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\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\begin{center} 

{\bf TOPOLOGIA E ANALISI COMPLESSA} 

\medskip

Primo scritto: 12 giugno 2006
\end{center}

\bigskip

\no{\bf Esercizio 1.} 
Siano $P$ e $Q$ due punti distinti del piano $\matR^2$, e sia $X$ lo
spazio topologico quoziente $X = \matR^2/_\sim$, dove
$$x\sim y \ \Longleftrightarrow\ x=y\ {\rm oppure}\ \{x,y\} = \{P,Q\}.$$
\begin{enumerate}[$(i)$]
\item
Mostrare che $X$ \`e connesso per archi.
\item 
Determinare il gruppo fondamentale di $X$.
\end{enumerate}

%\smallskip

\no{\bf Esercizio 2.}
In $\matR^3$ consideriamo 
$$ X := \left\{(x,y,z)\in\matR^3\,|\, z= 0 ,x^2+y^2=1\right\},
\quad Y:=\left\{(x,y,z)\in\matR^3\,|\, x=y=0\right\}
$$
e sia $Z:=\matR^3\smallsetminus(X\cup Y)$.
\begin{enumerate}[$(i)$]
\item
Mostrare che $Z$ \`e connesso per archi.
\item
Determinare il gruppo fondamentale di $Z$.
\item Mostrare che $Z$ ammette rivestimento universale $p\colon Z'\to
  Z$. Qual \`e il grado di $p$?
\end{enumerate}

%\smallskip

\no {\bf Esercizio 3.}
Sia $r>0$ e $f\colon B_r(0)\smallsetminus\{0\}\to\matC$ una funzione
olomorfa tale che
$$|f(z)|<|z|^{-1/2}\ \text{ per ogni }z\in
B_r(0)\smallsetminus\{0\}.$$
Stabilire se $0$ \`e una singolarit\`a eliminabile, un polo o una
singolarit\`a essenziale per~$f$.

\smallskip

\no{\bf Esercizio 4.}
Siano $a,b\in\matC$ e consideriamo il cammino chiuso $\gamma$ in
$U:=\matC\smallsetminus\{a,b\}$ come in figura:
\begin{center}
{}{}\scalebox{0.30}{\includegraphics{cammino.eps}}
\end{center}
Sia $z_0$ il punto iniziale di $\gamma$.
\begin{enumerate}[$(i)$]
\item Descrivere la classe di $\gamma$ in $\Pi_1(U,z_0)$.
\item Mostrare che per ogni funzione $f$ olomorfa su $U$ si ha
$$\int_{\gamma}f=0.$$
\end{enumerate}
\end{document}
