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\newtheorem{esercizio}{Esercizio}

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% Con due argomenti per ottenere l'opzione resize

\author{Esercizi 18/11/2009}
\title{Geometria e algebra lineare 2009/10}
\date{}
\begin{document}
\maketitle


\begin{esercizio}
Si considerino i seguenti sottospazi di $\matR^4$:
\begin{eqnarray*}
 W_1 & = & \big\{(x,y,z,t) \ \big|\ x+y = 0, y+z-t = 0 \big\}, \\
 W_2 & = & {\rm Span}\left\{\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \right\}.
 \end{eqnarray*}
Determinare le dimensioni di $W_1$, $W_2,$ $W_1\cap W_2$ e $W_1+ W_2$.

\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Determinare il rango delle matrici seguenti, al variare di $k$:
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & k \end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & k & 0 \\ k & -2 & 1 \end{pmatrix}. \quad
$$
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Consideriamo le due applicazioni lineari $f_a:\matR^2 \to \matR^3$ e $g:\matR^3 \to \matR^3$ date da:
\begin{eqnarray*}
f_a\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = &  \begin{pmatrix} ay \\ x \\ 2x+y \end{pmatrix} \\
g\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} & = &  \begin{pmatrix} x - y + 2z \\ y - z \\ x+y \end{pmatrix} 
\end{eqnarray*}

La prima applicazione $f_a$ dipende da un parametro $a\in\matR$. 
\begin{itemize}
\item Determinare una base per i sottospazi $\im\, g$ e $\im\, f_a$ per ogni $a\in \matR$.
\item Trovare i valori di $a\in\matR$ per cui $\im\, g = \im\, f_a$.
\end{itemize}
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Siano $f_a$ e $g$ come nell'esercizio precedente.
\begin{itemize}
\item Determinare una base per $\ker g$.
\item Completare la base trovata di $\ker g$ ad una base di $\matR^3$.
\item Determinare le dimensioni di $\ker g \cap \im\, g$ e $\ker g + \im\, g$.
\end{itemize}
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Siano $U_t, V \subset \matR^4$ i sottospazi
$$U = \left\{\begin{array}{l} x_1 + 2x_2 + x_4 = 0 \\ x_1 -x_3 = 0 \end{array}\right. \quad
V = \left\{\begin{array}{l} x_1+ tx_2 = 0 \\ x_2 + x_3 = 0 \end{array}\right.$$
Determinare una base di $U_t, V, U_t\cap V$ e $U_t + V$ per ogni $t\in \matR$.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Siano $U$, $V$ due sottospazi vettoriali di dimensione 2 in $\matR^3$. Dimostra che $U\cap V$ non pu\`o avere dimensione zero.

Pi\`u in generale, siano $U$ e $V$ sottospazi vettoriali distinti di dimensione $n-1$ in $\matR^n$. Dimostra che $U\cap V$ ha dimensione $n-2$.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Determina tre sottospazi $U_1, U_2, U_3$ di dimensione 2 in $\matR^3$ tali che $U_1\cap U_2\cap U_3 = \{0\}$.

Pi\`u in generale, determina $n$ sottospazi $U_1, U_2, \ldots, U_n$ in $\matR^n$ tali che 
$$U_1 \cap U_2 \cap \ldots \cap U_n = \{0\}.$$
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Nel seguente sistema, determinare il numero di soluzioni al variare di $t$.
$$\left\{\begin{array}{l} x + y + tz = 1 \\ x + y + t^3z = 3 \\ 2x + 2y + (1+t)z = 1 \\ x + z = 0 \end{array} \right.$$
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Si considerino al variare di $t \in \matR$ i seguenti sottospazi vettoriali di $\matR^3$:
$$ W_1 = \Span\left\{\begin{pmatrix} 1-t \\ 1 \\ 2-t \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2+t \\ 2 \\ 4+t \end{pmatrix}\right\}, \quad
W_2 = \Span\left\{\begin{pmatrix} 1-t \\ 1-t \\ -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} t \\ t \\ 4 \end{pmatrix}\right\}.
$$
\begin{enumerate}
\item Al variare di $t\in\matR$, calcolare la dimensione di $W_1$ e quella di $W_2$.
\item Dire per quali valori di $t$ il vettore $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ appartiene a $W_1+W_2$.
\end{enumerate}
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Sia $f:\matR^3 \to \matR^3$ l'applicazione lineare data da
$$f \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+3y-z \\ y-z \\ 2x+4z \end{pmatrix}.$$
\begin{itemize}
\item Determinare una base per il nucleo e l'immagine di $f$
\item Trovare un sottospazio $U$ di $\matR^3$ avente dimensione 1 tale che $U+\im\, f = \matR^3$ e $U\cap \im\,f = \{0\}$.
\end{itemize}
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Al variare di $k\in\matR$, sia $U_k$ il sottospazio vettoriale di $\matR^4$ definito da
$$U_k = \{(x,y,z,t)\in\matR^4\ |\ x+y+kz+kt = 0, 2x+(2-k)y+3kz = 0, (2-k)x+2y+4kt=0\}.$$
Sia inoltre 
$$W = \Span\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\right\}$$
un altro sottospazio vettoriale di $\matR^4$.
\begin{enumerate}
\item Calcolare la dimensione di $U_k$ al variare di $k\in\matR$.
\item Costruire una base di $T = W\cap U_0$.
\item Trovare un sottospazio $Z\subset\matR^4$ tale che $T+Z = \matR^4$ e $T\cap Z = \{0\}$.
\end{enumerate}
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Determinare equazioni cartesiane per i seguenti sottospazi di $\matR^4$:
$$U = \Span\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}, \quad
V = \Span \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -7 \\ 7 \end{pmatrix} \right\}.
$$
Determinare i sottospazi $U\cap V$ e $U+V$.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}
Sia $r$ una retta in $\matR^2$ passante per l'origine. Sia $\Rif_r:\matR^2\to \matR^2$ la riflessione rispetto alla retta $r$. Sia $\theta$ l'angolo che la retta $r$ forma con l'asse delle $x$. La matrice associata a questa applicazione rispetto alla base canonica \`e la seguente:
$$\begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}.$$
Sia inoltre $\Rot_\phi:\matR^2\to\matR^2$ la rotazione antioraria di angolo $\phi$. La matrice associata a questa applicazione rispetto alla base canonica \`e la seguente:
$$\begin{pmatrix} \cos \phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos \phi \end{pmatrix}.$$
\begin{enumerate}
\item Mostra che le riflessioni hanno determinante -1 mentre le rotazioni hanno determinante 1.
\item Scrivi $\Rif_r$ e $\Rot_\phi$ rispetto alla base seguente:
$$\calB = \left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\}.$$
Nota che la matrice che rappresenta $\Rif_r$ \`e cambiata, mentre quella che rappresenta $\Rot_\phi$ no.
\item Mostra che componendo due riflessioni (rispetto a due rette arbitrarie) si ottiene sempre una rotazione.
\item Mostra che componendo due rotazioni (di angoli arbitrari) si ottiene sempre una rotazione.
\item Mostra che componendo una rotazione ed una riflessione si ottiene sempre una riflessione.
\end{enumerate}


\end{esercizio}

\end{document}





