione f : X → Y continua fra spazi topologici connessi per archi è un omeomorfismo locale in x ∈ X se esistono due aperti U ⊂ X e V ⊂ Y contenenti rispettivamente x e f(x), tali che f|_{U} : U → V sia un omeomorfismo.

La funzione f è un omeomorfismo locale se è tale in ogni punto x ∈ X.

Se f : X → Y è un omeomorfismo locale, la controimmagine f^{−1}(y) di un punto y ∈ Y è chiamata fibra di y.

8Intendiamo che U_{i} ∩ U_{j} = ∅ per ogni i, j ∈ I

9L’esercizio risulterà più semplice dopo aver studiato alcune nozioni di analisi complessa.

Proposizione 7.5. Sia f : X → Y una funzione continua.

(1) Se f è un rivestimento, allora è un omeomorfismo locale e la cardinalità della fibra f^{−1}(y) di y non dipende da y.

(2) Se f è un omeomorfismo locale, e la fibra f^{−1}(y) ha cardinalità finita e non dipendente da y, allora f è un rivestimento.

Dim. (1). Dato x ∈ X, l’immagine f(x) ∈ Y è contenuta in un aperto U uniformemente rivestito: quindi p^{−1}(U) = ⊔_{i∈I}U_{i} con p|_{U_{i}} : U_{i} → U omeomorfismo per ogni i ∈ I. Se U_{i_{0}} è l’aperto contenente x, allora p|_{U_{i_{0}}} : U_{i_{0}} → U è un omeomorfismo.

Mostriamo che la cardinalità della fibra è costante. Definiamo due punti di Y equivalenti se le loro fibre hanno la stessa cardinalità. Questa relazione induce una partizione di Y. Mostriamo che ogni insieme della partizione è aperto: dal fatto che Y è connesso ne segue che la partizione è fatta di un insieme solo.

Sia y ∈ Y un punto, e U(y) un suo intorno uniformemente rivestito. Abbiamo p^{−1}(U(y)) = ⊔_{i∈I}U_{i} e p|_{U_{i}} omeomorfismo per ogni i. Segue che ogni punto di U(y) ha fibra con cardinalità pari a quella di I. Quindi U(y) è tutto contenuto nell’insieme della partizione contenente y. Quindi questi insiemi sono aperti.

(2). Dato un punto y ∈ Y, costruiamo un intorno di y uniformemente rivestito. Sia {x_{1}, …, x_{k}} la fibra di y. Per ipotesi, ogni x_{i} è contenuto in un aperto U_{i} tale che f(U_{i}) è aperto in Y e f|_{U_{i}} : U_{i} → f(U_{i}) è un omeomorfismo. L’intersezione V = f(U_{1}) ∩ … ∩ f(U_{k}) è un aperto di Y contenente y. Consideriamo l’aperto U′_{i} = U_{i} ∩ f^{−1}(V) per ogni i. Sappiamo che f^{−1}(V) ⊃ U′_{1} ∪ … U′_{k}. Mostriamo che f^{−1}(V) = U′_{1} ∪ … U′_{k}. Per ipotesi, ogni punto di V ha k punti nella sua fibra, e ciascun U′_{i} ne contiene esattamente uno: quindi i due insiemi coincidono. Quindi V è uniformemente rivestito. □

In virtù di questo risultato, chiamiamo grado di un rivestimento p : X̃ → X la cardinalità della fibra di un qualsiasi punto di X. Mostriamo alcune conseguenze della Proposizione 7.5.

Corollario 7.6. Un rivestimento p : X̃ → X è una mappa aperta.

Dim. Poiché p è un omeomorfismo locale, esiste una base di aperti in X̃ le cui immagini tramite p sono tutti aperti. Questo implica facilmente che p è aperta. □

Corollario 7.7. Un rivestimento p : X̃ → X è suriettivo.

Proposizione 7.8. Sia p : X̃ → X un rivestimento. La fibra di un punto è un sottoinsieme discreto di X̃.

Dim. Sia p^{−1}(x_{0}) la fibra di un punto x_{0} ∈ X. Dobbiamo mostrare che ogni x̃ ∈ X̃ ha un intorno aperto U tale che (U \ {x̃}) ∩ p^{−1}(x_{0}) = ∅, cioè x_{0} ∉ p(U \ {x̃}). Questo fatto segue facilmente dal fatto che p è un omeomorfismo locale. □

Corollario 7.9. Sia p : X̃ → X un rivestimento. Se X̃ è compatto, il grado di p è finito.

Dim. Un sottoinsieme discreto in un compatto è finito (Esercizio 1.21). □

Ricordiamo infine l’enunciato seguente, che può essere utile in molti casi.

Teorema 7.10 (invertibilità locale). Sia f : U → V una funzione differenziabile tra due aperti U e V di ℝ^{n}. Se il Jacobiano di f è diverso da zero in un punto x ∈ U, allora f è un omeomorfismo locale in x.

7.3. Sollevamenti e automorfismi. Sia p : X̃ → X un rivestimento, e f : Y → X, f̃: Y → X̃ due funzioni continue definite su uno spazio Y, tali che f = p∘f̃. Diciamo che f è la proiezione di f̃, mentre f̃ è un sollevamento di f. Mentre ogni f̃ ha una ovvia unica proiezione, non tutte le f hanno un sollevamento. In questa sezione mostriamo che, se Y è uno spazio particolarmente semplice, e se si fissa almeno un punto nell’immagine di f̃, allora la f ha un unico sollevamento f̃.

\xymatrix{ & X̃ \ar[d]^{p} \\ Y \ar@{.>}[ur]^{f̃} \ar[r]_{f} & X}

Teorema 7.11 (unicità del sollevamento). Sia p : X̃ → X un rivestimento e Y uno spazio connesso. Siano f̃, f̃′ : Y → X̃ due sollevamenti della stessa funzione f : Y → X. Se f̃(y_{0}) = f̃′(y_{0}) per qualche y_{0}, allora f̃ = f̃′.

Dim. Mostriamo che l’insieme S = {y ∈ Y | f̃(y) = f̃′(y)} dei punti su cui le due funzioni coincidono è aperto e chiuso. Dal fatto che contiene y_{0} e che Y è connesso, ne seguirà che S = Y.

Chiusura: sia y ∉ S. Allora f̃(y) ≠ f̃′(y). Poiché X̃ è di Hausdorff, ci sono due aperti disgiunti U e U′ contenenti rispettivamente f̃(y) e f̃′(y). L’insieme V (y) = f̃^{−1}(U) ∩ f̃^{′−1}(U′) è un intorno aperto di y. Sui punti in V (y) le funzioni f̃ e f̃′ non coincidono mai, e quindi V (y) ∩ S = ∅. Segue che S è chiuso.

Apertura: sia y ∈ S. Sia U ⊂ X un aperto uniformemente rivestito contenente f(y). Quindi p^{−1}(U) = ⊔_{i∈I}U_{i}, e sia U_{i_{0}} l’aperto contenente il punto f̃(y) = f̃′(y). Allora sull’aperto f^{−1}(U) di Y abbiamo f̃ = (p|_{U_{i_{0}}} )^{−1} ∘ f = f̃′ e quindi f^{−1}(U) ⊂ S. □

Un automorfismo di un rivestimento p : X̃ → X è un omeomorfismo g : X̃ → X̃ tale che p ∘ g = p. Un punto fisso per una funzione g : Y → Y è un punto y per cui g(y) = y.

Corollario 7.12. Un automorfismo diverso dall’identità non ha punti fissi.

Dim. Sia g : X̃ → X̃ un automorfismo con un punto fisso x̃_{0}. Usiamo il lemma precedente con Y = X̃ e f = p. L’identità id : X̃ → X̃ e g : X̃ → X̃ sono entrambi sollevamenti di p : X̃ → X. Poiché coincidono in x̃_{0}, coincidono ovunque. □

Esercizio 7.13. Gli automorfismi di un rivestimento p : X̃ → X formano un gruppo.

Il prossimo enunciato dice che tutti i cammini α e le omotopie F su X possono essere sollevate su X̃ all’“altezza desiderata”: si può chiedere cioè che il sollevamento passi per un punto a piacere nella fibra di α(0) o F (0, 0).

Teorema 7.14 (del sollevamento dei cammini e delle omotopie). Sia p : X̃ → X un rivestimento.

• Per ogni arco α : [0, 1] → X e ogni x̃ ∈ p^{−1}(α(0)) esiste un sollevamento α̃ : [0, 1] → X̃ di α con α̃(0) = x̃.

• Per ogni mappa continua F : [0, 1] × [0, 1] → X e ogni x̃ ∈ p^{−1}(F (0, 0)) esiste un sollevamento F̃ : [0, 1] × [0, 1] → X̃ di F con F̃(0, 0) = x̃.

Dim. Sia α un arco in X. Dimostriamo che esistono 0 = t_{0} < t_{1} < … < t_{k} = 1 tali che α([t_{i}, t_{i+1}]) sia contenuto in un aperto di X uniformemente rivestito, per ogni i.

Gli aperti uniformemente rivestiti di X formano un ricoprimento di X. La controimmagine rispetto a α di ciascuno di questi aperti è un aperto in [0, 1], unione di aperti connessi in [0, 1] (le sue componenti connesse). Tutti gli aperti connessi di [0, 1] che si ottengono in questo modo formano un ricoprimento per [0, 1]. Poiché [0, 1] è compatto, esiste un sottoricoprimento finito. Possiamo supporre che questo sottoricoprimento sia minimale: cioè che ogni sottofamiglia di questa famiglia finita di aperti non sia un ricoprimento.

Un aperto connesso non vuoto in [0, 1] è un intervallo del tipo [0, 1], [0, b), (a, 1] oppure (a, b). Poiché il ricoprimento è minimale, gli aperti sono dei segmenti

[0, b_{0}), (a_{1}, b_{1}), …, (a_{k−2}, b_{k−2}), (a_{k−1}, 1]

con 0 < a_{1} < b_{0} < a_{2} < b_{1} < … < b_{k−2} < 1. Prendendo un t_{i} ∈ (a_{i}, b_{i−1}) qualsiasi per i = 1, …, k − 1 otteniamo una successione 0 = t_{0} < t_{1} < … < t_{k} = 1 tale che α([t_{i}, t_{i+1}]) sia contenuto in un aperto di X uniformemente rivestito, per ogni i.

A questo punto solleviamo α un pezzetto alla volta: definiamo cioè α̃ ricorsivamente su ogni segmento chiuso [t_{j}, t_{j+1}], partendo da j = 0. Sia U un intorno uniformemente rivestito contenente α([t_{j}, t_{j+1}]). Quindi p^{−1}(U) = ⊔_{i∈I}U_{i}. Il punto α̃(t_{j}) è contenuto in un U_{i_{0}}. Definiamo quindi α̃ su [t_{i}, t_{i+1}] come (p|_{U_{i_{0}}} )^{−1}∘α|_{[t_{i},t_{i+1}]}.

Il sollevamento di una F : [0, 1] × [0, 1] si effettua in modo analogo. Gli aperti uniformemente rivestiti sono un ricoprimento di X. La controimmagine di ciascuno di questi è un aperto di [0, 1] × [0, 1]. Per definizione della topologia prodotto, un tale aperto è unione di rettangoli aperti in [0, 1] × [0, 1]. La famiglia di tutti i rettangoli ottenuti in questo modo è un ricoprimento di [0, 1] × [0, 1]. Ne estraiamo un sottoricoprimento finito. A questo punto è facile dimostrare che esiste un N > 0 tale che il quadratino

Q_{k,h} = [k/N, (k + 1)/N] × [h/N, (h + 1)N]

di area 1/N^{2} sia contenuto interamente in almeno uno di questi rettangoli, per ogni k, h = 0, …, N − 1. Quindi l’immagine di ogni quadratino è contenuta in un aperto uniformemente rivestito, e la F̃ può essere definita come sopra, sollevando la F un quadratino per volta, nell’ordine seguente:

Q_{0,0}, Q_{0,1}, …, Q_{0,N−1}, Q_{1,0}, …, Q_{N−1,N−1}.

□

Tali sollevamenti sono unici per il Teo 7.11.

Corollario 7.15 (Teorema di monodromia). Sia p : X̃ → X un rivestimento. Siano α̃ e β̃ due archi in X̃, le cui proiezioni α = p ∘ α̃ e β = p ∘ β̃ sono archi omotopi (ad estremi fissati) in X. Allora α̃(0) = β̃(0) se e solo se α̃(1) = β̃(1).

Dim. Supponiamo α̃(0) = β̃(0). Sia F : [0, 1] × [0, 1] → X l’omotopia che collega α e β. Questa si solleva ad una mappa F̃ : [0, 1] × [0, 1] → X̃ tale che F̃(0, 0) = α̃(0) = β̃(0).

Gli archi t ↦ F̃(0, t) e s ↦ F̃(1, t) hanno valori nella fibra di x_{0}, che è discreta: quindi sono entrambi costanti. Ne deduciamo che

F̃(0, 0) = F̃(0, 1), F̃(1, 0) = F̃(1, 1).

Gli archi t ↦ F̃(s, 0) e t ↦ F̃(s, 1) in X̃ sono sollevamenti rispettivamente di α e β, e per quanto appena visto partono entrambi da α̃(0) = β̃(0): per l’unicità del sollevamento deve essere α̃(s) = F̃(s, 0) e β̃(s) = F̃(s, 1) per ogni s. Abbiamo visto anche che F̃(1, 0) = F̃(1, 1), e quindi α̃(1) = β̃(1).

Invertendo α̃ e β̃ si deduce allo stesso modo che α̃(1) = β̃(1) implica α̃(0) = β̃(0). □

Esercizio 7.16. Sia p : ℝ → S^{1} il rivestimento dato da p(x) = e^{2πix}. Definiamo ψ : π_{1}(S^{1}, 1) → ℤ come

ψ([α]) = α̃(1)

dove α̃ è il sollevamento di α con α̃(0) = 0. Mostrare che ψ è ben definita ed è un isomorfismo di gruppi.

8. Rivestimenti e gruppo fondamentale

8.1. Iniettività. Un rivestimento p : (X̃, x̃_{0}) → (X, x_{0}) fra spazi puntati è semplicemente un rivestimento p : X̃ → X tale che p(x̃_{0}) = x_{0}.

Proposizione 8.1. Sia p : (X̃, x̃_{0}) → (X, x_{0}) un rivestimento fra spazi puntati. L’omomorfismo p_{∗} : π_{1}(X̃, x̃_{0}) → π_{1}(X, x_{0}) è iniettivo.

Dim. Siano α̃ e β̃ due lacci in (X̃, x̃_{0}) le cui proiezioni α e β sono omotope. Come nella dimostrazione del Corollario 7.15, l’omotopia F tra α e β si solleva ad una F̃ con F̃(0, 0) = α̃(0) = β̃(0) che risulta essere un’omotopia tra α̃ e β̃. □

Proposizione 8.2. Il grado di un rivestimento p : (X̃, x̃_{0}) → (X, x_{0}) è pari all’indice del sottogruppo p_{∗}(π_{1}(X̃, x̃_{0})) in π_{1}(X, x_{0}).

Dim. Dato un laccio α in (X, x_{0}), sia α̃ il suo sollevamento in X̃ che parte da x̃_{0}. Il sollevamento non è necessariamente un laccio: il punto α̃(1) è nella fibra di x_{0}, ma può essere diverso da x̃_{0}. Abbiamo quindi una mappa

ϕ : Ω(X, x_{0}) → p^{−1}(x_{0}).

data da ϕ(α) = α̃(1). Per il teorema di monodromia, ϕ è ben definita sul quoziente π_{1}(X, x_{0}). Otteniamo quindi una funzione:

ϕ : π_{1}(X, x_{0}) → p^{−1}(x_{0}).

Indichiam con C = {Ha | a ∈ π_{1}(X, x_{0})} le classi laterali destre del sottogruppo H = p_{∗}(π_{1}(X̃, x̃_{0})). Un elemento di Ha è rappresentato dal concatenamento di due lacci η ∗ α, dove η = p ∘ η̃ è proiezione di un laccio η̃ in (X̃, x̃_{0}) e [α] = a. Quindi il sollevamento di η ∗ α è η̃ ∗ α̃, dove α̃ è il sollevamento che parte da x̃_{0}. Segue che η̃ ∗ α̃(1) = α̃(1) non dipende da η, e quindi ϕ è ben definita su C:

ϕ : C → p^{−1}(x_{0}).

Resta da mostrare che questa funzione è biiettiva. La suriettività è facile: dato x̃′_{0} ∈ p^{−1}(x_{0}), esiste un arco α̃ che collega x̃_{0} e x̃′_{0}. Allora α = p ∘ α̃ è un laccio in (X, x_{0}) tale che ϕ(α) = x̃′_{0}.

Mostriamo che ϕ è iniettiva: siano α e α′ lacci con α̃(1) = α̃′(1). Allora α̃ ∗ α̃^{′−1} è un laccio in (X̃, x̃_{0}), e quindi [α] ∗ [α′]^{−1} = [α ∗ α^{′−1}] ∈ H. In altre parole, [α] e [α′] appartengono alla stessa classe laterale destra. □

8.2. Dipendenza dal punto base. Come è nella filosofia del gruppo fondamentale, enunciamo dei risultati che ci permettono di svincolarci il più possibile dai punti base.

Proposizione 8.3. Sia p : X̃ → X un rivestimento. Siano x̃_{0}, x̃_{1} in X̃ e x_{0} = p(x̃_{0}), x_{1} = p(x̃_{1}) in X. Esistono due isomorfismi ψ̃ e ψ che fanno commutare il diagramma

\xymatrix{π_{1}(X̃, x̃_{0}) \ar[r]^{ψ̃} \ar[d]_{p} & π_{1}(X̃, x̃_{1}) \ar[d]^{p} \\ π_{1}(X, x_{0}) \ar[r]_{ψ} & π_{1}(X, x_{1})}

Dim. Sia λ̃ un arco in X̃ che collega x̃_{0} con x̃_{1}. Siano ψ̃ = ψλ̃ e ψ = ψ_{λ} gli isomorfismi della Proposizione 6.9 determinati dagli archi λ̃ e λ = p ∘ λ̃. A questo punto è facile verificare che il diagramma commuta. □

8.3. Rivestimenti regolari. Un rivestimento p : X̃ → X è regolare se il sottogruppo p_{∗}(π_{1}(X̃, x̃_{0})) è normale in π_{1}(X, x_{0}), per una qualche scelta di x̃_{0} ∈ X̃, e con x_{0} = p(x̃_{0}). La Proposizione 8.3 garantisce che la definizione non dipende dalla scelta di x_{0}.

In un rivestimento, sappiamo che il sollevamento α̃ di un laccio α non è necessariamente un laccio (cioè i suoi punti di partenza e di arrivo possono non coincidere). Può accadere addirittura che alcuni dei sollevamenti dello stesso α (effettuati con punti di partenza diversi) sono lacci, mentre altri no. Il prossimo esercizio dice che questo non accade se il rivestimento è regolare.

Esercizio 8.4. (⋆) Sia p : X̃ → X un rivestimento regolare. Sia x_{0} ∈ X, e α un laccio in (X, x_{0}). Siano α̃ e α̃′ due sollevamenti di α. Allora α̃ è un laccio se e solo se α̃′ lo è.

Uno spazio topologico Y è localmente connesso per archi se esiste una base per Y fatta di aperti connessi per archi. Tutti gli spazi “ragionevoli” sono localmente connessi per archi.

Esercizio 8.5. Sia p : X̃ → X rivestimento. Lo spazio X è localmente connesso per archi se e solo se X̃ lo è.

Teorema 8.6. Sia p : X̃ → X un rivestimento regolare, con X̃ localmente connesso per archi. Allora il gruppo degli automorfismi^{10} di p è isomorfo al quoziente

π_{1}(X, x_{0})/_{p_{∗}(π_{1}(X̃,x̃_{0}))}

per ogni x̃_{0} ∈ X̃ e x_{0} = p(x̃_{0}).

Dim. Sia G il gruppo degli automorfismi. Definisco una funzione

ϕ : G → π_{1}(X, x_{0})/_{p_{∗}(π_{1}(X̃,x̃_{0}))}

nel modo seguente. Dato g ∈ G, prendo un arco λ̃ qualsiasi in X̃ che collega x̃_{0} e g(x̃_{0}). La proiezione λ = p ∘ λ̃ è un laccio in (X, x_{0}), poiché p(g(x̃_{0})) = p(x̃_{0}) = x_{0}. Definisco ϕ(g) come la classe laterale di [λ] in π_{1}(X, x_{0})/_{p_{∗}(π_{1}(X̃,x̃_{0}))}.

La definizione non dipende dalla scelta di λ̃: se λ̃′ è un altro arco che collega x̃_{0} a g(x̃_{0}), allora il concatenamento λ̃∗λ̃^{′−1} dei due è un laccio in (X̃, x̃_{0}), e quindi la sua proiezione p ∘ (λ̃ ∗ λ̃^{′−1}) = λ ∗ λ^{′−1} rappresenta un elemento di H = p_{∗}(π_{1}(X̃, x̃_{0})). Quindi [λ] e [λ′] stanno nella stessa classe laterale di H.

Mostriamo che ϕ è un omomorfismo. Siano g e g′ due automorfismi. Siano λ̃ e λ̃′ archi che collegano x̃_{0} rispettivamente a g(x̃_{0}) e a g′(x̃_{0}), e λ, λ′ le loro proiezioni in X. Allora l’arco g ∘λ̃′ collega g(x̃_{0}) a g(g′(x̃_{0})). Quindi l’arco concatenato λ̃∗(g ∘λ̃′) collega x̃_{0} a g(g′(x̃_{0})). La sua proiezione è

p ∘ (λ̃ ∗ (g ∘ λ̃′)) = (p ∘ λ̃) ∗ (p ∘ g ∘ λ̃′) = (p ∘ λ̃) ∗ (p ∘ λ̃′) = λ ∗ λ′.

10Si veda l’Esercizio 7.13

Segue quindi che ϕ(g ∘ g′) = ϕ(g) ∗ ϕ(g′) e quindi ϕ è un omomorfismo.

Mostriamo che ϕ è iniettiva. Sia g ∈ G con ϕ(g) = 0. Sia λ̃ che collega x̃_{0} a g(x̃_{0}). Per ipotesi, la proiezione λ è un laccio omotopo all’immagine α di un laccio α̃ in (X̃, x̃_{0}). Il teorema di monodromia implica che anche λ̃ è un laccio, cioè che g(x̃_{0}) = x̃_{0}. Quindi x_{0} è un punto fisso per l’automorfismo g, e ne segue (per il Corollario 7.12) che è l’identità.

Mostriamo infine che ϕ è suriettiva. Dato un laccio α in (X, x_{0}), vogliamo costruire un automorfismo g tale che ϕ(g) = [α]. Dato un punto x̃ ∈ X̃, l’immagine g(x̃) è definita nel modo seguente: sia λ̃ un arco che collega x̃_{0} a x̃ e λ la sua proiezione in X. Definiamo come g(x̃) il punto di arrivo del sollevamento dell’arco α ∗ λ.

La funzione g è ben definita: se λ̃′ è un altro arco che collega x̃_{0} a x̃, allora λ̃^{′−1}∗λ̃ è un laccio in (X̃, x̃), e l’Esercizio 8.4 implica che qualsiasi altro sollevamento di λ^{′−1}∗λ è un laccio: quindi i punti di arrivo dei sollevamenti di α ∗ λ′ e α ∗ λ coincidono.

Infine, è facile vedere che g è biunivoca. Per dimostrare che è un omeomorfismo, si deve usare la locale connessione per archi: dato x̃_{1} ∈ X̃, sia x_{1} = p(x̃_{1}). Per la locale connessione per archi, esiste un intorno U(x_{1}) uniformemente rivestito e connesso per archi. Quindi p^{−1}(U) = ⊔_{i∈I}U_{i} e p|_{U_{i}} : U_{i} → U è un omeomorfismo per ogni i ∈ I. I punti x̃_{1} e g(x̃_{1}) sono nella fibra di x_{1}: siano U_{i} e U_{i′} gli aperti che li contengono. Questi sono connessi per archi. Ogni punto x̃ di U_{i} è quindi collegato a x̃_{1} tramite un arco μ̃. Sia ρ̃ un arco fissato che collega x̃_{0} a x̃_{1}. Nella definizione di g(x̃), possiamo collegare x̃_{0} a x̃ tramite l’arco λ̃ = ρ̃ ∗ μ̃. Si vede facilmente quindi che g(x̃) ∈ U_{i′}. Segue che

g|_{U_{i}} = (p|_{U_{i′}})^{−1} ∘ p|_{U_{i}} : U_{i} → U_{i′}

è un omeomorfismo, e quindi che g è un omeomorfismo. □

Corollario 8.7. Sia p : X̃ → X rivestimento con X̃ semplicemente connesso e localmente connesso per archi. Allora π_{1}(X) è isomorfo al gruppo degli automorfismi di p.

Proposizione 8.8. Gli automorfismi del rivestimento p : ℝ → S^{1} dato da p(x) = e^{2πix} sono tutte e sole le traslazioni {x ↦ x + k | k ∈ ℤ}.

Dim. Ogni traslazione di questo tipo è un automorfismo. D’altra parte, un automorfismo g manda 0 in k per qualche k, e quindi coincide nel punto 0 con la traslazione t di k: per il Corollario 7.12 l’automorfismo g ∘ t^{−1} è l’identità, e quindi g = t. □

Corollario 8.9. Abbiamo π_{1}(S^{1}) ≅ ℤ.

8.4. Sollevamenti di mappe. Sia p : X̃ → X un rivestimento. Il risultato seguente fornisce una condizione necessaria e sufficiente perché una mappa f : Y → X abbia un sollevamento.

Teorema 8.10. Sia p : (X̃, x̃_{0}) → (X, x_{0}) un rivestimento. Sia (Y, y_{0}) connesso per archi e localmente connesso per archi. Una funzione f : (Y, y_{0}) → (X, x_{0}) ha un sollevamento f̃: (Y, y_{0}) → (X̃, x̃_{0}) se e solo se Im f_{∗} ⊂ Im p_{∗}. In altre parole:

[figure: (X̃, x̃_{0}); p; (Y, y_{0}); f; ∃f̃; (X, x_{0}); ⟺; π_{1}(X̃, x̃_{0}); p_{∗}; π_{1}(Y, y_{0}); f_{∗}; ∃f̃_{∗}; π_{1}(X, x_{0}); ⟺ Im f_{∗} ⊂ Im p_{∗}.]

Dim. Notiamo subito che, poiché p_{∗} è iniettiva, le due ultime condizioni sono effettivamente equivalenti (esiste f̃_{∗} che solleva f_{∗} se e solo se Im f_{∗} ⊂ Im p_{∗}). Inoltre, è chiaro che se esiste un sollevamento f̃, questo induce una f̃_{∗} che solleva f_{∗} a livello di gruppi. Resta quindi da mostrare solo che la condizione algebrica Im f_{∗} ⊂ Im p_{∗} implica l’esistenza del sollevamento topologico f̃.

Costruiamo quindi la mappa f̃ nel modo seguente: dato y ∈ Y, prendiamo un arco λ che collega y_{0} a y. La composizione f ∘ λ è un arco in X che parte da x_{0}: sia { \atop f ∘ λ} il sollevamento di f ∘ λ che parte da x̃_{0}. Poniamo quindi f̃(x) = { \atop f ∘ λ}(1).

Mostriamo che f̃ è ben definita. Sia λ′ un altro arco da y_{0} in y. Quindi λ ∗ λ^{′−1} è un laccio in (Y, y_{0}). Per ipotesi, la sua immagine (f ∘ λ) ∗ (f ∘ λ′)^{−1} in (X, x_{0}) è omotopa ad un laccio α proiezione di un α̃ in (X̃, x̃_{0}). Per il teorema di monodromia allora il sollevamento di (f ∘ λ) ∗ (f ∘ λ′)^{−1} in (X̃, x̃_{0}) è un laccio. Per l’unicità dei sollevamenti, si vede facilmente che { \atop f ∘ λ}(1) = { \atop f ∘ λ′}(1).

Per dimostrare che f̃ è continua, si usa la locale connessione per archi come nella dimostrazione del Teorema 8.6. □ Corollario 8.11. Sia p : (X̃, x̃_{0}) → (X, x_{0}) un rivestimento e Y spazio semplicemente connesso e localmente connesso per archi. Ogni mappa continua f : (Y, y_{0}) → (X, x_{0}) ammette un sollevamento f̃: (Y, y_{0}) → (X̃, x̃_{0}).

Corollario 8.12. Sia p : X̃ → X rivestimento con X localmente connesso per archi. Ogni aperto U ⊂ X semplicemente connesso è uniformemente rivestito. Dim. Il sottospazio U è localmente connesso per archi, perché è aperto in uno spazio localmente connesso per archi. Fissiamo un punto x_{0} ∈ U. La funzione inclusione i : (U, x_{0}) → (X, x_{0}) soddisfa le ipotesi del corollario precedente. Quindi per ogni x̃ ∈ p^{−1}(x_{0}), si solleva a ĩ : (U, x_{0}) → (X̃, x̃). Sia U(x̃) = ĩ(U): è facile vedere che questo insieme è aperto^{11}. Mostriamo che p^{−1}(U) = ⊔_{x̃∈p^{−1}(x_{0})}U(x̃). L’inclusione ⊃ è chiara. D’altra parte, se x̃ ∈ p^{−1}(U), sia λ un arco in U che collega p(x̃) a x_{0}: il sollevamento λ̃ collega x̃ ad un punto x̃_{0} della fibra di x_{0} ed è necessariamente interamente contenuto in U(x̃_{0}).

Infine, p|_{U(x̃)} : U(x̃) → U è biiettiva, continua e aperta, quindi è un omeomorfismo per ogni x̃ ∈ p^{−1}(x_{0}). Quindi U è uniformemente rivestito. □

11Perché?

8.5. Equivalenza ed esistenza di rivestimenti. Due rivestimenti p : X̃ → X e p′ : X̃′ → X sono equivalenti se esiste un omeomorfismo h : X̃ → X̃′ tale che p = p′ ∘ h.

Proposizione 8.13. Sia X spazio topologico localmente connesso per archi. A meno di equivalenza, esiste al più un solo rivestimento p : X̃ → X con X̃ semplicemente connesso.

Dim. Siano p : X̃ → X e p′ : X̃′ → X due rivestimenti con X̃ e X̃′ semplicemente connessi. Prendiamo dei punti base in modo da avere dei rivestimenti p : (X̃, x̃_{0}) → (X, x_{0}) e p′ : (X̃′, x̃′_{0}) → (X, x_{0}). La funzione p′ si solleva per il Corollario 8.11 ad una funzione p̃′ : (X̃′, x̃′_{0}) → (X̃, x̃_{0}) tale che p ∘ p̃′ = p′. Analogamente, p si solleva ad una funzione p̃: (X̃, x̃_{0}) → (X̃′, x̃′_{0}) tale che p′ ∘ p̃ = p.

Quindi p̃′ ∘ p̃ : (X̃, x̃_{0}) → (X̃, x̃_{0}) è un automorfismo del rivestimento p (infatti p ∘ p̃′ ∘ p̃ = p′ ∘ p̃ = p) che fissa il punto x̃_{0}: per il Corollario 7.12 è l’identità. Lo stesso vale per p̃ ∘ p̃′, e quindi p̃ e p̃′ sono omeomorfismi che rendono i rivestimenti equivalenti. □

Un rivestimento p : X̃ → X con X̃ semplicemente connesso è detto rivestimento universale di X. Tale rivestimento per X è unico per quanto appena detto; l’esistenza è garantita dal risultato seguente, se lo spazio X ha una struttura locale ragionevole. Uno spazio X è localmente semplicemente connesso se esiste una base di aperti semplicemente connessi. Il teorema seguente è dato senza dimostrazione.

Teorema 8.14. Uno spazio X connesso per archi, di Hausdorff e localmente semplicemente connesso ha un rivestimento universale p : X̃ → X.

Il risultato seguente (dato senza dimostrazione) generalizza il precedente e può essere utile in qualche esercizio.

Teorema 8.15. Sia X uno spazio topologico connesso per archi, di Hausdorff e localmente semplicemente connesso. Sia x_{0} ∈ X un punto. Per ogni sottogruppo H di π_{1}(X, x_{0}) esiste un rivestimento p : (X̃, x̃_{0}) → (X, x_{0}) tale che p_{∗}(π_{1}(X̃, x̃_{0})) = H.

8.6. Esercizio ricapitolativo. L’esercizio seguente è utile perché usa quasi tutti i fatti discussi in questa sezione.

Esercizio 8.16. Sia X uno spazio topologico localmente connesso per archi con rivestimento universale compatto. Mostrare che ogni funzione continua f : X → S^{1} è omotopa ad una costante.

Dim. Sia p : X̃ → X il rivestimento universale. Poiché X̃ è compatto, p ha grado finito (Corollario 7.9) e quindi π_{1}(X) è finito (Proposizione 8.2). Fissiamo dei punti base, e scriviamo f : (X, x_{0}) → (S^{1}, y_{0}). La mappa f_{∗} : π_{1}(X, x_{0}) → π_{1}(S^{1}, y_{0}) ≅ ℤ è necessariamente banale, perché tutti gli elementi di π_{1}(X, x_{0}) hanno torsione, mentre l’unico elemento che ha torsione in ℤ è lo zero. Quindi esiste un sollevamento f̃: X → ℝ al rivestimento universale di S^{1} (Teorema 8.10). La mappa f̃ è omotopa ad una mappa costante c : X → ℝ (Proposizione 5.4), e quindi p ∘ f è omotopa a p ∘ c (Proposizione 5.2), che è costante. □

9. Prodotto libero

9.1. Parole. Sia S un insieme. Una parola p avente lettere in S è una successione finita (anche vuota) di elementi di S. Gli elementi di p sono lettere. La sua lunghezza l(p) è il numero di lettere. Il prodotto (o concatenamento) di due parole p = s_{1} … s_{n} e p′ = s′_{1} … s′_{m} è la parola pp′ = s_{1} … s_{n}s′_{1} … s′_{m}. Abbiamo ovviamente

l(pp′) = l(p) + l(p′).

Chiamiamo P(S) l’insieme di tutte le parole aventi lettere in S. Esiste un’unica parola di lunghezza zero (la successione vuota), e le parole di lunghezza uno vengono identificate in modo naturale con gli elementi di S.

9.2. Prodotto libero. Il prodotto libero G ∗ H fra due gruppi G e H è l’insieme

G ∗ H = P(G ⊔ H)/_{∼}

dove p ∼ p′ se e solo se p′ è ottenibile da p tramite una sequenza finita di mosse di questo tipo:

(1) Sia p = x_{1} … x_{n}. Siano x_{i} e x_{i+1} entrambi elementi di G (oppure H), per qualche i. Sia x = x_{i} ·x_{i+1} il prodotto di x_{i} e x_{i+1} in G (o H). Trasformiamo p nella parola:

x_{1} … x_{i−1}xx_{i+2} … x_{n}

che ha una lettera in meno di p.

(2) Sia p = x_{1} … x_{n}. Se x_{i} è l’elemento neutro di G (o di H) per qualche i, rimuoviamo la lettera x_{i} da p, ottenendo:

x_{1} … x_{i−1}x_{i+1} … x_{n}.

(3) L’inversa di una delle due mosse già descritte (quindi sostituire x con x_{1}x_{2} se x = x_{1} · x_{2}, e inserire un elemento neutro).

Proposizione 9.1. L’operazione di concatenamento su P(G ∪ H) resta ben definita in G ∗ H, e con questa G ∗ H è un gruppo.

Dim. Se p_{1} ∼ p_{2} e p′_{1} ∼ p′_{2} allora p_{2} e p′_{2} sono ottenuti con delle mosse da p_{1} e p′_{1}. Quindi p_{2}p′_{2} è anch’egli ottenuto da p_{1}p′_{1} tramite mosse. Quindi l’operazione di concatenamento è ben definita al quoziente.

Dimostriamo ora che G ∗ H è un gruppo. La proprietà associativa è ovvia. L’elemento neutro è semplicemente la parola vuota. Resta l’esistenza dell’inversa: data una parola p = a_{1} ⋯ a_{k}, dove ogni a_{i} sta in G o in H, la sua inversa è p^{−1} = a_{k}^{−1} ⋯ a_{1}^{−1}. Infatti

pp^{−1} = a_{1} ⋯ a_{k}a_{k}^{−1} ⋯ a_{1}^{−1} ∼ a_{1} ⋯ a_{k−1}a_{k−1}^{−1} ⋯ a_{1}^{−1} ∼ … ∼ ∅

dove cancellando coppie adiacenti k volte si ottiene la parola vuota ∅. □

La proposizione seguente può essere utile in molti casi concreti.

Proposizione 9.2. Ogni elemento di G ∗ H si scrive in modo unico come parola ridotta a_{1} … a_{k}, dove:

(1) a_{2i−1} ∈ G e a_{2i} ∈ H per ogni i (oppure viceversa a_{2i−1} ∈ H e a_{2i} ∈ G per ogni i),

(2) nessun a_{i} è l’elemento neutro (di G o H).

Dim. Se una parola p non è ridotta, può essere trasformata in una parola più corta tramite una delle due mosse. Quindi dopo un numero finito di mosse si ottiene necessariamente una parola ridotta (che può essere anche vuota). Non è difficile vedere che la parola ridotta ottenuta dipende solo da p (e non dalle mosse scelte). Inoltre se p′ è ottenuto da p tramite una qualche mossa, è facile vedere che le ridotte di p′ e p coincidono: quindi ogni classe di parole ha un solo rappresentante ridotto. □

Per il corollario seguente, i gruppi G e H possono essere visti entrambi come sottogruppi di G ∗ H.

Corollario 9.3. Le mappe i_{G} : G ↪ G ∗ H e i_{H} : H ↪ G ∗ H che associano ad un elemento g in G o H la parola con una lettera g sono omomorfismi iniettivi.

Esercizio 9.4. (⋆) Il prodotto libero è una operazione commutativa (G ∗ H e H ∗ G sono isomorfi) e associativa ((G∗H)∗L e G∗(H ∗L) sono isomorfi). Il gruppo banale è l’elemento neutro, cioè G ∗ {e} ≅ {e} ∗ G ≅ G. (Manca l’esistenza dell’inverso: i gruppi con l’operazione ∗ formano una categoria monoidale.)

9.3. Gruppo libero. Il gruppo libero F_{n} di rango n è quindi definito come^{12}

F_{n} = \underbrace{ℤ ∗ … ∗ ℤ}_{n} .

Osservazione 9.5. Consideriamo per semplicità il caso n = 2: visto che F_{2} non è abeliano (vedi Esercizio 9.6 sotto), abbandoniamo la scrittura additiva per ℤ e usiamo quella moltiplicativa. Scriviamo quindi gli elementi del “primo” ℤ come {…, a^{−2}, a^{−1}, a^{0}, a^{1}, …} e gli elementi del “secondo” ℤ come {…, b^{−2}, b^{−1}, b^{0}, b^{1}, …}, e scriviamo le operazioni in entrambi i gruppi in modo moltiplicativo, cosí ad esempio abbiamo a^{3}a^{−2} = a e bb^{2} = b^{3}.

Grazie alla Proposizione 9.2, ogni elemento di F_{2} può essere scritto in modo unico come una parola p aventi lettere alternativamente del tipo a^{i} e b^{j}, con esponenti i e j sempre diversi da zero. Questi si moltiplicano e quindi si scrivono in forma ridotta nel modo ovvio: ad esempio moltiplicando a^{2}b^{−1} e b^{1}a^{−1} si ottiene a^{2}b^{−1}b^{1}a^{−1} = a^{2}a^{−1} = a.

12Per l’Esercizio 9.4 l’operazione “∗” è associativa e quindi F_{n} è ben definito.

Analogamente, ogni elemento di F_{n} si scrive in modo unico come parola ridotta aventi lettere in {a_{1}, …, a_{n}}, ciascuna lettera con un esponente diverso da zero, e con lettere adiacenti sempre distinte.

Esercizio 9.6. Se G e H sono entrambi non banali allora G ∗ H contiene infiniti elementi e non è abeliano^{13}.

Esercizio 9.7. (⋆) Dimostrare che ℤ/_{2ℤ} ∗ ℤ/_{2ℤ} contiene un sottogruppo di indice 2 isomorfo a ℤ.

Concludiamo con una definizione algebrica che sarà utile in seguito. Sia G un gruppo e S ⊂ G un sottoinsieme. Il normalizzato N(S) di S è il sottogruppo generato da S e da tutti i coniugati degli elementi di S.

Esercizio 9.8. Il normalizzato N(S) è il più piccolo sottogruppo normale fra quelli di G che contengono S.

10. Teorema di Van Kampen

10.1. Prodotto amalgamato. Siano σ_{1} : H → K_{1} e σ_{2} : H → K_{2} due omomorfismi tra gruppi. Il prodotto di K_{1} e K_{2} amalgamato su H è il dato di un gruppo K e di due omomorfismi α_{1} : K_{1} → K e α_{2} : K_{2} → K tali che:

• α_{1} ∘ σ_{1} = α_{2} ∘ σ_{2};

• (proprietà universale) per ogni gruppo G ed ogni coppia di omomorfismi β_{1} : K_{1} → G e β_{2} : K_{2} → G verificanti β_{1} ∘ σ_{1} = β_{2} ∘ σ_{2}, esiste un unico omomorfismo β : K → G tale che β_{1} = β ∘ α_{1} e β_{2} = β ∘ α_{2}.

La definizione risulta più chiara osservando il diagramma seguente.

(2)  [figure: K_{1}; α_{1}; β_{1}; H; σ_{1}; σ_{2}; K; ∃! β; G; K_{2}; α_{2}; β_{2}]

Proposizione 10.1. Il prodotto amalgamato esiste ed è unico a meno di isomorfismi^{14}.

13Ricordiamo che due parole diverse non danno necessariamente elementi diversi. Si consiglia quindi di usare attentamente la forma ridotta.

14Intendiamo che se K′ con α′_{1} : K_{1} → K′ e α′_{2} : K_{2} → K′ è un altro prodotto amalgamato, allora c’è un isomorfismo di gruppi ϕ : K → K′ tale che α′_{1} = ϕ ∘ α_{1} e α′_{2} = ϕ ∘ α_{2}.

Dim. (⋆)^{15} Esistenza: definiamo K come

K = (K_{1} ∗ K_{2})/_{N(S)}

dove

S = {σ_{1}(h)(σ_{2}(h))^{−1} | h ∈ H}

è un insieme di parole da due lettere^{16}, e definiamo le mappe α_{1} e α_{2} come composizioni delle inclusioni naturali (vedi Corollario 9.3) in K_{1} ∗ K_{2} con la proiezione su K:

\xymatrix{K_{1} \ar@{^{(}->}[d]^{i_{1}} \ar[dr]^{α_{1}} \\ K_{1} ∗ K_{2} \ar[r]|{π} & (K_{1} ∗ K_{2})/_{N(S)} = K \\ K_{2} \ar@{^{(}->}[u]_{i_{2}} \ar[ur]_{α_{2}}}

Abbiamo α_{1} ∘ σ_{1} = α_{2} ∘ σ_{2}, infatti per ogni h ∈ H abbiamo

(α_{1} ∘ σ_{1}(h)) · (α_{2} ∘ σ_{2}(h^{−1})) = π(σ_{1}(h)) · π((σ_{2}(h))^{−1}) = π(σ_{1}(h)(σ_{2}(h))^{−1}) = e.

Verifichiamo adesso che K soddisfa le ipotesi. Siano dati G, β_{1}, β_{2} che rendono il diagramma (2) commutativo: costruiamo una β come richiesto, e mostriamo quindi che è unica.

Ogni elemento di K_{1}∗K_{2} è scrivibile come una parola p = x_{1} … x_{n}, dove x_{i} ∈ K_{ν(i)} con ν(i) ∈ {1, 2} per ogni i. Definiamo quindi

(3)  β(p) = β_{ν(1)}(x_{1}) ⋯ β_{ν(n)}(x_{n}).

Cambiando p tramite le mosse descritte nella Sezione 9.2, l’immagine β(p) non cambia: quindi β è ben definita su K_{1} ∗ K_{2}. Notiamo inoltre che se p ∈ S allora

β(p) = β(σ_{1}(h)σ_{2}^{−1}(h)) = β_{1}(σ_{1}(h)) · β_{2}(σ_{2}(h))^{−1} = β_{2}(σ_{2}(h)) · β_{2}(σ_{2}(h))^{−1} = e.

Quindi ker β ⊃ N(S) e β è ben definita sul quoziente K.

Abbiamo finalmente costruito β : K → G. D’altra parte, si vede facilmente che per una β che fa commutare il diagramma (2) deve necessariamente valere (3), e che quindi tale β è unica.

Unicità: Supponiamo di avere due prodotti amalgamati (K, α_{1}, α_{2}) e (K′, α′_{1}, α′_{2}). Usando la definizione di K con G = K′ e viceversa troviamo che esistono e sono uniche due α : K → K′ e α′ : K′ → K che fanno commutare tutto il diagramma seguente:

15La dimostrazione è scritta qui per completezza, l’unica cosa di cui avremo effettivamente bisogno è la descrizione costruttiva di K, α_{1} e α_{2} presente all’inizio.

16la prima lettera è σ_{1}(h) ∈ K_{1}, la seconda è (σ_{2}(h))^{−1} ∈ K_{2}.

[figure: K_{1}; α_{1}; α′_{1}; α_{1}; H; σ_{1}; σ_{2}; K; α; K′; α′; K; K_{2}; α_{2}; α′_{2}; α_{2}]

Inoltre, usando la definizione di K con G = K, vediamo che α′ ∘ α : K → K deve essere l’identità, e analogamente α ∘ α′ = id_{K′}. Quindi α è un isomorfismo tra i prodotti amalgamati K e K′. □

Il gruppo K ottenuto con il prodotto amalgamato viene indicato come

K = K_{1} ∗_{H} K_{2}.

È importante ricordare che il gruppo K dipende anche dagli omomorfismi σ_{1} e σ_{2}.

Proposizione 10.2. Sia K = K_{1} ∗_{H} K_{2}.

(1) Se K_{1} e K_{2} sono banali, anche K è banale.

(2) Se K_{1} è banale, K ≅ K_{2}/_{N(Im σ_{2})}.

(3) Se H è banale, K ≅ K_{1} ∗ K_{2}.

Dim. Mostriamo il secondo punto, che implica anche il primo. Verifichiamo che K = K_{2}/_{N(Im σ_{2})} e la proiezione α_{2} : K_{2} → K soddisfano la proprietà universale. Siano G, β_{1} e β_{2} come nel diagramma (2). Definiamo β : K → G nel modo seguente: β(k) = β_{2}(k_{2}) dove k_{2} è un qualsiasi elemento di K_{2} che si proietta su k. Mostriamo che la mappa è ben definita. Ogni altro elemento che si proietta su k è del tipo k_{2}l con l ∈ N(Im σ_{2}). D’altra parte β_{2} ∘ σ_{2} = β_{1} ∘ σ_{1} è necessariamente la mappa nulla (perché K_{1} è banale), e quindi Ker β_{2} contiene N(Im σ_{2}). Segue che β_{2}(l) = e e quindi β_{2}(k_{2}l) = β_{2}(k_{2}). Infine, tale β è unica perché α_{2} è suriettiva.

Mostriamo il terzo punto allo stesso modo. Le mappe α_{1} e α_{2} sono le inclusioni naturali (vedi Corollario 9.3). Definiamo β : K_{1} ∗ K_{2} → G nel modo seguente: se p ∈ K_{1} ∗ K_{2} è una parola x_{1} … x_{n}, dove la lettera x_{i} sta nel gruppo K_{ν(i)}, poniamo β(p) = β_{ν(1)}(x_{1}) ⋯ β_{ν(n)}(x_{n}). Si vede facilmente che β(p) non cambia se modifichiamo p con delle mosse, quindi β è ben definita. Si verifica che fa commutare il diagramma, e che la definizione di β è forzata (da cui l’unicità). □

10.2. Teorema di Van Kampen. Il teorema seguente è uno strumento molto potente per calcolare il gruppo fondamentale di molti spazi topologici.

Teorema 10.3 (Van Kampen). Sia X uno spazio topologico. Siano X_{1} e X_{2} aperti connessi per archi di X, tali che X = X_{1} ∪X_{2} e X_{1} ∩X_{2} sia connesso per archi. Sia x_{0} ∈ X_{1} ∩ X_{2}. Allora π_{1}(X, x_{0}) è il prodotto amalgamato di π_{1}(X_{1}, x_{0}) e π_{1}(X_{2}, x_{0}) su π_{1}(X_{1} ∩ X_{2}, x_{0}) tramite i morfismi associati alle inclusioni.

(4)  \xymatrix{ & π_{1}(X_{1}, x_{0}) \ar[dr]^{i_{∗}} \\ π_{1}(X_{1} ∩ X_{2}, x_{0}) \ar@{-->}[ur]^{i_{∗}} \ar[dr]_{i_{∗}} &  & π_{1}(X, x_{0}) \\  & π_{1}(X_{2}, x_{0}) \ar[ur]_{i_{∗}}}

Dim. Sia G un gruppo e β_{1}, β_{2} dei morfismi che fanno commutare il diagramma

[figure: π_{1}(X_{1}, x_{0}); i_{∗}; β_{1}; π_{1}(X_{1} ∩ X_{2}, x_{0}); i_{∗}; i_{∗}; π_{1}(X, x_{0}); β; G; π_{1}(X_{2}, x_{0}); i_{∗}; β_{2}]

Mostriamo che esiste ed è unico un morfismo β. Sia α un laccio in (X, x_{0}). Come nella dimostrazione del primo punto del Teorema 7.14, si trovano 0 = t_{1} < t_{2} < … < t_{k} < t_{k+1} = 1 tali che α(t_{i}) ∈ X_{1} ∩ X_{2} e α([t_{i}, t_{i+1}]) sia contenuto interamente in X_{ν(i)} per qualche ν(i) ∈ {1, 2}, per ogni i. Poiché X_{1} e X_{2} sono connessi per archi, esiste per ogni i un arco λ_{i} che collega x_{0} a α(t_{i}), interamente contenuto in X_{ν(i)} (come in Fig. 5). Consideriamo il laccio in (X_{ν(i)}, x_{0}) dato da

α_{i} = λ_{i} ∗ α|_{[t_{i},t_{i+1}]} ∗ λ_{i+1}^{−1}.

Si vede facilmente che

α ∼ α_{1} ∗ … ∗ α_{k}

Ogni α_{i} rappresenta un elemento di π_{1}(X_{ν(i)}, x_{0}). La commutatività del diagramma impone che

(5)  β(α) = β_{ν(1)}(α_{1}) ⋯ β_{ν(k)}(α_{k})

e quindi β è certamente unica. Per dimostrarne l’esistenza, definiamo β tramite (5): resta da verificare che non dipende dalle scelte fatte, che sono molte:

• scelta dei λ_{i};

• scelta di ν(i) ∈ {1, 2} nel caso in cui α_{i} sia contenuto in entrambi X_{1} e X_{2};

• scelta della partizione 0 = t_{1} < t_{2} < … < t_{k} < t_{k+1} = 1 del segmento;

• scelta di α nella sua classe di omotopia.

Figure 5: Ogni laccio α è omotopo ad un laccio α_{1} ∗ … ∗ α_{k} dove ogni α_{i} sta in U o in V, costruito in questo modo.

Iniziamo con la scelta dei λ_{i}. Se prendiamo λ′_{i} invece di λ_{i} per qualche i, otteniamo α′_{i} e α′_{i+1} al posto di α_{i} e α_{i+1}. Sia γ il laccio λ_{i} ∗ λ_{i}^{′−1} in (X_{1} ∩ X_{2}, x_{0}). Si vede facilmente che

α′_{i−1} ∼ α_{i−1} ∗ γ in (X_{ν(i−1)}, x_{0}), α′_{i} ∼ γ^{−1} ∗ α_{i} in (X_{ν(i)}, x_{0}).

Quindi

β_{ν(i−1)}(α′_{i−1}) · β_{ν(i)}(α′_{i}) = β_{ν(i−1)}(α_{i−1}) · β_{ν(i−1)}(γ) · β_{ν(i)}(γ^{−1}) · β_{ν(i)}(α_{i})
= β_{ν(i−1)}(α_{i−1}) · β_{ν(i)}(α_{i}).

Nell’ultima uguaglianza, usiamo che γ è un laccio in (X_{1} ∩ X_{2}, x_{0}), e quindi β_{1}(γ) = β_{2}(γ).

Consideriamo la scelta di ν(i). Se α_{i} è contenuto sia in X_{1} che in X_{2}, è un laccio in (X_{1} ∩ X_{2}, x_{0}) e quindi β_{1}(α_{i}) = β_{2}(α_{i}) per ipotesi.

Consideriamo ora la scelta della partizione 0 = t_{1} < … < t_{k+1} = 1. Mostriamo che la funzione β non cambia se aggiungiamo alla partizione un valore t̄ tra t_{i} e t_{i+1} con α(t̄) = X_{1} ∩ X_{2}, per qualche i. Questo è sufficiente, perché date due partizioni qualsiasi, l’unione di queste è ottenuta da ciascuna aggiungendo un numero finito di singoli elementi.

Abbiamo quindi 0 = t_{1} < … < t_{i} < t̄< t_{i+1} < … < t_{k+1} = 1. Prendiamo quindi un arco λ in X_{1} ∩ X_{2} che collega x_{0} a α(t̄), ed i lacci

α′_{i} = λ_{i} ∗ α|_{[t_{i},t̄]} ∗ λ^{−1}, α′′_{i} = λ ∗ α|_{[t̄,t_{i+1}]} ∗ λ_{i+1}^{−1}

in (X_{ν(i)}, x_{0}). Poiché α′_{i} ∗ α′′_{i} ∼ α_{i}, otteniamo

β_{ν(i)}(α′_{i})β_{ν(i)}(α′′_{i}) = β_{ν(i)}(α_{i})

e quindi β non cambia.

Resta da vedere cosa succede se prendiamo un laccio α′ ∼ α. Sia F : [0, 1]×[0, 1] → X l’omotopia che lega i due lacci. Come nella dimostrazione del secondo punto del Teorema 7.14, si mostra che esiste N > 0 tale che il quadratino

[k/N, (k + 1)/N] × [h/N, (h + 1)N]

di area 1/N^{2} sia contenuto interamente in X_{1} oppure X_{2}, per ogni k, h = 0, …, N−1.

Usiamo la partizione 0, 1/N, 2/N, …, (N − 1)/N, 1 per entrambi i lacci α e α′ per definire β. Mostriamo che le due definizioni coincidono trasformando α in α′ un passo alla volta, come suggerito in Fig. 6. Nel passo mostrato in figura, vengono modificati due lacci α_{i}, α_{i+1} della suddivisione in due altri lacci α′_{i}, α′_{i+1}. Tutti e quattro i lacci sono contenuti nello stesso aperto X_{1} o X_{2}, e componendo F con un’omotopia indotta dal quadratino che li contiene^{17} otteniamo che α_{i} ∗ α_{i+1} ∼ α′_{i} ∗ α′_{i+1}.

□

Corollario 10.4. Sia X = U ∪V unione di due aperti U e V semplicemente connessi con intersezione U ∩ V connessa per archi. Lo spazio X è semplicemente connesso.

Dim. Segue dalla Proposizione 10.2-(1). □

11. Applicazioni

11.1. Gruppi fondamentali di alcuni spazi.

Proposizione 11.1. La sfera S^{n} è semplicemente connessa per ogni n ⩾ 2.

Dim. Consideriamo i punti N = (1, 0, …, 0) e S = (−1, 0, …, 0) di S^{n}. La sfera è unione degli aperti U = S^{n} \ {N} e V = S^{n} \ {S}. La proiezione stereografica

p : U → ℝ^{n}
(x_{1}, …, x_{n+1}) ↦ (\frac{x_{2}}{1 − x_{1}} , …, \frac{x_{n+1}}{1 − x_{1}} )

è un omeomorfismo da U su ℝ^{n}. Quindi U e V sono semplicemente connessi. L’intersezione U ∩ V è connessa per archi se n ⩾ 2. Il Corollario 10.4 implica che S^{n} è semplicemente connesso per ogni n ⩾ 2. □

17Una figura nel libro spiega chiaramente quale sia questa omotopia.

Figure 6: Scomponiamo l’omotopia tra α e α′ in N^{2} mosse di questo tipo.

Figure 7: Il bouquet di 3 circonferenze.

Definizione 11.2. Sia X uno spazio topologico e A ⊂ X un sottoinsieme. Lo spazio topologico X/_{A} ottenuto collassando A è il quoziente X/_{A} = X/_{∼}, dove x ∼ x′ se e solo se x = x′ oppure x, x′ ∈ A.

Definizione 11.3. Il bouquet di n circonferenze è lo spazio topologico (X_{1} ⊔ … ⊔ X_{n})/{x_{1}, …, x_{n}} dove X_{i} ≅ S^{1} e x_{i} è un punto qualsiasi di X_{i}, per ogni i = 1, …, n. Il bouquet di 3 circonferenze è mostrato in Fig. 7.

Proposizione 11.4. Il gruppo fondamentale del bouquet di n circonferenze è il gruppo libero F_{n} con n elementi.

Dim. Dimostriamo il fatto per induzione su n. Per n = 1 lo spazio è omeomorfo a S^{1}, che ha gruppo fondamentale F_{1} ≅ ℤ. Il bouquet di n circonferenze è unione di due sottoinsiemi X = X_{1} ∪X_{2}, dove X_{1} è omeomorfo al bouquet con n−1 circonferenze, X_{2} ≅ S^{1}, e l’intersezione X_{1} ∩ X_{2} è un punto. Se potessimo usare Van Kampen con questi insiemi, otterremmo dalla Proposizione 10.2-(3) che π_{1}(X) ≅ F_{n−1} ∗ ℤ ≅ F_{n}. Purtroppo questi insiemi non sono aperti: scegliamo quindi degli aperti U_{1} ⊃ X_{1} e U_{2} ⊃ X_{2} tali che U_{1}, U_{2} e U_{1} ∩ U_{2} abbiano gli stessi π_{1} di X_{1}, X_{2} e X_{1} ∩ X_{2}. La costruzione di questi aperti è lasciata per esercizio. □

Ricordiamo che uno spazio topologico X è una varietà topologica di dimensione n se ogni punto x ha un intorno omeomorfo a B^{n}.

Proposizione 11.5. Sia M una varietà di dimensione n ⩾ 3, di Hausdorff e connessa per archi. Per ogni punto x ∈ M abbiamo π_{1}(M) = π_{1}(M \ {x}).

Dim. Il punto x ha un intorno U omeomorfo a B^{n}. Prendiamo X = U ∪ V con V = X \ {x} aperto (perché X è di Hausdorff). Quindi U ∩ V è omeomorfo a B^{n} \ {0}, che è a sua volta omeomorfo a S^{n−1} × (0, 1). Poiché n ⩾ 3, gli aperti U e U ∩ V sono semplicemente connessi. La tesi segue dal Teorema di Van Kampen e dalla Proposizione 10.2. □

Proposizione 11.6. Abbiamo:

π_{1}(ℝℙ^{n}) = \{ \begin{matrix}ℤ & se n = 1, \\ ℤ/_{2ℤ} & altrimenti; \end{matrix} π_{1}(ℂℙ^{n}) = \{e\}.

Dim. Sappiamo che ℝℙ^{1} ≅ S^{1}, e quindi π_{1}(ℝℙ^{1}) = ℤ. Per n ⩾ 2, la mappa S^{n} → ℝℙ^{n} che manda (x_{1}, …, x_{n}) in [x_{1}, …, x_{n}] è un rivestimento di grado due. Quindi π_{1}(ℝℙ^{n}) ha due elementi, e l’unico gruppo con due elementi è ℤ/_{2ℤ}.

Sappiamo che ℂℙ^{1} ≅ S^{2}, e quindi π_{1}(ℂℙ^{1}) = {e}. Mostriamo quindi che ℂℙ^{n} è semplicemente connesso per induzione su n, supponendo n > 1. Poniamo X = ℂℙ^{n} \ {[1, 0, …, 0]}. Lo spazio ℂℙ^{n} è una varietà di dimensione 2n ⩾ 4, e per la proposizione precedente abbiamo π_{1}(ℂℙ^{n}) = π_{1}(X). Sia P ⊂ ℂℙ^{n} l’iperpiano

P = {[z_{0}, …, z_{n}] | z_{0} = 0} .

Consideriamo la funzione f : X → P data da f([z_{0}, …, z_{n}]) = [0, z_{1}, …, z_{n}]. La funzioni f e l’inclusione i : P → X definiscono una equivalenza omotopica tra X e P. Infatti f ∘ i = id_{P} e i ∘ f ∼ id_{X} tramite l’omotopia

F : X × [0, 1] → X
([z_{0}, …, z_{n}], t) ↦ [tz_{0}, z_{1}, …, z_{n}]

Quindi π_{1}(X) ≅ π_{1}(P), ma P è omeomorfo a ℂℙ^{n−1} e quindi abbiamo concluso. □

11.2. Campi vettoriali sulla sfera. Un campo vettoriale sulla sfera S^{2} è una funzione continua f : S^{2} → ℝ^{3} tale che x è ortogonale al vettore f(x) per ogni x ∈ S^{2}. Traslando il punto di applicazione del vettore f(x) dall’origine su x, questo diventa quindi un vettore tangente a S^{2} in x.

Un campo vettoriale è mai nullo se f(x) ≠ 0 per ogni x. Mostriamo in questa sezione il risultato seguente:

Teorema 11.7 (la sfera non è pettinabile). Non esistono campi vettoriali mai nulli su S^{2}.

Dim. Supponiamo che esista un campo mai nullo f. A meno di prendere f/|f| al posto di f, possiamo supporre che |f(x)| = 1 per ogni x ∈ S^{2}.

Sia SO(3) l’insieme delle matrici 3 × 3 ortogonali con determinante 1. Questo è un sottoinsieme dello spazio M(3, 3) di tutte le matrici reali 3 × 3, omeomorfo a ℝ^{9}. Quindi SO(3) ha una struttura di spazio topologico. Costruiamo a partire da f un omeomorfismo ψ : S^{2} × S^{1} → SO(3). Mostriamo però successivamente che i due spazi hanno gruppo fondamentale distinto, giungendo ad un assurdo.

Dato (x, θ) ∈ S^{2} × S^{1}, sia f_{θ}(x) il vettore ottenuto ruotando f(x) di un angolo θ lungo l’asse x (in senso antiorario rispetto alla direzione di x). Sia inoltre g_{θ}(x) = x∧ f_{θ}(x) ottenuto tramite prodotto vettoriale di x e f_{θ}(x). I tre vettori (x, f_{θ}(x), g_{θ}(x)) formano una baste ortonormale: incolonnati, descrivono quindi un elemento ψ(x, θ) di SO(3).

La funzione ψ è continua. Si vede facilmente che è biunivoca. Lo spazio SO(3) è di Hausdorff in quanto sottospazio di ℝ^{9}. Poiché ψ va da un compatto ad uno spazio di Hausdorff, è chiusa. Quindi è un omeomorfismo.

Mostriamo adesso che esiste un rivestimento p : S^{3} → SO(3) di grado due. Seguirà che π_{1}(SO(3)) ≅ ℤ_{2}, e quindi SO(3) non può essere omeomorfo a S^{2} × S^{1}, che ha π_{1} ≅ ℤ.

Il rivestimento è costruito nel modo seguente. Innanzitutto, ricordiamo che SO(3) è l’insieme delle rotazioni di ℝ^{3}. Si identifica S^{3} con ℝ^{3}∪{∞}. Si associa quindi ad un vettore v ∈ ℝ^{3}\{0} la rotazione p(v) ∈ SO(3) di ℝ^{3} lungo l’asse orientato contenente v, di angolo 4 arctan |v|. Poiché 4 arctan 0 = 0 e 4 arctan ∞ = 4π/2 = 2π, la mappa p si estende in modo continuo nell’origine e all’infinito ponendo p(0) = p(∞) = I. Otteniamo quidi p : S^{3} → SO(3).

Ogni rotazione in SO(3) è rappresentata esattamente da due elementi distinti v e −v/|v|^{2}: segue facilmente che p è un rivestimento.

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Osservazione 11.8. La sfera n-dimensionale S^{n} ha un campo di vettori tangenti mai nulli se e solo se n è dispari. Il caso n = 1 è facile, riuscite a costruire un tale campo su S^{3}?