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Seminari Passati

Lunedí 18/12/2017
Ivan Di Liberto: Una prospettiva geometrica sul lemma di Yoneda

Abstract: Il lemma di Yoneda è uno dei risultati più celebrati e fondanti della teoria delle categorie e ciononostante è tipico dei non addetti ai lavori chiedersi quale sia il suo contenuto qualitativo. In questo seminario proveremo a dare una dimostrazione geometrica del lemma di Yoneda che lo riduca ad un fatto estremamente intuitivo di teoria dei fasci. Il contenuto topologico del lemma di Yoneda è incastonato nell’equivalenza fra la categoria di fasci su uno spazio topologico Sh(X) e la categoria degli spazi étale Et(X). L’idea geometrica può essere generalizzata a qualunque categoria, precisamente sotto la forma del lemma di Yoneda.
De facto questa istanza del lemma di Yoneda non è la sua origine storica che va cercata in algebra omologica. Yoneda osservò che Lp(F)(A) = Nat( Extp(hom A), F), provando che i funtori derivati dei rappresentabili determinano i derivati sinistri di qualunque funtore.

13/12/2017
Andrea Di Lorenzo: Teoria equivariante dell'intersezione e applicazione in teoria dei moduli

Abstract: Il problema di contare il numero di punti in cui si intersecano due curve in un piano (proiettivo complesso) può avere una soluzione intuitiva semplice, ma di non facile dimostrazione. La teoria dei gruppi/anelli di Chow fornisce gli strumenti utili a rispondere a domande di questo tipo: ad ogni varietà liscia si associa un anello di Chow, così da trasformare le questioni geometriche di teoria dell'intersezione in conti algebrici da effettuare in tale anello.
Se la varietà liscia di partenza ammette anche un'azione di un gruppo, allora possono essere definiti degli oggetti algebrici più raffinati, chiamati anelli di Chow equivarianti, che incapsulano informazioni legate sia alla teoria dell'intersezione della varietà che all'azione del gruppo.
L'obiettivo del seminario è quello di introdurre in maniera rigorosa i gruppi/anelli di Chow, equivarianti e non, e dare alcuni esempi di calcolo di tali anelli in termini di generatori e relazioni. Tempo permettendo, accennerò ad una interpretazione geometrica degli anelli di Chow equivarianti come anelli di Chow di quozienti, e proverò a parlare di come questa interpretazione apra la strada al calcolo di anelli di Chow di oggetti particolarmente interessanti quali, ad esempio, gli stack di moduli di curve.

29/11/2017
Alessandro Divina: Volume simpliciale e sue varianti

Abstract: Il volume simpliciale è un invariante omotopico che misura la complessità dei cicli fondamentali in una varietà, introdotto da M. Gromov nei primi anni ottanta.

Nonostante la definizione sia puramente topologica, questo invariante è strettamente legato alla geometria della varietà: per le varietà iperboliche infatti il volume simpliciale è proporzionale al volume Riemanniano.

Dopo aver introdotto le definizioni fondamentali, daremo un'idea delle motivazioni alla base della famosa congettura di Gromov che afferma come l'annullamento del volume simpliciale per una varietà asferica chiusa implichi l'annullamento della sua caratteristica di Eulero.

Vedremo perciò come il desiderio di risolvere questa congettura abbia portato allo svilupparsi di due importanti varianti del volume simpliciale classico: il volume simpliciale intero stabile ed il volume simpliciale foliato intero. In particolare, concentrandoci prevalentemente sul caso del volume simpliciale stabile intero, discuteremo una ipotetica strategia dimostrativa che potrebbe portare ad una risposta affermativa alla domanda di Gromov.

22/11/2017
Leonardo Ferrari: AE Spaces and Fixed Point Theory

Abstract: Many topological fixed point theorems can be proven by obtaining continuous extensions of maps (or, in particular, of the identity map). The goal of this seminar, therefore, is to present a few extension theorems and introduce the notion of absolute extensor, and proceed to use these tools in order to obtain some famous fixed point theorems and fixed point spaces.

15/11/2017 Stefano Riolo: Varietà iperboliche di volume minimale

Abstract:In topologia della dimensione bassa, la geometria iperbolica si rivela uno strumento di enorme importanza -- si pensi ad esempio alla geometrizzazione di superfici e 3-varietà. In questo spirito, il volume di una varietà iperbolica è un notevole invariante topologico che riguarda, in diversi sensi, la "complessità" della varietà. Dopo un'introduzione basilare alle varietà iperboliche, ci si focalizzerà su quelle di volume minimale in dimensione al più quattro. Si cercherà di rendere la discussione accessibile anche a chi non sa nulla dell'argomento.

08/11/2017 Chiara Spagnoli: Introduzione alle categorie modello

Abstract: Spesso in matematica ci troviamo davanti al problema di voler considerare una collezione di oggetti a meno di una certa classe di morfismi. Cosa si può fare se queste mappe non sono isomorfismi? Partendo da esempi concreti, come gli spazi topologici, i complessi di cocatene e gli insiemi simpliciali, scopriremo che il linguaggio delle categorie modello fornisce la giusta chiave per interpretare e risolvere questa tipologia di problemi. Inoltre, dopo aver definito la struttura modello su una categoria qualsiasi, ci chiederemo sotto quali condizioni queste strutture possono essere trasportate da una categoria all’altra.