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\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\begin{center} 

{\bf TOPOLOGIA E ANALISI COMPLESSA} 

\medskip

Terzo scritto a.a. 05/06: 12 settembre 2006
\end{center}

\bigskip

\no{\bf Esercizio 1.} 
Sia $\Delta\subset\matR^3$ il simplesso standard:
$$\Delta=\{(x,y,z)\in\matR^3\,|\,x\geq 0,\,y\geq 0,\,z\geq 0,\, x+y+z\leq
1\}.$$
Sia $X$ l'insieme degli spigoli di $\Delta$, con la topologia indotta
da $\matR^3$.
\begin{enumerate}[(1)]
\item Mostra che $X$ \`e connesso per archi.
\item Calcola $\pi_1(X)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\no{\bf Esercizio 2.}
La bottiglia di Klein \`e una variet\`a  topologica $K$ che ammette un
rivestimento doppio $T\to K$ del toro $T$. Mostra che non esistono
rivestimenti $\matRP^2\to K$ e $K\to\matRP^2$, dove $\matRP^2$ \`e il
piano proiettivo reale.

\bigskip

\no {\bf Esercizio 3.}
Sia $r\in (0,+\infty)$ e consideriamo il cammino
$\gamma_r(t)=re^{it}$, $t\in[0,2\pi]$. Per i valori di $r$ per cui \`e 
definito, calcola l'integrale
$$\int_{\gamma_r} \frac{e^{1/z}}{(z+1)(z-2)^2}\,dz.$$

\bigskip

\no{\bf Esercizio 4.}
Siano $r$ una retta affine e $C$ una circonferenza nel piano
complesso. Mostra che esiste una funzione olomorfa, definita in un
aperto contenente $r$, tale che $f(r)\subseteq C$.

\end{document}
