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\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\begin{center} 

{\bf TOPOLOGIA E ANALISI COMPLESSA} 

\medskip

Quarto scritto a.a. 05/06: 25 settembre 2006
\end{center}

\bigskip

\no{\bf Esercizio 1.} 
Sia  $GL^+(n,\matR)$ 
l'insieme delle matrici reali $n\times n$ con determinante
positivo,  e $SL(n,\matR)$ il sottoinsieme delle matrici
con determinante  uguale a 1, entrambi con la topologia indotta
da $\matR^{n^2}$. Mostra che $SL(n,\matR)$ \`e un retratto di
deformazione di $GL^+(n,\matR)$.

L'affermazione resta vera se si considera $GL(n,\matR)$
al posto di $GL^+(n,\matR)$?

\bigskip

\no{\bf Esercizio 2.}
Consideriamo il cubo $n$-dimensionale
$$C = [-1,1]^n = \{(x_1,\ldots,x_n)\ |\ |x_i|\leqslant 1 \
\forall i \} \subset\matR^n$$
ed il suo bordo
$$\partial C = \{(x_1,\ldots,x_n)\in C\ |\ |x_i|=1 \mbox{ per qualche
} i\}.$$
\begin{enumerate}
\item
Mostra che $\partial C$ \`e connesso per archi.
\item
Calcola il gruppo fondamentale di $\partial C$.
\item
Mostra che $\partial C$ \`e una variet\`a topologica.
\end{enumerate}
\bigskip

\no {\bf Esercizio 3.}
Sia $f:\matC\setminus\matZ\to \matC$ una funzione olomorfa
iniettiva. Mostra che
$$f(z) = \frac {az+b}{z+n} $$
per qualche intero $n$.

\bigskip

\no{\bf Esercizio 4.}
Sia $f\colon\matC\to\matC$ definita da
$$ f(z)=(\IM z)^2 + i \RE (e^z).$$

\begin{enumerate}[(1)]
\item Determina l'insieme dei punti di $\matC$ in cui $f$ \`e derivabile,
  e in tali punti calcola la derivata.
\item Determina l'insieme dei punti di $\matC$ in cui $f$ \`e olomorfa.
\end{enumerate}

\end{document}
