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\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\begin{center} 

{\bf TOPOLOGIA E ANALISI COMPLESSA} 

\medskip

Secondo scritto a.a. 05/06: 5 luglio 2006
\end{center}

\bigskip

\no{\bf Esercizio 1.} 
Sia $X$ il sottoinsieme di $\matC^2 = \matC \times \matC$ definito da 
$$X = (S^1 \times S^1) \cup \big(D\times \{1\}\big) $$
dove $S^1$ e $D$ sono rispettivamente la circonferenza ed il disco unitari in $\matC$:
$$S^1 = \big\{z\in\matC\ |\ |z|=1\}, \quad D = \{z\in\matC\ |\
|z|\leqslant 1\big\}.$$
\begin{enumerate}[(1)]
\item Dimostra che $X$ \`e connesso per archi.
\item Calcola $\pi_1(X)$.
\end{enumerate}

\smallskip

\no{\bf Esercizio 2.}
Sia $r$ una retta in $\matR^3$. Mostra che il rivestimento
universale di $\matR^3\setminus r$ \`e omeomorfo a $\matR^3$.

\smallskip

\no {\bf Esercizio 3.}
Sia $p\in\matR_{>1}$ e consideriamo il cammino
$\gamma(t)=e^{it}$, $t\in[0,2\pi]$. Calcola
$$\int_{\gamma} \frac{1}{z^2-2pz+1}\,dz.$$

\smallskip

\no{\bf Esercizio 4.}
\begin{enumerate}[(1)]
\item Sia $U\subseteq\matC$ aperto e $S\subset U$ un sottoinsieme
  discreto. Sia $h\colon U\to\matC$ una funzione continua tale che
  $h_{|U\smallsetminus S}$ sia olomorfa. Mostra che $h$ \`e olomorfa. 
\item Sia $f\colon \matC\to\matC$ una funzione intera tale che l'insieme
$\{z\in\matC\,|\,f'(z)=0\}$ sia finito. Sia $g\colon\matC\to\matC$
una funzione continua  tale che $g\circ f$ sia intera. Mostra che $g$
\`e olomorfa su $f(\matC)$.
\end{enumerate}


\end{document}
