TOPOLOGIA E ANALISI COMPLESSA

Quarto scritto a.a. 05/06: 25 settembre 2006

Esercizio 1. Sia GL^{+}(n, ℝ) l’insieme delle matrici reali n × n con determinante positivo, e SL(n, ℝ) il sottoinsieme delle matrici con determinante uguale a 1, entrambi con la topologia indotta da ℝ^{n^{2}}. Mostra che SL(n, ℝ) è un retratto di deformazione di GL^{+}(n, ℝ).

L’affermazione resta vera se si considera GL(n, ℝ) al posto di GL^{+}(n, ℝ)?

Esercizio 2. Consideriamo il cubo n-dimensionale

C = [−1, 1]^{n} = {(x_{1}, …, x_{n}) | |x_{i}| ⩽ 1 ∀i} ⊂ ℝ^{n}

ed il suo bordo

∂C = {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ C | |x_{i}| = 1 per qualche i}.

1. Mostra che ∂C è connesso per archi.

2. Calcola il gruppo fondamentale di ∂C.

3. Mostra che ∂C è una varietà topologica.

Esercizio 3. Sia f : ℂ \ ℤ → ℂ una funzione olomorfa iniettiva. Mostra che

f(z) = \frac{az + b}{z + n}

per qualche intero n.

Esercizio 4. Sia f: ℂ → ℂ definita da

f(z) = (Im z)^{2} + i Re(e^{z}).

(1) Determina l’insieme dei punti di ℂ in cui f è derivabile, e in tali punti calcola la derivata.

(2) Determina l’insieme dei punti di ℂ in cui f è olomorfa.